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Limite - definição

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 1
Objetivos
- Apresentar a definic¸a˜o de limite de uma fuc¸a˜o;
- Entender a ide´ia de limite;
- Entender a ide´ia de limite geometricamente.
0.1 A Ide´ia de Limite
Exemplo 1. Consideremos a func¸a˜o f(x) = x + 3. Qual o comportamento de f(x) nas proximidades de a = 2, isto
e´, para valores de de x menores que 2 e valores de x maiores que 2. Vejamos a tabela a seguir:
x f(x)
1, 5 4, 5
1, 7 4, 7
1, 9 4, 9
1, 99 4, 99
1, 999 4, 999
x f(x)
2, 5 5, 5
2, 3 5, 3
2, 1 5, 1
2, 01 5, 01
2, 001 5, 001
Observe que os valores de f(x) parecem se aproximar de 5 (o que sera´ confirmado logo mais) quando x se aproxima
de 2, tanto para valores de x menores que 2 quanto para valores de x maiores que 2. Em particular, f(2) = 5.
Exemplo 2. Consideremos a func¸a˜o f(x) = x
2−1
x−1 . Qual o comportamento de f(x) nas proximidades de a = 1, isto
e´, para valores de de x menores que 1 e valores de x maiores que 1. Vejamos
x f(x)
0, 5 1, 5
0, 7 1, 7
0, 9 1, 9
0, 99 1, 99
0, 999 1, 999
x f(x)
1, 5 2, 5
1, 3 2, 3
1, 1 2, 1
1, 01 2, 01
1, 001 2, 001
Observe que os valores de f(x) parecem se aproximar de 2 (o que sera´ confirmado logo mais) quando x se aproxima
de 1, tanto para valores de x menores que 1 quanto para valores de x maiores que 1. Em particular, f(1) na˜o esta´
definida.
Em geral, utilizaremos a seguinte notac¸a˜o:
Definic¸a˜o 3. Escrevemos
limx→af(x) = L
para dizer que o limite de f(x), quando x tende a a, e´ igual a L. Isto e´, quando x aproxima-se de a, para valores
arbitrariamente pro´ximos de a (tanto maiores quanto menores que a) f(x) se aproxima de L. Embora o valor de x se
aproxime de a, este na˜o deve ser igual a a.
Em termos geome´tricos, temos:
(1)
1
Segundo a definic¸a˜o acima, nos Exemplos 1 e 2, temos limx→2x + 3 = 5 e limx→1 x
2−1
x−1 = 2.
Em particular, nos Exemplos 1 e 2, temos a seguinte representac¸a˜o geome´trica:
(2)
E´ importante observar, que a noc¸a˜o de limite na˜o depende do ponto a. Ale´m disso pode ser que o limite nem ao
menos exista, como ocorre no Exemplo 2.
Exemplo 4. Mostremos que limx→0 1x na˜o existe.
Soluc¸a˜o: Consideremos a tabela a seguir:
x f(x)
−0, 1 −10
−0, 01 −100
−0, 001 −1000
−0, 0001 −10000
−0, 00001 −100000
x f(x)
0, 1 10
0, 01 100
0, 001 1000
0, 0001 10000
0, 00001 100000
Observe que f(x) cresce indefinidamente quando os valores de x se aproximam de zero pela direita (x > 0) e decrescem
indefinidamente quando os valores de x se aproximam de zero pela esquerda (x < 0). Graficamente, temos
(3)
Portanto, o limite na˜o existe.
0.2 Limites Laterais
Nos casos exemplos anteriores estudamos de forma sistema´tica cada limite observando o que acontece quando x
tende a a pela esquerda e quando x tende a a pela direita separadamente. Isto motiva a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 5. Escrevemos
limx→a−f(x) = L
e dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ igual a L se pudermos tomar os valores de f(x)
arbitrariamente pro´ximos de L, tomando-se x suficientemente pro´ximo de a e x menor que a. Definimos de maneira
ana´loga limx→a+f(x) = L.
2
Em termos geome´tricos, temos:
(4)
Exemplo 6. Estude o comportamento da func¸a˜o a seguir quando x→ 0.
f(x) =

x + 3, x < 0
4, x = 0
2x + 1, x > 0
.
Soluc¸a˜o: Considere a tabela a seguir:
x f(x) = x + 3
−0, 1 2, 9
−0, 01 2, 99
−0, 001 2, 999
x f(x) = 2x + 1
0, 1 1, 2
0, 01 1, 02
0, 001 1, 002
Por meio das tabelas acima e´ poss´ıvel ver que limx→0−f(x) = 3 e que limx→0−f(x) = 1. Logo, o limite na˜o existe.
As definic¸o˜es de limite 3 e 5 de limites laterais nos remete ao seguinte resultado.
Teorema 7. limx→af(x) = L se, e somente se, limx→a−f(x) = L e limx→a+f(x) = L.
Exerc´ıcio 1. Estime os seguintes limites:
a) limx→42x− 3;
b) limx→2 x
3−2x2
3x−6 ;
c) limx→3f(x), onde
f(x) =

x2 − 3, x < 3
4, x = 3
−x + 9, x > 3
;
d) limx→2
√
x− 2.
Respostas: a) 5; b) 43 ; c) 6; d) Na˜o existe, pois f(x) na˜o esta´ definida para x < 2. Neste caso, temos somente
limx→2+
√
x− 2 = 0.
Exerc´ıcio 2. Use o gra´fico para determinar cada limite, quando existe:
i) limx→1+f(x) ii) limx→1−f(x) iii) limx→1f(x) iv) f(1) v) limx→0+f(x)
vi)limx→0−f(x) vii) limx→0f(x) viii) f(0) ix) limx→−3+f(x) x) limx→−2f(x).
(5)
Respostas: i) 4, ii) -2, iii) na˜o existe, iv) 4, v) -1, vi) -1, vii) -1, viii) -1, ix) -4, x) na˜o existe.
3