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Mario Reis e Ângelo M.S. Gomes
Introdução aos Conceitos de Física
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CEDERJ
Última versão: 6 de Fevereiro de 2018
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Conteúdo
I Revisão de Matemática 1
1 Operações Matemáticas 3
1.1 Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Soma vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Resposta dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II Eletricidade 17
2 Conceitos básicos 19
2.1 Produção e transmissão da energia elétrica . . . . . . . . . . . 19
2.2 Carga elétrica e processos de eletrização . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Resposta dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Eletrostática: Lei de Coulomb 31
3.1 Força elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Energia potencial elétrica e potencial elétrico . . . . . . . . . . 41
3.4 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
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ii CONTEÚDO
3.6 Resposta dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Corrente elétrica, Leis de Ohm e Potência 51
4.1 Corrente elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Leis de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Primeira Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2 Segunda Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Efeito Joule e suas consequências . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Relação entre as quantidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.7 Resposta dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Circuitos resistivos simples 63
5.1 Efeito de um ‘nó’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Circuitos em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Circuitos em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5 Resposta dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III Física Térmica 75
6 Calor e temperatura 77
6.1 Lei zero da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Escalas termométricas: Celsius, Fahrenheit, Kelvin . . . . . . 78
6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4 Resposta dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Calorimetria 87
7.1 Formas de propagação do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1.1 Irradiação térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1.2 Convecção térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.3 Condução térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2 Calor recebido e suas consequências . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.1 Mudanças de estado da água . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 Equilíbrio térmico entre substâncias . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
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CONTEÚDO iii
7.5 Resposta dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8 Primeira lei da Termodinâmica 99
8.1 Gases ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 Trabalho e energia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.3 Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4 Ciclo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.6 Resposta dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
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Parte I
Revisão de Matemática
1
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OCapı´tulo1Operações Matemáticas
Este capítulo visa dar ao aluno do CEDERJ uma rápida revisão de ma-
temática básica; aquela necessária para acompanhar o curso e não esgota,
absolutamente, o conteúdo do ensino básico e médio. É importante que o
aluno não pule esse capítulo. Se ao final desta revisão o aluno ainda não
estiver certo de que compreendeu tudo, então é aconselhável procurar outras
referências e fazer mais exercícios.
1.1 Frações
Abaixo, iremos apresentar uma série de propriedades que são certamente
conhecidas dos leitores, e que fazem parte desta revisão. Mesmo que o aluno
esteja familiarizado com todas estas regras, aconselhamos a leitura e estudo
sistematizado desta aula até o fim.
1. Uma fração não modifica o seu valor quando o numerador e denomi-
nador são ambos multiplicados ou divididos pelo mesmo número.
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4 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
EXEMPLO
3
4
= 0.75. (1.5)
Multiplicando por 5 o denominador e o numerador, temos:
3×5
4×5 =
15
20
= 0.75. (1.6)
Outro exemplo:
12
6
= 2. (1.7)
Dividindo por 2 o denominador e o numerador, temos:
12÷2
6÷2 =
6
3
→ 6÷3
3÷3 =
2
1
= 2. (1.8)
2. A potência de um número que está no denominador (numerador) de
uma fração troca de sinal quando o número é transferido para o numerador
(denominador) da fração .
EXEMPLO
1
4
= 1× 4−1 = 4−1 (1.16)
3
5
= 3× 5−1 (1.17)
3
5
=
1
3−1 × 5 (1.18)
2
72
= 2× 7−2 (1.19)
2
72
=
1
2−1 × 72 (1.20)
1
10−3
= 1× 103 = 1000 (1.21)
2
105
= 2× 10−5 = 0, 00002 (1.22)
3. Somente podemos somar frações com o mesmo denominador. Caso
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1.2. PLANO CARTESIANO 5
duas frações possuam denominadores diferentes e precisem ser somadas, pre-
cisamos igualar seus denominadores através de operações de multiplicação
e/ou divisão, como no item 1, acima (até que o denominador das frações
estejam todos iguais).
EXEMPLO
1
3
+
3
4
=
1×4
3×4 +
3×3
4×3 =
4
12
+
9
12
=
4 + 9
12
=
13
12
(1.24)
4. Contrariamente ao item anterior, podemos multiplicar diretamente
frações com denominadores diferentes.
EXEMPLO
1
3
× 5
4
=
1× 5
3× 4 =
5
12
(1.26)
1.2 Plano Cartesiano
O Plano Cartesiano foi definido, originalmente, por René Descartes no século
XVII em uma série de obras. Em poucas palavras, tal plano é definido com
duas retas ortogonais que se cruzam, surgindo assim uma origem (zero) de um
sistema de coordenadas. O eixo horizontal (x) é conhecido como abscissa,
enquanto o eixo vertical (y) é conhecido como ordenada. Estes eixos são
‘réguas’ de −∞ até +∞ e, deste modo, podemos definir, marcar, encontrar
qualquer ponto neste plano.
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6 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
EXEMPLO
A figura deste quadro demostra o Plano Cartesiano em questão, bem como
dois pontos no espaço assinalados e reconhecidos sem dificuldades, represen-
tados na notação (x,y).
Plano cartesiano
1.2.1 Vetores
Neste espaço cartesiano podemos representar objetos matemáticos que são de
extrema importância em física: os vetores. Estes objetos possuem módulo
(tamanho), direção e sentido. É preciso cuidado para não confundir estes
dois últimos conceitos, frequentemente mal-interpretados. Estes objetos são
representados com uma seta, onde o tamanho da seta é proporcional ao seu
módulo, o corpo da seta está alinhado com a direção deinteresse e, por fim,
a triângulo da seta aponta o sentido de interesse.
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1.2. PLANO CARTESIANO 7
EXEMPLO
Considere duas cidades: uma no oeste e outra no leste, sendo que tais cidades
são ligadas por uma ponte, onde há um fluxo diário de carros em certo horário;
digamos, da cidade do oeste para a cidade do leste. Podemos, sem problemas,
representar a velocidade média dos carros que trafegam por esta ponte
como um vetor, pois há um módulo (velocidade média do carros), direção
(oeste-leste) e sentido (oeste para leste). Este vetor pode ser representado
pela seta em vermelho no desenho abaixo.
Exemplo prático de um vetor: velocidade média de carros que trafegam por uma
ponte entre duas cidades. Um vetor tem módulo (tamanho), direção (oeste-
leste, por exemplo) e sentido (oeste para leste, por exemplo).
Já sabemos que um vetor representa uma grandeza física que precisa ser
identificada através de três quantidades: módulo, direção e sentido. Sem
dificuldades, podemos agora colocar este vetor no Plano Cartesiano, para
podermos então formalizar a sua escrita, notação e operações. Vamos então
considerar um vetor ~V que parte da origem do sistema de coordenadas do
Plano Cartesiano, conforme demostra a figura 1.1. Este vetor tem projeção
Vx no eixo x e Vy no eixo y; e podemos representá-lo como:
~V = Vxxˆ+ Vyyˆ (1.27)
onde xˆ e yˆ são conhecidos como vetores unitários nas direções x e y, respec-
tivamente.
A partir desta representação gráfica podemos determinar o módulo do
vetor a partir de suas componentes. Note que na figura 1.1, o vetor e suas
componentes formam um triângulo retângulo (basta transladar a componente
y para a direita, até encontrar a ponta da componente x). Utilizando então o
Teorema de Pitágoras, podemos escrever para o módulo do vetor em questão:
V =
√
V 2x + V
2
y (1.28)
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8 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Figura 1.1: Representação de um vetor ~V em um plano cartesiano. Note
suas componentes nos eixos x e y.
onde estamos usando a notação mais simples possível para expressar o módulo
do vetor, ou seja, o módulo é apenas a simples letra que representa o vetor.
É comum encontrarmos o módulo representado como |~V |, mas, por razões
de simplicidade, não iremos utilizar esta notação neste texto.
1.2.2 Soma vetorial
Entretanto, em (quase) todas as situações reais precisamos realizar opera-
ções com vetores; pelo menos uma soma, como será realizada ao longo deste
curso. Por este motivo, esta noção de soma vetorial será introduzida e/ou
relembrada de forma sucinta.
A soma vetorial é bastante simples; e, para isso, precisamos apenas fazer
uma soma simples entre todas as componentes ao longo do eixo x e depois
outra soma simples para todas as componentes ao longo do eixo y.
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1.2. PLANO CARTESIANO 9
EXEMPLO
Vamos somar dois vetores:
~R = ~R1 + ~R2 (1.35)
que iremos escrever como
~R = ~Rxxˆ+ ~Ryyˆ (1.36)
Acima, digamos:
~R1 =1xˆ+ 2yˆ (1.37)
~R2 =2xˆ− 2yˆ (1.38)
Precisamos fazer uma soma simples para cada uma das componentes, resul-
tando em:
Rx = 3 e Ry = 0 (1.39)
Logo, o vetor resultante será:
~R = 3xˆ (1.40)
Há uma maneira de fazermos esta soma: graficamente. Traça-se uma
linha, partindo da ponta de um dos vetores, mas que seja paralela ao outro
vetor. Faz-se o mesmo para o outro vetor. Agora, traça-se um novo vetor,
partindo da origem até o ponto onde estas duas retas se encontram: este é o
vetor soma.
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10 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
EXEMPLO
Vamos fazer a soma vetorial graficamente, utilizando a técnica acima descrita;
mas, para isso, vamos aproveitar os mesmos dados do exemplo anterior (pois
já sabemos o resultado final). Bem, traçamos uma reta paralela a ambos
os vetores, passando pela extremidade destes. Em seguida, criamos um novo
vetor (resultante), partindo da origem até o ponto de interseção das duas retas
criadas: este é o vetor soma. Note que, graficamente, temos um vetor com três
unidades na componente xˆ e zero na componente yˆ - como esperado!
Soma gráfica de vetores.
1.3 Trigonometria
Imagine agora um plano cartesiano onde na origem do sistema de coordenadas
colocamos um círculo de raio unitário, conforme demonstra a figura 1.2. Este
círculo (em vermelho), é conhecido como Círculo Trigonométrico. Podemos
também definir um vetor que ligará a origem do sistema de coordenadas ao
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1.3. TRIGONOMETRIA 11
Figura 1.2: Círculo Trigonométrico.
circulo. Este vetor, naturalmente, será o raio do círculo; e terá comprimento
r = 1. Ainda, este vetor terá projeção xθ no eixo x e projeção yθ no eixo y,
sendo θ o ângulo formado entre o vetor em questão e o eixo x.
