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IFBA Ca´lculo 1 Versa˜o 1 Allan de Sousa Soares Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG Vito´ria da Conquista - BA 2013 Aula 8 Objetivos - Compreender a derivada como uma func¸a˜o; - Entender a relac¸a˜o entre a continuidade e a derivabilidade. 0.1 A Derivada Como Uma Func¸a˜o Anteriormente consideramos a derivada em um nu´mero fixo a: f ′(a) = limh→0 f(a + h)− f(a) h . A partir deste momento consideraremos um ponto varia´vel, isto e´, substituiremos a pela varia´vel x no limite acima: f ′(x) = limh→0 f(x + h)− f(x) h . Exemplo 1. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es: a) y = x2 + 2x b) y = x3 − x c) y = √ 2x− 1 d) y = sen(x) Soluc¸a˜o: a) f ′(x) = limh→0 f(x + h)− f(x) h = limh→0 ((x + h)2 + 2(x + h))− (x2 + 2x) h = = limh→0 x2 + 2xh + h2 + 2x + 2h− x2 − 2x h = limh→0 2xh + h2 + 2h h = = limh→02x + h + 2 = 2x + 2. b) f ′(x) = limh→0 f(x + h)− f(x) h = limh→0 ((x + h)3 − (x + h))− (x3 − x) h = = limh→0 x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x− h− x3 + x h = limh→0 3x2h + 3xh2 + h3 − h h = limh→03x2 + 3xh + h2 − 1 = 3x2 − 1. c) f ′(x) = limh→0 f(x + h)− f(x) h = limh→0 ( √ 2(x + h)− 1)− (√2x− 1) h = = limh→0 √ 2x + 2h− 1−√2x− 1 h = limh→0 √ 2x + 2h− 1−√2x− 1 h √ 2x + 2h− 1 +√2x− 1√ 2x + 2h− 1 +√2x− 1 = = limh→0 2x + 2h− 1− 2x + 1 h( √ 2x + 2h− 1 +√2x− 1) = limh→0 2h h( √ 2x + 2h− 1 +√2x− 1) = = limh→0 2√ 2x + 2h− 1 +√2x− 1 = 2√ 2x− 1 +√2x− 1 = 2 2 √ 2x− 1 = 1√ 2x− 1 . d) f ′(x) = limh→0 f(x + h)− f(x) h = limh→0 sen(x + h)− sen(x) h =∗ = limh→0 sen(x)cos(h) + cos(x)sen(h)− sen(x) h = limh→0 sen(x)(cos(h)− 1) + cos(x)sen(h) h = limh→0 sen(x)(cos(h)− 1) h + limh→0 cos(x)sen(h) h = sen(x)limh→0 cos(h)− 1 h + cos(x)limh→0 sen(h) h =∗∗ 1 sen(x).0 + cos(x).1 = cos(x). ∗ Fo´rmula trigonome´trica: sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b). ∗∗ Use limites fundamentais: i) limh→0 sen(h)h = 1, ii) limh→0 cos(h)−1h = 0. Exemplo 2. Mostre que as func¸o˜es a seguir na˜o sa˜o diferencia´veis nos pontos dados: a) f(x) = 1x−1 , a = 1; b) f(x) = |x|, a = 0. Soluc¸a˜o: a) Calculemos f ′(x) f ′(x) = limh→0 f(x + h)− f(x) h = limh→0 1 x+h−1 − 1x−1 h = = limh→0 x−1−x−h+1 (x+h−1)(x−1) h = limh→0 −h (x + h− 1)(x− 1) 1 h = = limh→0 −1 (x + h− 1)(x− 1) = − 1 (x− 1)(x− 1) = − 1 (x− 1)2 . Observe que f ′(1) = − 1(1−1)2 = − 10 na˜o esta´ definida. Logo, f na˜o e´ diferenciaa´vel em x = 1. b) Calcularmos diretamente f ′(0) (tente calculando f ′(x) e substituindo a = 0) f ′(0) = limh→0 f(0 + h)− f(0) h = limh→0 |h| − |0| h = limh→0 |h| h . Recorrendo aos limites laterais, temos limh→0+ |h| h = limh→0 h h = 1 limh→0− |h| h = limh→0 −h h = −1 e portanto f ′(0) na˜o