Centróide e Momento de inércia

Prévia do material em texto

Corpos e Sólidos
JORGE CARVALHO COSTA
F I G U R A S A D A P TA D A S D E “ F E R D I N A N D P B E E R , E R U S S E L J O H N S TO N J R , 
D AV I D F M A Z U R E K , E L L I OT R E I S E N B E R G . V E C TO R M E C H A N I C S F O R 
E N G I N E E R S – S TAT I C S A N D D Y N A M I C S . I S B N 9 7 8 – 0 – 0 7 – 3 5 2 9 4 0 – 0
Corpos e sólidos
Corpo: figura física, com massa
Sólido: figura geométrica, representa o espaço ocupado por um corpo
Centro de massa de um corpo
Centro de massa de um corpo
Sistema de Cargas paralelas Resultante
Centro de massa de um corpo
𝑊 = ׬𝑉 𝑑𝑤 ҧ𝑥𝑊 = ׬𝑉 𝑥 𝑑𝑤
ത𝑦𝑊 = ׬𝑉 𝑦 𝑑𝑤
ҧ𝑧𝑊 = ׬𝑉 𝑧 𝑑𝑤
Centro de massa de um corpo
𝑊 = ׬𝑉 𝑑𝑤
ҧ𝑥𝑊 = ׬𝑉 𝑥 𝑑𝑤 ത𝑦𝑊 = ׬𝑉 𝑦 𝑑𝑤 ҧ𝑧𝑊 = ׬𝑉 𝑧 𝑑𝑤
ҧ𝑥 =
׬𝑉 𝑥 𝑑𝑤
׬𝑉 𝑑𝑤
ത𝑦 =
׬𝑉 𝑦 𝑑𝑤
׬𝑉 𝑑𝑤
ҧ𝑧 =
׬𝑉 𝑧 𝑑𝑤
׬𝑉 𝑑𝑤
Peso específico
𝛾 =
𝑤
𝑉
⇒ 𝑑𝑤 = 𝛾𝑑𝑣
ҧ𝑥 =
׬𝑉 𝑥 𝛾𝑑𝑣
׬𝑉 𝛾𝑑𝑣
ത𝑦 =
׬𝑉 𝑦 𝛾𝑑𝑣
׬𝑉 𝛾𝑑𝑣
ҧ𝑧 =
׬𝑉 𝑧 𝛾𝑑𝑣
׬𝑉 𝛾𝑑𝑣
Centro de massa de um corpo
ҧ𝑥 =
׬𝑉 𝑥 𝛾𝑑𝑣
׬𝑉 𝛾𝑑𝑣
ത𝑦 =
׬𝑉 𝑦 𝛾𝑑𝑣
׬𝑉 𝛾𝑑𝑣
ҧ𝑧 =
׬𝑉 𝑧 𝛾𝑑𝑣
׬𝑉 𝛾𝑑𝑣
Se o corpo é homogêneo, 𝛾 = 𝑐𝑡𝑒.
ҧ𝑥 =
𝛾 ׬𝑉 𝑥 𝑑𝑣
𝛾 ׬𝑉 𝑑𝑣
ത𝑦 =
𝛾 ׬𝑉 𝑦 𝑑𝑣
𝛾 ׬𝑉 𝑑𝑣
ҧ𝑧 =
𝛾 ׬𝑉 𝑧 𝑑𝑣
𝛾 ׬𝑉 𝑑𝑣
ҧ𝑥 =
׬𝑉 𝑥 𝑑𝑣
׬𝑉 𝑑𝑣
ത𝑦 =
׬𝑉 𝑦 𝑑𝑣
׬𝑉 𝑑𝑣
ҧ𝑧 =
׬𝑉 𝑧 𝑑𝑣
׬𝑉 𝑑𝑣
O centro de massa não depende do material, 
somente do formato do corpo: O CG se 
confunde com o centroide do sólido.
Momentos de primeira ordem (em relação a 
cada plano):
𝑄𝑥 = ׬𝑉 𝑥 𝑑𝑣 𝑄𝑦 = ׬𝑉 𝑦 𝑑𝑣 𝑄𝑧 = ׬𝑉 𝑧 𝑑𝑣
Simetria em sólidos
Plano de simetria: centroide no plano
2 planos de simetria: centroide na linha de intercessão dos planos
3 planos de simetria: centroide no ponto de simetria
Simetria em sólidos
Plano de simetria: centroide no plano
2 planos de simetria: centroide na linha de intercessão dos planos
3 planos de simetria: centroide no ponto de simetria
Simetria em sólidos
Plano de simetria: centroide no plano
2 planos de simetria: centroide na linha de intercessão dos planos
3 planos de simetria: centroide no ponto de simetria
O centroide de um sólido de revolução NÃO coincide com o centroide 
da superfície geratriz
Sólidos simples
Corpos compostos
Cada parte deve
◦ Ser homogênea (material)
◦ Ter centroide conhecido
Cada parte tem
◦ 𝑚𝑖: peso ou massa
◦ 𝑣𝑖: volume
◦ 𝜌𝑖: massa específica do material
◦ 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖: posição do CG conhecida
O corpo composto terá
◦ M: massa total
◦ 𝑉: volume total
◦ 𝑥, 𝑦, 𝑧: posição do CG
Corpos compostos
Massa total: 𝑀 = ∑𝑚𝑖
Posição do CG
ҧ𝑥 =
∑𝑥𝑖𝑚𝑖
∑𝑚𝑖
ത𝑦 =
∑𝑦𝑖𝑚𝑖
∑𝑚𝑖
ҧ𝑧 =
∑𝑧𝑖𝑚𝑖
∑𝑚𝑖
Se todas as partes forem do mesmo material:
𝜌 = todos 𝜌𝑖 = 𝑐𝑡𝑒
ҧ𝑥 =
∑𝑥𝑖 𝜌 𝑣𝑖
∑𝜌 𝑣𝑖
ത𝑦 =
∑𝑦𝑖 𝜌 𝑣𝑖
∑𝜌 𝑣𝑖
ҧ𝑧 =
∑𝑧𝑖 𝜌 𝑣𝑖
∑𝜌 𝑣𝑖
ҧ𝑥 =
∑𝑥𝑖 𝑣𝑖
∑𝑣𝑖
ത𝑦 =
∑𝑦𝑖 𝑣𝑖
∑𝑣𝑖
ҧ𝑧 =
∑𝑧𝑖 𝑣𝑖
∑𝑣𝑖
O centro de massa não depende do material.
