Derivada - Regra da cadeia / Derivação Logarítmica
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Derivada - Regra da cadeia / Derivação Logarítmica


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IFBA
Ca´lculo 1
Versa\u2dco 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a\u2dco: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a\u2dco: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 10
Objetivos
- Utilizar a regra da cadeia no ca´lculo de derivadas envolvendo func¸o\u2dces
compostas;
- Utilizar a regra da cadeia no ca´lculo de derivadas de func¸o\u2dces impl´\u131citas;
- Utilizar a regra da cadeia no desenvolvimento da derivada logaritmica.
0.1 Regra da Cadeia
Nesta parte aprenderemos a derivar uma func¸a\u2dco composta h(x) = f(g(x)) onde f e g sa\u2dco func¸o\u2dces diferencia´veis.
Teorema 1. Se f e g sa\u2dco diferencia´veis, enta\u2dco h(x) = f(g(x)) e´ diferencia´vel e h\u2032 e´ dada por
h\u2032(x) = f \u2032(g(x)).g\u2032(x)
ou
h\u2032(x) =
df
dg
dg
dx
.
Exemplo 2. Encontre a derivada das seguintes func¸o\u2dces:
a) h(x) =
\u221a
x2 + 2;
b) h(x) = sen(x2 + x);
c) h(x) = sec3(x);
d) h(x) = (x3 \u2212 2x)30;
e) h(x) = sen(3x + ln|x|)cos(2x + 1);
f) h(x) = e
x2+1
ln|sen(x)| ;
g) h(x) = cos
(
3sen(ln|x
2+2x|)
)
;
Soluc¸a\u2dco:
a) h(x) =
\u221a
x2 + 2\u21d2 f(g(x)) = \u221ag(x), g(x) = x2 + 2
i) f(g(x)) =
\u221a
g(x) = g(x)1/2 \u21d2 dfdg = 12g(x)\u22121/2 = 12g(x)1/2 = 12\u221ag(x) =
1
2
\u221a
x2+2
ii) g(x) = x2 + 2\u21d2 dgdx = 2x
h\u2032(x) =
1
2
\u221a
x2 + 2
.2x =
x\u221a
x2 + 2
.
b) h(x) = sen(x2 + x)\u21d2 f(g(x)) = sen(g(x)), g(x) = x2 + x
i) f(g(x)) = sen(g(x))\u21d2 dfdg = cos(g(x)) = cos(x2 + x)
ii) g(x) = x2 + x\u21d2 fracdgdx = 2x + 1
h\u2032(x) = cos(x2 + x).(2x + 1) = (2x + 1)cos(x2 + x).
c) h(x) = sec3(x)\u21d2 f(g(x)) = g(x)3, g(x) = sec(x)
i) f(g(x)) = g(x)3 \u21d2 dfdg = 3g(x)2 = 3sec2(x)
ii) g(x) = sec(x)\u21d2 dgdx = sec(x)tg(x)
h\u2032(x) = 3sec2(x)sec(x)tg(x) = 3sec3(x)tg(x).
d) Derivando diretamente h(x) = (x3 \u2212 2x)30, temos
h\u2032(x)30(x3 \u2212 2x)29(3x2 \u2212 2).
1
e) Derivando diretamente h(x) = sen(3x + ln|x|)cos(2x + 1), temos
h\u2032(x) = cos(3x + ln|x|).
(
3 +
1
x
)
cos(2x + 1) + sen(3x + ln|x|).(\u2212sen(2x + 1).2xln|2|)
h\u2032(x) = cos(3x + ln|x|).
(
3 +
1
x
)
cos(2x + 1)\u2212 ln|2|2xsen(3x + ln|x|)sen(2x + 1).
f) Derivando diretamente h(x) = e
x2+1
ln|sen(x)| , temos
h\u2032(x) =
ln|sen(x)|(ex2+1.2x)\u2212 ex2+1. 1sen(x)cos(x)
(ln|sen(x)|)2 .
h\u2032(x) =
ln|sen(x)|(2xex2+1)\u2212 ex
2+1.cos(x)
sen(x)
(ln|sen(x)|)2 .
g) Derivando diretamente h(x) = cos
(
3sen(ln|x
2+2x|)
)
, temos
h\u2032(x) = \u2212sen
(
3sen(ln|x
2+1|)
)
(3sen(ln|x
2+1|).ln|3|).(cos(ln|x2 + 1|)).
(
1
x2 + 1
2x
)
.
h\u2032(x) =
\u22122xsen
(
3sen(ln|x
2+1|)
)
(3sen(ln|x
2+1|).ln|3|).(cos(ln|x2 + 1|))
x2 + 1
.
Exerc´\u131cio 1. Calcule as seguintes derivadas:
a) y = cos(ln|x|);
b) y = 3x
5\u22124x2 ;
c) y = 4e2x + 6e3x;
d) y = 3
\u221a
cosh(x);
e) y = sec(
\u221a
x);
f) y = sen(3x + 1)arcsen(x3);
g) y = e
x2+2x
tg(3x) ;
h) y = e
2x(3x\u22127)10
arctg(x2) ;
i) y = sen(2sen(2x)).
