01_Momento de inercia

Prévia do material em texto

ECV 107
Resistência dos Materiais I
Prof.: Maila Pereira
CAPÍTULO 01
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.1 Introdução 
Significado Físico:
• O momento de inércia de área da 
seção transversal de uma viga, em 
relação a um eixo que passe pelo seu 
centro de gravidade, mede a sua 
rigidez, ou seja a sua resistência à 
flexão em relação a esse eixo.
• No caso mostrado, o momento M tende 
a causar flexão na viga em torno do eixo 
z, a rigidez da viga em relação à flexão é 
medida pelo momento de inércia Iz.
• Neste capítulo vamos estudar:
• Momentos de inércia de uma superfície.
• Momento de inércia polar
• Teorema dos eixos paralelos
• Produto de inércia
• Eixos principais e momentos de 
inércia principais
• Círculo de Mohr para momentos e 
produtos de inércia
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.2 Momento de Inércia de Superfícies
• Considere a viga de seção transversal 
uniforme sujeita ao momento mostrado 
aplicado em cada uma de suas 
extremidades.
• A viga está sob flexão pura (está 
submetida apenas aos momentos). Sob 
tal ação a viga fica submetida, em sua 
seção transversal, a forças de tração 
acima do eixo x e de compressão abaixo 
dele. O eixo x é denominado eixo neutro.
• Há um encurtamento das fibras inferiores 
(compressão) e um alongamento das fibras 
superiores (tração)
• A intensidade da força, F, de tração ou de 
compressão, é proporcional tanto à área A, 
sobre a qual está atuando, como à distância y
medida a partir do eixo neutro x.
•o
•o
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.2 Momento de Inércia de Superfícies
• Assim:
•Onde K é uma constante de 
proporcionalidade vinculada a propriedade 
do material que constitui a viga.
• Sabemos que:
• Fazendo F tender para dF, quando A 
assume valores elementares dA, tem-se: 
 
 
F y A
F K y A
  
  
 
R F
R k y A
 
 
R dF k ydA  
•o
• A integral define o momento estático de 1ª ordem em relação ao 
eixo x. O momento estático Qx também é calculado por , como o eixo x
passa em cima do centroide, então , logo , assim R = 0.
xy dA Q
0xQ y dA 0y 
xQ yA
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.2 Momento de Inércia de Superfícies
• Sendo R = 0, o sistema de força reduz-se ao 
momento M. A intensidade de M deve ser igual 
à soma dos momentos Mx.
2
x
x
x
M y F
M y k y A
M k y A
  
  
  
2
2
x
x
M k y dA
M k y dA
 
 
• A integral é denominada o momento de 2ª ordem ou momento de 
inércia da seção da viga em relação ao eixo x, sendo representado por Ix.
2y dA
2
xI y dA 
• Por analogia: 
2
yI x dA 
• Logo: 
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.3 Determinação do Momento de Inércia de por Integração
• Para determinar o momento de inércia Ix ou Iy da superfície A em relação ao eixos 
x e y respectivamente, escolhemos dA como sendo uma faixa estreita paralela a 
um dos eixos coordenados.
• Para calcular Ix, escolhe-se uma faixa paralela ao eixo x.
• Para calcular Iy, procede-se da mesma forma, escolhe-se uma faixa paralela ao 
eixo y.
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
EXEMPLO 01
Determine os momentos de inércia Ix e Iy do retângulo abaixo.
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
EXEMPLO 02
Determine os momentos de inércia da superfície sombreada em relação a cada um 
dos eixos coordenados.
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.4 Momento de Inércia Polar
• Uma propriedade de seção de grande importância para a solução de problemas 
referentes à torção de eixos cilíndricos e em problemas que tratam da rotação de 
placas é o momento de inércia polar. 
• O momento de inércia polar da superfície A em relação ao “polo” O é dado por:
2
oJ r dA 
• Onde, de acordo com a figura, r é a distância entre O e o elemento de área dA, 
sendo O a interseção entre os eixos x e y.
• De acordo com a figura:
2 2 2r x y 
• Substituindo na equação do momento de inércia:
 2 2oJ x y dA 
2 2
oJ y dA x dA  
o x yJ I I 
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
EXEMPLO 03
Determine o momento de inércia polar por integração direta.
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.5 Raio de Giração de uma superfície
• Considere uma superfície A com momento de inércia Ix
em relação ao eixo x. O raio de giração da superfície 
em relação ao eixo x é definido como: 
x
x
I
k
A

