Limite - continuidade

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 6
Objetivos
- Definir o conceito de continuidade de uma func¸a˜o em um ponto do
se seu domı´nio;
- Apresentar a ide´ia geome´trica por traz do conceito de continuidade;
- Classificar os tipos de descontinuidade de uma func¸a˜o em um ponto.
0.1 Continuidade
Em alguns casos podemos calcular o limite de uma func¸a˜o quando x tende a a simplesmente avaliando a func¸a˜o
em a. As func¸o˜es com essa propriedades sa˜o ditas cont´ınuas em a.
Definic¸a˜o 1. Uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um nu´mero a se
limx→af(x) = f(a).
A verificac¸a˜o da continuidade por meio da Definic¸a˜o 0.1 se da´ em treˆs etapas:
i) Verificar se f(a) esta´ definida;
ii) Verificar se limx→af(x) existe;
iii) Verificar se ocorre a igualdade limx→af(x) = f(a).
No caso em que as etapas acima sejam, todas, satisfeitas, dizemos que a func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto a.
Uma func¸a˜o que na˜o e´ cont´ınua no ponto a e´ dita descont´ınua em a. Uma func¸a˜o f que e´ cont´ınua em todos os
pontos do seu domı´nio e´ simplesmente chamada de cont´ınua (neste domı´nio).
A descontinuidade pode ser classificada em treˆs casos:
a) Remov´ıvel: Ocorre quando
i) f(a) pode esta´ definida ou na˜o;
ii) limx→af(x) existe;
iii) limx→af(x) 6= f(a).
Como o pro´prio nome ja´ diz, esta descontinuidade pode ser removida tornando o valor de f(a) igual ao limx→af(x).
Exemplo 2. Considere a func¸a˜o
f(x) =

x2 + 1, x < 1
−1, x = 1
x
2 +
3
2 , x > 1
.
Note que esta func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 1, pois limx→1f(x) = 2 e f(1) = −1, isto e´, limx→1f(x) 6= f(1).
Graficamente, temos
(1)
1
Poder´ıamos tornar f cont´ınua simplesmente a reescrevendo da seguinte forma:
f(x) =

x2 + 1, x < 1
2, x = 1
x
2 +
3
2 , x > 1
.
b) Salto: Ocorre quando os limites laterais existem mas sa˜o diferentes.
Exemplo 3. A func¸a˜o
f(x) =
 x− 2, x > 02x + 1, x ≤ 0 .
apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x = 0 pois
limx→0−f(x) = 1 e limx→0+f(x) = −2.
Graficamente, temos
(2)
c) Infinita: Ocorre quando algum dos limites laterais (ou ambos) assumirem +∞ ou −∞ (na˜o necessariamente ambos
indo para +∞ ou −∞ simultaneamente).
Exemplo 4. A func¸a˜o f(x) = 1x−1 tem uma descontinuidade infinita em x = 1 pois limx→1−f(x) = −∞ e
limx→1+f(x) = +∞. Geometricamente, temos
(3)
O teorema a seguir nos apresenta as func¸o˜es cont´ınuas (em todos os pontos de seu domı´nio) mais comuns vista
durante um curso de ca´culo.
Teorema 5. O seguintes tipos de func¸o˜es sa˜o cont´ınuas em todos os pontos do seu domı´nio.
i) Polinoˆmios: f(x) = x2 + 2, f(x) = −5x10 + x3 − 1;
ii) Racionais com denominador na˜o nulo: f(x) = 1x2+4 ,
x−1
x+2 em qualquer intervalo na˜o contendo o 2;
iii) Trigonome´tricas (senos e cossenos): y = sen(x), y = cos(x), y = sen(3x) + cos2(x).
iv) Exponeciais: y = ex, y =
(
1
3
)x
.
2
Teorema 6. Se f e g forem cont´ınuas no ponto a e se c for uma constante, enta˜o as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas,
tambe´m, em a:
i) f + g ii) f − g iii) cf iv) fg v) fg , g(a) 6= 0
Exemplo 7. Vejamos agora alguns casos de func¸o˜es cont´ınuas:
a) h(x) = sen(x) + cos(x) e´ cont´ınua em todos os pontos pois, f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) sa˜o cont´ınuas em todos
os pontos.
b) h(x) = x
2
3x e´ cont´ınua, por exemplo, em x = 2 pois, f(x) = x
2 e g(x) = 3x sa˜o cont´ınuas em x = 2 e g(2) = 32 =
9 6= 0.
Exemplo 8. Verifique a func¸a˜o f e´ cont´ınua ou na˜o no ponto indicado a. Classifique as descontinuidades.
a) f(x) = x2 − 2x a = 1
b) f(x) = 1x2+1 a = −1
c) f(x) = x−2x2−4 a = 2
d) f(x) = 23−x a = 3
e) f(x) =
 x2 − 3, x > 23x− 5, x ≤ 2 a = 2
f) f(x) =

