Derivada - Regra da cadeia / Derivação Logarítmica

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 10
Objetivos
- Utilizar a regra da cadeia no ca´lculo de derivadas envolvendo func¸o˜es
compostas;
- Utilizar a regra da cadeia no ca´lculo de derivadas de func¸o˜es impl´ıcitas;
- Utilizar a regra da cadeia no desenvolvimento da derivada logaritmica.
0.1 Regra da Cadeia
Nesta parte aprenderemos a derivar uma func¸a˜o composta h(x) = f(g(x)) onde f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis.
Teorema 1. Se f e g sa˜o diferencia´veis, enta˜o h(x) = f(g(x)) e´ diferencia´vel e h′ e´ dada por
h′(x) = f ′(g(x)).g′(x)
ou
h′(x) =
df
dg
dg
dx
.
Exemplo 2. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) h(x) =
√
x2 + 2;
b) h(x) = sen(x2 + x);
c) h(x) = sec3(x);
d) h(x) = (x3 − 2x)30;
e) h(x) = sen(3x + ln|x|)cos(2x + 1);
f) h(x) = e
x2+1
ln|sen(x)| ;
g) h(x) = cos
(
3sen(ln|x
2+2x|)
)
;
Soluc¸a˜o:
a) h(x) =
√
x2 + 2⇒ f(g(x)) = √g(x), g(x) = x2 + 2
i) f(g(x)) =
√
g(x) = g(x)1/2 ⇒ dfdg = 12g(x)−1/2 = 12g(x)1/2 = 12√g(x) =
1
2
√
x2+2
ii) g(x) = x2 + 2⇒ dgdx = 2x
h′(x) =
1
2
√
x2 + 2
.2x =
x√
x2 + 2
.
b) h(x) = sen(x2 + x)⇒ f(g(x)) = sen(g(x)), g(x) = x2 + x
i) f(g(x)) = sen(g(x))⇒ dfdg = cos(g(x)) = cos(x2 + x)
ii) g(x) = x2 + x⇒ fracdgdx = 2x + 1
h′(x) = cos(x2 + x).(2x + 1) = (2x + 1)cos(x2 + x).
c) h(x) = sec3(x)⇒ f(g(x)) = g(x)3, g(x) = sec(x)
i) f(g(x)) = g(x)3 ⇒ dfdg = 3g(x)2 = 3sec2(x)
ii) g(x) = sec(x)⇒ dgdx = sec(x)tg(x)
h′(x) = 3sec2(x)sec(x)tg(x) = 3sec3(x)tg(x).
d) Derivando diretamente h(x) = (x3 − 2x)30, temos
h′(x)30(x3 − 2x)29(3x2 − 2).
1
e) Derivando diretamente h(x) = sen(3x + ln|x|)cos(2x + 1), temos
h′(x) = cos(3x + ln|x|).
(
3 +
1
x
)
cos(2x + 1) + sen(3x + ln|x|).(−sen(2x + 1).2xln|2|)
h′(x) = cos(3x + ln|x|).
(
3 +
1
x
)
cos(2x + 1)− ln|2|2xsen(3x + ln|x|)sen(2x + 1).
f) Derivando diretamente h(x) = e
x2+1
ln|sen(x)| , temos
h′(x) =
ln|sen(x)|(ex2+1.2x)− ex2+1. 1sen(x)cos(x)
(ln|sen(x)|)2 .
h′(x) =
ln|sen(x)|(2xex2+1)− ex
2+1.cos(x)
sen(x)
(ln|sen(x)|)2 .
g) Derivando diretamente h(x) = cos
(
3sen(ln|x
2+2x|)
)
, temos
h′(x) = −sen
(
3sen(ln|x
2+1|)
)
(3sen(ln|x
2+1|).ln|3|).(cos(ln|x2 + 1|)).
(
1
x2 + 1
2x
)
.
h′(x) =
−2xsen
(
3sen(ln|x
2+1|)
)
(3sen(ln|x
2+1|).ln|3|).(cos(ln|x2 + 1|))
x2 + 1
.
Exerc´ıcio 1. Calcule as seguintes derivadas:
a) y = cos(ln|x|);
b) y = 3x
5−4x2 ;
c) y = 4e2x + 6e3x;
d) y = 3
√
cosh(x);
e) y = sec(
√
x);
f) y = sen(3x + 1)arcsen(x3);
g) y = e
x2+2x
tg(3x) ;
h) y = e
2x(3x−7)10
arctg(x2) ;
i) y = sen(2sen(2x)).