Respostas: a) y\u2032 = \u2212 sen(ln|x|)x , b) y\u2032 = 3x
5\u22124x2 ln|3|(5x4 \u2212 8x), c) y\u2032 = 8e2x + 18e3x, d) y\u2032 = senh(x)
3 3
\u221a
cosh2(x)
,
e) y\u2032 = sec(
\u221a
x)tg(
\u221a
x)
2
\u221a
x
, f) y\u2032 = 3x
2sen(3x+1)\u221a
1\u2212x6 + 3cos(3x + 1)arcsen(x
3), g) y\u2032 = tg(3x)e
x2+2x(2x+2)\u22123ex2+2xsec2(3x)
tg2(3x) ,
h) y\u2032 =
arctg2(x2)(e2x.10(3x\u22127)9.3+2e2x(3x\u22127)10)\u2212 e2x(3x\u22127)10.2x
1+x4
(arctg(x2))2 , i) y
\u2032 = cos
(
2sen(2x)
)
.2sen(2x)ln|2|.cos(2x).2
0.2 Derivac¸a\u2dco Impl´\u131cita
Imagine que queiramos derivar a func¸a\u2dco
x2 + y2 = 1, (1)
que trata-se de uma func¸a\u2dco impl´\u131cita, isto e´, na\u2dco sabemos quem e´ y = f(x).
Como y e´ uma func¸a\u2dco impl´\u131cita de x devemos usar a regra da cadeia.
(x2 + y2)\u2032 = (1)\u2032 \u21d2 2x + 2yy\u2032 = 0\u21d2 2yy\u2032 = \u22122x\u21d2 y\u2032 = \u2212x
y
.
O que fizemos na verdade foi considerar y2 = f(g(x)), onde f(y) = y2 e g(x) = y e assim,
i) f(y) = y2 \u21d2 dfdy = 2y
ii) g(x) = y \u21d2 dgdx = dydx = y\u2032
2
Exemplo 3. Calcule as seguintes derivadas impl´\u131citas:
a) xy3 + sen(x) = 3
b) (3x2 + 2x)sen(y) = y
c) xy2 + 2x + cosh(y) = cos(x)
d) ln|x + y| = y
Soluc¸a\u2dco:
a) xy3 + sen(x) = 3\u21d2 y3 + 3xy2y\u2032 + cos(x) = 0\u21d2 3xy2y\u2032 = \u2212y3 \u2212 cos(x)\u21d2 y\u2032 = \u2212y3+cos(x)3xy2 .
b)
(3x2 + 2x)sen(y) = y \u21d2 (6x + 2)sen(y) + (3x2 + 2x)cos(y)y\u2032 = y\u2032 \u21d2
y\u2032 \u2212 (3x2 + 2x)cos(y)y\u2032 = (6x + 2)sen(y)\u21d2
(1\u2212 (3x2 + 2x)cos(y))y\u2032 = (6x + 2)sen(y)\u21d2
y\u2032 =
(6x + 2)sen(y)
1\u2212 (3x2 + 2x)cos(y)
c)
xy2 + 2x + cosh(y) = cos(x)\u21d2 y2 + 2xyy\u2032 + 2 + senh(y)(y)y\u2032 = \u2212sen(x)\u21d2
(2xy + senh(y))y\u2032 = \u2212sen(x)\u2212 y2 \u2212 2\u21d2 y\u2032 = \u2212sen(x) + y
2 + 2
2xy + senh(y)
.
d)
ln|x + y| = y \u21d2 1
x + y
(1 + y\u2032) = y\u2032 \u21d2 1
x + y
+
y\u2032
x + y
= y\u2032 \u21d2
y\u2032 \u2212 y
\u2032
x + y
=
1
x + y
\u21d2
(
1\u2212 1
x + y
)
y\u2032 =
1
x + y
\u21d2
y\u2032 =
1
x+y
1\u2212 1x+y
=
1
x + y
1
x+y\u22121
x+y
=
1
x + y
x + y
x + y \u2212 1 =
1
x + y \u2212 1 .
Exerc´\u131cio 2. Calcule as seguintes derivadas:
a) x2 + 3xy + y2 = 0;
b) x + yx2 + y2 = 1;
c) y + ey = xy;
d) y + cos(xy)\u2212 3x2y3 = x.
Respostas: a) y\u2032 = \u22122x\u22123y3x+2y = \u2212 2x+3y3x+2y , b) y\u2032 = \u2212 1+2xyx2+2y , c) y\u2032 = y1+ey\u2212x , d) y\u2032 = 1+ysen(xy)+6xy1\u2212xsen(xy)\u22129x2y2
0.3 Derivac¸a\u2dco Logaritmica
Imagine que queiramos derivar a func¸a\u2dc y = xx. Para facilitar podemos aplicar ln em ambos os lados
ln|y| = ln|xx|. (2)
Empregando em (2) a propriedade dos logaritmos:
logba
c = clogba,
temos
ln|y| = xln|x|.
Esta u´lima derivada pode ser facilmente calculada usando derivac¸a\u2dco impl´\u131cita.