Podemos perceber que estas projeções formam um triângulo retângulo
dentro do Círculo Trigonométrico (hachurado em verde na figura 1.2), com
dois catetos (xθ e yθ) e uma hipotenusa (r = 1); bem como um ângulo
interno reto (claro! é um triângulo retângulo) e um outro ângulo, θ. Com
estas informações, podemos definir a função seno e cosseno, dadas por:
sin θ =
cateto oposto
hipotenusa
= yθ (1.41)
e
cos θ =
cateto adjacente
hipotenusa
= xθ (1.42)
Podemos ainda ir além! A partir do Teorema de Pitágoras para aquele tri-
ângulo retângulo podemos escrever:
x2θ + y
2
θ = 1
2 (1.43)
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12 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
e, usando as definições para seno e cosseno (equações 1.41 e 1.42, respectiva-
mente), teremos:
cos2 θ + sin2 θ = 1 (1.44)
sendo esta uma importante relação trigonométrica.
Uma propriedade importante que será usada ao longo do texto é a pari-
dade das funções seno e cosseno. Imagine se tivermos um ângulo negativo
−θ. Parece um pouco estranho, mas não é! Um ângulo negativo significa
que o vetor unitário do Círculo Trigonométrico da figura 1.2 está no quarto
quadrante. Qual a consequência deste ângulo negativo? Para a projeção do
vetor no eixo x, nada mudou; ou seja, para a função cosseno não há alteração.
Porém, para a projeção do vetor no eixo y percebemos que esta tem valor
−yθ. Logo, podemos afirmar o seguinte:
cos(−θ) = cos(θ) (1.45)
sin(−θ) = − sin(θ) (1.46)
ou seja: cosseno é uma função par e seno é uma função impar.
Outra propriedade importante das funções seno e cosseno que serão utili-
zadas ao longo deste texto referem-se a soma de dois ângulos diferentes, mais
precisamente:
sin(θ1 ± θ2) = sin(θ1) cos(θ2)± cos(θ1) sin(θ2) (1.47)
cos(θ1 ± θ2) = cos(θ1) cos(θ2)∓ sin(θ1) sin(θ2) (1.48)
EXEMPLO
Vamos à um exemplo prático, calculando sin(270◦ − 90◦). Ora, a soma destes
ângulos é 180◦ e sin(180◦) = 0. Veja o Círculo Trigonométrico da figura 1.2 e
verifique que a projeção do vetor unitário no eixo y para um ângulo de 180◦ é
realmente zero.
Vamos agora utilizar este exemplo para verificar a consistência matemática da
equação 1.47. Assim:
sin(270◦ − 90◦) = sin(180◦) = 0 (1.52)
= sin(270◦) cos(90◦)− cos(270◦) sin(90◦) (1.53)
= (−1)(0)− (0)(1) = 0 (1.54)
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1.4. EXERCÍCIOS 13
1.4 Exercícios
Exercício 1.1
Resolva as igualdades abaixo:
a)
1
5
+
2
7
= (1.55)
b)
1
2
+
1
3
= (1.56)
c)
2
3
+
1
4
= (1.57)
d)
2
3
× 4
5
= (1.58)
e)
7
3
× 1
6
= (1.59)
f)
1
8
× 3
2
= (1.60)
g)
1
2
− 1 = (1.61)
h) 1 +
1
2
= (1.62)
i) − 3
2
− 3
4
= (1.63)
j) − 2
5
+
3
7
= (1.64)
l)
1
2
− 1
4
= (1.65)
Exercício 1.2
Considere os vetores:
~V1 = 2xˆ+ 2yˆ (1.77)
~V2 = −2xˆ− 2yˆ (1.78)
~V3 = 3xˆ− 3yˆ (1.79)
(1.80)
1. Obtenha, graficamente: ~V1 + ~V2; ~V1 + ~V3 e ~V2 + ~V3
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14 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Tabela 1.1: Complete a tabela abaixo.
θ sin(θ) cos(θ)
30
45
60
0
90
180
270
2. Obtenha, graficamente: (~V1 + ~V2) + ~V3; (~V1+ ~V3) + ~V2 e (~V2 + ~V3) + ~V1.
Os resultados são iguais?
Exercício 1.3
O triângulo retângulo verde hachurado da figura 1.2 tem um ângulo reto
e um ângulo θ. Qual o valor do terceiro ângulo?
Exercício 1.4
Calcule cos(90◦ + 90◦) utilizando a equação 1.48.
Exercício 1.5
Complete a Tabela 1.1. Pense um pouco e preencha os ângulos entre 0◦
e 270◦. Para os valores 30◦, 45◦ e 60◦, faça uma pesquisa.
Exercício 1.6
Calcule as variáveis explícitas nos triângulos da figura 1.3.
Exercício 1.7
Escreva o vetor da figura 1.1 em termos de funções seno e cosseno.
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1.5. RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS 15
Figura 1.3: Problema 1.6.
1.5 Resposta dos exercícios
Solução do exercício 1.1
a)
17
35
(1.66)
b)
5
6
(1.67)
c)
11
12
(1.68)
d)
8
15
(1.69)
e)
7
18
(1.70)
f)
3
16
(1.71)
g) − 1
2
(1.72)
h)
3
2
(1.73)
i) − 9
4
(1.74)
j)
1
35
(1.75)
l)
1
4
(1.76)
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16 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Solução do exercício 1.3
90− θ
Solução do exercício 1.6
Para o triângulo da esquerda, temos: b = c =
√
2; enquanto que para o
triângulo da direita temos: a = 2 e b = 1.
Solução do exercício 1.7
~V = V cos θxˆ+ V sin θyˆ (1.81)
onde θ é o ângulo entre o vetor ~V e o eixo x.
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Parte II
Eletricidade
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Capı´tulo2
Conceitos básicos
Esta primeira aula tem como objetivo fornecer os subsídios necessários para
o desenvolvimento das aulas que seguem. Ao longo da leitura os estudantes
perceberão da importância destes conceitos - vitais para compreensão de
fenômenos elétricos cotidianos e naturais.
2.1 Produção e transmissão da energia elé-
trica
Energia nunca é criada, mas sim transformada! Energia nuclear pode se
transformar em energia térmica, que por sua vez pode ser transformar em
energia elétrica e, até mesmo, em energia mecânica. São várias as formas
que a energia pode assumir e, nesta aula, iremos apenas exemplificar alguns
métodos de transformação da energia em energia elétrica.
Um dos princípios mais básicos é o alternador (representado na figura 2.1),
onde o movimento relativo de imãs permanentes e bobinas condutoras, ou
seja, um fluxo de campo magnético através de bobinas, produz uma corrente
elétrica no circuito da bobina. Neste caso, a corrente elétrica produzida
é alternada, como a que temos em nossa residência. O processo reverso é
encontrado em motores elétricos, ou seja, uma corrente elétrica produzindo
um movimento (energia elétrica sendo convertida em energia mecânica).
Portanto, um dos métodos para conversão de energia (mecânica, no caso),
em energia elétrica, consiste em girar uma turbina que, por sua vez, produ-
zirá uma movimento giratório das bobinas, permitindo um fluxo de campo
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20 CAPÍTULO 2. CONCEITOS BÁSICOS
Figura 2.1: Exemplo de funcionamento de um alternador. Um agente ex-
terno (frequentemente uma turbina), faz girar um conjunto de espiras de um
material condutor que está sob influência de um campo magnético. Esta va-
riação de fluxo de campo magnético produz uma corrente elétrica no circuito
das bobinas.Figura:www.if.usp.br.
magnético através de espiras condutoras. Este é o principio básico de pro-
dução de energia elétrica de uma usina, seja térmica (que coloca a turbina a
mover-se devido a alta pressão de uma caldeira), seja hidroelétrica (que co-
loca a turbina a mover-se devido a queda de água da represa). Veja a figura
2.2 para uma melhor compreensão.
Entretanto, existem outros métodos de produção de energia elétrica, como
é o caso dos processo químicos, como em uma pilha portátil, por exemplo.
Neste caso, há uma transferência de elétrons de um metal com excesso de
elétrons para outro com deficiência, produzindo, assim, uma corrente elétrica;
ou seja, um processo químico produzindo uma corrente elétrica. O processo
de eletrólise é justamente o contrário: uma corrente elétrica favorecendo uma
reação química.
Vale ainda enfatizar alguns efeitos do cotidiano que, com certeza, já per-
cebemos neste processo de transformação de energia. Quando, por exemplo,
ligamos um liquidificador, a energia elétrica é convertida em energia mecâ-
nica para o movimento da hélice; entretanto, existem efeitos secundários,
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2.2. CARGA ELÉTRICA E PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO 21
Figura 2.2: Exemplo de funcionamento de uma usina hidroelétrica, onde a
queda d’água produz um movimento nas turbinas que, por sua vez, produz
um fluxo de campo magnético através de uma bobina condutora, gerando as-
sim uma corrente elétrica - que chega às nossas casas. Figura:www.bbc.com.
como a energia sonora do barulho do aparelho. Outro exemplo é uma lâm-
pada incandescente (que nos dias atuais já é quase raro de se encontrar):
energia elétrica transforma-se em energia luminosa, mas, em contra-partida,
a energia elétrica transmuta-se também em energia térmica, esquentando tal
lâmpada.
Por fim, concluímos que energia sempre se transforma e existem várias
maneiras de obtermos energia elétrica: um conceito indispensável para o
estudo desta aula!
2.2 Carga elétrica e processos de eletrização
Um elétron tem uma carga elétrica negativa no valor de 1.6 × 10−19 Cou-
lomb; enquanto um próton tem uma carga elétrica positiva e de mesmo va-
lor. Átomos, por exemplo, possuem o mesmo número de elétrons e prótons e,
consequentemente, são neutros eletricamente. Por outro lado, íons, que são
átomos com excesso ou deficiência de elétrons, podem ser eletricamente ne-
gativos quando possuem excesso de elétrons e, neste caso, chamam-se ânions
(Cu2− - por exemplo); ou eletricamente positivos quando possuem deficiência
de elétrons e, neste caso, chamam-se cátions (Cu+- por exemplo). O mesmo
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22 CAPÍTULO 2. CONCEITOS BÁSICOS
Figura 2.3: Cargas elétricas positivas e negativas, bem como seus respectivos
campos elétricos. Perceba que as cargas de mesmo sinal criam linhas de
campo atrativas, enquanto cargas elétricas de sinais opostos criam linhas de
campo repulsivas.Figura:http://physics.stackexchange.com.
pode acontecer com materiais, que podem ter uma carga elétrica total posi-
tiva ou negativa, dependendo se possuem excesso ou deficiência de elétrons.