Respostas: a) y′ = − sen(ln|x|)x , b) y′ = 3x
5−4x2 ln|3|(5x4 − 8x), c) y′ = 8e2x + 18e3x, d) y′ = senh(x)
3 3
√
cosh2(x)
,
e) y′ = sec(
√
x)tg(
√
x)
2
√
x
, f) y′ = 3x
2sen(3x+1)√
1−x6 + 3cos(3x + 1)arcsen(x
3), g) y′ = tg(3x)e
x2+2x(2x+2)−3ex2+2xsec2(3x)
tg2(3x) ,
h) y′ =
arctg2(x2)(e2x.10(3x−7)9.3+2e2x(3x−7)10)− e2x(3x−7)10.2x
1+x4
(arctg(x2))2 , i) y
′ = cos
(
2sen(2x)
)
.2sen(2x)ln|2|.cos(2x).2
0.2 Derivac¸a˜o Impl´ıcita
Imagine que queiramos derivar a func¸a˜o
x2 + y2 = 1, (1)
que trata-se de uma func¸a˜o impl´ıcita, isto e´, na˜o sabemos quem e´ y = f(x).
Como y e´ uma func¸a˜o impl´ıcita de x devemos usar a regra da cadeia.
(x2 + y2)′ = (1)′ ⇒ 2x + 2yy′ = 0⇒ 2yy′ = −2x⇒ y′ = −x
y
.
O que fizemos na verdade foi considerar y2 = f(g(x)), onde f(y) = y2 e g(x) = y e assim,
i) f(y) = y2 ⇒ dfdy = 2y
ii) g(x) = y ⇒ dgdx = dydx = y′
2
Exemplo 3. Calcule as seguintes derivadas impl´ıcitas:
a) xy3 + sen(x) = 3
b) (3x2 + 2x)sen(y) = y
c) xy2 + 2x + cosh(y) = cos(x)
d) ln|x + y| = y
Soluc¸a˜o:
a) xy3 + sen(x) = 3⇒ y3 + 3xy2y′ + cos(x) = 0⇒ 3xy2y′ = −y3 − cos(x)⇒ y′ = −y3+cos(x)3xy2 .
b)
(3x2 + 2x)sen(y) = y ⇒ (6x + 2)sen(y) + (3x2 + 2x)cos(y)y′ = y′ ⇒
y′ − (3x2 + 2x)cos(y)y′ = (6x + 2)sen(y)⇒
(1− (3x2 + 2x)cos(y))y′ = (6x + 2)sen(y)⇒
y′ =
(6x + 2)sen(y)
1− (3x2 + 2x)cos(y)
c)
xy2 + 2x + cosh(y) = cos(x)⇒ y2 + 2xyy′ + 2 + senh(y)(y)y′ = −sen(x)⇒
(2xy + senh(y))y′ = −sen(x)− y2 − 2⇒ y′ = −sen(x) + y
2 + 2
2xy + senh(y)
.
d)
ln|x + y| = y ⇒ 1
x + y
(1 + y′) = y′ ⇒ 1
x + y
+
y′
x + y
= y′ ⇒
y′ − y
′
x + y
=
1
x + y
⇒
(
1− 1
x + y
)
y′ =
1
x + y
⇒
y′ =
1
x+y
1− 1x+y
=
1
x + y
1
x+y−1
x+y
=
1
x + y
x + y
x + y − 1 =
1
x + y − 1 .
Exerc´ıcio 2. Calcule as seguintes derivadas:
a) x2 + 3xy + y2 = 0;
b) x + yx2 + y2 = 1;
c) y + ey = xy;
d) y + cos(xy)− 3x2y3 = x.
Respostas: a) y′ = −2x−3y3x+2y = − 2x+3y3x+2y , b) y′ = − 1+2xyx2+2y , c) y′ = y1+ey−x , d) y′ = 1+ysen(xy)+6xy1−xsen(xy)−9x2y2
0.3 Derivac¸a˜o Logaritmica
Imagine que queiramos derivar a func¸a˜ y = xx. Para facilitar podemos aplicar ln em ambos os lados
ln|y| = ln|xx|. (2)
Empregando em (2) a propriedade dos logaritmos:
logba
c = clogba,
temos
ln|y| = xln|x|.
Esta u´lima derivada pode ser facilmente calculada usando derivac¸a˜o impl´ıcita.
3
Exemplo 4. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) y = xx
b) y = (sen(x))x
c) y =
3
√
x+1(x3−2x)10
(x+2)5
d) y =
4√x5+x4+1 3√2x2+1
(x4+2x2+1)10tg5(x)
e) xy = yx
Soluc¸a˜o:
a) Aplicando ln a ambos os membros de y = xx, temos
ln|y| = ln|xx| ⇒ ln|y| = xln|x|.
