Derivadas - Regra de L'Hospital

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 11
Objetivos
- Calcular a equac¸a˜o da reta tangente a uma curva diferencia´vel num
dado ponto;
- Calcular a equac¸a˜o da reta normal a uma curva diferencia´vel num
dado ponto;
- Aplicar a regra de L’Hoˆpital no ca´lculo de limites.
0.1 Retas Tangentes e Retas Normais
Sabemos que as equac¸o˜es da reta tangente e reta normal a uma curva y = f(x) no ponto (x0, y0) e (x1, y1) sa˜o
dadas por:
Reta Tangente : y − y0 = m(x− x− x0)
RetaNormal : y − y0 = − 1
m
(x− x0)
onde m = f ′(x0).
Exemplo 1. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a´ curva no ponto dado.
a) y = x2 − 3x, (2,−2);
b) y = 12x−7 , ponto de abscissa x = 4;
c) y = e
xcos(x)
x+1 , (0, 1);
d) xy2 − y = ex, no ponto de abcissa x = 0;
Soluc¸a˜o:
a) Calculemos m = f ′(2). Temos que
f(x) = x2 − 3x⇒ f ′(x) = 2x− 3⇒ f ′(2) = 2.2− 3 = 1.
Assim, a equac¸a˜o da reta tangente a curva y = x2 − 3x no ponto (2,−2) e´ dada por:
y − y0 = m(x− x0)⇒ y − (−2) = 1(x− 2)⇒ y + 2 = x− 2⇒ y = x− 4.
b) Calculemos m = f ′(4). Temos que
f(x) =
1
2x− 7 ⇒ f
′(x) =
(2x− 7).0− 1.2
(2x− 7)2 =
−2
(2x− 7)2 ⇒ f
′(4) = − 2
(2.4− 7)2 = −2.
Devemos obter a ordenada y0 = f(x0). Pois bem, f(4) =
1
2.4−7 =
1
1 = 1. Assim, a reta tangente e´ dada por
y − y0 = m(x− x0)⇒ y − 1 = −2(x− 4)⇒ y − 1 = −2x+ 8⇒ y = 2x+ 9.
c) Calculemos m = f ′(0). Temos que
f(x) =
excos(x)
x+ 1
⇒ f ′(x) = (x+ 1)(e
x(−sen(x)) + excos(x))− excos(x)
(x+ 1)2
⇒
f ′(0) =
(0 + 1)(e0(−sen(0)) + e0cos(0))− e0cos(0)
(0 + 1)2
=
1(1.0 + 1.1)− 1.1
1
= 0.
Assim, a equac¸a˜o da reta tangente a curva y = e
xcos(x)
x+1 no ponto (0, 1) e´ dada por
y − y0 = f ′(x0)(x− x0)⇒ y − 1 = 0(x− 0)⇒ y = 1.
1
d) Como a func¸a˜o em questa˜o e´ impl´ıcita e temos somente a abscissa x0 = 0. Substituindo x0 = 0 em xy
2 − y = ex,
temos
0.y2 − y = e0 ⇒ −y = 1⇒ y = −1⇒ ponto (0,−1)
Agora, devemos obter y′(0).
xy2 − y = ex ⇒ y2 + 2xyy′ − y′ = ex ⇒ (2xy − 1)y′ = ex − y2 ⇒ y′ = e
x − y2
2xy − 1 .
Substituindo o ponto (0,−1) na derivada temos
y′(0) =
e0 − (−1)2
2.0.(−1)− 1 =
1− 1
−1 = 0.
Assim, a equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por
y − y0 = y′(x0)(x− x0)⇒ y − (−1) = 0(x− 0)⇒ y + 1 = 0⇒ y = −1.
Exemplo 2. Encontre a equac¸a˜o da reta normal a´ curva no ponto dado.
a) y = x3 − x, (1, 0);
b) y =
√
x− 3, (4, 1);
c)xy2 − y = ex, (0,−1).
Soluc¸a˜o:
a) Calculemos m = f ′(1). Temos que
f(x) = x3 − x⇒ f ′(x) = 3x2 − 1⇒ f ′(1) = 3.12 − 1 = 2.