Estas cargas elétricas produzem um campo elétrico e, consequentemente,
uma força elétrica em alguma outra carga que esteja ao seu alcance; sendo
esta força repulsiva para cargas de mesmo sinal e atrativa para cargas de
sinais opostos. Veja figura 2.3.
Existe um experimento tradicional que é a eletrização, por contato, de
um pente de plástico e a atração, por indução, de pequenos pedaços de pa-
pel. Tente fazer: pegue um pente plástico e passe em seu cabelo várias vezes.
Este processo irá eletrizar seu pente; mais precisamente, irá retirar elétrons
do seu cabelo e transferí-los para o pente, que, por sua vez, ficará carregado
negativamente. Aproxime agora o pente de alguns pedaços (bem) pequenos
de papel e perceba que estes pedaços de papel serão atraídos pelo pente. Por
que? O pente está negativamente carregado devido ao atrito com o cabelo,
enquanto o papel está neutro (aproximadamente o mesmo número de elétrons
e prótons). Ao aproximar o pente do papel, os elétrons do papel se acumu-
larão na extremidade do papel mais próxima do pente (que ficará negativa
eletricamente), enquanto a extremidade oposta do papel, consequentemente,
ficará com uma deficiência eletrônica (e, portanto, positiva eletricamente).
Como mencionado acima, há uma força de atração entre cargas elétricas de
sinais opostos e, assim, o pente irá atrair os pedaços de papel. Veja figura
2.4 para uma esclarecimento sobre este processo.
Outro exemplo bastante interessante é o gerador de van der Graph, como
EM
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2.2. CARGA ELÉTRICAE PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO 23
(a) Figura:http://www.vestibular1.com.br/
(b) Figura:http://physics.stackexchange.com.
Figura 2.4: (a) Processo de eletrização por contato (pente-cabelo) e (b)
atração por indução (pente-papel).
EM
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24 CAPÍTULO 2. CONCEITOS BÁSICOS
o da figura 2.5. O princípio de funcionamento é bem simples: uma grande
esfera metálica (A: figura 2.5(b)), é suspensa por um pilar isolante. Den-
tro deste sistema existem dois rolamentos (B e C), ligados entre si por uma
correia de borracha; sendo que o rolamento inferior está ligado à um motor
elétrico. Há ainda dois pentes condutores, que interagem com uma correia
de borracha próximo a cada um dos rolamentos; sendo estes pentes os canais
de acumulação e captura de elétrons. Ainda, o pente da parte superior (E)
está ligado por um fio condutor à esfera metálica e o pente inferior (D) ater-
rado (ligado por um fio condutor à Terra). Há, desta forma, um canal de
drenagem de elétrons da esfera metálica para a Terra, tornando tal esfera po-
sitivamente carregada. Ao entrar em funcionamento, mais e mais elétrons são
transferidos, acumulando cada vez mais cargas positivas na esfera metálica.
Ao tocarmos na esfera metálica compartilhamos este acúmulo de cargas e
tornamo-nos também positivamente carregados. Com isso, o cabelo arrepia-
se, seguindo as linhas de campo de uma carga isolada e carregada, similar a
figura 2.3.
Agora, uma pergunta é bem pertinente: como saber qual material irá
ceder elétrons e qual irá receber? Este efeito de ceder ou receber elétrons
chama-se efeito triboelétrico e depende fortemente do tipo de material, bem
como diversas outras condições, como temperatura, humidade, tipo de su-
perfície e etc. A figura 2.6 ajuda a perceber a natureza destes materiais,
bem como uma comparação entre alguns materiais existentes em condição
ambiente.
Por fim, um conceito que será importante ao longo do estudo deste mó-
dulo, mas que o leitor, no seu dia-a-dia, com certeza conhece: são os iso-
lantes e condutores. Microscopicamente falando, os átomos são constituídos
de prótons, neutrons e elétrons. Estes elétrons podem estar fortemente ou
fracamente ligados ao núcleo e, quando a ligação é muito fraca, é possível
que o material tenha elétrons livres; sendo estes os responsáveis pelo caráter
condutor do material. No caso em que os elétrons estão fortemente ligados ao
núcleo, a princípio, teremos um material isolante, uma vez que tais materiais
não possuam elétrons livres.
Geralmente os metais são materiais condutores; enquanto, por exemplo,
borracha e plástico, são materiais isolantes. É por isso que um fio elétrico
doméstico (aquele que passa por dentro das paredes de nossa casa e chega
até as tomadas), são feitos de cobre (um metal condutor) e encapados com
plástico maleável (para evitar acidentes e curto-circuito).
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2.2. CARGA ELÉTRICA E PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO 25
(a) Figura:http://www.thesciencealliance.com
(b) Figura:http://www.infoescola.com.
Figura 2.5: Gerador van der Graph. Na figura (a) o gerador está em
operação, enquanto na figura (b) apresenta-se detalhes do seu interior, para
melhor compreensão do seu princípio de funcionamento (vide texto).
EM
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26 CAPÍTULO 2. CONCEITOS BÁSICOS
Figura 2.6: Tabela com uma lista de materiais triboelétricos e suas respecti-
vas capacidades de ceder ou capturar elétrons.
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2.3. EXERCÍCIOS 27
2.3 Exercícios
Exercício 2.1
Descreva o processo de geração de energia elétrica em uma usina hidroelé-
trica.
Exercício 2.2
Quais são as polaridades das cargas elétricas?
Exercício 2.3
É possível modificar a carga elétrica total de um sistema isolado?
Exercício 2.4
Um bastão de acrílico foi atritado com um pedaço de seda e ficou ele-
trizado negativamente. Um estudante descreveu o processo, dizendo que o
corpo recebeu prótons, retirados da seda. Você concorda com essa descrição?
Exercício 2.5
Um bastão de PVC foi atritado com lã, adquirindo cargas elétricas nega-
tivas. A lã ficou eletrizada? Em caso afirmativo, qual é o sinal da carga da
lã?
Exercício 2.6
Um bastão é atraído por outro bastão eletrizado com cargas elétricas
positivas. Qual é o tipo da carga elétrica do bastão que foi atraído?
Exercício 2.7
Existe um experimento bastante simples para verificarmos a eletricidade
estática: o Eletroscópio de Folhas. Faça este experimento em casa, pois os
materiais envolvidos são muito simples.
1. Pegue uma folha de papel alumínio (cerca de 50 cm), e amasse-a,
virando-a sempre para dentro, de forma a ter uma ‘bolinha’ com cerca
de 2-3 cm de diâmetro. Guarde a ‘bolinha’.
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28 CAPÍTULO 2. CONCEITOS BÁSICOS
2. Pegue um fio de eletricidade rígido com cerca de 20 cm e retire o plás-
tico protetor das extremidades (2 cm de cada lado). Em uma das
extremidades, faça tipo um pequeno ‘anzol’. Guarde.
3. Pegue um frasco plástico limpo (tipo maionese) e faça um furo na
tampa, para passar o fio. Guarde.
4. Faça dois retângulos de papel alumínio, com 1x2 cm cada; sendo que
uma das extremidades de cada retângulo terá um furo. Guarde.
5. Vamos agora começar a juntar todos os materiais:
(a) Passe o fio pelo furo do frasco plástico, de forma que fique metade
do fio para fora (o ‘anzol’ ficará para dentro do frasco). Cole-o
(pode ser ‘superbonder’).
(b) Pendure no fio rígido (no ‘anzol’), os dois retângulos de papel
alumínio (que ficará no interior do frasco plástico).
(c) Na extremidade oposta do fio, ou seja, na parte exterior, coloque
a bola de papel alumínio.
(d) Feche o frasco plástico.
6. Está pronto o Eletroscópio!
7. Aproxime objetos metálicos e isolantes da esfera metálica. Encoste seu
dedo. Faça alguns testes. Descreva suas observações.
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2.4. RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS 29
2.4 Resposta dos exercícios
Solução do exercício 2.1
A água represada em um reservatório é deixada cair por uma tubulação,
fazendo, no meio do caminho, rotacionar uma bobina de cobre que está cir-
cundado por um super imã, induzido assim uma corrente elétrica nesses fios;
ou seja, há transformação de energia potencial (queda da aguá) em energia
mecânica (rotação do imã), seguida pela transformação de energia mecânica
em energia elétrica (indução do movimento de cargas nos fios).
Solução do exercício 2.2
Existem duas polarizações de cargas elétricas: as cargas elétricas posi-
tivas e as negativas; e estas polarizações dependem dos materiais que são
friccionados, de acordo com a tabela de materiais triboelétricos (vide texto).
Solução do exercício 2.3
O princípio da conservação da carga elétrica diz que, em um sistema
isolado, a carga elétrica total do sistema se conserva.
Solução do exercício 2.4
Quando um corpo é atritado, os elétrons de um corpo são transferidos
para outro corpo. Logo, a descrição do aluno está incorreta. O bastão de
acrílico ficou positivo porque ele perdeu elétrons.
Solução do exercício 2.5
A lã ficou eletrizada porque, pelo princípio da conservação da carga elé-
trica, se o bastão de PVC recebeu elétrons, eles foram retirados da lã. Logo,
a lã ficou com carga elétrica positiva.
Solução do exercício 2.6
Um bastão eletrizado com cargas positivas pode atrair um bastão neutro
e um bastão com cargas elétricas negativas. Logo, neste caso, não podemos
concluir qual é o tipo de carga elétrica do bastão que foi atraído. Para desco-
brir o tipo de carga elétrica que existe no bastão que foi atraído, é necessário
colocá-lo na presença de outro bastão com cargas elétricas negativas. Se ele
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30 CAPÍTULO 2. CONCEITOS BÁSICOS
continuar a ser atraído, ele é neutro. Se ele for repelido, a sua carga elétrica
é negativa.
Solução do exercício 2.7
EM
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Capı´tulo3
Eletrostática: Lei de Coulomb
3.1Força elétrica
Nesta aula será discutido o conceito da Lei de Coulomb, peça fundamental
para o estudo mais aprofundado (e desenvolvimento matemático) da força
elétrica entre cargas, bem como o desenvolvimento do conceito de campo
elétrico.
