Aula 05

Computadores Digitais

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ESTÁCIO EAD

0

Adriano Almeida

25.02.2018

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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
Aula 5 – Álgebra Booleana
Tema da Apresentação
AULA 5 – Álgebra Booleana
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
ESTRUTURA DA DISCIPLINA
AULA 1 – Fundamentos
AULA 2 – Sistemas de Numeração
AULA 3 – Representação de dados
AULA 4 – Lógica Digital
AULA 5 – Álgebra Booleana
AULA 6 – Modelo de Von Neumann
AULA 7 – Conjunto de Instruções
AULA 8 – Processador
AULA 9 – Memória
AULA 10 – Dispositivos de Entrada e Saída
Tema da Apresentação
AULA 5 – Álgebra Booleana
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
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Conteúdo Programático AULA 5
Postulados e propriedades da Álgebra de Boole
Simplificação de expressões
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
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Um pouco de história
O inglês George Boole é considerado o pai da lógica simbólica.
Desenvolveu o primeiro sistema formal para raciocínio lógico (lógica booleana) semelhante ao sistema algébrico.
Tema da Apresentação
AULA 5 – Álgebra Booleana
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
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A Álgebra Booleana é uma área da Matemática que trata de regras e elementos de lógica
A Álgebra Booleana trata de variáveis e de operações com estas variáveis, utilizando valores binários 0 e 1.
O valor 1 equivale à condição verdadeira e o valor 0 à condição falsa
Uma expressão lógica pode ser simplificada garantindo, assim, circuitos mais simples e mais baratos de serem produzidos
Essa simplificação é realizada utilizando os postulados e propriedades da álgebra de Boole
Álgebra Booleana
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
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0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 1 
0 * 1 = 0 
1 * 0 = 0 
0 * 0 = 0 
0 = 1 
1 = 0 
Álgebra Booleana – Postulados
1 * 1 = 1 
OR
AND
NOT
Tema da Apresentação
AULA 5 – Álgebra Booleana
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
1) X + 0 = X 
2) X + 1 = 1 
3) X + X = X 
4) X + X = 1 
5) X * 0 = 0 
6) X * 1 = X 
7) X * X = X 
8) X * X = 0 
9) X = X 
Álgebra Booleana – Propriedades
Tema da Apresentação
AULA 5 – Álgebra Booleana
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
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1) X + 0 = X 
2) X + 1 = 1 
3) X + X = X 
4) X + X = 1 
5) X * 0 = 0 
6) X * 1 = X 
7) X * X = X 
8) X * X = 0 
9) X = X 
Exemplo : X=10
10 + 00 = 10
10 + 11 = 11
10 + 10 = 10
10 + 01 = 11
10 * 00 = 00
10 * 11 = 10
10 * 10 = 10
10 * 01 = 00
100110
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
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10) X + Y = Y + X 
11) X * Y = Y * X 
12) X+(Y+Z) = (X+Y)+Z 
13) X*(Y*Z) = (X*Y)*Z 
14) X*(Y + Z) = (X*Y) + (X*Z) 
Álgebra Booleana - Propriedades
COMUTATIVA
ASSOCIATIVA
15) X+(Y * Z) = (X+Y) * (X+Z) 
DISTRIBUTIVA
Tema da Apresentação
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17) X + (X * Y) = X 
18) X * (X + Y) = X 
Álgebra Booleana - Propriedades
ABSORÇÃO
19) X + (X * Y) = X + Y 
20) X * (X + Y) = X * Y 
21) X + Y = X * Y 
22) X * Y = X + Y 
MORGAN
CONSENSO
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X + (X * Y) 	= X * 1 + X * Y 		(6) X * 1 = X 
		= 	X * (Y + Y) + X * Y	(4) Y + Y = 1 
		=	X * Y + X * Y + X * Y 	(14) X * (Y + Y) = X * Y + X * Y 
		=	(X * Y + X * Y ) + X * Y	(10) X + Y = Y + X 
		=	X * Y + X * Y		(3) (X * Y + X * Y) = X * Y
		=	X * ( Y + Y ) 		(14) X * (Y + Y) = X * Y + X * Y 
		=	X * 1			(4) Y + Y = 1 
		=	X			(6) X * 1 = X 
					
					
		
