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Identificação de Cônicas e Quádricas

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Universidade Federal de Itajuba´
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear - 2o sem. 2010
Profa Ana Cla´udia da Silva Moreira - ICE
Identificac¸a˜o de Coˆnicas
Uma coˆnica em R2 e´ um conjunto de pontos do plano que satisfazem, em algum sistema
de coordenadas, a equac¸a˜o
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (1)
onde os coeficientes sa˜o reais com A, B, C na˜o todos nulos.
A fim de identificarmos a coˆnica representada pela equac¸a˜o (1), gostar´ıamos de eliminar
o termo misto, pois deste modo seria simples completar quadrados, fatorar ou fazer uma
simples translac¸a˜o para obtermos a equac¸a˜o na forma canoˆnica, facilmente identifica´vel.
Para isso, precisamos encontrar um sistema de coordenadas no qual B = 0, isto e´,
procuramos uma base ortonormal do R2 na qual a equac¸a˜o (1) se escreva como
A′x′2 + C ′y′2 +D′x′ + E ′y′ + F ′ = 0 (2)
Lembramos que uma base {w1, ..., wn} do Rn e´ dita ortonormal se (i) seus vetores sa˜o
dois a dois ortogonais, isto e´, o produto interno entre eles e´ nulo; (ii) seus vetores teˆm norma
igual a um.
Inicialmente, consideremos apenas os termos de 2o grau em (1), como uma func¸a˜o Q :
R2 → R definida por
Q(x, y) = Ax2 +Bxy + Cy2 (3)
Embora na˜o seja objeto de nosso estudo nesta disciplina, vale informar que Q e´ uma forma
quadra´tica em R2 associada a` uma forma bilinear sime´trica cuja matriz na base canoˆnica e´
dada por
KC =
(
A B/2
B/2 C
)
.
Note que, podemos escrever (3) como
Q(x, y) =
(
x y
)( A B/2
B/2 C
)(
x
y
)
1
ou seja,
Q(x, y) = X tKX
Agora observemos que, se encontrarmos uma base β que leve a equac¸a˜o (1) a` forma (2),
teremos
Q(x′, y′) = A′x′2 + C ′y′2
e
Q(x′, y′) =
(
x′ y′
)( A′ 0
0 C ′
)(
x′
y′
)
ja´ que B = 0 em (2).
De modo que, a matriz associada a` forma bilinear sime´trica nesta base e´ uma matriz
diagonal
Kβ =
(
A′ 0
0 C ′
)
Logo, conclu´ımos que existe uma base β do R2 tal que a equac¸a˜o (1) se escreve na forma
(2) se e somente se, existe uma base β do R2 na qual a matriz K e´ diagonal. Como KC e´
sime´trica, a teoria de A´lgebra Linear nos garante a existeˆncia de uma tal base ortonormal
do R2. Assim, basta diagonalizarmos a matriz K e descobrirmos qual base e´ responsa´vel por
essa diagonalizac¸a˜o.
Feito isto, sabemos da A´lgebra Linear que a matriz diagonalizada tera´ os autovalores de
K na diagonal principal e portanto
Kβ =
(
A′ 0
0 C ′
)
=
(
λ1 0
0 λ2
)
⇒ A′ = λ1 e C ′ = λ2
Assim, na base β, a equac¸a˜o (3) se escreve como
Q(x, y) = λ1x
2 + λ2y
2
e a equac¸a˜o (1) fica na forma (2) com A′ e C ′ dados pelos autovalores
λ1x
′2 + λ2y′2 +D′x′ + E ′y′ + F ′ = 0 (4)
Agora, podemos completar quadrados e fatorar termos em (4) obtendo uma nova mu-
danc¸a de coordenadas da forma {
x′′ = x′ − α
y′′ = y′ − γ
que e´ uma translac¸a˜o.
2
Finalmente, obteremos a equac¸a˜o (1) reduzida a` forma canoˆnica a qual sabemos identi-
ficar.
Exemplo: Fac¸a as mudanc¸as de coordenadas necessa´rias e transforme a equac¸a˜o da
coˆnica abaixo na forma canoˆnica.
5x2 − 4xy + 8y2 + 20√
5
x− 80√
5
y + 4 = 0
Soluc¸a˜o: Consideremos
Q(x, y) = 5x2 − 4xy + 8y2
ou seja,
Q(x, y) =
(
x y
)( 5 −2
−2 8
)(
x
y
)
Logo, a matriz K na base canoˆnica e´
KC =
(
5 −2
−2 8
)
O processo de diagonalizac¸a˜o de K comec¸a com a procura pelos autovalores de K, que
sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico de K:
p(λ) = det(K − λI) = det
(
5− λ −2
−2 8− λ
)
= (5− λ)(8− λ)− 4 = λ2 − 13λ+ 36
As ra´ızes de p(λ) sa˜o λ1 = 4 e λ2 = 9, autovalores de K.
Assim,
Q(x′, y′) = 4x′2 + 9y′2 (5)
Agora, vamos calcular os vetores que fazem esta mudanc¸a de coordenadas. Esses vetores
sa˜o os autovetores de K associados aos autovalores encontrados e devem formar uma base
ortonormal do R2. Os autovetores sa˜o obtidos da soluc¸a˜o dos sistemas lineares homogeˆneos
(K − λiI)X = O, com i = 1, 2.
Autovetor associado ao autovalor λ1 = 4:
(K − λ1I)X = 0
(
1 −2
−2 4
)(
x
y
)
=
(
0
0
)
3
Escalonando a matriz obtemos x = 2y e y = t que resulta na reta de soluc¸o˜es:
r1 :
(
x
y
)
= t
(
2
1
)
Onde v1 = (2, 1) e´ um autovetor de K, mas ‖v1‖ =
√
5. Como queremos uma base
ortonormal, devemos unitarizar o vetor encontrado, tomando
u1 =
v1
‖v1‖ =
(
2√
5
,
1√
5
)
Autovetor associado ao autovalor λ2 = 9:
(K − λ1I)X = 0
(
−4 −2
−2 −1
)(
x
y
)
=
(
0
0
)
Escalonando a matriz obtemos x = −1
2
y e y = t que resulta na reta de soluc¸o˜es:
r2 :
(
x
y
)
= t
 −12
1