Começamos então por enunciá-la: A magnitude da força eletrostática en-
tre duas cargas pontuais é diretamente proporcional a multiplicação do valor
das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.
Ainda, Coulomb também percebeu que a força entre duas cargas elétricas é
atrativa se as cargas possuem polaridades opostas e repulsivas para cargas
de mesma polaridade. A figura 3.1 ajuda a esclarecer esta lei.
Matematicamente, podemos escrevê-la como:
F ∝ q1q2
r2
(3.1)
onde q1 e q2 representam os valores das cargas elétricas 1 e 2, respectivamente,
e r é a distância entre as cargas. Entretanto, o lado esquerdo da equação
acima possui dimensão de força∗, enquanto o lado direito possui dimensão de
C2/m2† Portanto, precisamos de uma constante para tornar a equação acima
∗No Sistema Internacional de Unidades (SI), força é medida em Newtons, representada
pela letra N. Um Newton equivale à um kg.m/s2, onde kg (103 gramas) é unidade de
massa, m (metro) é unidade de comprimento e s (segundo) é unidade de tempo.
†No SI, carga elétrica tem dimensão de Coulomb, representada pela letra C.
31
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32 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
Figura 3.1: Força elétrica entre cargas pontuais com diferentes polaridades
(figura superior) e mesma polaridade (figura inferior).
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3.1. FORÇA ELÉTRICA 33
uma igualdade e, ainda, igualar as dimensões dos dois lados da equação. Esta
constante é conhecida como Constante de Coulomb k = 8.99× 109 Nm2/C2,
de tal forma que podemos re-escrever a equação 3.1 como:
~F = k
q1q2
r2
rˆ (3.2)
onde rˆ é um vetor unitário na direção radial - análogo áqueles da equação
1.27.
Perceba que na equação acima, além de transformar a proporcionalidade
em igualdade, escrevemos a Lei de Coulomb na forma vetorial, uma vez que
a força é uma quantidade física vetorial.
Vamos agora entender um pouco mais sobre esta Lei na sua forma ve-
torial‡. Imaginemos que q1 está na origem do sistema de coordenadas car-
tesianas e q2 à uma distância r. Vamos supor também que as duas cargas
possuem a mesma polaridade (ou ambas positivas ou ambas negativas) -como
na figura 3.1-inferior. Neste caso, a força que a carga 1 exerce na carga 2, ou
seja, F12 será positiva e apontará ao longo do vetor unitário rˆ:
~F12 = k
q1q2
r2
rˆ (3.3)
Pela terceira Lei de Newton§, a força elétrica que a carga 2 exercerá na carga
1, ou seja, F21, terá sentido oposto:
~F21 = −kq1q2
r2
rˆ (3.4)
Exercite seu raciocínio e escreva as forças envolvidas no caso de cargas
com diferentes polaridades (como na figura 3.1-superior).
Até agora discutimos a força existente entre duas cargas pontuais; mas,
e quando houverem mais cargas: três, quatro e etc? Existe um conceito,
denominado de princípio de superposição, que diz: a força entre duas cargas
pontuais não é alterada pela presença de uma terceira; mas, nitidamente,
a força resultante será alterada. Em outras palavras, para calcular a força
elétrica em uma carga pontual, devido à N outras cargas, o que devemos
fazer é calcular a força par-à-par e depois somar vetorialmente todas as forças
atuantes na carga de interesse.
‡Uma revisão sobre vetores foi feita no Capítulo I.
§Quando um corpo exerce uma força em um segundo corpo, este segundo corpo si-
multaneamente exerce uma força igual em magnitude e em sentido oposto na direção do
primeiro corpo.
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34 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
EXEMPLO
Vamos à um exemplo prático (veja figura deste quadro): três cargas elétricas,
sendo duas (q1 e q2) de mesma polaridade e a terceira (q3) de polaridade
oposta, dispostas nos vértices de um triângulo isósceles (três lados iguais, com
comprimento d; e cada ângulo interno com 60◦). Vamos ainda considerar que
todas as cargas possuem o mesmo módulo, ou seja, |q1| = |q2| = |q3| = q. Uma
vez que a distância entre as cargas é a mesma para todos os pares e, ainda,
todas as cargas tem o mesmo módulo, logo, podemos afirmar que o módulo da
força que a carga i exerce na carga j será:
|~Fij| = Fij = F = k q
2
d2
(3.6)
Princípio de superposição: a força elétrica resultante em uma carga pontual
devido à interação com várias outras cargas é feita par-à-par, seguindo a
equação 3.3 e, depois, faz-se a soma vetorial das forças envolvidas.
Entretanto, esta é a força elétrica que cada carga exerce em sua vizinha;
e para obter a força resultante em cada carga, ou seja, ~Fr1, ~Fr2 e ~Fr3,
precisamos fazer uma soma vetorial. Vamos fazer um passo-a-passo; e,
para começar, vamos calcular a força resultante na carga 1. Para isso, preci-
samos calcular as forças independentes que atuam nesta carga, ou seja, ~F21 e
~F31. Começando pela força que a carga 2 exerce na carga 1:
EM
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3.1. FORÇA ELÉTRICA 35
~F21 = F21 cos(60
◦)xˆ+ F21 sin(60◦)yˆ (3.12)
=
F
2
(xˆ+
√
3 yˆ)
Analogamente, podemos também escrever a força que a carga 3 exerce na carga
1:
~F31 = F31 cos(−60◦)xˆ+ F31 sin(−60◦)yˆ (3.13)
=
F
2
(xˆ−
√
3 yˆ)
Pense um pouco sobre os ângulos envolvidos, bem como os respectivos senos
e cosenosa. Agora, podemos facilmente obter o vetor resultante; e, para isso,
precisamos fazer uma soma vetorial:
~Fr1 = ~F21 + ~F31 (3.15)
=
F
2
(xˆ+
√
3 yˆ) +
F
2
(xˆ−
√
3 yˆ)
= F xˆ
e, consequentemente, o módulob deste vetor é |~Fr1| = Fr1 = F .
aLembre-se que, conforme discutido no Capítulo I, um vetor qualquer ~A pode ser escrito
em termos de suas componentes:
~A =
Ax︷ ︸︸ ︷
| ~A| cos θ xˆ+
Ay︷ ︸︸ ︷
| ~A| sin θ yˆ (3.14)
onde θ é o ângulo formado entre o vetor e o eixo x.
bLembre-se que, conforme discutido no Capítulo I, o módulo de um vetor qualquer ~A
pode ser escrito como:
| ~A| = A =
√
A2x +A
2
y (3.16)
EM
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36 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
Vamos agora ao cálculo da força resultante na carga 2. Para isso, precisamos
das contribuições ~F32 e ~F12 que podem ser calculadas de maneira análoga à
anterior. Assim:
~F32 = F cos(0)xˆ+ F sin(0)yˆ (3.23)
= Fxˆ
e
~F12 = F cos(−90− 30)xˆ+ F sin(−90− 30)yˆ (3.24)
= −F
2
(xˆ+
√
3yˆ)
Note que, como esperado, ~F12 = −~F21. Novamente recomendamos que o leitor
pense um pouco sobre os ângulos envolvidos no problema. A força resultante
pode agora ser obtida:
~Fr2 = ~F32 + ~F12 (3.25)
= Fxˆ− F
2
(xˆ+
√
3yˆ)
=
F
2
(xˆ−
√
3yˆ)
Consequentemente, o módulo deste vetor será:
|~Fr2| = Fr2 =
√(
F
2
)2
(1 + 3) = F (3.26)
Por fim, podemos agora calcular a força resultante na carga 3, a única
de polaridade diferente. Para facilitar podemos obter as contribuições de in-
teresse, ou seja, ~F13 e ~F23, pela Terceira Lei de Newton, ou seja, ~F13 = −~F31 e
~F23 = −~F32. Assim:
~F23 = −Fxˆ (3.27)
e
~F13 =
F
2
(−xˆ+
√
3 yˆ) (3.28)
EM
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3.2. CAMPO ELÉTRICO 37
Logo, o vetor resultante será:
~Fr3 =
F
2
(−3xˆ+
√
3yˆ) (3.31)
e, consequentemente, seu mólulo:
|~Fr3| = Fr3 =
√(
F
2
)2
(9 + 3) =
√
3F (3.32)
Vamos pensar um pouco sobre este resultado e avaliar se é razoável.
Temos três cargas em posições simétricas, sendo que duas com mesma polari-
dade e a terceira com polaridade diferente. Verificamos que o força resultante
na carga 3, com polaridade diferente das cargas 1 e 2, é maior que a força
resultante nas cargas 1 e 2. Isso é esperado, uma vez que existem duas cargas
(1 e 2), atraindo a carga 3. Ainda, verificamos, como pode ser visto na figura
deste quadro, que a força que atua na carga 3 aponta para o ponto médio entreas cargas 1 e 2. Este fato também é razoável e esperado. Quanto as forças que
atuam nas cargas 1 e 2, verificamos que estas apontam obliquamente, de modo
a ter uma componente atrativa para a carga 3 e repulsiva para suas vizinhas de
mesma polaridade. Portanto, todo o resultado obtido é fisicamente aceitável.
3.2 Campo elétrico
Discutimos na seção anterior o conceito de força elétrica. Entretanto, para
aquela discussão foi preciso no mínimo duas cargas elétricas para termos uma
força dada pela equação 3.2. Mas, o que gera esta força sem contato mecânico
entre as cargas envolvidas? Para responder à esta pergunta, precisamos
introduzir o conceito de campo elétrico, sendo este o agente responsável pela
existência da força elétrica entre duas cargas. Mais precisamente, a força
elétrica que uma carga elétrica q sente é dada pelo valor da sua carga vezes
o campo elétrico à qual está submetida, ou seja:
~F = q ~E (3.33)
onde, naturalmente, o campo elétrico terá dimensão de N/C¶. Ora, compa-
rando as equações 3.2 e 3.33 podemos escrever uma expressão para o campo
¶O campo elétrico também pode ser expresso em V/m (Volt/metro).