Assim, a equac¸a˜o da reta normal e´ dada por
y − y0 = − 1
f ′(x0)
(x− x0)⇒ y − 0 = −1
2
(x− 1)⇒ y = −1
2
x+
1
2
.
b) Calculemos m = f ′(4). Temos que
f(x) =
√
x− 3⇒ f ′(x) = 1
2
√
x− 3 ⇒ f
′(4) =
1
2
√
4− 3 =
1
2
.
Assim, a equac¸a˜o da reta normal e´ dada por
y − y0 = − 1
f ′(x0)
(x− x0)⇒ y − 1 = − 1
1/2
(x− 4)⇒ y − 1 = −2(x− 4)⇒ y = −2x+ 9.
c) Calculemos m = y′(0). Temos que
y′ =
ex − y2
2xy − 1 ⇒ y
′(0) = frace0 − (−1)22.0.(−1)− 1 = 0.
Como y′(0) = 0, temos que − 1f ′(0) = − 10 na˜o esta´ definida. Neste caso, a reta e´ dada pela pro´pria coodenada x0 do
ponto (0,−1). Neste caso, a reta normal e´ igua a x = 0, isto e´ o pro´prio eixo y.
Exerc´ıcio 1. Para cada uma das curvas a seguir: i) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto (x0, y0)
dado; ii) Encontre a equac¸a˜o da reta normal a` curva no ponto (x0, y0) dado.
a) y = x2 + 4x, (1, 5) b) y = x3 + 2x2 − 1, (−1, 0) c) y = √4x+ 1, (2, 3) d) y2 + xy + x2 = cos(x), (0, 1)
Respostas: a) Tangente: y = 6x− 1, Normal: y = −x6 + 316 b) Tangente: y = −x− 1, Normal: y = x+ 1
c) Tangente: y = 2x3 +
5
3 , Normal: y = − 3x2 + 6 d) Tangente: y = −x+ 1, Normal: y = x+ 1
2
0.2 Tangentes Horizontais
Lembre-se que a derivada e´ o coeficiente angular da reta tangente. Neste caso, podemos dizer que uma func¸a˜o
y = f(x) apresenta uma tangente horizontal quando esta possui inclinac¸a˜o nula. Considerando uma reta tangente a`
curva y = f(x) no ponto (x0, y0) de inclinac¸a˜o 0
o temos
f ′(x0) = tg(α)⇒ f ′(x0) = tg(0o) = 0.
Assim, os pontos em que a curva y = f(x) possui uma tangente horizontal podem ser obtidos procurando-se os zeros
de sua derivada.
Exemplo 3. Encontre, se existirem, os pontos em que a curva dada possui uma tangente horizontal.
a) y = x2 − 4x;
b) y = x
3
3 − 5x
2
2 + 6x− 5;
c) y = x
3
3 + x.
Soluc¸a˜o:
a) Derivando, temos
f(x) = x2 − 4x⇒ f ′(x) = 2x− 4.
Agora calculemos os zeros da derivada
f ′(x) = 0⇒ 2x− 4 = 0⇒ 2x = 4⇒ x = 2.
Assim, temos tangente horizontal em x = 2.
b) Derivando, temos
f(x) =
x3
3
− 5x
2
2
+ 6x− 5⇒ x2 − 5x+ 6.
Agora calculemos os zeros da derivada
f ′(x) = 0⇒ x2 − 5x+ 6⇒ x′ = 2 e x′′ = 3.
Assim, temos duas tangentes horizontais uma em x = 2 e a outra em x = 3.
c) Derivando, temos
f(x) =
x3
3
+ x⇒ f ′(x) = x2 + 1.
Agora calculemos os zeros da derivada
f ′(x) = 0⇒ x2 + 1 = 0⇒ x2 = −1⇒ x = ±√−1 /∈ R.
Logo, esta curva na˜o possui tangentes horizontais.
