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IFBA Ca´lculo 1 Versa˜o 1 Allan de Sousa Soares Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG Vito´ria da Conquista - BA 2013 Aula 1 Objetivos - Apresentar a definic¸a˜o de limite de uma fuc¸a˜o; - Entender a ide´ia de limite; - Entender a ide´ia de limite geometricamente. 0.1 A Ide´ia de Limite Exemplo 1. Consideremos a func¸a˜o f(x) = x + 3. Qual o comportamento de f(x) nas proximidades de a = 2, isto e´, para valores de de x menores que 2 e valores de x maiores que 2. Vejamos a tabela a seguir: x f(x) 1, 5 4, 5 1, 7 4, 7 1, 9 4, 9 1, 99 4, 99 1, 999 4, 999 x f(x) 2, 5 5, 5 2, 3 5, 3 2, 1 5, 1 2, 01 5, 01 2, 001 5, 001 Observe que os valores de f(x) parecem se aproximar de 5 (o que sera´ confirmado logo mais) quando x se aproxima de 2, tanto para valores de x menores que 2 quanto para valores de x maiores que 2. Em particular, f(2) = 5. Exemplo 2. Consideremos a func¸a˜o f(x) = x 2−1 x−1 . Qual o comportamento de f(x) nas proximidades de a = 1, isto e´, para valores de de x menores que 1 e valores de x maiores que 1. Vejamos x f(x) 0, 5 1, 5 0, 7 1, 7 0, 9 1, 9 0, 99 1, 99 0, 999 1, 999 x f(x) 1, 5 2, 5 1, 3 2, 3 1, 1 2, 1 1, 01 2, 01 1, 001 2, 001 Observe que os valores de f(x) parecem se aproximar de 2 (o que sera´ confirmado logo mais) quando x se aproxima de 1, tanto para valores de x menores que 1 quanto para valores de x maiores que 1. Em particular, f(1) na˜o esta´ definida. Em geral, utilizaremos a seguinte notac¸a˜o: Definic¸a˜o 3. Escrevemos limx→af(x) = L para dizer que o limite de f(x), quando x tende a a, e´ igual a L. Isto e´, quando x aproxima-se de a, para valores arbitrariamente pro´ximos de a (tanto maiores quanto menores que a) f(x) se aproxima de L. Embora o valor de x se aproxime de a, este na˜o deve ser igual a a. Em termos geome´tricos, temos: (1) 1 Segundo a definic¸a˜o acima, nos Exemplos 1 e 2, temos limx→2x + 3 = 5 e limx→1 x 2−1 x−1 = 2. Em particular, nos Exemplos 1 e 2, temos a seguinte representac¸a˜o geome´trica: (2) E´ importante observar, que a noc¸a˜o de limite na˜o depende do ponto a. Ale´m disso pode ser que o limite nem ao menos exista, como ocorre no Exemplo 2. Exemplo 4. Mostremos que limx→0 1x na˜o existe. Soluc¸a˜o: Consideremos a tabela a seguir: x f(x) −0, 1 −10 −0, 01 −100 −0, 001 −1000 −0, 0001 −10000 −0, 00001 −100000 x f(x) 0, 1 10 0, 01 100 0, 001 1000 0, 0001 10000 0, 00001 100000 Observe que f(x) cresce indefinidamente quando os valores de x se aproximam de zero pela direita (x > 0) e decrescem indefinidamente quando os valores de x se aproximam de zero pela esquerda (x < 0). Graficamente, temos (3) Portanto, o limite na˜o existe. 0.2 Limites Laterais Nos casos exemplos anteriores estudamos de forma sistema´tica cada limite observando o que acontece quando x tende a a pela esquerda e quando x tende a a pela direita separadamente. Isto motiva a seguinte definic¸a˜o: Definic¸a˜o 5. Escrevemos limx→a−f(x) = L e dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ igual a L se pudermos tomar os valores de f(x) arbitrariamente pro´ximos de L, tomando-se x suficientemente pro´ximo de a e x menor que a. Definimos de maneira ana´loga limx→a+f(x) = L. 2 Em termos geome´tricos, temos: (4) Exemplo 6. Estude o comportamento da func¸a˜o a seguir quando x→ 0. f(x) = x + 3, x < 0 4, x = 0 2x + 1, x > 0 . Soluc¸a˜o: Considere a tabela a seguir: x f(x) = x + 3 −0, 1 2, 9 −0, 01 2, 99 −0, 001 2, 999 x f(x) = 2x + 1 0, 1 1, 2 0, 01 1, 02 0, 001 1, 002 Por meio das tabelas acima e´ poss´ıvel ver que limx→0−f(x) = 3 e que limx→0−f(x) = 1. Logo, o limite na˜o existe. As definic¸o˜es de limite 3 e 5 de limites laterais nos remete ao seguinte resultado. Teorema 7. limx→af(x) = L se, e somente se, limx→a−f(x) = L e limx→a+f(x) = L. Exerc´ıcio 1. Estime os seguintes limites: a) limx→42x− 3; b) limx→2 x 3−2x2 3x−6 ; c) limx→3f(x), onde f(x) = x2 − 3, x < 3 4, x = 3 −x + 9, x > 3 ; d) limx→2 √ x− 2. Respostas: a) 5; b) 43 ; c) 6; d) Na˜o existe, pois f(x) na˜o esta´ definida para x < 2. Neste caso, temos somente limx→2+ √ x− 2 = 0. Exerc´ıcio 2. Use o gra´fico para determinar cada limite, quando existe: i) limx→1+f(x) ii) limx→1−f(x) iii) limx→1f(x) iv) f(1) v) limx→0+f(x) vi)limx→0−f(x) vii) limx→0f(x) viii) f(0) ix) limx→−3+f(x) x) limx→−2f(x). (5) Respostas: i) 4, ii) -2, iii) na˜o existe, iv) 4, v) -1, vi) -1, vii) -1, viii) -1, ix) -4, x) na˜o existe. 3
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