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38 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
elétrico gerado por uma carga pontual:
~E = k
q
r2
rˆ (3.34)
Note que para uma carga elétrica pontual e positiva, o vetor campo elétrico
é radial e aponta ‘para fora’; enquanto para uma carga negativa, este vetor
também é radial, porém, aponta ‘para dentro’. A figura 2.3 ilustra esta
situação. Com esta ilustração e a equação acima, deixamos para o leitor
pensar: qual valor de campo elétrico ao longo de um círculo de raio r que
contém uma carga pontual (positiva ou negativa) no seu centro?‖
Entretanto, o que acontece com o campo elétrico quando existem duas ou
mais cargas pontuais? Assim como fizemos com a força, podemos fazer agora
com o campo elétrico, que deve ser somado vetorialmente no ponto espacial
de interesse. Vamos, antes de fazer uma análise quantitativa, realizar uma
analise qualitativa para o caso de apenas duas cargas. Ora, sabemos que o
campo elétrico ‘entra’ em uma carga negativa e ‘sai’∗∗ de uma carga positiva.
Neste caso, quando temos duas cargas pontuais próximas, mas de sinais
opostos, o campo elétrico irá ‘sair’ da posição de uma e ‘entrar’ na posição da
outra. Logo, através desta leitura, podemos entender o mecanismo que rege a
atração de cargas elétricas de polaridades opostas. Veja novamente a figura
2.3. Imaginemos agora duas cargas de mesma polaridade (ou positiva ou
negativa). Neste caso, o campo elétrico das duas cargas positivas (negativas)
estarão ‘saindo’ (‘entrando’) ocorrendo assim um ‘confronto’ deste campo
vetorial justamente entre as cargas; e, por isso, podemos agora compreender
a repulsão de cargas de mesma polaridade. Veja, mais uma vez, a figura 2.3.
Para finalizar esta análise semi-quantitativa, deixamos para o leitor pensar
‖Temos certeza que leitor respondeu que ao longo de um círculo de raio r teremos
sempre o mesmo valor de campo elétrico:
| ~E| = E = k q
r2
(3.35)
Estes círculos, para o caso de uma carga pontual, são as equipotenciais, ou seja, aquela
linha (ou superfície) onde sempre temos o mesmo valor de campo elétrico. Note que neste
caso temos um círculo pois estamos tratando de uma carga pontual, mas as linhas (ou
superfícies) equipotenciais são aquelas que tem um mesmo valor de campo elétrico.
∗∗Enfatizamos veemente que os termos utilizados ‘entrar’/‘para dentro’ e ‘sair’/‘para
fora’ são de cunho didático; e representam, mais formalmente, o sentido do campo elé-
trico em questão: ‘sair’/‘para fora’ corresponde à +rˆ, enquanto ‘entrar’/‘para dentro’
corresponde à −rˆ.
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3.2. CAMPO ELÉTRICO 39
sobre o perfil do campo elétrico que existe no exemplo da seção anterior (veja
a figura do quadro correspondente, na página 34 - faça um esboço das linhas
de campo). Sem fazer contas elaboradas, qual será o valor do campo elétrico
na posição de cada uma das cargas?
EXEMPLO
Uma vez que temos agora uma compreensão qualitativa e semi-quantitativa
do campo elétrico devido a cargas pontuais, vamos avançar e fazer algumas
contas; e, para isso, vamos calcular o campo elétrico no ponto médio entre as
cargas 1 e 3 da página 34. Veja, para melhor uma compreensão, a figura deste
quadro.
Diagrama com três cargas de mesmo módulo e diferentes sinais (cargas 1 e 2
positivas e carga 3 negativa), repousando sobre os vértices de um triângulo
isósceles. A proposta é calcular o campo elétrico no ponto médio entre as
cargas 1 e 3.
Para solução deste problema, devemos resolvê-lo assim como fizemos com o
exercício similar para a força elétrica, onde calculamos a força de cada carga
e depois as somamos vetorialmente. Vamos, para este problema, considerar as
cargas 1 e 2 positivas e a carga três negativa.
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40 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
O campo elétrico gerado pela carga 1 no ponto de interesse é então:
~E1 = E1 cos(−60◦)xˆ+ E1 sin(−60◦)yˆ (3.42)
=
E1
2
(xˆ−
√
3yˆ)
onde
E1 = | ~E1| = k q
(d/2)2
= 4k
q
d2
(3.43)
é o módulo do vetor campo elétrico devido a carga 1 no ponto de interesse.
Assim como fizemos no exercício anterior, deixamos para o leitor pensar sobre
os ângulos envolvidos no problema. Note ainda que q1 foi definida acima como
positiva e, portanto, o campo elétrico ‘sai’ da posição de onde está a carga.
Analogamente, podemos calcular a contribuição de campo elétrico da carga 3
no ponto de interesse. Uma vez que a carga 3 é negativa, o campo elétrico
‘entra’ na posição desta carga e, assim:
~E3 = E3 cos(−60◦)xˆ+ E3 sin(−60◦)yˆ (3.44)
=
E3
2
(xˆ−
√
3yˆ)
onde E3 = E1, uma vez que |q3| = |q1| e a distância da carga 3 ao ponto
de interesse é a mesma da carga 1 até tal ponto. Portanto: ~E1 = ~E3, como
demostrado na figura deste quadro. Precisamos agora calcular a contribuição
do campo elétrico devido a carga 2 no ponto de interesse. Analogamente aos
casos anteriores, temos:
~E2 = E2 cos(30
◦)xˆ+ E1 sin(30◦)yˆ (3.45)
=
E2
2
(
√
3xˆ+ yˆ)
onde
E2 = | ~E2| = k q
a2
(3.46)
Porém, qual o valor de a? Pense um pouco, mas é fácil verificar que
a =
√
3
2
d (3.47)
EM
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3.3. ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO41
e, assim:
E2 =
4
3
k
q
d2
=
E1
3
(3.51)
Logo, podemos determinar o valor do campo elétrico devido a carga 2 no ponto
de interesse em termos de E1:
~E2 =
E1
6
(
√
3xˆ+ yˆ) (3.52)
Agora, para obtermos o campo elétrico final, precisamos somar as con-
tribuições obtidas:
~Er = ~E1 + ~E2 + ~E3 (3.53)
= 4k
q
d2
[(
1 +
√
3
6
)
xˆ+
(
−
√
3 +
1
6
)
yˆ
]
3.3 Energia potencial elétrica e potencial elé-
trico
Sabemos, conforme discutido anteriormente, que cargas elétricas de mesma
polaridade se repelem e cargas com polaridades diferentes se atraem. Por-
tanto, para mantermos duas cargas pontuais próximas e fixas (como na figura
3.1), uma certa quantidade de energia deve ser gasta para mantê-las nestas
posições inertes - pois sabemos que tais cargas querem se aproximar ou se
afastar, dependendo de suas respectivas polaridades. Quanto de energia pre-
cisamos para manter as cargas em tais posições? A energia potencial elétrica
para uma carga q2, devido a presença de outra carga q1, pode ser escrita
como:
U12 = k
q1q2
r
(3.54)
Este caso é análogo ao caso mecânico, onde uma partícula de massa m arma-
zena uma energia potencial mecânica mgh quando elevada à uma altura h
em um campo gravitacional com aceleração g. Entretanto, como sabemos do
caso macânico, o que importa na verdade não é o valor absoluto da energia,
mas sim sua variação. No caso mecânico citado acima, há um referencial que,
na maioria das vezes, é o solo; e a altura h representa a distância deste até
EMRE
DA
ÇÃ
O
42 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
a partícula de interesse. No caso elétrico de duas cargas pontuais considera-
mos o referencial um ponto no infinito, ou seja, quando as duas cargas estão
‘infinitamente’ afastadas. Portanto, a variação de energia potencial elétrica
é dada, para este caso, por:
∆U12 = Ur − U∞ (3.55)
= kq1q2
(
1
r
− 1∞
)
= k
q1q2
r
= U12
Com a analogia entre eletricidade e mecânica acima descrita podemos
afirmar, sem dificuldades, que as cargas elétricas movem-se de forma a mi-
nimizar sua energia potencial. Vejamos. Caso as cargas tenham mesma
polaridade, isso implicará em U12 ≥ 0 e o mínimo de energia será U12 = 0.
Entretanto, para que isso aconteça, precisamos que r → ∞, ou seja, as car-
gas se afastam/repelem. Por outro lado, se as cargas possuem polaridades
diferentes, isso implica em U12 ≤ 0 e o mínimo de energia será U12 → −∞.
Entretanto, para que isso aconteça, precisamos que r → 0, ou seja, as cargas
se aproximam/atraem.
Podemos também definir o potencial elétrico, que é a capacidade de uma
carga q1 atrair ou repelir uma outra carga, sendo esta quantidade (escalar)
dada por:
V1 = k
q1
r
(3.56)
Naturalmente, há uma relação do potencial elétrico com a energia potencial
elétrica, sendo esta:
V1 =
U12
q2
(3.57)
Nas seções anteriores discutimos qualitativamente e quantitativamente
os conceitos de força elétrica e campo elétrico; e agora estamos discutindo
os conceitos de energia potencial elétrica e potencial elétrico. Naturalmente
há uma relação entre estas quantidades, que, matematicamente, são de fácil
dedução (verifique):
U12 = F12r [Joule] (3.58)
U12 = E1q2r [Joule] (3.59)
V1 = E1r [Volts] (3.60)
EM
RE
DA
ÇÃ
O
3.3. ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO43
onde F12 é o módulo da força entre as duas cargas q1 e q2 e E1 representa o
módulo do campo elétrico produzido pela carga q1. Acima, entre colchetes,
as unidades, no SI, para cada quantidade física discutida.
Vamos colocar as ideias em ordem. Considere uma única carga q1. Pode-
mos falar de campo elétrico? A resposta é sim, pois apenas uma única carga
é capaz de criar um campo elétrico ao seu redor; e no caso de uma carga pon-
tual, será um campo radial, como na figura 3.2. Podemos, entretanto, falar
de força elétrica? Não. Simplesmente pois o conceito de força elétrica exige
a presença de, no mínimo, duas cargas. O mesmo podemos afirmar para o
conceito de energia potencial elétrica, que representa o custo energético de
termos duas cargas elétricas próximas. E quanto ao conceito de potencial
elétrico? Sim. Uma única carga elétrica define um potencial elétrico, que vai
diminuindo a medida que vamos nos afastando de tal carga, assim como o
módulo do campo elétrico. Veja da equação 3.60: o potencial elétrico (que é
escalar), depende do módulo do campo elétrico e tem suas superfícies equipo-
tenciais radiais à tal carga. Veja a figura 3.2 para uma melhor compreensão
do que estamos discutindo.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
44 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
Figura 3.2: Linhas equipotenciais (círculos concêntricos) e de campo elétrico
(radiais) referente a uma carga elétrica pontual.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
3.3. ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO45
EXEMPLO
Vamos considerar duas placas carregadas e paralelas, separadas por uma dis-
tância d = 1 cm, como na figura deste quadro. Entre estas placas existe uma
partícula carregada de massa m = 1 mg e carga q = 100 µC e que encontra-se
suspensa e em repouso, devido ao equilíbrio entre as forças gravitacional e elé-
trica. Pergunta-se: qual o valor do potencial elétrico V para que esta situação
se sustente?
