APOSTILA DE TEORIA DE DINÂMICA

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DINÂMICA DOS FLUIDOS
Dois tratamentos diferentes:
1ªLagrange - Estuda o comportamento de uma partícula de fluido no espaço (x, y, z) no instante t.
2ªEuler – Especifica a densidade e a velocidade do fluido em cada ponto do espaço, a cada instante.
Será adotado 2ª método
Descreveremos o movimento do fluido especificando a massa específica ρ(x , y , z , t) e a velocidade υ(x , y , z , t)
no ponto (x , y , z ), no instante t.
Conceitos Gerais sobre Escoamento dos Fluidos
1ª_ O escoamento de um fluido pode ser estacionário ou não estacionário
- Movimento Estacionário: A velocidade υ, em qualquer ponto, for independente do tempo (isso pode ser alcançado quando a velocidade de escoamento é pequena)
-Movimento não Estacionário: A velocidade υ depende do tempo em qualquer ponto.
2ª_ O escoamento do fluido pode ser rotacional ou irrotacional
- Movimento Rotacional: A velocidade angular do elemento do fluido em torno de um ponto não é nula.
- Movimento Irrotacional: Em cada ponto, um elemento do fluido possui velocidade angular resultante nula.
3ª_O escoamento do fluido pode ser compressível ou Incompressível
-Movimento Compressível: Faz variar a massa específica.
- Movimento Incompressível: Não varia a massa específica ρ = cte.
4ª_O escoamento de um fluido pode ser viscoso ou não-viscoso.
A viscosidade do movimento de um fluido é análoga ao atrito no movimento dos sólidos 
Em muitos casos, tais como nos problemas de lubrificação, ele é extremamente importante, outras vezes é desprezível.
 
 CASOS A SEREM ESTUDADOS: 
Fluidos – Estacionários, irrotacional, incompressível e não – viscoso.
 
 LINHAS DE CORRENTE
No escoamento estacionário, a velocidade υ independe do tempo
 R ●υR
 
 
 
 Q ● υQ
 
 
 
 P ● 
 υP
Toda partícula que passa pelo ponto P terá a velocidade υP pelo ponto, Q υQ e pelo ponto R, υR. Portanto podemos traçar a trajetória de qualquer partícula que chega em P. Esta curva denomina-se LINHA DE CORRENTE.
1ªOBS: A velocidade das partículas do fluido é tangente á linha de corrente em qualquer ponto.
2ªOBS: Duas linhas de corrente jamais se cruzam, pois, se isso acontecesse uma partícula do fluido que alcançasse P poderia seguir uma outra trajetória e o escoamento não seria mais estacionário.
 Tubo de Escoamento 
É formado por um número finito de linhas de corrente de modo a formar um feixe 
OBS: O contorno de tal tubo é constituído de linhas de corrente 
e é sempre paralelo à velocidade das partículas do fluido.
 Equação de Continuidade
 A2
 υ2
 υ1
 A1
A figura representa um tubo de escoamento estreito. A velocidade do fluido em seu interior pode ter valores diferentes em diferentes pontos
υ1 velocidade em P
υ2 velocidade em Q
A1 Área em P
A2 Área em Q
Em um intervalo de tempo ∆t um elemento de fluido de massa ∆m desloca-se υ∆t 
 A Lembrando que ∆s = υ∆t
 υ∆t e que ρ = m m = ρV
 V
V = A . υ∆t
Então: ∆m = ρV
 
 ∆m = ρAυ∆t ∆m = ρAυ∆t : ∆m = ρAυ FLUXO DE MASSA
 ∆t (quantidade de massa por 
 intervalo de tempo) 
 Fluxo em P = ρ 1 A 1 υ1
Portanto
 Fluxo em Q= ρ 2 A 2 υ2
OBS: Como não há perda de fluxo, a massa de fluido deve ser constate. Ou seja, o fluxo de P deve ser igual ao em Q portento.
 ρ 1 A 1 υ1 = ρ 2 A 2 υ2
Como o fluxo é incompressível ρ 1 = ρ 2
 
 υ 1 A 1 = υ2 A 2 (Quantidade constante)
A υ Fluxo de volume ou VAZÃO
Unidade de vazão no SI : m3
 S
_ Sendo Aυ constante temos:
 
 υ = cte. A velocidade de escoamento é inversamente proporcional 
 A a secção transversal tornado-se maior nas partes mais 
 estreitas do tubo 
Interpretação das linhas de corrente:
- Quanto mais próximas estiverem maior a velocidade 
- Quanto mais afastadas menor a velocidade. 
 
 Equação de Bernoulli
 Consideremos o escoamento estacionário de um fluido não-viscoso e incompressível através de canalização ou tubo de escoamento
�
3 Trabalhos
O trabalho realizado pela força P1 A1 é:
 
 W = f .d W = P1 A1 ∆ℓ1 
O trabalho realizado pela força P2 A2 é:
 W = f .d W = P2A2 ∆ℓ2
O trabalho realizado pela gravidade é:
 
 W = f .d W = ƿ.h mg(y1 – y2 )
Trabalho total
W = P1 A1 ∆ℓ1 - P2A2 ∆ℓ2 - mg(y1 – y2 )
O volume do elemento de fluido : v = b . h A . ∆ℓ A
 ∆ℓ
 A1 ∆ℓ1 = A2 ∆ℓ2 é constante(fluido incompressível)
 
 Volume de um elemento de fluido
Densidade : ρ = m / v v = m / ρ
 
 W = P1 m - P2 m - mg(y1 – y2)
 ρ ρ
 W = (P1 - P2 ) m - mg(y1 – y2)
 ρ
Conservação de Energia Cinética
 ∆K = 1 m υ22 - 1 m υ12 
2
Tendo em vista que trabalho resultante é igual a variação da energia cinética, podemos escrever
 
 W = ∆K
Onde temos que:
 (P1 - P2 ) m - mg(y1 – y2) = = 1 m υ22 - 1 m υ12 
 ρ 2 2 
Eliminar as massas de ambos os lados e multiplicar toda equação por ρ temos:
 
 
 (P1 - P2 )- ρ g(y1 – y2) = 1 ρ υ22 - 1 ρ υ12 
2
Como 1 e 2 se referem a duas posições quaisquer no tubo de escoamento podemos suprimi-los
 P + 1 ρ υ2 + ρ g y = cte.
 2
Esta equação é chamada de equação de Bernoulli para escoamento estacionário, incompressível e não-viscoso.
OBS:. Em um fluido incompressível e não – viscoso, não podemos alterar a temperatura do fluido por meio mecânico. Por isso a equação de Bernoulli, refere-se a processo isotérmico (em que a temperatura permanece constante).
 
Aplicação da Equação de Bernoulli
P + 1 ( υ2 + ( g( = cte.
 2 
�
Aplicando Bernoulli em ambos os lados 
P1 + 1 ρ1υ12 + ρ1 gy1 = P2 + 1 ρ2υ22 + ρ2 gy2
P1 = P
P = P’
P’ = P2 + ρ’gh