Provando a regra17: X + (X * Y ) = X
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
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Provando a regra17: X + (X * Y) = X
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 X + (X * Y) = 	X * 1 + X * Y 			(6) X * 1 = X 
		= 	X * (Y + Y) + X * Y	 	(4) Y + Y = 1 
		=	X * Y + X * Y + X * Y 	 (14) X * (Y + Y) = X * Y + X * Y
		=	(X * Y + X * Y) + X * Y + X * Y 	 (3) X + X = X
		=	(X *Y + X * Y) + (X * Y + X * Y)	(10) X + Y = Y + X
		=	X * ( Y + Y ) + (X + X) * Y (14) X * (Y + Y) = X * Y + X * Y 
		=	X * 1 + 1 * Y			(4) X + X = 1 
		=	X + Y				(6) X * 1 = X 
				                  
                                                           				
		
Provando a Regra19: X + (X * Y) = X + Y
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
Provando a Regra19: X + (X * Y) = X + Y
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
 
X + Y = X * Y
( X + Y ) * (X + Y) =	X * Y * (X + Y)		 		
	 0		 = 	X * Y * (X + Y) 		Distributiva
	 0		 =	X * Y * X + X * Y * Y 	(8) X * X = 0
	 0		 =	0 * Y + 0 * X		(5) X * 0 = 0
Que tal provar que X * Y = X + Y ?
Provando a Lei de Morgan: X + Y= X * Y
Tema da Apresentação
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*
X =(A + B) * B
Simplificando a expressão... 
A
B
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X =(A + B) * B
X = (A + B) * B (Morgan) (X * Y) = X + Y 
X = (A + B) + B 	 (Morgan) (X + Y) = X * Y 
X = (A * B) + B	 (9)	X = X
X = (A * B) + B	 (19) X + (X * Y ) = X+Y
X = A + B
Simplificando a expressão... 
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
X =(A + B) * B
Simplificando a expressão... 
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
X =(A + B) * B
Simplificando a expressão... 
X
A
B
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
X =(A + B) * B	 X = A + B
Simplificando a expressão... 
A
B
X
A
B
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Praticando - Simplificações 
1) X = ABC + AB + AC
	
	
	
	
2) X = ABC + ( A + B + C)
	
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
Praticando - Simplificações 
1) X = ABC + AB + AC
	X = A (BC + B + C)	(Distributiva)
	
2) X = ABC + ( A + B + C)
	
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
Praticando - Simplificações 
1) X = ABC + AB + AC
	X = A (BC + B + C)	(Distributiva)
	X = A (BC + BC )	(Morgan)
	
2) X = ABC + ( A + B + C)
	
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
Praticando - Simplificações 
1) X = ABC + AB + AC
	X = A (BC + B + C)	(Distributiva)
	X = A (BC + BC )	(Morgan)
	X = A ( 1 )		(4) X + X = 1
	
2) X = ABC + ( A + B + C)
	
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
Praticando - Simplificações 
1) X = ABC + AB + AC
	X = A (BC + B + C)	(Distributiva)
	X = A (BC + BC )	(Morgan)
	X = A ( 1 )		(4) X + X = 1
	X = A			(6) X * 1 = X
2) X = ABC + ( A + B + C)
	
Tema da Apresentação
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
*
Praticando - Simplificações 
1) X = ABC + AB + AC
	X = A (BC + B + C)	(Distributiva)
	X = A (BC + BC )	(Morgan)
	X = A ( 1 )		(4) X + X = 1
	X = A			(6) X * 1 = X
2) X = ABC + ( A + B + C)
	X = ABC A + ABC B + ABC C		(Distributiva)
	X = 0	 + 0 + ABC C		(8) X*X = 0
	X = ABC C				(1) X + 0 = X	X = ABC 				(7) X* X = X
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*
Praticando - Simplificações 
3) X = A . B . C (A+B+C )
	X = A. B . C . A + A . B . C . B + A . B . C . C (Distributiva)
	X =	0	 + 0 + A . B . C . C	(8) X * X = 0
	X = A . B . C . C				(1) X + 0 = X
	
	X = A . B . C 					(7) X * X = X
	X = (A . B) + C					(Morgan)
	X = A + B + C					(Morgan)
	X = A + B + C					(9) X = X
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
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RESUMINDO
 Operações lógicas combinadas
Regras semelhantes a álgebra
Resultados: Verdadeiro (1) ou
Falso (0)
Atenção: não confundir operações lógicas com algébricas
Você deve praticar!
Tema da Apresentação
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