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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais Segunda Avaliac¸a˜o de Ca´lculo IV Professor Vitor Luiz de Almeida LEIA ATENTAMENTE AS INFORMAC¸O˜ES FORNECIDAS ABAIXO ANTES DE INICIAR A RESOLUC¸A˜O DA PROVA: • A resoluc¸a˜o de cada questa˜o deve ser apresentada no espac¸o destinado a ela. Se necessa´rio, utilize o verso da folha; • Na˜o e´ permitido o uso de qualquer aparelho eletroˆnico, incluindo, dentre esses, celulares, smartphones, tablets, calculadoras e notebooks. • Na˜o e´ permitida a consulta a qualquer tipo de fonte bibliogra´fica (livros-textos, caderno da disciplina, listas de exerc´ıcios, etc.); • E´ vedado qualquer tipo de comunicac¸a˜o entre os alunos; • A avaliac¸a˜o e´ INDIVIDUAL e SEM CONSULTA; • Ao aluno que descumprir as regras citadas anteriormente sera´ atribu´ıda NOTA ZERO nesta avaliac¸a˜o; • A durac¸a˜o dessa avaliac¸a˜o e´ de 01 hora e 40 minutos; • A avaliac¸a˜o conte´m 4 questo˜es discursivas, cada uma delas no valor de 10, 0 pontos, totalizando 40,0 pontos; • E´ obrigato´ria a apresentac¸a˜o de racioc´ınio em TODAS AS QUESTO˜ES; • Todos os ca´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada; • Na˜o omita nenhum ca´lculo; • Respostas sem justificativas sera˜o anuladas; • Respostas finais a` tinta; Nome: Boa Prova! INTEGRAIS DE LINHA (5,0 pontos) Um arame tem o formato da curva (C) : x2 + y2 = 4, x ≥ 0. Suponha que a densidade de massa no ponto (x, y) ∈ C seja dada pela func¸a˜o ρ(x, y) = x2 + 2y2. Nessas condic¸o˜es, calcule a massa desse arame. Resoluc¸a˜o: 2 CAMPOS CONSERVATIVOS E O TEOREMA DE GREEN Suponha que uma part´ıcula se desloca ao longo da curva (C) : x = y2 + 1, do ponto A(2,−1) ate´ o ponto B(2, 1), sujeita ao campo de forc¸as −→ F (x, y) = e−y −→ i −xe−y−→j . Calcule o trabalho W realizado por −→ F de treˆs maneiras distintas: (a) (5,0 pontos) Usando a definic¸a˜o de integral de linha de um campo vetorial; (b) (5,0 pontos) Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha; (c) (5,0 pontos) Usando o Teorema de Green. Resoluc¸a˜o: 3 INTEGRAIS DE SUPERFI´CIE (10,0 pontos) Considere um corpo delgado que possui o formato da superf´ıcie (S) : x2 + y2 + z2 = 4, 0 ≤ z ≤ 1. Suponha que a func¸a˜o densidade de massa no ponto (x, y, z) ∈ (S) seja dada pela func¸a˜o ρ(x, y, z) = x2 + y2 Nessas condic¸o˜es, esboce o corpo delgado e calcule a sua massa. Resoluc¸a˜o: 4 O TEOREMA DA DIVERGEˆNCIA Utilizando a definic¸a˜o de integral de superf´ıcie de um campo vetorial, calcule o fluxo do campo de vetores −→ F (x, y, z) = y −→ i + x −→ j + (2x+ 2y) −→ k atrave´s da superf´ıcie (S) : z = 4−x2−y2, z ≥ 0, supondo que a mesma possui orientac¸a˜o ascendente, isto e´, −→ N S · −→k > 0. Confirme o resultado obtido utilizando o teorema da divergeˆncia. Resoluc¸a˜o: 5 FORMULA´RIO • ∫ C f(x, y, z) ds = b∫ a f(−→r (t))‖−→r ′(t)‖ dt; • ∫ C −→ F · d−→r = b∫ a −→ F (−→r (t)) · −→r ′(t) dt; • Teorema de Green (Formas vetoriais): Circulac¸a˜o( −→ F ) = ∮ C −→ F · −→T ds = ∮ C P dx + Q dy = ∫∫ D rot( −→ F ) · −→k dA, em que −→T e´ o vetor tangente unita´rio tangente a` (C); Fluxo( −→ F ) = ∮ C −→ F · −→N ds = ∮ C P dy − Q dx = ∫∫ D div( −→ F ) dA, em que −→ N e´ o vetor normal unita´rio exterior a` curva (C); • A´rea de superf´ıcie: A(S) = ∫∫ S dS = ∫∫ D ‖−→r u × −→r v‖ dA, em que D e´ o domı´nio dos paraˆmetros; • ∫∫ S f(x, y, z) dS = ∫∫ D f(−→r (u, v))‖−→r u ×−→r v‖ dA; • Fluxo(−→F ) = ∫∫ S −→ F · d−→S = ∫∫ S −→ F · −→N dS = ∫∫ D −→ F · (−→r u × −→r v) dA, em que −→N e´ o vetor normal unita´rio a` (S); • Teorema de Stokes: Circulac¸a˜o( −→ F ) = ∮ C −→ F · −→T ds = ∫∫ S rot( −→ F ) · d−→S = ∫∫ S rot( −→ F ) · −→N dS; • Teorema da Divergeˆncia (Gauss): Fluxo exterior( −→ F ) = ∫∫ S −→ F · d−→S = ∫∫ S −→ F · −→N dS = ∫∫∫ E div( −→ F ) dV 6
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