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Derivada - técnicas de derivação

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 9
Objetivos
- Compreender algumas te´cnicas u´teis que auxiliam o ca´lculo de derivadas;
- Reconhecer a te´cnica de derivac¸a˜o a ser utilizada em um dado caso.
0.1 Regras e Te´cnicas de Diferenciac¸a˜o
Nesta parte veremos um primeiro grupo de regras e te´cnicas de derivac¸a˜o, dentre elas: aregra da poteˆncia, a regra
da soma, a regra do produto do quociente, a regra da cadeia e algumas outras.
• A Derivada de uma Func¸a˜o Constante: Se c e´ uma constante real, enta˜o
d
dx
(c) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Se f(x) = c temos
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
c− c
h
= 0.
Exemplo 1. Vejamos algumas derivadas de func¸o˜es constantes:
a) f(x) = 3⇒ f ′(x) = 0;
b) f(x) =
√
pi
2 ⇒ f ′(x) = 0.
• A Derivada de uma Func¸a˜o Identidade: Se f(x) = x e´ a func¸a˜o identidade, enta˜o
d
dx
(x) = 1.
Demonstrac¸a˜o. Se f(x) = x temos
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
x+ h− x
h
= limh→0
h
h
= 1.
• A Derivada da Func¸a˜o Poteˆncia: Se n e´ um nu´mero real qualquer, enta˜o
d
dx
(xn) = nxn−1.
Exemplo 2. Vejamos algumas derivadas de func¸o˜es poteˆncias:
a) f(x) = x3 ⇒ f ′(x) = 3x2;
b) f(x) = 1x2 = x
−2 ⇒ f ′(x) = −2x−3 = − 2x3 ;
c) f(x) =
3
√
x2 = x2/3 ⇒ f ′(x) = 23x2/3−1 = 23x−1/3 = 23x1/3 = 23 3√x ;
d) f(x) = 1√
x
= 1
x1/2
= x−1/2 ⇒ f ′(x) = − 12x−1/2−1 = − 12x−3/2 = − 12x3/2 = − 12√x3 ;
e) f(x) = x
√
x = x.x1/2 = x1+1/2 = x3/2 ⇒ 32x3/2−1 = 32x1/2 = 3
√
x
2 .
1
Agora apresentaremos uma tabela com algumas das derivadas mais utilizadas no ca´lculo. As demonstraremos mais
adiante quando necessa´rio. Por hora, utilizaremos esta tabela para uma ilustrac¸a˜o mais rica dos exemplos das regras
a seguir:
Tabela de Derivadas
f(x) f ′(x)
c 0
ex ex
ax axln|a|
ln|x| 1x
loga|x| 1xln|a|
sen(x) cos(x)
cos(x) −sen(x)
tg(x) sec2(x)
cotg(x) −cosec2(x)
sec(x) sec(x)tg(x)
cosec(x) −cosec(x)cotg(c)
arcsen(x) 1√
1−x2
arccos(x) − 1√
1−x2
arctg(x) 11+x2
senh(x) cosh(x)
cosh(x) senh(x)
tgh(x) sech2(x)
2
• Regra do Mu´ltiplo Constante: Se c for uma constante e f uma func¸a˜o deriva´vel, enta˜o
d
dx
(cf(x)) = c
d
dx
(f(x)).
Demonstrac¸a˜o. Se f(x) = c temos
d
dx
(cf(x)) = limh→0
cf(x+ h)− cf(x)
h
= limh→0
c(f(x+ h)− f(x))
h
= c.limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= c
d
dx
(f(x)).
Exemplo 3. Vejamos algumas derivadas:
a) f(x) = 4x3 ⇒ f ′(x) = 4.3x2 = 12x2;
b) f(x) = −7cos(x)⇒ f ′(x) = −7(−sen(x)) = 7sen(x);
• Regra da Soma: Se f e g forem func¸o˜es diferencia´veis, enta˜o
d
dx
(f(x) + g(x)) =
d
dx
(f(x)) +
d
dx
(g(x)).
Demonstrac¸a˜o. Se F (x) = f(x) + g(x) temos
F ′(x) = limh→0
F (x+ h)− F (x)
h
= limh→0
(f(x+ h) + g(x+ h))− (f(x) + g(x))
h
=
limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
+ limh→0
g(x+ h)− g(x)
h
=
d
dx
(f(x)) +
d
dx
(g(x)).
Exemplo 4. Vejamos algumas derivadas:
a) f(x) = x2 + sen(x)⇒ f ′(x) = 2x+ cos(x);
b) f(x) = ln|x|+ arcsen(x)⇒ f ′(x) = 1x + 1√1−x2 .
• Regra da Diferenc¸a: Se f e g forem func¸o˜es diferencia´veis, enta˜o
d
dx
(f(x)− g(x)) = d
dx
(f(x))− d
dx
(g(x)).
Exemplo 5. Vejamos um exemplo:
a) f(x) = tg(x)− log2(x)⇒ f ′(x) = sec2(x)− 1xln|2|
• Regra do Produto: Se f e g forem func¸o˜es diferencia´veis, enta˜o
d
dx
(f(x).g(x)) = f(x)
d
dx
(g(x)) + g(x)
d
dx
(f(x)).
