Limites em módulo

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 5
Objetivos
- Ca´lculo de limites envolvendo func¸o˜es limitadas;
- Ca´lculo de limites envolvendo mo´dulos;
- Resoluc¸a˜o de problemas envolvendo limites.
0.1 Func¸o˜es Limitadas
Definic¸a˜o 1. Uma func¸a˜o f : R→ D e´ dita limitada se existe M ≥ 0 tal que −M < f(x) < M para todo x ∈ R.
Definic¸a˜o 2. Sa˜o func¸o˜es limitadas:
a) y = sen(x), pois −1 ≤ sen(x) ≤ 1;
b) y = cos(x), pois −1 ≤ cos(x) ≤ 1;
c) y = 1x2+1 , pois 0 <
1
x2 ≤ 1 (como 1x2+1 e´ sempre positiva e na˜o nula, na˜o precisamos tomar −1 ≤ 1x2+1 ≤ 1).
Teorema 3. Se f(x) ≤ g(x) quando x esta´ pro´ximo de a (exceto possivelmente em a) e os limites de f e g existirem
quando x tende a a, enta˜o
limx→af(x) ≤ limx→ag(x).
Exemplo 4. Calcule os seguintes limites:
a) limx→+∞
sen(x)
x ;
b) limx→−∞
3x2+x−cos(x)+1
x2−1 ;
c) limx→+∞
x3+x2sen(x)+2
sen(x)−3x2 ;
d) limx→+∞
x2+g(x)−3
x3+1 , onde −4 ≤ g(x) ≤ 5.
Soluc¸a˜o:
a) Note que −1 ≤ sen(x) < 1, donde para x muito grande, temos
− 1
x
≤ sen(x)
x
≤ 1
x
Assim,
limx→+∞ − 1
x
≤ limx→+∞ sen(x)
x
limx→+∞ ≤ 1
x
.
Sendo limx→+∞ − 1x = limx→+∞ 1x = 0, temos que
limx→+∞
sen(x)
x
= 0.
b) limx→−∞
3x2+x−cos(x)+1
x2−1 = limx→−∞
x2(3+ 1x− cos(x)x2 +
1
x2
)
x2(1− 1
x2
)
=(∗)= limx→−∞ 3x
2
x2 = limx→−∞
3
1 = 3.
(∗) Mostremos que limx→−∞ cos(x)x2 = 0. Como anteriormente, temos −1 ≤ sen(x) < 1, donde para x muito grande,
temos
− 1
x2
≤ cos(x)
x2
≤ 1
x2
Assim,
limx→+∞ − 1
x2
≤ limx→+∞ cos(x)
x2
limx→+∞ ≤ 1
x2
.
Sendo limx→+∞ − 1x2 = limx→+∞ 1x2 = 0, temos que
limx→+∞
cos(x)
x2
= 0.
1
c) limx→+∞
x3+x2sen(x)+2
sen(x)−3x2 = limx→+∞
x3(1+ sen(x)x +
2
x3
)
x2( sen(x)
x2
−3)
= limx→+∞ x
3
x2 = limx→+∞x = +∞
d) limx→+∞
x2+g(x)−3
x3+1 = limx→+∞
x2(1+ g(x)
x2
− 3
x2
)
x3(1+ 1
x3
)
=(∗)= limx→+∞ x
2
x3 = limx→+∞
1
x = 0.
(∗) Como −4 ≤ g(x) ≤ 5, temos
− 4
x2
≤ g(x)
x2
≤ 5
x2
.
Aplicando limite o limite quando x tende a +∞ a ambos os membros, temos
limx→+∞frac4x2 ≤ limx→+∞ g(x)
x2
≤ limx→+∞ 5
x2
.
Como limx→+∞ − 4x2 = limx→+∞ 5x2 = 0, temos
limx→+∞
g(x)
x2
= 0.
Exerc´ıcio 1. Calcule os seguintes limites:
a) limx→+∞ x
3+3x−1
2x3−3sen(x) b) limx→+∞
3x2−2xsen(x)+cos(x)
2x2+1 c) limx→+∞
x3+g(x)
3x2+1 , onde 0 ≤ g(x) ≤ 1.
Respostas: a) frac12 b) 32 c) +∞
0.2 Limites Envolvendo Mo´dulos
Definic¸a˜o 5. Definiremos o mo´dulo (ou valor absoluto) de uma func¸a˜o f(x) como sendo |f(x)|, onde
|f(x)| =
 f(x), x ≥ 0−f(x), x < 0 .
Exemplo 6. Calcule os seguintes limites:
a) limx→0 x|x| ;
b) limx→1 x|x−1| ;
c) limx→2
|x|−2
|x−2| ;
d) limx→2
|x−2|
(x−2)2 ;
e) limx→−∞
|x|3−x3+2x
3x3−1 .
Soluc¸a˜o: a) Devemos calcular os limites laterais:
i) limx→0+ x|x| = limx→0+
x
x = limx→0+1 = 1.
ii) limx→0− x−x = limx→0+ − 1 = −1.
Logo, o limite na˜o existe.
b) Da mesma forma que no item anterior, calcularemos os limites laterais.
i) limx→1+ 1|x−1| = limx→1+
1
x−1 = +∞
ii) limx→1− 1|x−1| = limx→1−
1
−(x−1) = +∞.