Uma partícula com carga +q e massa m em equilíbrio gravitacional-elétrico
entre placas paralelas carregadas. Qual o valor de potencial elétrico V para
que esta situação se sustente?
Ora, a força gravitacional será dada por mg, enquanto a força elétrica será qE
- mas note que estas forças terão sentidos opostos. Uma vez que a partícula
está em equilíbrio (repouso), as duas forças são iguais:
qE = mg (3.64)
Podemos reescrever a equação acima como
q
V
d
= mg (3.65)
uma vez que o potencial elétrico V está associado ao campo elétrico através da
equação 3.60. Logo, o potencial necessário para sustentar esta situação será:
V =
mgd
q
(3.66)
Coloque os valores numéricos sugeridos e verifique que V = 100 µV.
Daqui para frente iremos trabalhar com esta quantidade: o potencial
EM
RE
DA
ÇÃ
O
46 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
elétrico; e, de fato, esta é a grandeza mais conveniente, tanto que nos é de
uso familiar e conhecido. Nas próximas aulas iremos discutir os conceitos de
corrente elétrica, resistência elétrica de materiais, circuitos elétricos e suas
propriedades.
3.4 Capacitância
Na sequência do exemplo anterior, podemos falar de um importante elemento,
que está presente na eletrônica, biologia, geologia e no nosso cotidiano: são os
capacitores, que, na verdade, são ‘acumuladores de cargas’. Estes elementos,
que podem ser representados, idealmente, como as placas paralelas da figura
do exemplo anterior, são caracterizados por uma capacitância:
C =
Q
V
(3.67)
onde Q é a carga total acumulada nas placas e V o potencial elétrico (má-
ximo) associado. No SI, a unidade que mede capacitância é o Faraday=Coulomb/Volt
(F).
Este diagrama de placas paralelas do exemplo anterior é uma situação
particular e outras geometrias simétricas, como cilindros concêntricos, por
exemplo, são muito utilizadas em circuitos elétricos. Entretanto, outras si-
tuações menos simétricas existem na Natureza. Podemos citar uma nuvem
pronta a descarregar um raio. Neste caso, temos um capacitor gigantesco:
a terra funciona como uma das placas (tendo polarização ou positiva ou ne-
gativa - depende de várias condições), e a nuvem a outra placa (sendo esta
bipolarizada: positiva-negativa). Portanto, este acúmulo de cargas em siste-
mas físicos, geológicos, biológicos e outros, pode sempre acontecer; e sempre
teremos uma capacitância associada.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
3.4. CAPACITÂNCIA 47
EXEMPLO
Qual é a capacitância de um condutor esférico de raio R com carga Q dis-
tribuída na superfície? O potencial elétrico para este sistema no interior do
material (e na superfície), é:
V =
kQ
R
(3.70)
sendo este o potencial que devemos usar para o calculo da capacitância. Por
que? Simples: este é o máximo potencial que as cargas conseguem produzir
e, como o significado físico da capacitância quantidade sugerea, precisamos
averiguar os valores máximos das quantidades físicas produzidas por estas
cargas. Levando a equação acima na definição proposta para a capacitância,
chegamos à:
C =
R
k
(3.71)
onde k é a constante de Coulomb. Percebemos então que a capacitância de-
pende apenas de fatores geométricos; como intuitivamente deveríamos encon-
trar, uma vez que esta quantidade mede a capacidade de um sistema em ar-
mazenar cargas elétricas.
aCapacitância é, na realidade, a capacidade que um sistema tem em armazenar cargas
elétricas.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
48 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
Figura 3.3: Desenhe o diagrama de forças na carga central de cada diagrama.
3.5 Exercícios
Exercício 3.1
Força elétrica é uma grandeza vetorial ou escalar?
Exercício 3.2
Como varia a força elétrica em função da distância entre cargas?
Exercício 3.3
A intensidade da força elétrica depende do meio onde as cargas estão
localizadas?
Exercício 3.4
Desenhe na figura 3.3 o diagrama de forças na carga central. Todas as
cargas possuem o mesmo valor de carga elétrica, porém, as cargas azuis são
positivas e a verde negativa. O que o leitor pode esperar?
Exercício 3.5
EM
RE
DA
ÇÃ
O
3.6. RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS 49
Considere 2 cargas,Q1 e Q2, ambas no vácuo e separadas por uma dis-
tância de 1 metro. Determine a intensidade da força elétrica que uma carga
exerce na outra. Determine agora a intensidade da força elétrica se a dis-
tância entre as cargas é aumentada em 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, 7x, 8x, 9x e 10x.
Por fim, em um papel milimetrado, faça o gráfico da força elétrica em função
da distância para os resultados anteriores e verifique o comportamento da lei
física em questão.
Exercício 3.6
Considere 2 cargas: Q1 = 1µC e Q2 = −2µC, ambas no vácuo e separa-
das por uma distância de 0,3 metros. Determine em qual posição deve ser
colocada um terceira carga Q3 de tal forma que a força elétrica resultante
sobre ela seja nula.
Exercício 3.7
(UFPE-2002) Uma nuvem eletrizada está situada a 1000 m de altura,
paralelamente à superfície da Terra, formando com esta um capacitor plano
de 15 nF. Quando o campo elétrico no ar (entre a nuvem e a Terra) atinge o
valor de 3× 106 N/C, ocorre um relâmpago. Calcule a carga elétrica, em C,
que se encontrava armazenada na nuvem, no instante da descarga elétrica.
Exercício 3.8
Calcule a capacitância de um capacitor de placas paralelas. Considere
que uma placa, de área A, tenha carga +Q e a outra placa, de mesma área,
tenha carga −Q, estando estas separadas por uma distância d.
3.6 Resposta dos exercícios
Solução do exercício 3.1
Força elétrica é uma grandeza vetorial, ou seja, é necessário especificar
sua intensidade, direção e sentido.
Solução do exercício 3.2
Força elétrica diminui com o quadrado da distância entre as cargas.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
50 CAPÍTULO 3. ELETROSTÁTICA: LEI DE COULOMB
Solução do exercício 3.3
Sim, essa dependência aparece na Lei de Coulomb através da constante
k, também chamada de constante de Couloumb.
Solução do exercício 3.7
45 C
EM
RE
DA
ÇÃ
O
Capı´tulo4
Corrente elétrica, Leis de Ohm e
Potência
4.1 Corrente elétrica
Nas aulas anteriores estudamos, brevemente, a eletrostática; ou seja, as pro-
priedades físicas das cargas elétricas quando estas estão estacionadas em
determinadas posições do espaço. Entretanto, os elétrons podem mover-se
pelo material; e tal movimento denomina-se, como sabemos, corrente elétrica.
Tecnicamente, a corrente elétrica i é a quantidade de carga ∆q que atravessa
uma determinada unidade de área por unidade de tempo ∆t, ou seja:
i =
∆q
∆t
(4.1)
No SI, corrente elétrica tem unidade de Ampére, designada pela letra A.
Sabemos também do nosso cotidiano que, microscopicamente, alguns ma-
teriais tem maior (ou menor) facilidade para conduzir estes portadores de
cargas, ou seja, eletricidade. Metais conduzem elétrons com mais eficiência
que semi-metais; que, por sua vez, conduzem com mais eficiência que iso-
lantes; que, por sua vez, não conduzem! Existem casos extremos, como os
supercondutores, que somente existem em temperaturas extremamente bai-
xas, como somente em temperaturas da ordem de -135 ◦C; e, nestes casos, a
condução de elétrons é perfeita, sem nenhum tipo de perda.
51
EM
RE
DA
ÇÃ
O
52CAPÍTULO 4. CORRENTE ELÉTRICA, LEIS DE OHM E POTÊNCIA
Faça uma pesquisa para saber quais são os tipos de perdas possíveisa.
aDica: efeito Joule, radiação e etc.
4.2 Leis de Ohm
4.2.1 Primeira Lei de Ohm
A partir do que conhecemos e foi relembrado acima podemos então enunciar
a primeira Lei de Ohm: para um determinado sistema a tensão V sobre ele
aplicada será proporcional a corrente que por ele atravessa; e esta constante
de proporcionalidade será sua resistência elétrica R, que o caracterizará. Ma-
tematicamente, podemos escrever:
V = Ri (4.2)
A figura 4.1 ajudará a entender esta relação linear. Portanto, a resistência R
do sistema caracteriza o material, sendo única. Se dobrarmos a tensão apli-
cada sobre este objeto, teremos o dobro de corrente; se triplicarmos a tensão,
teremos o triplo de corrente; e assim por diante. A título de curiosidade,
existem os sistemas não-ohmicos, como os semi-condutores, base de toda a
eletrônica moderna, onde a relação V vs i não é linear; mas este assunto está
absolutamente longe do objetivo deste texto. Por fim, a resistência elétrica
de um sistema tem, no SI, unidade de Ohm (=V/A), representada pela letra
grega Omega Ω.
EXEMPLO
Vamos à um exemplo simples: um chuveiro elétrico! Um determinado fabri-
cante especifica na embalagem que tal produto deve ser ligado à tomada de
220 V, bem como a resistência elétrica do aparelho é de 11 Ohms. Com base
na primeira lei de Ohm, qual o valor da corrente elétrica que flui através desta
resistência? Bem, este raciocínio é relativamente simples. Usando a equação
4.2, temos: i = 20 A.
Nessa parte de eletricidade, faltou voce falar como se mede a corrente
e a voltagem, ou seja, falar sobre amperimetro/voltimetro ideal e falar que
na realidade eles sao instrumentos idealizados, mas que tem Resistencia nao
nula e finita. Isso é importante porque eles vao fazer experimentos com isso.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
4.2. LEIS DE OHM 53
Figura 4.1: Relação linear entre a tensão aplicada e a corrente que flui através
de um material condutor.