Onde v2 = (−1
2
, 1) e´ um autovetor de K, mas ‖v2‖ =
√
5
2
. Como queremos uma base
ortonormal, devemos unitarizar o vetor encontrado, tomando
u2 =
v2
‖v2‖ =
(
− 1√
5
,
2√
5
)
Portanto, a base β procurada e´ a base ortonormal de autovetores
β =
((
2√
5
,
1√
5
)
,
(
− 1√
5
,
2√
5
))
e a matriz que faz a mudanc¸a da base canoˆnica para a base β e´
Mc,β =

2√
5
− 1√
5
1√
5
2√
5

Agora devemos escrever as antigas coordenadas x, y em func¸a˜o das novas coordenadas
x′, y′: (
x
y
)
=

2√
5
− 1√
5
1√
5
2√
5
( x′
y′
)
4
isto e´, 
x =
2√
5
x′ − 1√
5
y′
y =
1√
5
x′ +
2√
5
y′
Substituindo as expresso˜es encontradas acima para x e y na equac¸a˜o (1), temos
4x′2 + 9y′2 +
20√
5
(
2√
5
x′ − 1√
5
y′
)
− 80√
5
(
1√
5
x′ +
2√
5
y′
)
+ 4 = 0
que resulta na equac¸a˜o da coˆnica no sistema {O′, u1, u2}.
4x′2 + 9y′2 − 8x′ − 36y′ + 4 = 0
Observe que basta substituirmos as expresso˜es encontradas para x e y na parte linear da
equac¸a˜o (1), ja´ que, pela equac¸a˜o (5) ja´ sabemos o resultado da parte quadra´tica da equac¸a˜o
(1) quando submetida a esta mudanc¸a de coordenadas.
Agora, completando os quadrados na u´ltima expressa˜o obtida, temos
4(x′2 − 2x′ + 1) + 9(y′2 − 4y′ + 4) + 4− 4− 36 = 0
que e´ equivalente a
4(x′ − 1)2 + 9(y′ − 2)2 − 36 = 0
Fazendo a seguinte translac¸a˜o {
x′′ = x′ − 1
y′′ = y′ − 2
obtemos, finalmente, a equac¸a˜o da coˆnica na forma canoˆnica, no sistema {O′′, u′1, u′2}.
4x′′2 + 9y′′2 = 36
x′′2
9
+
y′′2
4
= 1
a qual facilmente identificamos como uma elipse.
Note que no novo sistema de coordenadas x′′, y′′, podemos obter facilmente in-
formac¸o˜es sobre esta elipse: trata-se de uma elipse horizontal, de excentricidade e =
√
5
3
,
cujo eixo-maior mede 6 e o eixo-menor mede 4. As coordenadas dos focos sa˜o f ′′1 = (
√
5, 0)
e f ′′2 = (−
√
5, 0), o centro esta´ na origem O” e os ve´rtices tem coordenadas a1 = (3, 0),
a2 = (−3, 0), b1 = (0, 2), b2 = (0,−2).
Mas, atenc¸a˜o, estas na˜o sa˜o as informac¸o˜es da coˆnica original. Se quisermos saber quais
as coordenadas dos focos, ve´rtices, centro, qual e´ a excentricidade ou outras informac¸o˜es da
5
elipse cuja equac¸a˜o (1) foi dada, devemos encontrar as coordenadas no sistema original, x,
y.
Por exemplo, quais seriam as coordenadas do foco f ′′1 = (
√
5, 0) no sistema original?
Temos x′′ =
√
5 e y′′ = 0. Usando a translac¸a˜o, obtemos{ √
5 = x′ − 1
0 = y′ − 2
⇒ x′ =
√
5 + 1 e y′ = 2
Agora, usando a primeira mudanc¸a de coordenadas que obtivemos, para o sistema dos au-
tovetores unita´rios, temos 
x =
2√
5
√
5− 1√
5
2
y =
1√
5
√
5 +
2√
5
2
que nos leva a 
x = 2− 2√
5
y = 1 +
4√
5
donde
f1 =
(
2− 2√
5
, 1 +
4√
5
)
e´ um dos focos da elipse original, dada pela equac¸a˜o (1).
Vejam mais exemplos no livro-texto.
6
Identificac¸a˜o de Qua´dricas
Sabemos que uma qua´drica no R3 e´ uma superf´ıcie formada pelos pontos de R3 cujas
coordenadas