Por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita, temos
1
y
y′ = ln|x|+ x 1
x
⇒ y′ = (ln|x|+ 1)y ⇒ y′ = (ln|x|+ 1)xx.
b) Aplicando a ambos os membros de y = (sen(x))x, temos
ln|y| = ln|sen(x)x| ⇒ ln|y| = xln|sen(x)|.
Por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita, temos
1
y
y′ = ln|sen(x)|+ 1
sen(x)
cos(x)⇒ y′ = (ln|sen(x)|+ cotg(x))y
y′ = (ln|sen(x)|+ cotg(x))sen(x)x.
c) Aplicando ln a ambos os membros de y =
3
√
x+1(x3−2x)10
(x+2)5 , temos
ln|y| = ln
∣∣∣∣ 3√x + 1(x3 − 2x)10(x + 2)5
∣∣∣∣ .
Podemos utilizar as propriedades do produto e do quociente de logaritmos:
logbac = logba + logbc e logb
a
c
= logba− logbc.
Assim,
ln|y| = ln| 3√x + 1|+ ln|(x3 − 2x)10| − ln|(x + 2)5|
ln|y| = ln|(x + 1)1/3|+ ln|(x3 − 2x)10| − ln|(x + 2)5|
ln|y| = 1
3
ln|x + 1|+ 10ln|x3 − 2x| − 5ln|x + 2|.
Por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita, temos
1
y
y′ =
1
3
1
x + 1
+ 10
1
x3 − 2x (3x
2 − 2)− 5 1
x + 2
y′ =
(
1
3(x + 1)
+
10(3x2 − 2x)
x3 − 2x −
5
x + 2
)
y
y′ =
(
1
3(x + 1)
+
10(3x2 − 2x)
x3 − 2x −
5
x + 2
)(
3
√
x + 1(x3 − 2x)10
(x + 2)5
)
.
d) Da mesma forma que o item c), temos
ln|y| = ln
∣∣∣∣∣ 4
√
x5 + x4 + 1 3
√
2x2 + 1
(x4 + 2x2 + 1)10tg5(x)
∣∣∣∣∣
ln|y| = ln|(x5 + x4 + 1)1/4|+ ln|(2x2 + 1)1/2| − ln|(x4 + 2x2 + 1)10| − ln|tg5(x)|.
4
ln|y| = 1
4
ln|x5 + x4 + 1|+ 1
2
ln|2x2 + 1| − 10ln|x4 + 2x2 + 1| − 5ln|tg(x)|.
Por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita, temos
1
y
y′ =
1
4
1
x5 + x4 + 1
(5x4 + 4x3) +
1
2
1
2x2 + 1
4x− 10 1
x4 + 2x2 + 1
(4x3 + 4x)− 5 1
tg(x)
sec2(x)
y′ =
(
5x4 + 4x3
4(x5 + x4 + 1)
+
2x
2x2 + 1
− 10(4x
3 + 4x)
x4 + 2x2 + 1
− 5sec
2(x)
tg(x)
)
4
√
x5 + x4 + 1 3
√
2x2 + 1
(x4 + 2x2 + 1)10tg5(x)
.
e) Aplicando ln a ambos os membros de xy = yx, temos
ln|xy| = ln|yx| ⇒ yln|x| = xln|y|.
Por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita, temos
y′ln|x|+ y 1
x
= ln|y|+ x1
y
y′ ⇒ y′ln|x| − x
y
y′ = ln|y| − y
x(
ln|x| − x
y
)
y′ = ln|y| − y
x
⇒ y′ = ln|y| −
y
x
ln|x| − xy
.
Exerc´ıcio 3. Calcule as seguintes derivadas por meio de derivac¸a˜o logar´ıtmica:
a) y = (x + 1)x;
b) y = (cos(x))x;
c) x = yy;
d)ysen(x) = xcos(y);
e) y = (x
2+1)10(x−1)5
(3x4+2x)8 ;
f) y =
5
√
sen(x)(x3+2)10
x8(1−x5) .
Respostas: a) y′ =
(
x
x+1 + ln|x + 1|
)
(x + 1)x, b) y′ = (−xtg(x) + ln|cos(x)|)(cos(x))x, c) y′ = 1x(ln|y|+1) ,
d) y′ =
cos(y)
x −cos(x)ln|y|
sen(x)
y +sen(y)ln|x|
, e) y′ =
(
20x
x2+1 +
5
x−1 − 8(12x
3+2
3x4+2x
)
(x2+1)10(x−1)5
(3x4+2x)8 ,
f) y′ =
(
cos(x)
5sen(x) +
30x2
x3+2 − 8x + 51−x
) 5√sen(x)(x3+2)10
x8(1−x5)
5