• E o raio de giração em relação a O é dado por:
2 2 2
O x yk k k 
y
y
I
k
A

O
O
J
k
A

• De maneira semelhante, o raio de giração da superfície 
em relação ao eixo y será:
• Sendo:
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.6 Teorema dos Eixos Paralelos
• Considere uma superfície A e o eixo BB’ que passa 
pelo centroide dessa superfície (o eixo BB’ é 
chamado de eixo centroidal).
• Considere agora o momento de inércia I da superfície A, calculado em relação ao eixo 
AA’. Seja y a distância entre o elemento dA e o eixo AA’, o momento de inércia I será:
• Sendo y’ a distância entre o elemento de área dA e o 
eixo centroidal BB’, então o momento de inércia da 
superfície A calculado em relação ao eixo BB’ será:
2I y' dA 
2I y dA 
• Se d é a distância entre os eixos, então:
y y' d 
• Substituindo na equação 
de I tem-se:
y y' d 
 
 
2
2 22
I y' d dA
I y' y' d d dA
 
   2I I d A 
2 22I y' dA d y' dA d dA    
É o momento de 
inércia centroidal
É o momento de 1ª ordem em 
relação ao eixo centroidal e 
por isso é igual a zero 
É a área da 
superfície
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.6 Teorema dos Eixos Paralelos
Conclusão:
• O momento de inércia I de uma superfície em 
relação a um eixo AA’ paralelo ao eixo 
centroidal é igual ao momento de inércia 
em relação ao eixo centroidal mais o produto 
do quadrado da distância entre os dois eixo 
pela área da superfície.
• Esse teorema é conhecido como Teorema dos 
Eixos Paralelos
2I I d A 
I
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
EXEMPLO 04
Determine o momento de inércia em relação ao eixo x’ (centroidal) da superfície a 
seguir.
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.7 Momentos de Inércia de Superfícies Compostas
• Se uma superfície é formada de uma composição de 
diferentes áreas A1, A2, ... , An cujos momentos de 
inércia, em relação a um mesmo eixo sejam 
conhecidos, então o momento de inércia da 
superfície composta, em relação a esse eixo, será 
dado pela soma dos momentos de inércia 
individuais.
• Se uma ou mais áreas representam partes “tolhidas” 
de um todo, como furos ou recortes, seus momentos 
de inércia deverão ser subtraídos.
• Se não se conhece os momentos de inércia das 
figuras em relação ao mesmo eixo, deve-se 
aplicar o Teorema dos eixo paralelos para 
transferir cada momento de inércia para um 
único eixo e depois se efetuar a soma dos 
momentos de inércia de cada figura..
1
2
3
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
EXEMPLO 05
A resistência de uma viga em perfil W 360 x 44 é aumentada ao se anexar uma 
placa 225 x 18,75 mm á sua mesa superior, como mostrado na figura. 
Determine o momento de inércia da seção composta em relação ao eixo 
paralelo à placa passando pelo centroide C da seção.
Dados do perfil
2
6 4
5730
122 10x
A mm
I mm

 
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
EXEMPLO 06
Determine o momento de inércia da superfície sombreada com relaçãoao eixo x.
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.8 Produto de Inércia
• O produto de inércia da superfície A em relação aos 
eixos x e y é obtido pela integral:
• Ou seja, é obtido pela multiplicação de cada elemento 
de área dA da superfície A pelas suas coordenadas x e y 
e por meio da integração sobre a área
• O produto de inércia pode ser positivo, negativo ou 
nulo, diferentemente do momento de inércia que é 
sempre positivo.
xyI x y dA 
• Quando um ou ambos os eixos x e y são eixos de simetria 
para a superfície A, o produto de inércia será nulo, pois 
para cada elemento de área dA de coordenadas x e y, 
pode-se associar um elemento de área dA’ de 
coordenadas x e -y. Lembrando que a integral é um 
somatório de elementos infinitesimais, a integral será 
nula para essa situação.
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.8 Produto de Inércia
• Um teorema dos eixos paralelos também pode 
ser deduzido para o produto de inércia.
• Considere uma superfície A e um sistema de 
coordenadas retangulares x, y.
• Sabe-se que o produto de inércia em relação 
aos eixos x e y é dado por:
• Considere agora os eixo centroidais x’ e y’, 
as coordenadas do elemento de área dA em 
relação ao eixo centroidal são x’ e y’.
xyI x y dA 
• A partir da figura podemos escrever:
x x' x
y y' y
 
