Limite - teorema do confronto

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 4
Objetivos
- Utilizar o Teorema do Confronto no ca´lculo de limites;
- Calcular limites derivados dos limites fundamentais:
limx→0
sen(x)
x
= 1, limx→±∞
(
x +
1
x
)x
= e.
0.1 Teorema do Confronto
Apresentaremos a seguir um teorema bastante u´til quando se tem uma func¸a˜o ”espremida”entre outras duas.
Mais precisamente, temos:
Teorema 1. Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x esta´ pro´ximo de a, (exceto possivelmente em a) e
limx→af(x) = limx→ah(x) = L,
enta˜o
limx→ag(x) = L.
Exemplo 2. Mostre que limx→0x2sen
(
1
x
)
= 0.
Soluc¸a˜o: Segue da trigonometria que
−1 < sen
(
1
x
)
< 1 (1)
Multiplicando ambos os lados de (1) por x2, temos
−x2 ≤ x2sen
(
1
x
)
≤ x2.
Como limx→0 − x2 = limx→0x2 = 0, temos, pelo Teorema 1 que
limx→0x2sen
(
1
x
)
= 0.
Observe a seguir, os gra´ficos de x2, −x2 e de x2sen ( 1x).
(2)
Exemplo 3. Se 3x ≤ f(x) ≤ x3 + 2 para 0 ≤ x ≤ 2, encontre limx→1f(x).
Soluc¸a˜o: Note que limx→13x = 3 e limx→1x3 + 2 = 3. Usando o enunciado do problema, o Teorema 1 nos garante
que limx→1f(x) = 3.
1
Exemplo 4. Prove que limx→0+
√
xesen(
pi
x ) = 0.
Soluc¸a˜o: Sabemos que
−1 ≤ sen
(pi
x
)
≤ 1. (3)
Elevando ambos a e ambos os membros de (3), temos
e−1 ≤ esen(pix ) ≤ e1. (4)
Multiplicando ambos os membros de (4) por
√
x, temos
e−1
√
x ≤ √xesen(pix ) ≤ √xe1.
Como limx→0+e−1
√
x = limx→0+e
√
x = 0, temos, pelo Teorema 1 que
limx→0+
√
xesen(
pi
x ) = 0.
Exerc´ıcio 1. Mostre limx→0x4sen
(
1
3
√
x
)
= 0.
Exerc´ıcio 2. Se 0 ≤ f(x) ≤ c para algum real c, prove que limx→0x2f(x) = 0.
Exerc´ıcio 3. Mostre que limx→0
|x|√
x4+4x2+7
= 0.
Dica: Lembre-se que
|x| =
 x, x ≥ 0−x, x < 0 ,
donde temos que |x| ≥ 0, ∀x ∈ R. Assim, podemos tomar f(x) = −|x| e h(x) = |x| e usar o Teorema 1.
Exerc´ıcio 4. Mostre que limx→0xsen
(
1
x
)
= 0.
Dica: Use a dica do exerc´ıcio anterior.
0.2 Limites Fundamentais
Faremos uso agora de alguns limites conhecidos. Sua importaˆncia e´ tamanha que receberam nomes especiais.
Veremos, que, a partir destes, poderemos calcular uma poc¸a˜o de outros limites.
0.2.1 Limite Fundamental: limx→0
sen(x)
x
= 1.
A demonstrac¸a˜o deste resultado encontra-se acess´ıvel em livros de ca´lculo, pore´m, a faremos mais a frente, de
forma bastante simples usando derivadas.
Exemplo 5. Sabendo que limx→0
sen(x)
x = 1 calcule os limites a seguir:
a) limx→0
sen(2x)
x ;
b) limx→0
sen(−3x)
5x ;
c) limx→0
sen2(x)
x2 ;
d) limx→0
cos(x)−1
x ;
e) limx→0
tg(x)
x .
Soluc¸a˜o: a)
limx→0
sen(2x)
x
= limx→0
sen(2x)
x
2
2
= 2.limx→0
sen(2x)
2x
= 2.1 = 2.
b)
limx→0
sen(−3x)
5x
= limx→0
sen(−3x)
5x
−3
−3 =
−3
5
limx→0
sen(−3x)
−3x =
−3
5
.1 = −3
5
.
2
c)
limx→0
sen2(x)
x2
= limx→0
sen(x).sen(x)
x.x
= limx→0
sen(x)
x
.
sen(x)
x
= 1.1 = 1.
d)
limx→0
1− cos(x)
x
= limx→0
1− cos(x)
x
.