3
Exemplo 4. Calcule a derivada das seguintes func¸o\u2dces:
a) y = xx
b) y = (sen(x))x
c) y =
3
\u221a
x+1(x3\u22122x)10
(x+2)5
d) y =
4\u221ax5+x4+1 3\u221a2x2+1
(x4+2x2+1)10tg5(x)
e) xy = yx
Soluc¸a\u2dco:
a) Aplicando ln a ambos os membros de y = xx, temos
ln|y| = ln|xx| \u21d2 ln|y| = xln|x|.
Por meio de derivac¸a\u2dco impl´\u131cita, temos
1
y
y\u2032 = ln|x|+ x 1
x
\u21d2 y\u2032 = (ln|x|+ 1)y \u21d2 y\u2032 = (ln|x|+ 1)xx.
b) Aplicando a ambos os membros de y = (sen(x))x, temos
ln|y| = ln|sen(x)x| \u21d2 ln|y| = xln|sen(x)|.
Por meio de derivac¸a\u2dco impl´\u131cita, temos
1
y
y\u2032 = ln|sen(x)|+ 1
sen(x)
cos(x)\u21d2 y\u2032 = (ln|sen(x)|+ cotg(x))y
y\u2032 = (ln|sen(x)|+ cotg(x))sen(x)x.
c) Aplicando ln a ambos os membros de y =
3
\u221a
x+1(x3\u22122x)10
(x+2)5 , temos
ln|y| = ln
\u2223\u2223\u2223\u2223 3\u221ax + 1(x3 \u2212 2x)10(x + 2)5
\u2223\u2223\u2223\u2223 .
Podemos utilizar as propriedades do produto e do quociente de logaritmos:
logbac = logba + logbc e logb
a
c
= logba\u2212 logbc.
Assim,
ln|y| = ln| 3\u221ax + 1|+ ln|(x3 \u2212 2x)10| \u2212 ln|(x + 2)5|
ln|y| = ln|(x + 1)1/3|+ ln|(x3 \u2212 2x)10| \u2212 ln|(x + 2)5|
ln|y| = 1
3
ln|x + 1|+ 10ln|x3 \u2212 2x| \u2212 5ln|x + 2|.
Por meio de derivac¸a\u2dco impl´\u131cita, temos
1
y
y\u2032 =
1
3
1
x + 1
+ 10
1
x3 \u2212 2x (3x
2 \u2212 2)\u2212 5 1
x + 2
y\u2032 =
(
1
3(x + 1)
+
10(3x2 \u2212 2x)
x3 \u2212 2x \u2212
5
x + 2
)
y
y\u2032 =
(
1
3(x + 1)
+
10(3x2 \u2212 2x)
x3 \u2212 2x \u2212
5
x + 2
)(
3
\u221a
x + 1(x3 \u2212 2x)10
(x + 2)5
)
.
d) Da mesma forma que o item c), temos
ln|y| = ln
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 4
\u221a
x5 + x4 + 1 3
\u221a
2x2 + 1
(x4 + 2x2 + 1)10tg5(x)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
ln|y| = ln|(x5 + x4 + 1)1/4|+ ln|(2x2 + 1)1/2| \u2212 ln|(x4 + 2x2 + 1)10| \u2212 ln|tg5(x)|.
4
ln|y| = 1
4
ln|x5 + x4 + 1|+ 1
2
ln|2x2 + 1| \u2212 10ln|x4 + 2x2 + 1| \u2212 5ln|tg(x)|.
Por meio de derivac¸a\u2dco impl´\u131cita, temos
1
y
y\u2032 =
1
4
1
x5 + x4 + 1
(5x4 + 4x3) +
1
2
1
2x2 + 1
4x\u2212 10 1
x4 + 2x2 + 1
(4x3 + 4x)\u2212 5 1
tg(x)
sec2(x)
y\u2032 =
(
5x4 + 4x3
4(x5 + x4 + 1)
+
2x
2x2 + 1
\u2212 10(4x
3 + 4x)
x4 + 2x2 + 1
\u2212 5sec
2(x)
tg(x)
)
4
\u221a
x5 + x4 + 1 3
\u221a
2x2 + 1
(x4 + 2x2 + 1)10tg5(x)
.
e) Aplicando ln a ambos os membros de xy = yx, temos
ln|xy| = ln|yx| \u21d2 yln|x| = xln|y|.
Por meio de derivac¸a\u2dco impl´\u131cita, temos
y\u2032ln|x|+ y 1
x
= ln|y|+ x1
y
y\u2032 \u21d2 y\u2032ln|x| \u2212 x
y
y\u2032 = ln|y| \u2212 y
x(
ln|x| \u2212 x
y
)
y\u2032 = ln|y| \u2212 y
x
\u21d2 y\u2032 = ln|y| \u2212
y
x
ln|x| \u2212 xy
.
Exerc´\u131cio 3. Calcule as seguintes derivadas por meio de derivac¸a\u2dco logar´\u131tmica:
a) y = (x + 1)x;
b) y = (cos(x))x;
c) x = yy;
d)