 
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.8 Produto de Inércia
• Substituindo na integral para o cálculo do produto 
de inércia.
  
 
xy
xy
xy
I x' x y' y dA
I x' y' x' y xy' x y dA
I x' y' dA y x' dA x y' dA xy dA
  
   
      
É a área da 
superfície
É o momento de 1ª ordem em 
relação aos eixos centroidais 
e por isso é igual a zero 
Representa o produto de 
inércia da superfície A 
em relação aos eixos 
coordenados x’ e y’
x' y'I
• Assim:
x' y'xyI I xyA 
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
EXEMPLO 07
Determine o produto de inércia do triângulo retângulo mostrado
a) em relação aos eixos x e y
b) em relação aos eixos centroidais 
paralelos aos eixos x e y
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
2 2
x y xyI y dA I x dA I xy dA    
2 2
x' y' x' y'I y' dA I x' dA I x' y' dA    
• Deseja-se então determinar os momentos de 
inércia e o produto de inércia em relação a esse 
novo sistema de coordenadas, em função dos 
momentos e produto de inércia originais 
• Considere a superfície A e os eixos principais x
e y. As coordenadas do elemento de área dA
em relação aos eixos x e y é x e y.
• Admitindo que os momentos de inércia e o 
produto de inércia da superfície A em relação 
aos eixos x e y sejam conhecidos, temos que:
• Suponha que haja uma rotação de um ângulo 
em relação a origem O dando origem ao novo 
sistema de coordenadas x’ e y’. As 
coordenadas do elemento de área dA em 
relação a esses novos eixos x’ e y’ é x’ e y’. 
Sabe-se que:
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
• Da figura obtemos as seguintes relações entre 
x’, y’ e x e y do elemento de área dA.
x' OA CD 
OAB  OAcos OA xcos
x
   
BCD 
CDsen CD y sen
y
   
x' xcos y sen  
y' CB AB 
OAB  ABsen AB x sen
x
   
BCD 
CBcos CB y cos
y
   
y' y cos x sen  
• Substituindo y’ na expressão para Ix’ , tem-se
 22x'I y' dA y cos x sen dA    
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
 
 
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
x'I y' dA
y cos x sen dA
y cos xy cos sen x sen dA
cos y dA cos sen xy dA sen x dA
 
   
   
 
 
  
    
2 22x' x xy yI I cos I sen cos I sen     
• De modo semelhante, obtém-se as expressões para Iy’ e para Ixy
2 22y' x xy yI I sen I sen cos I cos     
   2 2x' y' x y xyI I I sen cos I cos sen      
• Utilizando as equações trigonométricas nas equações acima destacadas:
2 2sen sen cos  •
• 2 1 2
2
cossen  2 1 2
2
coscos  •
2 22cos cos sen   •
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
2 2
2 2
x y x y
x' xy
I I I I
I cos I sen 
 
  
• Obtém-se:
• As equações (1) e (3) são equações 
paramétricas (em função do parâmetro ) de 
um círculo (denominado Círculo de Mohr), 
como o círculo da figura.
2 2
2 2
x y x y
y' xy
I I I I
I cos I sen 
 
  
2 2
2
x y
x' y' xy
I I
I sen I cos 

 
(1)
(2)
(3)
• As equações (2) e (3) também são equações 
paramétricas do mesmo círculo estabelecido 
pelas equações (1) e (3)
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
• Para estabelecer a equação do Círculo de Mohr o parâmetro  será eliminado 
utilizando as equações (1) e (3):
 
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
x y x y
x' xy
x y
x' y' xy
I I I I
I cos I sen
I I
I sen I cos
 
 
                 

  
      
 
   
2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
x y x y
x' x y xy xy
x y
x' y' x y xy xy
I I I I
I cos I I I cos sen I sen
I I
I sen I I I cos sen cos I cos
   
    
                    

  
        
• Somando as duas últimas equações e lembrando que 2 2 1cos sen  
 
2 2
2 2
2 2
x y x y
x' x' y' xy
I I I I
I I I
    
         
   
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
 
2 2
2 2
2 2
x y x y
x' x' y' xy
I I I I
I I I
    
         
   
• Estabelecendo:
2
x y
méd
I I
I

 e
2
2
2
x y
xy
I I
R I
 
   
 