Demonstrac¸a˜o. Se F (x) = f(x).g(x) temos
F ′(x) = limh→0
F (x+ h)− F (x)
h
= limh→0
f(x+ h).g(x+ h)− f(x).g(x)
h
=
= limh→0
f(x+ h).g(x+ h)− f(x+ h)g(x) + f(x+ h)g(x)− f(x).g(x)
h
=
= limh→0
f(x+ h)(g(x+ h)− g(x))
h
+ limh→0
g(x)(f(x+ h)− f(x))
h
=
= f(x)
d
dx
(g(x)) + g(x)
d
dx
(f(x)).
3
Exemplo 6. Vejamos algumas derivadas empregando a regra do produto:
a) y = xex
i) f(x) = x⇒ f ′(x) = 1
ii) g(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex
y′ = xex + ex.1 = xex + ex.
b) y =
√
x(1− x)
i) f(x) =
√
x = x1/2 ⇒ 12x1/2−1 = 12x−1/2 = 12√x
ii) g(x) = 1− x⇒ g′(x) = −1
y′ = x1/2(−1) + (1− x) 1
2
√
x
= −√x+ 1− x
2
√
x
=
−2√x2 + 1− x
2
√
x
=
1− 3x
2
√
x
.
• Regra do Quociente: Se f e g forem func¸o˜es diferencia´veis, enta˜o
d
dx
(
f(x)
g(x)
)
=
g(x) ddx (f(x))− f(x) ddx (g(x))
(g(x))2
.
Exemplo 7. Vejamos algumas derivadas empregando a regra do quociente:
a) y = sen(x)x3+x−1
i) f(x) = sen(x)⇒ f ′(x) = cos(x)
ii) g(x) = x3 + x− 1⇒ g′(x) = 3x2 + 1
y′ =
(x3 + x− 1)cos(x)− sen(x)(3x2 + 1)
(x3 + x− 1)2 .
b) y = e
x.ln|x|
3x+1
i) f(x) = exln|x| ⇒ f ′(x) = ex 1x + ln|x|ex = ex
(
1
x + ln|x|
)
ii) g(x) = 3x+ 1⇒ g′(x) = 3
y′ =
(3x+ 1)ex
(
1
x + ln|x|
)− 3exln|x|
(3x+ 1)2
.
Exemplo 8. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) y = 4sen(x) + x3;
b) y = 2ln|x| − 3.4x;
c) y =
√
x− 24√
x3
+ 3x3 ;
d) y = (2− x2)(√x− tg(x));
e) y = sen(x)cos(x)−1 ;
f) y = sen(x)(x
2+ex)
cos(x)−x2 ;
g) y = sen(x)cos(x)ex;
Soluc¸a˜o:
a) y′ = 4cos(x) + 3x2
b) y′ = 2 1x − 34xln|4| = 2x − 3ln|4|4x
c) Separemos em partes:
i) f(x) =
√
x = x1/2 ⇒ f ′(x) = 12x1/2−1 = 12x−1/2 = 12√x
ii) g(x) = 24√
x3
x = 2x−3/4 ⇒ g′(x) = − 64x−3/4−1 = − 64x−7/4 = − 64 4√x7
iii) h(x) = 3x3 = 3x
−3 ⇒ h′(x) = −9x−4 = − 9x4
y′ =
1
2
√
x
+
6
4
4
√
x7
− 9
x4
4
d) y′ = (2− x2)
(
1
2
√
x
− sec2(x)
)
+ (
√
x− tg(x)).(−2x)
e) y′ = (cos(x)−1)cos(x)−sen(x).(−sen(x))(cos(x)−1)2 =
cos2(x)−cos(x)+sen2(x)
(cos(x)−1)2 =
1−cos(x)
(cos(x)−1)2 = − cos(x)−1(cos(x)−1)2 = − 1cos(x)−1
f) Separemos em partes:
i) f(x) = sen(x)(x2 + ex)⇒ f ′(x) = sen(x)(2x+ ex) + cos(x)(x2 + ex)
ii) g(x) = cos(x)− x2 ⇒ g′(x) = −sen(x)− 2x
y′ =
(cos(x)− x2)(sen(x)(2x+ ex) + cos(x)(x2 + ex))− sen(x)(x2 + ex)(−sen(x)− 2x)
(cos(x)− x2)2
g) Separemos em partes:
i) f(x) = sen(x)cos(x)⇒ f ′(x) = sen(x)(−sen(x)) + cos(x)cos(x) = cos2(x)− sen2(x)
ii) g(x) = ex ⇒ g′(x) = ex
y′ = sen(x)cos(x)ex + ex(cos2(x)− sen2(x))
Exerc´ıcio 1. Calcule as seguintes derivadas:
a) y = 35 + 132
b) y =
√
xtg(x)
c) y =
5
√
x2 − 1√
x
d) y = x2
3
√
x2
e) y = arctg(x)sen(x)2x
f) y = 2
x(sen(x)+x2)
cos(x)
Respostas: a) 0, b) tg(x)
2
√
x
+
√
xsec2(x) ou tg(x)+2xsec
2(x)
2
√
x
, c) 2
5
5√
x3
+ 1
2
√
x3
, d) 8
3√
x5
3 ,
e) sen(x)2
x
1+x2 + arctg(x)cos(x)2
x + arctg(x)sen(x)2xln|2|,
f) cos(x)(2
xln|2|(sen(x)+x2)+2x(cos(x)+2x))+2x(sen(x)+x2)sen(x)
cos2(x)
5