Uma nota importante sobre os medidores de corrente e voltagem.
Quanto aos medidores de voltagem, chamados de voltímetros, uma vez que
estes objetos estão sempre associados em paralelo aos circuitos de interesse,
estes aparelhos precisam ter resistência interna ‘infinita’ para não desviar a
corrente do circuito. Por outro lado, os medidores de corrente, conhecidos
como amperímetro, sempre precisam ser associados em série ao circuito e,
para não alterá-lo, a resistência interna destes aparelhos devem ser ‘nula’.
4.2.2 Segunda Lei de Ohm
A resistência R é portanto uma característica do sistema, do resistor mais
precisamente; e isso inclui o material e sua geometria. Vamos pensar e con-
cluir se esta afirmação está de fato correta. Para isso, vamos considerar
um resistor cilíndrico, como o da figura 4.2. Este objeto possui uma área
de seção reta transversal A, por onde flui uma corrente elétrica i, e compri-
mento L. Através das suas extremidades aplica-se uma diferença de potencial
V e, pela primeira Lei de Ohm, podemos obter a resistência elétrica R do
EM
RE
DA
ÇÃ
O
54CAPÍTULO 4. CORRENTE ELÉTRICA, LEIS DE OHM E POTÊNCIA
Figura 4.2: Resistor cilíndrico com seção reta transversal de área A e compri-
mento L, submetido a uma diferença de potencial V e uma corrente elétrica
i.
sistema, conforme discutimos acima. Se substituirmos este resistor por um
outro de maior comprimento (e mesma área de seção reta transversal e mesmo
material), intuitivamente concluímos que a resistência R será maior, pois a
corrente elétrica terá uma maior quantidade de material para atravessar. De
maneira análoga, se substituirmos este resistor por um outro de maior área
de seção reta transversal (e mesmo comprimento e mesmo material), intuiti-
vamente concluímos que a resistência R será menor, pois a corrente elétrica
terá uma maior superfície para fluir.
Com este raciocínio podemos então formular a segunda Lei de Ohm:
R = ρ
L
A
(4.3)
que relaciona a resistência de resistores com sua geometria (comprimento L
e área da seção reta transversal A) e sua resistividade ρ. Esta última quanti-
dade é uma propriedade intrínseca aos materiais e cada um possui seu valor
próprio que, inclusive, pode depender da temperatura, campo magnético,
elétrico e etc. Inclusive vários sensores de presença, temperatura e etc são
baseados no comportamento da resistividade elétrica de certos materiais em
função destes parâmetros externos. No SI, a resistividade tem unidade de
Ohm × metro (Ωm).
EM
RE
DA
ÇÃ
O
4.3. POTÊNCIA 55
EXEMPLO
Dado um fio de cobre, que possui resistividade ρ = 1.7 × 10−8 Ωm (a tempe-
ratura ambiente, 20 ◦C), vamos calcular a resistência de 1 km de fio AWG-1a.
Bem, o fio AWG-1 tem 42 mm2 de seção reta transversale usando a segunda
lei de Ohm chegamos facilmente ao resultado procurado: 0,4 Ohms.
aFaça uma pesquisa na internet para saber o que é AWG-1; mas, podemos adiantar, que
é um padrão de tamanho de fios.
4.3 Potência
Qualquer máquina ou dispositivo tem uma potência associada; e não pode-
ria ser diferente com os materiais resistivos. Estes possuem uma potência
relacionada à tensão aplicada; mas como determiná-la? Bem, esta é uma ta-
refa relativamente simples. A potência P é definida como a razão da energia
transformada ou transferida no intervalo de tempo correspondente, ou seja:
P =
∆U
∆t
(4.4)
Como, entretanto, será para o nosso caso? A energia que faz movimentar
as cargas é dada pelo potencial elétrico vezes o valor das cargas elétricas, ou
seja, ∆U = V∆q (veja equação 3.57); e, assim, a equação acima pode ser
rescrita como:
P = V
∆q
∆t
(4.5)
Levando então a equação 4.1 na equação acima, teremos a equação para a
potência de um resistor:
P = V i (4.6)
No SI, potência tem unidade de Watt, dado pela letra W ; que é igual a Volt
× Ampere (VA).
4.4 Efeito Joule e suas consequências
Do ponto de vista qualitativo, o Efeito Joule ocorre quando passamos corrente
elétrica por um material condutor e, como consequência, há transformação
EM
RE
DA
ÇÃ
O
56CAPÍTULO 4. CORRENTE ELÉTRICA, LEIS DE OHM E POTÊNCIA
da energia elétrica em energia térmica, aquecendo o condutor. Esse efeito
pode ser bom ou ruim! Se quisermos tomar um banho quente, este efeito é de
grande utilidade, pois a corrente elétrica transforma-se em calor no material
condutor que, por sua vez, aquece a água. Por outro lado, por exemplo, ao
usarmos nosso telefone celular, percebemos que ele aquece quando usado de
forma intensa: este é um efeito indesejado, pois estamos perdendo carga da
bateria para aquecê-lo, e não para alimentar o circuito eletrônico.
Pense em outras situações em que o Efeito Joule seja bom ou ruim!
EXEMPLO
Vamos agora tratar do Efeito Joule de forma quantitativa. Um chuveiro elé-
trico, por exemplo, que somente funciona ligado a uma tomada de 220 V e 20
A, fica ligado por 20 minutos todos os 30 dias do mês. Qual o custo mensal,
em Reais, destes banhos, sabendo que a energia (em kWh) local custa 0,50
Reais? O que precisamos determinar portanto é a quantidade de energia que
este chuveiro consome no referido intervalo de tempo, pois o custo monetário
de consumo energético fornecido pelas empresas são em Reais para cada kWh
consumido.
Pense um pouco e conclua que kWh é uma unidade de energia!
Bem, primeiramente, vamos determinar a potência dissipada pelo chuveiro; e,
para isso, vamos usar a equação 4.6:
P = 220 V × 20 A = 4400 W (4.10)
Em seguida, vamos determinar o tempo de utilização do chuveiro no intervalo
de interesse:
∆t =
1
3
h× 30 = 10 h (4.11)
Com estes dois valores podemos então obter a energia consumida:
∆U = P∆t = 44 kWh (4.12)
Ora, a empresa cobra 50 centavos para cada kWh consumido. Se tais banhos
consumiram 44 kWh, após uma regra de três simples e direta chegamos ao
resultado: 22,00 Reais.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
4.5. RELAÇÃO ENTRE AS QUANTIDADES 57
Figura 4.3: Existe uma relação direta entre tensão V , corrente i, resistência
R e potência P , dada pelas equações 4.2 e 4.6; e que podem se resumir nesta
figura.
4.5 Relação entre as quantidades
Conforme discutimos acima, temos agora relações diretas entre tensão V ,
corrente i, resistência R e potência P ; basta para isso usarmos as equações
4.2 e 4.6. Todas as relações possíveis encontram-se na figura 4.3, como, por
exemplo:
R =
P
i2
ou V =
√
PR (4.13)
Deixamos para o leitor deduzir algumas, através das equações 4.2 e 4.6 e
verificar outras, utilizando a figura 4.3.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
58CAPÍTULO 4. CORRENTE ELÉTRICA, LEIS DE OHM E POTÊNCIA
4.6 Exercícios
Exercício 4.1
Um aparelho de ar condicionado de 110 V gasta mais energia que um aparelho
de 220 V. Isso é um mito ou é verdade?
Exercício 4.2
Qual quantidade física o consumidor deve estar atento ao comprar um
aparelho elétrico (tratando-se de menor consumo energético)?
Exercício 4.3
Através de um condutor passam, por hora, 7200 C. Qual a corrente neste
condutor?
Exercício 4.4
Um casal com um filho costuma tomar um banho pela manha e mais um
banho pela noite, totalizando 6 banhos diários da família; onde cada banho
dura, em média, 5 minutos. O chuveiro, ligado à tomada de 220 V, tem
potência de 4 kW. Determine:
1. A resistência do chuveiro.
2. O consumo mensal em kWh e em Joule (faça uma pesquisa para saber
a conversão de kWh para Joule).
Exercício 4.5
Um chuveiro tem potência de 4400 W e funciona ligado à tomada de 220
V. Calcule o número de elétrons que atravessa a secção transversal reta do
fio, por segundo, sabendo que a carga do elétron é e = 1, 6× 10−19 C.
Exercício 4.6
Um aparelho eletrônico, com 12 W de potência de consumo, é alimentado
por uma bateria com capacidade de carga de 60 Ah e 12 V.
1. Pense e responsa: o que quer dizer ‘capacidade de carga’?
2. Por quanto tempo este aparelho pode funcionar com esta bateria?
EM
RE
DA
ÇÃ
O
4.7. RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS 59
Exercício 4.7
(PUC-PR) Em um determinado relâmpago, a diferença de potencial entre
a nuvem e o solo é de 109 V e a quantidade de carga elétrica transferida é
de 36 C. Se toda a energia desse relâmpago pudesse ser armazenada e depois
utilizada, durante quantos dias ela poderia alimentar uma residência cujo
consumo mensal é de 150 kWh?
4.7 Resposta dos exercícios
Solução do exercício 4.1
Se os dois aparelhos tiverem a mesma potência, isso é, sem dúvidas, um
mito; pois, como sabemos, o consumo energético depende da potência de
cada aparelho.
Solução do exercício 4.2
O consumidor final paga, na ‘conta de luz’, pelo kWh consumido, ou
seja, pela energia; que é potência do equipamento vezes o tempo utilizado.
Portanto, é a potência que devemos monitorar no hora da compra.