Exerc´ıcio 2. Encontre os pontos em que a curva dada possui uma tangente horizontal.
a) y = x2 + 6 b) y = 2x+ 1 c) y = x
3
3 − x+ 1
Resposta: a) x = −3 b) na˜o tem c) x = 1 e x = −1
0.3 Regra de L’Hoˆpital
Veremos agora como calcular alguns limites indeterminados da forma
{
0
0 ,
∞
∞ , 0.∞, 00, 1∞
}
por meio de derivac¸a˜o.
3
Teorema 4. Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em um intervalo aberto I e limx→pf(x) = limx→pg(x) = 0 ou
limx→pf(x) = limx→pg(x) =∞, enta˜o
limx→p
f(x)
g(x)
= limx→p
f ′(x)
g′(x)
com p = a−, p = a+, p = +∞ ou p = −∞.
Exemplo 5. Calcule os seguintes limites utilizando a regra de L’Hoˆpital:
a) limx→0
sen(x)
x ;
b) limx→0 2
x−1
x ;
c) limx→1
ln|x|
x−1 ;
d) limx→+∞ e
x
x2 ;
e) limx→0
tg(x)−x
x2 ;
f) limx→0xln|x|;
g) limx→0+xx
h) limx→0+(1 + sen(4x))cotg(x);
Soluc¸a˜o:
a) Note que sen(0)0 e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo
0
0 . Portanto,
limx→0
sen(x)
x
= limx→0
cos(x)
1
= cos(0) = 1.
b) Note que 2
0−1
0 e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo
0
0 . Portanto,
limx→0
2x − 1
x
= limx→0
2xln|2|
1
= 20ln|2| = ln|2|.
c) Note que tg(0)−003 e´ uma indeterminac¸a˜o da forma
0
0 . Portanto,
limx→1
ln|x|
x− 1 = limx→1
1
x
1
= limx→1
1
x
=
1
1
= 1.
d) Note que e
+∞
(+∞)2 e´ uma indeterminac¸a˜o da forma
+∞
+∞ . Portanto,
limx→+∞
ex
x2
= limx→+∞
ex
2x
que novamente recai na mesma indeterminac¸a˜o. Assim, usando novamente a regra de L’Hoˆpital, temos
limx→+∞
ex
2x
= limx→+∞
ex
2
= +∞.
e) Note que tg(0)−003 e´ uma indeterminac¸a˜o da forma
0
0 . Portanto,
limx→0
tg(x)− x
x2
= limx→0
sec2(x)− 1
2x
=ind 00
= limx→0
2sec(x)sec(x)tg(x)
2
=
2sec(0)sec(0)tg(0)
2
=
2.1.1.0
2
= 0.
f) Note que 0.ln|0| e´ uma indeterminac¸a˜o da forma 0.(−∞). Neste caso, devemos reescrever o limite como segue:
limx→0xln|x| = limx→0 11
x
ln|x| = limx→0 ln|x|1
x
que recai numa indeterminac¸a˜o da forma 1+∞ .(−∞). Neste caso,
limx→0
ln|x|
1
x
= limx→0
1
x
− 1x2
= limx→0
1
x
.
−x2
1
= limx→0 − x = 0.
4
g) Note que 00 e´ uma indeterminac¸a˜o. Portanto,
limx→0xx = limx→0eln|x
x| = limx→0exln|x| = elimx→0xln|x| = e0 = 1.
Neste item, usamos o fato de eln|a| = a.
No item g) utilizamos a seguinte regra:
limx→a(f(x))g(x) = e
limx→a
ln|f(x)|
1
g(x) ,
a qual aplicamos a regra de L’Hoˆpital ao expoente
limx→a
ln|f(x)|
1
g(x)
.
Exerc´ıcio 3. Calcule os seguintes limites utilizando a regra de L’Hoˆpital:
a) limx→−1 x
2−1
x+1 b) limx→1
x9−1
x5−1 c)limt→0
et−1
t3 d) limx→0
tg(px)
tg(qx) e) limx→∞
ln|x|
x f) limx→0
1−cos(x)
x2
g) limx→0+x2x h) limx→0(1− 2x)1/x
Respostas: a) −2 b) 95 c) +∞ d) pq e) 0 f) 12 g) 1 h) e−2
5