999895 Segunda avaliação de Cálculo IV CONTAGEM (1)

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Segunda Avaliac¸a˜o de Ca´lculo IV
Professor Vitor Luiz de Almeida
LEIA ATENTAMENTE AS INFORMAC¸O˜ES FORNECIDAS ABAIXO ANTES DE
INICIAR A RESOLUC¸A˜O DA PROVA:
• A resoluc¸a˜o de cada questa˜o deve ser apresentada no espac¸o destinado a ela. Se necessa´rio,
utilize o verso da folha;
• Na˜o e´ permitido o uso de qualquer aparelho eletroˆnico, incluindo, dentre esses, celulares,
smartphones, tablets, calculadoras e notebooks.
• Na˜o e´ permitida a consulta a qualquer tipo de fonte bibliogra´fica (livros-textos, caderno da
disciplina, listas de exerc´ıcios, etc.);
• E´ vedado qualquer tipo de comunicac¸a˜o entre os alunos;
• A avaliac¸a˜o e´ INDIVIDUAL e SEM CONSULTA;
• Ao aluno que descumprir as regras citadas anteriormente sera´ atribu´ıda NOTA ZERO nesta
avaliac¸a˜o;
• A durac¸a˜o dessa avaliac¸a˜o e´ de 01 hora e 40 minutos;
• A avaliac¸a˜o conte´m 4 questo˜es discursivas, cada uma delas no valor de 10, 0 pontos, totalizando
40,0 pontos;
• E´ obrigato´ria a apresentac¸a˜o de racioc´ınio em TODAS AS QUESTO˜ES;
• Todos os ca´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Na˜o omita nenhum ca´lculo;
• Respostas sem justificativas sera˜o anuladas;
• Respostas finais a` tinta;
Nome:
Boa Prova!
INTEGRAIS DE LINHA
(5,0 pontos) Um arame tem o formato da curva (C) : x2 + y2 = 4, x ≥ 0. Suponha que a densidade
de massa no ponto (x, y) ∈ C seja dada pela func¸a˜o ρ(x, y) = x2 + 2y2. Nessas condic¸o˜es, calcule a
massa desse arame.
Resoluc¸a˜o:
2
CAMPOS CONSERVATIVOS E O TEOREMA DE GREEN
Suponha que uma part´ıcula se desloca ao longo da curva (C) : x = y2 + 1, do ponto A(2,−1) ate´ o
ponto B(2, 1), sujeita ao campo de forc¸as
−→
F (x, y) = e−y
−→
i −xe−y−→j . Calcule o trabalho W realizado
por
−→
F de treˆs maneiras distintas:
(a) (5,0 pontos) Usando a definic¸a˜o de integral de linha de um campo vetorial;
(b) (5,0 pontos) Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha;
(c) (5,0 pontos) Usando o Teorema de Green.
Resoluc¸a˜o:
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INTEGRAIS DE SUPERFI´CIE
(10,0 pontos) Considere um corpo delgado que possui o formato da superf´ıcie (S) : x2 + y2 + z2 = 4,
0 ≤ z ≤ 1. Suponha que a func¸a˜o densidade de massa no ponto (x, y, z) ∈ (S) seja dada pela func¸a˜o
ρ(x, y, z) = x2 + y2
Nessas condic¸o˜es, esboce o corpo delgado e calcule a sua massa.
Resoluc¸a˜o:
4
O TEOREMA DA DIVERGEˆNCIA
Utilizando a definic¸a˜o de integral de superf´ıcie de um campo vetorial, calcule o fluxo do campo de
vetores
−→
F (x, y, z) = y
−→
i + x
−→
j + (2x+ 2y)
−→
k
atrave´s da superf´ıcie (S) : z = 4−x2−y2, z ≥ 0, supondo que a mesma possui orientac¸a˜o ascendente,
isto e´,
−→
N S · −→k > 0. Confirme o resultado obtido utilizando o teorema da divergeˆncia.
Resoluc¸a˜o:
5
FORMULA´RIO
•
∫
C
f(x, y, z) ds =
b∫
a
f(−→r (t))‖−→r ′(t)‖ dt;
•
∫
C
−→
F · d−→r =
b∫
a
−→
F (−→r (t)) · −→r ′(t) dt;
• Teorema de Green (Formas vetoriais):
Circulac¸a˜o(
−→
F ) =
∮
C
−→
F · −→T ds =
∮
C
P dx + Q dy =
∫∫
D
rot(
−→
F ) · −→k dA, em que −→T e´ o vetor
tangente unita´rio tangente a` (C);
Fluxo(
−→
F ) =
∮
C
−→
F · −→N ds =
∮
C
P dy − Q dx =
∫∫
D
div(
−→
F ) dA, em que
−→
N e´ o vetor normal
unita´rio exterior a` curva (C);
• A´rea de superf´ıcie: A(S) =
∫∫
S
dS =
∫∫
D
‖−→r u × −→r v‖ dA, em que D e´ o domı´nio dos
paraˆmetros;
•
∫∫
S
f(x, y, z) dS =
∫∫
D
f(−→r (u, v))‖−→r u ×−→r v‖ dA;
• Fluxo(−→F ) =
∫∫
S
−→
F · d−→S =
∫∫
S
−→
F · −→N dS =
∫∫
D
−→
F · (−→r u × −→r v) dA, em que −→N e´ o vetor
normal unita´rio a` (S);
• Teorema de Stokes:
Circulac¸a˜o(
−→
F ) =
∮
C
−→
F · −→T ds =
∫∫
S
rot(
−→
F ) · d−→S =
∫∫
S
rot(
−→
F ) · −→N dS;
• Teorema da Divergeˆncia (Gauss):
Fluxo exterior(
−→
F ) =
∫∫
S
−→
F · d−→S =
∫∫
S
−→
F · −→N dS =
∫∫∫
E
div(
−→
F ) dV
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