Solução do exercício 4.3
A corrente elétrica é definida como a quantidade de carga que passa pelo
condutor, por unidade de área e por unidade de tempo, conforme definido
pela equação 4.1; e, por isso, podemos escrever (considerando que uma hora
possui 3600 segundos):
i =
∆q
∆t
=
7200 C
3600 s
= 2 A (4.14)
Solução do exercício 4.4
1. A partir da figura 4.3 podemos escrever a relação:
R =
V 2
P
(4.15)
e consequentemente obter R = 12, 1Ω.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
60CAPÍTULO 4. CORRENTE ELÉTRICA, LEIS DE OHM E POTÊNCIA
2. Diariamente temos 6 banhos por 5 minutos cada, totalizando 30 minu-
tos, ou seja, 1
2
hora diária e, portanto, 15 horas mensais. A potência
do chuveiro é de 4000 W e, assim, o consumo de energia mensal será:
∆U = P∆t = 60 kWh (4.16)
Entretanto, 1 kWh equivale à 3,6×106 J; e, assim, temos: ∆U = 2, 16×
108 J.
Solução do exercício 4.5
Primeiramente, precisamos saber o valor da corrente que passa pelo fio;
e, para isso, vamos recorrer à equação:
i =
P
V
=
4400 W
220 V
= 20 A (4.17)
Ora, sabemos, da equação 4.1, que a corrente elétrica i é a quantidade de
carga ∆q que atravessa uma determinada unidade de área por unidade de
tempo; e, logo:
i =
∆q
∆t
=
N e
∆t
= 20 A ⇒ N = 1, 25× 1020 elétrons (4.18)
Solução do exercício 4.6
1. Capacidade de carga é o número de elétrons presente na bateria; e
a unidade está correta, como esperado. Uma vez que Ampére, que
é a unidade de corrente elétrica, corresponde à unidade de carga elé-
trica/tempo; a unidade de capacidade de carga está correta, ou seja,
tem unidade apenas de carga elétrica, como esperado.
2. Primeiramente, precisamos saber o quanto de corrente o aparelho em
questão consome. Esta questão é de fácil solução:
i =
P
V
=
12 W
12 V
= 1 A (4.19)
Sabemos também que:
∆t =
∆q
i
(4.20)
onde ∆q será a capacidade de cargaem questão. Após uma conta
simples, chegamos ao resultado de interesse: 60 horas.
EM
RE
DA
ÇÃ
O
4.7. RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS 61
Solução do exercício 4.7
1000 dias
EM
RE
DA
ÇÃ
O
62CAPÍTULO 4. CORRENTE ELÉTRICA, LEIS DE OHM E POTÊNCIA
EM
RE
DA
ÇÃ
O
Capı´tulo5
Circuitos resistivos simples
Agora que conhecemos as principais quantidades física associadas à um fluxo
de elétrons (resistência, corrente, voltagem e potência), podemos discutir as
noções básicas de um circuito elétrico simples: aqueles contendo apenas re-
sistores, em série e em paralelo. Para este efeito, iremos inicialmente discutir
o efeito de um nó, para, em seguida, estudar circuitos em série e circuitos em
paralelo - apenas as noções mais elementares.
5.1 Efeito de um ‘nó’
Um nó é aquela intersecção de três ou mais fios, conforme ilustra a figura
5.1; e, por conservação de cargas, o somatório de correntes elétricas que se
aproximam do nó deve ser igual ao somatório de correntes elétricas que se
afastam deste mesmo nó. No caso do exemplo da figura 5.1, as correntes
envolvidas relacionam-se com a condição: i1 + i2 = i3 + i4.
5.2 Circuitos em série
Resistores estão associados em série quando estão submetidos a mesma cor-
rente elétrica, conforme ilustra a figura 5.2. Existem algumas características
de um circuito em série que precisamos estar atentos. Primeiramente, como
esperado, a corrente que atravessa todos os resistores é sempre a mesma; em
segundo lugar, podemos substituir todas as resistências por uma efetiva, que
63
EM
RE
DA
ÇÃ
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64 CAPÍTULO 5. CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES
Figura 5.1: Fios convergindo e divergindo de um nó. O somatório de correntes
elétricas que chegam no nó devem ser o mesmo que o somatório de correntes
elétricas que saem deste mesmo nó. Neste exemplo: i1 + i2 = i3 + i4.
será a soma algebrica das partes, ou seja:
Ref = R1 +R2 + · · · (5.1)
Por fim, uma propriedade muito importante: a tensão elétrica entre os
extremos (digamos, entre os pontos 1 e 5 da figura 5.2) é a mesma do so-
matório das tensões elétricas em cada resistor individual, ou seja, entre os
pontos 1-2, 2-3 e etc. Mais formalmente, podemos escrever:
V1−5 = V1−2 + V2−3 + V3−4 + V4−5 (5.2)
EM
RE
DA
ÇÃ
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5.3. CIRCUITOS EM PARALELO 65
Figura 5.2: Exemplo de um circuito em série.
EXEMPLO
Vamos ver agora um exemplo, como o da figura deste quadro, onde dois resis-
tores estão associados em série. Primeiramente, vamos calcular a resistência
efetiva. Para isto, basta somar as resistências que constituem o sistema e,
assim, teremos Ref = 110 Ω. Em seguida, podemos calcular a corrente que
flui pelo sistema. Sabemos, por não haver nó no circuito, que há somente um
valor de corrente, sendo este valor dado por i = 220 V/110 Ω = 2 A. Por fim,
podemos calcular o valor da tensão sob cada um dos resistores R1 e R2. Para
isso, o cálculo é simples: V1 = 10 Ω× 2 A = 20 V. Faça a conta e verifique que
V2 = 200 V.
5.3 Circuitos em paralelo
Resistores estão associados em paralelo quando estão submetidos a mesma
tensão, conforme ilustra a figura 5.3. A tensão VAB que atua no circuito
é a mesma que atua individualmente em cada um dos resistores R1 e R2;
entretanto, como há um nó próximo ao ponto A, a corrente se divide, tal que
i = i1 + i2. Existem algumas propriedades que as resistências e correntes de
cada ramo devem satisfazer, tendo estas propriedades origem na condição de
que todo o circuito está submetido a mesma tensão VAB e na distribuição de
correntes devido ao nó existente no circuito (no presente caso i = i1 + i2).
EM
RE
DA
ÇÃ
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66 CAPÍTULO 5. CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES
Vamos à estas propriedades:
1. A razão das correntes de cada ramo deve ser inversamente proporcional
a razão das suas respectivas resistências. Esta regra é bem simples de
ser verificada:
VAB = R1i1 = R2i2 ⇒ i1
i2
=
R2
R1
(5.3)
2. Circuitos em paralelo também possuem resistências efetivas, assim como
no caso anterior de circuitos em série. Para determinar a resistência
efetiva, vamos considerar, para este caso particular de dois resistores:
i = i1 + i2 ⇒ VAB
Ref
=
VAB
R1
+
VAB
R2
⇒ 1
Ref
=
1
R1
+
1
R2
(5.4)
Figura 5.3: Exemplo de um circuito em paralelo.
EM
RE
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5.3. CIRCUITOS EM PARALELO 67
EXEMPLO
Considere 4 resistores associados em paralelo, com resistências R1 = 1 Ω,
R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω e R4 = 6 Ω; sendo que este circuito está submetido à uma
tensão total externa de 12 V. Vamos começar calculando a resistência efetiva:
1
Ref
=
1
1 Ω
+
1
2 Ω
+
1
3 Ω
+
1
6 Ω
=
12
6 Ω
⇒ Ref = 1
2
Ω (5.10)
Repare que este valor de resistência é menor que a menor resistência do circuito.
Vamos continuar a analisar o problema. Sabemos que existe uma corrente i
que chega ao nó, sendo então distribuída para os quatro resistores, satisfazendo
então relação i = i1+i2+i3+i4, onde in é a corrente em cada ramo do circuito.
Esta corrente total i pode ser facilmente calculada, uma vez que conhecemos
a resistência efetiva e a tensão sob o circuito (12 V). Assim: 12 V = 0.5 Ω× i
e, portanto, i = 24 A. Para concluir este simples exemplo, vamos calcular a
corrente em cada ramo, sabendo que a tensão no circuito (12 V) é sempre a
mesma para todos os ramos. Assim, temos:
12 V = 1 Ω× i1 ⇒ i1 = 12 A (5.11)
12 V = 2 Ω× i2 ⇒ i2 = 6 A (5.12)
12 V = 3 Ω× i3 ⇒ i3 = 4 A (5.13)
12 V = 6 Ω× i4 ⇒ i4 = 2 A (5.14)
EM
RE
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68 CAPÍTULO 5. CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES
5.4 Exercícios
Exercício 5.1
Um nó divide a tensão ou apenas a corrente do circuito?
Exercício 5.2
Considere o caso de um circuito paralelo com três resistores. O resistor
do meio é retirado. Discuta, qualitativamente, o que acontece com a corrente
que flui pelos dois outros ramos após a retirada deste resistor central.
Exercício 5.3
Considere dois resistores associados em serie: R1 = 5 Ω e R2 = 1 Ω.
Sabendo que a tensão sob o resistor 1 é de 10 V, calcule:
1. a corrente i que flui pelo circuito.
2. a tensão V2.
3. a resistência efetiva Ref .
4. a tensão total V sob os dois resistores.
Exercício 5.4
Considere três resistores associados em série, onde R1 = 2 Ω e R3 = 4 Ω.
O problema consiste em determinar R2, sabendo que a tensão total neste
circuito em série é V = 110 V e a tensão no primeiro resistor é de 20 V.
Exercício 5.5
Três resistores idênticos, de valor R, estão associados em paralelo e ligados
à uma bateria que fornece uma tensão V . Calcule a corrente total e a corrente
parcial em cada ramo.
Exercício 5.6
Considere o circuito misto da figura 5.4. Calcule a resistência efetiva.
EM
RE
DA
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5.4. EXERCÍCIOS 69
Figura 5.4: Circuito misto do problema 5.6.
Figura 5.5: Solução (resistência efetiva) do circuito misto do problema 5.6.
Exercício 5.7
Considere o circuito misto da figura 5.6. Calcule: (i) a resistência efetiva
do circuito; (ii) o valor da corrente iA; (iii) a queda de tensão no resistor R1;
(iv) o valor das correntes iB e iC ; (v) a queda de tensão parcial nos resistores
R4 e R5.
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70 CAPÍTULO 5. CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES
5.5 Resposta dos exercícios
Solução do exercício 5.1
Um nó divide apenas a(s) corrente(s) que chegam em tal ponto, conforme
ilustra a figura 5.1. Para tal figura, temos i1 + i2 = i3 + i4.
Solução do exercício 5.2
Não acontece nada! Ao retirar o resistor central, é como se tivéssemos um
novo sistema de apenas dois resistores; mas com a mesma corrente fluindo
pelos ramos. Faça as contas para as duas situações para perceber!
Solução do exercício 5.3
1. A corrente que flui no sistema, por ser um circuito em série, é única; ou
seja, não existem nós. Por este motivo, a corrente que passa pelo resis-
tor 1 é a mesma que passa pelo resistor