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Derivada como função

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 8
Objetivos
- Compreender a derivada como uma func¸a˜o;
- Entender a relac¸a˜o entre a continuidade e a derivabilidade.
0.1 A Derivada Como Uma Func¸a˜o
Anteriormente consideramos a derivada em um nu´mero fixo a:
f ′(a) = limh→0
f(a + h)− f(a)
h
.
A partir deste momento consideraremos um ponto varia´vel, isto e´, substituiremos a pela varia´vel x no limite acima:
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)
h
.
Exemplo 1. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) y = x2 + 2x
b) y = x3 − x
c) y =
√
2x− 1
d) y = sen(x)
Soluc¸a˜o:
a)
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)
h
= limh→0
((x + h)2 + 2(x + h))− (x2 + 2x)
h
=
= limh→0
x2 + 2xh + h2 + 2x + 2h− x2 − 2x
h
= limh→0
2xh + h2 + 2h
h
=
= limh→02x + h + 2 = 2x + 2.
b)
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)
h
= limh→0
((x + h)3 − (x + h))− (x3 − x)
h
=
= limh→0
x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x− h− x3 + x
h
= limh→0
3x2h + 3xh2 + h3 − h
h
=
limh→03x2 + 3xh + h2 − 1 = 3x2 − 1.
c)
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)
h
= limh→0
(
√
2(x + h)− 1)− (√2x− 1)
h
=
= limh→0
√
2x + 2h− 1−√2x− 1
h
= limh→0
√
2x + 2h− 1−√2x− 1
h
√
2x + 2h− 1 +√2x− 1√
2x + 2h− 1 +√2x− 1 =
= limh→0
2x + 2h− 1− 2x + 1
h(
√
2x + 2h− 1 +√2x− 1) = limh→0
2h
h(
√
2x + 2h− 1 +√2x− 1) =
= limh→0
2√
2x + 2h− 1 +√2x− 1 =
2√
2x− 1 +√2x− 1 =
2
2
√
2x− 1 =
1√
2x− 1 .
d)
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)
h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)
h
=∗
= limh→0
sen(x)cos(h) + cos(x)sen(h)− sen(x)
h
= limh→0
sen(x)(cos(h)− 1) + cos(x)sen(h)
h
=
limh→0
sen(x)(cos(h)− 1)
h
+ limh→0
cos(x)sen(h)
h
= sen(x)limh→0
cos(h)− 1
h
+ cos(x)limh→0
sen(h)
h
=∗∗
1
sen(x).0 + cos(x).1 = cos(x).
∗ Fo´rmula trigonome´trica: sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b).
∗∗ Use limites fundamentais: i) limh→0 sen(h)h = 1, ii) limh→0 cos(h)−1h = 0.
Exemplo 2. Mostre que as func¸o˜es a seguir na˜o sa˜o diferencia´veis nos pontos dados:
a) f(x) = 1x−1 , a = 1;
b) f(x) = |x|, a = 0.
Soluc¸a˜o:
a) Calculemos f ′(x)
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)
h
= limh→0
1
x+h−1 − 1x−1
h
=
= limh→0
x−1−x−h+1
(x+h−1)(x−1)
h
= limh→0
−h
(x + h− 1)(x− 1)
1
h
=
= limh→0
−1
(x + h− 1)(x− 1) = −
1
(x− 1)(x− 1) = −
1
(x− 1)2 .
Observe que f ′(1) = − 1(1−1)2 = − 10 na˜o esta´ definida. Logo, f na˜o e´ diferenciaa´vel em x = 1.
b) Calcularmos diretamente f ′(0) (tente calculando f ′(x) e substituindo a = 0)
f ′(0) = limh→0
f(0 + h)− f(0)
h
= limh→0
|h| − |0|
h
= limh→0
|h|
h
.
Recorrendo aos limites laterais, temos
limh→0+
|h|
h
= limh→0
h
h
= 1
limh→0−
|h|
h
= limh→0
−h
h
= −1
e portanto f ′(0) na˜o existe.
