Momento de Inércia de Área

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Momento de 
Inércia de Áreas
JORGE CARVALHO COSTA
F I G U R A S A D A P TA D A S D E “ F E R D I N A N D P B E E R , E R U S S E L J O H N S TO N J R , 
D AV I D F M A Z U R E K , E L L I OT R E I S E N B E R G . V E C TO R M E C H A N I C S F O R 
E N G I N E E R S – S TAT I C S A N D D Y N A M I C S . I S B N 9 7 8 – 0 – 0 7 – 3 5 2 9 4 0 – 0
Momento de Inércia de Áreas
◦ As forças internas na seção 
transversal de uma viga sob flexão 
pura são proporcionais à distância 
do ponto ao centroide da seção.
◦ Δ𝐹 = 𝑘𝑦Δ𝐴
◦ 𝑘: constante de proporcionalidade
◦ A resultante dessas forças será
◦ ׬𝐴𝑑𝐹 = 𝑘 ׬𝐴 𝑦 𝑑𝐴
◦ 𝑄𝑥 = ׬𝐴 𝑦 𝑑𝐴 = 0 é o momento de 1ª 
ordem dessa área em relação ao eixo 𝑥 que 
passa no CG
◦ O momento resultante dessas 
forças em torno de 𝑥 será
◦ ׬𝐴 𝑦 𝑑𝐹 = 𝑘 ׬𝐴 𝑦
2 𝑑𝐴
◦ 𝐼𝑥 = ׬𝐴 𝑦
2 𝑑𝐴 é o momento de 2ª ordem 
dessa área em relação a 𝑥.
Momento de Inércia de Áreas
Seja uma represa vertical, com 
uma comporta de formato 
qualquer. A força exercida em uma 
área infinitesimal da comporta é
Δ𝐹 = 𝛾 𝑦 Δ𝐴
A resultante dessa força será
𝑅 = ׬𝐴𝑑𝐹 = 𝛾 ׬𝐴 𝑦 𝑑𝐴
E o momento resultante dessa 
pressão em torno do eixo 𝑥
𝑀 = ׬𝐴 𝑦 𝑑𝐹 = 𝛾 ׬𝐴 𝑦
2𝑑𝐴
MI do retângulo
Em relação ao eixo 𝑥 que passa em 
sua base
𝐼𝑥 = ׬𝐴 𝑦
2 𝑑𝐴
MI do retângulo
Em relação ao eixo 𝑥 que passa em 
sua base
𝐼𝑥 = ׬𝐴 𝑦
2 𝑑𝐴
Juntanto uma faixa de pontos do 
retângulo que tenham mesmo 𝑦
𝑑𝐴 = 𝑏 𝑑𝑦 ⇒ 𝐼𝑥 = ׬0
ℎ
𝑏 𝑦2 𝑑𝑦
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
3
Momento de inércia de um 
retângulo em relação a sua base
MI do retângulo
Podemos usar o resultado anterior 
para calcular o MI em torno do 
eixo 𝑦 que passa pela outra base
O elemento mostrado é um 
retângulo, que tem MI em torno 
de 𝑦 igual a um retângulo de base 
𝑑𝑦 e altura 𝑏:
𝑑𝐼𝑦 =
𝑏3
3
𝑑𝑦
O MI será, então
𝐼𝑦 = ׬0
ℎ
𝑑𝐼𝑦 = ׬0
ℎ 𝑏3
3
𝑑𝑦 =
ℎ𝑏3
3
MI do retângulo
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
3
𝐼𝑦 =
ℎ𝑏3
3
Momento polar de inércia
Mede a resistência ao giro em 
torno de um eixo perpendicular ao 
plano que contem a área
𝐽𝑂 = ׬𝐴 𝑟
2𝑑𝐴
Se forem conhecidos os MIs em 
torno de eixos perpendiculares 
que se cruzam em 𝑂,
𝐽𝑂 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
Raio de giração de uma área
É a distância de uma área igual à 
do corpo, concentrada, e que 
provoca o mesmo momento de 
inércia
𝑘𝑦
2 𝐴 = 𝐼𝑦
𝑘𝑦 =
𝐼𝑦
𝐴
Raio de giração de uma área
É a distância de uma área igual à 
do corpo, concentrada, e que 
provoca o mesmo momento de 
inércia
𝑘𝑦
2 𝐴 = 𝐼𝑦
𝑘𝑦 =
𝐼𝑦
𝐴
𝑘𝑥 =
𝐼𝑥
𝐴
Raio de giração de uma área
É a distância de uma área igual à 
do corpo, concentrada, e que 
provoca o mesmo momento de 
inércia
𝑘𝑦
2 𝐴 = 𝐼𝑦
𝑘𝑦 =
𝐼𝑦
𝐴
𝑘𝑥 =
𝐼𝑥
𝐴
𝑘𝑂 =
𝐽𝑂
𝐴
Teorema dos Eixos Paralelos 
para Áreas
Seja o MI de uma área em relação 
a um dado eixo 𝐴𝐴′. Os pontos da 
área têm distância 𝑦 em relação a 
esse eixo.
𝐼𝐴𝐴′ = ׬𝐴 𝑦
2 𝑑𝐴
Teorema dos Eixos Paralelos 
para Áreas
Seja o MI de uma área em relação 
a um dado eixo 𝐴𝐴′. Os pontos da 
área têm distância 𝑦 em relação a 
esse eixo.