1 + cos(x)
1 + cos(x)
= limx→0
1− cos2(x)
x(1 + cos(x))
=
limx→0
sen2(x)
x(1 + cos(x))
= limx→0
sen(x)
x
.
sen(x)
1 + cos(x)
= 1.
0
1 + 1
= 1.
0
2
= 0.
Observe que usamos as fo´rmulas: i) (a+ b)(a− b) = a2 − b2 e ii) sen2(x) + cos2x = 1 ∀x ∈ R.
e)
limx→0
tg(x)
x
= limx→0
sen(x)
cos(x)
x
= limx→0
sen(x)
cos(x)
.
1
x
= limx→0
sen(x)
x
.
1
cos(x)
= 1.
1
cos(0)
= 1.1 = 1.
Exerc´ıcio 5. Calcule os seguintes limites:
a) limx→0
sen(7x)
4x b) limx→0
sen(2x)
sen(3x) c) limx→0
tg(2x)
3x d) limx→0
1−cos(x)
x2 e) limx→0
1−sec(x)
x2
f) limx→0
√
1+sen(x)−
√
1−sen(x)
x g) limx→0
tg(x)+sen(x)
x h) limx→0
sen(x)−sen(a)
x−a
Respostas: a) 74 , b)
2
3 , c)
2
3 , d)
1
2 , e) − 12 , f) 1, g) 2, h) cos(a).
0.2.2 Limite Fundamental: limx→±∞
(
1 + 1
x
)x
= e.
A demonstrac¸a˜o deste resultado encontra-se acess´ıvel em livros de ca´lculo, pore´m, a faremos mais a frente, de
forma bastante simples usando derivadas.
Exemplo 6. Sabendo que limx→±∞
(
1 + 1x
)x
= e calcule os limites a seguir:
a) limx→−∞
(
1 + 1x
)2x
;
b) limx→+∞
(
1 + 12x
)x
;
c) limx→−∞
(
1− 3x
)x
;
d) limx→+∞
(
x
x−1
)x
;
e) limx→−∞
(
x+5
x+2
)3x−1
.
Soluc¸a˜o: a)
limx→−∞
(
1 +
1
x
)2x
= limx→−∞
((
1 +
1
x
)x)2
= e2.
b) Note que se, x→ +∞ enta˜o u = 2x→ +∞. Assim,
limx→+∞
(
1 +
1
2x
)x
= limu→+∞
(
1 +
1
u
)u
2
= limu→+∞
((
1 +
1
u
)u) 12
= e
1
2 .
c) Da mesma forma que a anterior, usemos a substituic¸a˜o, u = x−3 ou melhor, x = −3u. Assim,
limx→−∞
(
1− 3
x
)x
= limu→−∞
(
1− 3−3u
)3u
= limu→−∞
((
1 +
1
u
)u)3
.
d) Temos que, se x→ +∞ enta˜o u = x− 1→ +∞. Assim,
limx→+∞
(
x
x− 1
)x
= limu→+∞
(
u+ 1
u
)u+1
= limu→+∞
(
1 +
1
u
)u+1
=
limu→+∞
(
1 +
1
u
)u
.
(
1 +
1
u
)1
= e.1 = e.
e) Usando, seguidamente, as mudanc¸as u = x+ 2 e u = 3v, temos
limx→−∞
(
x+ 5
x+ 2
) x
3−1
= limu→−∞
(
u+ 3
u
) (u−2)
3 −1
= limu→−∞
(
1 +
3
u
)u
3− 23−1
=
3
limv→−∞
(
1 +
1
v
) 3v
3 − 53
= limv→−∞
(
1 +
1
v
)v
.
(
1 +
1
v
)− 53
= e.1 = e.
Em particular, o gra´fico de y =
(
x+5
x+2
) x
3−1
e´ dado por
(5)
Exerc´ıcio 6. Calcule os seguintes limites:
a) limx→+∞
(
1 + 1x
)3x
b) limx→+∞
(
1 + 5x
)x
c) limx→+∞
(
1 + 2x
)3x
d) limx→+∞
(
x
x+1
)x
e) limx→+∞
(
x−1
x+1
)x
f) limx→+∞
(
x2+1
x2−3
)x2
g) limx→+∞
(
2x+3
2x+1
)x
Respostas: a) e3, b) e3, c) e6, d) e−1, e) e2, f) e4, g) e.
4