Utilizaremos as seguintes notac¸o˜es para as a derivada de uma func¸a˜o y = f(x)
df
dx
,
dy
dx
, y′, f ′(x).
Teorema 3. Se f for diferencia´vel em a, enta˜o f e´ cont´ınua em a.
Demonstrac¸a˜o. Se f e´ diferencia´vel em a enta˜o
f ′(a) = limh→0
f(a + h)− f(a)
h
existe, isto e´, e´ um nu´mero real.
Devemos mostrar que limx→af(x) = f(a) ou limh→0f(a + h) = f(a).
Pois bem,
f(a + h)− f(a) = f(a + h)− f(a)
h
h (1)
Tomando o limite quando h→ 0 nos dois membros de (1), temos
limh→0f(a + h)− f(a) = limh→0 f(a + h)− f(a)
h
h = limh→0
f(a + h)− f(a)
h
.limh→0h = f ′(a).0 = 0.
Assim,
limh→0f(a + h)− f(a) = 0⇒ limh→0f(a + h)− limh→0f(a) = 0
limh→0f(a + h) = limh→0f(a)⇒ limh→0f(a + h) = f(a).
2
Agora vejamos como reconhecer a na˜o diferenciabilidade geometricamente.
Exemplo 4. Dada a func¸a˜o y = 1x−1 temos que a sua derivada e´ dada por y
′ = − 1(x−1)2 . Seus graficos sa˜o apresentados
a seguir:
(2)
Observe que, tanto a func¸a˜o y = 1x−1 quanto sua derivada y
′ = − 1(x−1)2 sa˜o descont´ınuas em x = −1. Em particular,
temos descontinuidades infinitas.
Exemplo 5. Dada a func¸a˜o y = 3
√
x temos que a sua derivada e´ dada por y′ = 1
3
3√
x2
. Seus graficos sa˜o apresentados
a seguir:
(3)
Observe que, a func¸a˜o y = 3
√
x e´ cont´ınua em x = 0, pore´m a tangente em x = 0 e´ vertical. Por outro lado, sua
derivada y′ = 1
3
3√
x2
apresenta uma descontinuidade infinita:
limx→0−f ′(x) = +∞ e limx→0+f ′(x) = +∞.
Quando a reta tangente em um ponto se torna vertical temos que sua inclinac¸a˜o corresponde a um aˆngulo de 90o.
Neste caso, m = tg(90o) = sen(90
o)
cos(90o) =
1
0 na˜o existe.
Exemplo 6. Dada a func¸a˜o y = x
2
3 temos que a sua derivada e´ dada por y′ = 23√x . Seus graficos sa˜o apresentados a
seguir:
(4)
3
Observe que, embora y = x
2
3 seja cont´ınua em x = 0 seu gra´fico apresenta um bico. Observe que suas tangentes sa˜o,
ao se aproximar de x = 0 tem inclinac¸a˜o infinita, pore´m
limx→0−f ′(x) = −∞ e limx→0+f ′(x) = +∞.
Neste caso, a derivada y′ = 23√x apresenta uma descontinuidade infinita.
Exerc´ıcio 1. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) y = 3;
b) y = 5x + 1;
c) y = 2x2 − x + 1;
d) y = −2x+1 ;
e) y = cos(x).
Respostas: a) y′ = 0, b) y′ = 5, c) y′ = 4x− 1, d) y′ = 2(x+1)2 , e) y′ = −sen(x)
Exerc´ıcio 2. Mostre que as func¸o˜es a seguir na˜o sa˜o diferencia´veis nos pontos indicados.
a) y =
√
x + 1, a = −1;
b) y = 12−x , a = 2;
c) y = |x− 1|, a = 1.
Exerc´ıcio 3. Encontre os pontos de descontinuidades de cada uma das func¸o˜es e suas respectivas derivadas.
a) y = −22x−1
b) y =
√
2− x
Respostas: a) y ⇒ a = 12 , y′ ⇒ a = 12 , b) y ⇒ cont´ınua ∀x ∈ R, y′ ⇒ a = 2.
4

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