Exemplo
Exemplo
Encontrar o centro de massa
Face vertical: 𝜌 = 25 Τ𝑘𝑔 𝑚2
Face horizontal: 𝜌 = 40 Τ𝑘𝑔 𝑚2
Barra: 𝜌 = 7,83 Τ𝑀𝑔 𝑚3
Exemplo
É um corpo composto, por placas 
bidimensionais (vertical e 
horizontal) e um cilindro. Além 
disso, o corpo é heterogêneo (3 
materiais diferentes).
Temos de dividir o corpo em 
partes homogêneas de centroide 
conhecido.
A figura tem um plano de simetria 
(𝑦𝑧), que contem o CG. Assim, ҧ𝑥 =
0 e nos resta determinar ത𝑦 e ҧ𝑧.
Exemplo
As partes são:
◦ Para a placa vertical, bidimensional
◦ 1 semicírculo
◦ 2 retângulo
◦ 3 “furo” triangular
◦ Para a placa horizontal, também 
bidimensional
◦ 4 retângulo
◦ 5 cilindro (tridimensional)
Exemplo
As partes na placa vertical (1 a 3) tem coordenada 
do CG 𝑦𝑖 = 0 já que estão no plano 𝑧𝑥.
A parte da placa horizontal (4) tem coordenada do 
CG 𝑧4 = −150 e está em um plano paralelo a 𝑥𝑦.
Para cada parte, será utilizada a área ou o volume, 
conforme seja figura plana ou sólido 3d 
respectivamente. As massas específicas são dadas 
em 𝑘𝑔/𝑚2 ou 𝑘𝑔/𝑚3 também respectivamente ao 
tipo de figura (2d ou 3d).
Assim, os dados foram organizados na tabela, com o 
cuidado na transformação das áreas e volumes de 
𝑚𝑚2 para 𝑚2 e de 𝑚𝑚3 para 𝑚3
Exemplo
Parte
Área 
(𝑚𝑚2) 
ou 
Volume 
(𝑚𝑚3)
𝜌
( Τ𝑘𝑔 𝑚2)
ou
( Τ𝑘𝑔 𝑚3)
𝑚
(𝑘𝑔)
𝑦𝑖
(𝑚𝑚)
𝑧𝑖
(𝑚𝑚)
𝑚𝑖𝑦𝑖
(𝑘𝑔
⋅ 𝑚𝑚)
𝑚𝑖𝑧𝑖
(𝑘𝑔
⋅ 𝑚𝑚)
1 3927 25 0.098 0 21.2 0.00 2.08
2 22500 25 0.563 0 -75 0.00 -42.19
3 -3750 25 -0.094 0 -100 0.00 9.38
4 15000 40 0.600 50 -150 30.00 -90.00
5 188496 7830 1.476 75 0 110.69 0.00
Total 2.643 140.69 -120.73
Exemplo
Parte
Área 
(𝑚𝑚2) 
ou 
Volume 
(𝑚𝑚3)
𝜌
( Τ𝑘𝑔 𝑚2)
ou
( Τ𝑘𝑔 𝑚3)
𝑚
(𝑘𝑔)
𝑦𝑖
(𝑚𝑚)
𝑧𝑖
(𝑚𝑚)
𝑚𝑖𝑦𝑖
(𝑘𝑔
⋅ 𝑚𝑚)
𝑚𝑖𝑧𝑖
(𝑘𝑔
⋅ 𝑚𝑚)
Total 2.643 140.69 -120.73
Podemos usar, então,
ത𝑦 =
∑𝑦𝑖𝑚𝑖
∑𝑚𝑖
=
140,69
2,643
⇒ ത𝑦 = 53,3𝑚𝑚
ҧ𝑧 =
∑𝑧𝑖𝑚𝑖
∑𝑚𝑖
=
−120,73
2,643
⇒ ҧ𝑧 = −45,7𝑚𝑚
Os resultados estão coerentes, 𝑦 mais próximo 
da placa vertical e 𝑧 pouco abaixo do cilindro.