existe. Utilizaremos as seguintes notac¸o˜es para as a derivada de uma func¸a˜o y = f(x) df dx , dy dx , y′, f ′(x). Teorema 3. Se f for diferencia´vel em a, enta˜o f e´ cont´ınua em a. Demonstrac¸a˜o. Se f e´ diferencia´vel em a enta˜o f ′(a) = limh→0 f(a + h)− f(a) h existe, isto e´, e´ um nu´mero real. Devemos mostrar que limx→af(x) = f(a) ou limh→0f(a + h) = f(a). Pois bem, f(a + h)− f(a) = f(a + h)− f(a) h h (1) Tomando o limite quando h→ 0 nos dois membros de (1), temos limh→0f(a + h)− f(a) = limh→0 f(a + h)− f(a) h h = limh→0 f(a + h)− f(a) h .limh→0h = f ′(a).0 = 0. Assim, limh→0f(a + h)− f(a) = 0⇒ limh→0f(a + h)− limh→0f(a) = 0 limh→0f(a + h) = limh→0f(a)⇒ limh→0f(a + h) = f(a). 2 Agora vejamos como reconhecer a na˜o diferenciabilidade geometricamente. Exemplo 4. Dada a func¸a˜o y = 1x−1 temos que a sua derivada e´ dada por y ′ = − 1(x−1)2 . Seus graficos sa˜o apresentados a seguir: (2) Observe que, tanto a func¸a˜o y = 1x−1 quanto sua derivada y ′ = − 1(x−1)2 sa˜o descont´ınuas em x = −1. Em particular, temos descontinuidades infinitas. Exemplo 5. Dada a func¸a˜o y = 3 √ x temos que a sua derivada e´ dada por y′ = 1 3 3√ x2 . Seus graficos sa˜o apresentados a seguir: (3) Observe que, a func¸a˜o y = 3 √ x e´ cont´ınua em x = 0, pore´m a tangente em x = 0 e´ vertical. Por outro lado, sua derivada y′ = 1 3 3√ x2 apresenta uma descontinuidade infinita: limx→0−f ′(x) = +∞ e limx→0+f ′(x) = +∞. Quando a reta tangente em um ponto se torna vertical temos que sua inclinac¸a˜o corresponde a um aˆngulo de 90o. Neste caso, m = tg(90o) = sen(90 o) cos(90o) = 1 0 na˜o existe. Exemplo 6. Dada a func¸a˜o y = x 2 3 temos que a sua derivada e´ dada por y′ = 23√x . Seus graficos sa˜o apresentados a seguir: (4) 3 Observe que, embora y = x 2 3 seja cont´ınua em x = 0 seu gra´fico apresenta um bico. Observe que suas tangentes sa˜o, ao se aproximar de x = 0 tem inclinac¸a˜o infinita, pore´m limx→0−f ′(x) = −∞ e limx→0+f ′(x) = +∞. Neste caso, a derivada y′ = 23√x apresenta uma descontinuidade infinita. Exerc´ıcio 1. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es: a) y = 3; b) y = 5x + 1; c) y = 2x2 − x + 1; d) y = −2x+1 ; e) y = cos(x). Respostas: a) y′ = 0, b) y′ = 5, c) y′ = 4x− 1, d) y′ = 2(x+1)2 , e) y′ = −sen(x) Exerc´ıcio 2. Mostre que as func¸o˜es a seguir na˜o sa˜o diferencia´veis nos pontos indicados. a) y = √ x + 1, a = −1; b) y = 12−x , a = 2; c) y = |x− 1|, a = 1. Exerc´ıcio 3. Encontre os pontos de descontinuidades de cada uma das func¸o˜es e suas respectivas derivadas. a) y = −22x−1 b) y = √ 2− x Respostas: a) y ⇒ a = 12 , y′ ⇒ a = 12 , b) y ⇒ cont´ınua ∀x ∈ R, y′ ⇒ a = 2. 4
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