sen(2x)
x , x > 0
2, x = 0
1
x , x < 0
a = 0
Soluc¸a˜o:
a) Observe que limx→1x2 − 2x = −1 e f(1) = 12 − 2 = −1. Portanto, f e´ cont´ınua em x = 1.
b) Observe que f(−1) = 1(−1)1+1 = 11+1 = 12 e limx→−1 1x2+1 = 12 . Portanto, f e´ cont´ınua em x = −1.
c) f(2) na˜o esta´ definida pois, f(2) = 2−222−2 =
0
0 . Portanto, f e´ descont´ınua em x = 2. Por outro lado,
limx→2
x− 2
x2 − 4 = limx→2
x− 2
(x− 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
.
Como o limite existe temos que f apresenta uma descontinuidade remov´ıvel.
d) Note que f(3) na˜o esta´ definida pois, f(3) = 23−3 =
2
0 . Portanto, f e´ descont´ınua em x = 3. Por outro lado,
limx→3−
2
3− x = +∞ e limx→3+
2
3− x = −∞.
Logo, f apresenta uma descontinuidade infinita.
e) Observe que f(2) = 3.2− 5 = 1. Agora vejamos os limites laterais
limx→2−f(x) = limx→2−3x− 5 = 1 e limx→2+f(x) = limx→2+x2 − 3 = 1.
Como limx→2f(x) = f(2) temos que f e´ cont´ınua em x = 2.
f) Note que f(0) = 2. Da mesma forma que no item anterior calculemos os limites laterais.
limx→0+f(x) = limx→0+
sen(2x)
x
= limx→0+
sen(2x)
x
2
2
= 2.limx→0+
sen(2x)
2x
= 2.1 = 2
limx→0−f(x) = limx→0−
1
x
= ”
1
−0” = −∞.
Como na˜o existe limx→0−f(x) temos que na˜o existe e o limite e portanto, f(x) tem uma descontinuidade. Ale´m disso,
como limx→0−f(x) = −∞ e portanto a descontinuidade e´ infinita.
Exemplo 9. Encontre os pontos de descontinuidade das func¸o˜es a seguir:
a) y = 1x2−5x+6
b) y = 2x2+1
3
c) f(x) =

x + 2, x < 2
2x, x ≥ 2
x2, 2 < x < 4
16, x = 4
x−1
4−x , x > 4
Soluc¸a˜o:
a) Os candidatos a descontinuidade em uma func¸a˜o racional sa˜o os zeros do denominador:
x2 − 5x + 6 = 0⇒ x′ = 2 e x′′ = 3.
Como f na˜o esta´ definida nestes pontos, eles sa˜o realmente descontinuidades.
b) Da mesma forma que antes,
x2 + 1 = 0⇒ x2 = −1⇒ x = ±√−1 /∈ R.
Assim, f na˜o possui pontos de descontinuidade.
c) Observe que as func¸o˜es que formam f sa˜o polinoˆmios e constantes e portanto, a junc¸a˜o destas so´ podem ser
descont´ınuas nas junc¸o˜es entre estas func¸o˜es {2, 4}.
i) x = 2
limx→2−f(x) = limx→2−x + 2 = 4
limx→2+f(x) = limx→2+2x = 4
Como f(2) = 2.2 = 4, temos que f e´ cont´ınua em x = 2.
ii) x = 4
Basta observar que limx→4+f(x) = limx→4+ x−14−x = −∞ e portanto na˜o existe. Logo, f e´ descont´ınua em x = 4.
Exerc´ıcio 1. Verifique a func¸a˜o f e´ cont´ınua ou na˜o no ponto indicado a. Classifique as descontinuidades.
a) f(x) = x−1x+2 a = 1
b) f(x) = 1x2−1 a = −1
c) f(x) = x−3x2−9 a = 3
d) f(x) = −15−x a = 5
e) f(x) =

x2 + 1, x > 2
6, x = 2
3x + 1, x ≤ 2
a = 2
f) f(x) =

sen(2x)
3x , x > 0
2
3 , x = 0
x+2
x2+3 , x < 0
a = 0
Respostas: a) Cont´ınua, b) Descontinuidade infinita c) Descontinuidade remov´ıvel d) Descontinuidade infinita
e) Descontinuidade de salto f) Cont´ınua.
Exerc´ıcio 2. Encontre os pontos de descontinuidade das func¸o˜es a seguir:
a) y = 1x2−5x+6
b) y = 2x2+x+4
c) y = 2x3 + x2 − 3x + 1
d) f(x) =

1−cos(x)
x , x < 0
0, x = 0
2x − 1, x > 0
4
e) f(x) =

3x + 4, x < −2
3, x = −2
x2 − 6, −2 < x < 4
2x + 2, x ≥ 4
Respostas: a) 2 e 3 b) na˜o tem c) na˜o tem d) na˜o tem e) −2
5