𝐼𝐴𝐴′ = ׬𝐴 𝑦
2 𝑑𝐴
Seja 𝐵𝐵′ um eixo paralelo a 𝐴𝐴′
que passe pelo centroide 𝐶 da 
área. A distância de um ponto a 
esse eixo centroidal é
𝑦′ = 𝑦 − 𝑑
Teorema dos Eixos Paralelos 
para Áreas
O MI em torno do eixo 𝐴𝐴′ será
𝐼𝐴𝐴′ = ׬𝐴 𝑦
2 𝑑𝐴 = ׬𝐴 𝑑 + 𝑦
′ 2 𝑑𝐴
= ׬𝐴 𝑦
′2𝑑𝐴 + 2𝑑 ׬𝐴 𝑦
′𝑑𝐴 + 𝑑2 ׬𝐴𝑑𝐴
Olhando cada integral
◦ ׬𝐴 𝑦
′2 𝑑𝐴: MI em torno de 𝐵𝐵′, eixo 
centroidal (𝐼𝑦)
◦ ׬𝐴 𝑦
′𝑑𝐴: momento de primeira ordem 
em torno do centroide = 0
◦ ׬𝐴 𝑑𝐴 = 𝐴
Teorema dos Eixos Paralelos 
para Áreas
𝐼𝐴𝐴′
= න
𝐴
𝑦′2𝑑𝐴 + 2𝑑න
𝐴
𝑦′𝑑𝐴 + 𝑑2න
𝐴
𝑑𝐴
𝐼𝐴𝐴′ = 𝐼𝐵𝐵′ + 𝑑
2𝐴
𝐼 = 𝐼 + 𝑑2 𝐴
𝐼: não passa pelo CG
𝐼: passa pelo CG
Teorema dos Eixos Paralelos 
para Áreas
𝐼𝐴𝐴′
= න
𝐴
𝑦′2𝑑𝐴 + 2𝑑න
𝐴
𝑦′𝑑𝐴 + 𝑑2න
𝐴
𝑑𝐴
𝐼𝐴𝐴′ = 𝐼𝐵𝐵′ + 𝑑
2𝐴
𝐼 = 𝐼 + 𝑑2 𝐴
𝐼: não passa pelo CG
𝐼: passa pelo CG
Teorema dos Eixos Paralelos 
para Áreas
𝐼 = 𝐼 + 𝑑2 𝐴
Consequências
◦ O MI em torno do CG é mínimo
◦ 𝑘2 = 𝑘
2
+ 𝑑2
◦ 𝐽𝑜 = 𝐽𝑐 + 𝑑
2 𝐴
◦ 𝑘𝑜
2 = 𝑘𝑐
2
+ 𝑑2
MI do retângulo
Em torno do eixo 𝑥′
𝐼𝑥′ = ׬𝐴 𝑦′
2 𝑑𝐴
MI do retângulo
Em torno do eixo 𝑥′
𝐼𝑥′ = ׬𝐴 𝑦′
2 𝑑𝐴
Tomamos um elemento de área 
que tem 𝑦′ constante.
𝐼𝑥′ = 𝑏 ׬−ℎ
2
ℎ
2 𝑦2 𝑑𝑦 ⇒ 𝐼𝑥′ =
𝑏ℎ3
12
MI do retângulo
Usando o TEP
◦ Tenho: 𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
3
, 𝐴 = 𝑏ℎ, 𝑑 =
ℎ
2
◦ Quero: 𝐼𝑥
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 + 𝑑
2𝐴
𝑏ℎ3
3
= 𝐼𝑥 +
ℎ
2
2
𝑏ℎ
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
3
−
𝑏ℎ3
4
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
12
𝐼𝑦 =
𝑏3ℎ
12
O MI do semicírculo e do 
quarto de círculo não são 
dados em torno do CG
MI de figuras compostas
= +
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥
1 + 𝐼𝑥
2
MI de figuras compostas
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥
1 + 𝐼𝑥
2
O momento de inércia de uma 
área composta é dado pela soma 
dos momentos de inércia de seus 
componentes em torno do mesmo 
eixo.
“Mesmo eixo” não significa 
somente 𝑥, 𝑦, 𝑧, mas também que 
passa pelo mesmo ponto.
Usa-se o TEP para computar os MI 
de cada parte em torno desse 
mesmo eixo.
= +
MI de figuras compostas
Especificamente nesse caso, quais 
os problemas
◦ Se sabe o MI do quadrado em 
relação à base: eixo 𝑥
◦ Não se sabe o MI do semicírculo 
em relação ao eixo 𝑥
◦ Nem se sabe o MI do semicírculo 
em relação ao próprio CG
Solução
◦ Calcula 𝐼 do semicírculo
◦ Calcula 𝐼𝑥 do semicírculo
◦ Calcula 𝐼𝑥 do retângulo
◦ Soma
= +
MI de figuras compostas
E se pedisse o MI em torno do eixo 
𝑥′ que passa pelo CG?
◦ Calcula a posição do CG
◦ Calcula MI do semicírculo em torno 
de seu próprio CG por TEP
◦ Calcula MI do semicírculo em torno 
do CG da figura (𝑋) por TEP
◦ Calcula MI do retângulo em torno 
de 𝑋 por TEP
◦ Soma
Só posso somar quanto tiver todos 
os MIs em torno do mesmo eixo.
= +