Logo, limx→1 1|x−1| = +∞.
c) Vejamos os limites laterais
i) limx→2+
|x|−2
|x−2| = limx→2+
x−2
x−2 = 1
ii) limx→2−
|x|−2
|x−2| = limx→2−
x−2
−(x−2) = −1
Logo, o limite na˜o existe.
d) Vejamos os limites laterais
i) limx→2+
|x−2|
(x−2)2 = limx→2+
x−2
(x−2)2 = limx→2+
1
x−2 = +∞
ii) lim
x→2− |x−2|
(x−2)2=limx→2−
−(x−2)
(x−2)2 =limx→2−
−1
(
x−2 = +∞
Logo, limx→2
|x−2|
(x−2)2 = +∞.
2
e) Vejamos os limites laterais
i) limx→−∞
|x|3−x3+2x
3x3−1 = limx→−∞
(−x)3−x3+2x
3x3−1 = limx→−∞
−x3−x3+2x
3x3−1 = imx→−∞
−2x3+2x
3x3−1 = imx→−∞
−2x3
3x3 = − 23 .
Exerc´ıcio 2. Calcule os seguintes limites:
a) limx→3 1|x−3| b) limx→−2
x+2
|x+2| c) limx→0
x(x−1)
|x| d) limx→∞
|x|5−x5+2x
3x3−1
Respostas: a) +∞, b) na˜o existe, c) na˜o existe, d) 0.
0.3 Problemas Envolvendo Limites
Inu´meros problemas na pra´tica envolvem limites. Vejamos alguns exemplos a seguir:
Exemplo 7. A populac¸a˜o de uma cidade num dado ano t e´ fornecida pela fo´rmula
P (t) =
10000t2 + 100
t2 + 1
.
Determine:
a) A populac¸a˜o inicial da cidade.
b) A populac¸a˜o da cidade no instante t = 7 anos.
c) A populac¸a˜o da cidade num futuro distante.
Soluc¸a˜o: a) A populac¸a˜o inicial da cidade e´ dada por
P (0) =
10000.02 + 100
02 + 1
=
100
1
= 100habitantes.
b) A populac¸a˜o da cidade no instante t = 7 e´ dada por
P (7) =
10000.72 + 100
72 + 1
= 9802habitantes.
c) Num futuro distante, a populac¸a˜o da cidade sera´ dada por
limt→+∞
10000t2 + 100
t2 + 1
= limt→+∞
10000t2
t2
= 10000habitantes.
Exemplo 8. A quantidade de certa bacte´ria e´ dada por
N(t) = 25e0,12t.
Determine:
a) A quantidade inicial de bacte´rias nesta amostra.
b) A quantidade de bacte´rias quando t→ +∞.
Soluc¸a˜o: a) A quantidade inicial e´ dada por
N(0) = 25e0,12.0 = 25e0 = 25.1 = 25 bacterias.
b) Calculemos o limite quando t→ +∞:
limt→+∞25e0,12.t = 25e0,12.+∞ = 25e+∞ = 25. +∞ = +∞.
Assim, a populac¸a˜o tendera´ ao infinito.
Exemplo 9. A quantidade de um material radiativo em certa amostra e´ dada por
Q(t) =
100
1 + et
,
3
com Q(t) em gramas e t dado em anos.
Determine:
a) A quantidade inicial de material nesta amostra.
b) A quantidade de material ao longo de muitos anos.
Soluc¸a˜o: a) A quantidade inicial e´ dada por
Q(0) =
100
1 + e0
=
100
1 + 1
= 50 g.
b) A quantidade ao longo de um per´ıodo de tempo muito longo e´ dada por
limt→+∞Q(t) =
100
1 + et
=
100
1 + e+∞
=
1 +∞
=
100
+∞ = 0.
Exemplo 10. A temperatura T de certo bolo, em graus celsius, apo´s retirado do forno, e´ dada por:
T (t) = 20 + 23e−0,19t.
Nestas condic¸o˜es qual deve ser a temperatura do bolo para um tempo relativamente grande, isto e´, a temperatura em
que entrara´ em equil´ıbrio te´rmico com o ambiente. Suponha que a temperatura ambiente permanec¸a constante.
Soluc¸a˜o: Basta tomar o limite
limt→+∞20 + 23e−0,19t = 20 + 23e−0,19.+∞ = limt→+∞20 + 23e−∞ = 20 +
23
e+∞
= 20 +
23
+∞ = 20 + 0 = 20.
Logo, o equil´ıbrio te´rmico sera´ atingido quando o bolo estiver a 20o C.
Exerc´ıcio 3. Um problema importante na pesca e´ predizer a populac¸a˜o procriadora adulta do pro´ximo ano (recrutas,
R) para um nu´mero S presentemente em desova. Para uma certa espe´cie de uma regia˜o a relac¸a˜o entre R e S e´ dada
por
R =
1000S
S + 10
.
Que acontece quando o nu´mero de procriadores S aumenta?
Resposta: A populac¸a˜o de recrutas se estabilizara´ em 1000 indiv´ıduos.
Exerc´ıcio 4. A quantidade de certo parasita em certa amostra e´ dada por
Q(t) =
20t2 + 10
t2 + 1
+
200
2 + 3et
,
onde t e´ dado em horas.
Determine:
a) A quantidade inicial de material nesta amostra.
b) A quantidade de parasitas quando t = 2 horas.
c) A quantidade de parasita para um tempo suficientemente grande.
Resposta: a) 50 b) aproximadamente 26 c) 20 (Dica: divida em dois limites)
4