   22 2x' méd x' y'I I I R   (Equação do Círculo de Mohr)
• O círculo de Mohr está centrado em C, cujas as 
coordenadas são (Iméd; 0) e tem raio R.
• O círculo intercepta o eixo horizontal em dois 
pontos A e B.
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
• O ponto A corresponde a um valor máximo do 
momento de inércia Ix’ (Imáx).
• O ponto B corresponde a um valor mínimo 
(Imín).
• Os valores de Imáx e Imín do momento de inércia 
são chamados Momentos de Inércia Principais
da superfície em relação a O e correspondem 
ao valor do produto de inércia nulo.
• Da figura pode-se observar que: máx méd
mín méd
I I R
I I R
 
 
• logo:
máx,mín médI I R  
(Momentos de 
inércia principais)
• OBS: até aqui utilizou-se das equações de Ix’ e Ix’y’ para definir o círculo, o mesmo 
procedimento poderia ser feito com as equações de Iy’ e Ix’y’. 
2
2
2 2
x y x y
máx,mín xy
I I I I
I I
  
    
 
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
2 2 0
2
2 2
2
2 2
2
22
2
x y
m xy m
x y
m xy m
xy m
m
x y
xym
m x y
I I
sen I cos
I I
sen I cos
I cos
sen
I I
Isen
cos I I
 
 





 

 
 

 

1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
• Para se estabelecer o valor de m do parâmetro 
 para o qual o produto de inércia (Ix’y’ ) é igual 
a zero, basta fazer Ix’y’ = 0 na equação abaixo:
2 2
2
x y
x' y' xy
I I
I sen I cos 

 
2
2 xym
x y
I
tg
I I
  

• Essa equação define dois eixos, um deles 
corresponde ao momento de inércia mínimo 
enquanto queo outro corresponde ao momento 
de inércia máximo:
• Onde m é o ângulo para o qual Ix’y’ = 0 
• Essa equação define dois valores de 2m
apartados de 180° e, portanto, dois valores de 
m apartados de 90°
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
2
2 xym
x y
I
tg
I I
  

1 22 representado no círculo de Mohr
2 180
m
m
m
tg



  

2
representado na seção
2 180 90
m m
m m
 
 
 
  
  
• Os dois eixos assim definidos são os Eixos 
Principais de Inércia da superfície em relação O.
• Para saber qual eixo corresponde ao valor de 
máximo do momento de inércia basta substituir 
um dos valores de m em uma das equações 
abaixo:
2 2
2 2
x y x y
x' xy
I I I I
I cos I sen 
 
  
2 2
2 2
x y x y
y' xy
I I I I
I cos I sen 
 
  
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.9 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
• Sabe-se que quando uma superfície apresenta em eixo de 
simetria passando por O, o produto de inércia é nulo, logo 
esse eixo é um eixo principal de inércia.
• Por outro lado, um 
eixo principal não 
precisa ser um eixo 
de simetria. Para a 
cantoneira de abas 
desiguais da figura, 
os eixos a e b são 
eixos principais.
• Uma superfície terá sempre dois eixos principais de inércia que são 
ortogonais.
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
EXEMPLO
Para a seção mostrada, os momentos de inércia em relação aos eixos x e y são 
dados:
a) A orientação dos eixos principais em 
relação a O.
b) Os momentos de inércia principais em 
relação a O.
Determine:
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1.10 Círculo de Mohr para Momentos e Produto de Inércia
• O círculo de Mohr pode ser usado para determinar graficamente ou 
analiticamente os eixos principais de inércia e os momentos e produto de 
inércia da superfície em relação a um par de eixos inclinados. Para tanto é 
necessário conhecer o produto de inércia da superfície em relação aos eixos 
x, y que passam por O
Como traçar o círculo de Mohr?
•Considere uma dada superfície de área A e dois eixos perpendiculares x e y. 
1) Calcular os momentos de inércia Ix e Iy e o produto de 
inércia Ixy .
2) Traçar o círculo de Mohr seguindo os passos:
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
1. Traçar os eixos ortogonais, sendo o eixo das abscissas correspondente aos 
momentos de inércia Ix e Iy e o eixo das ordenadas correspondente ao 
produto de inércia Ixy
2. Nesse sistema de eixos são marcados dois pontos X e Y com as seguintes 
coordenadas:
     x xy x xyX I ; I Y I ; I
1.10 Círculo de Mohr para Momentos e Produto de Inércia
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
3. Traçar o círculo de Mohr com 
centro em C e diâmetro XY.
•Traça-se uma reta unindo esses pontos. O ponto em que a reta intercepta o eixo 
das abscissas (ponto C) corresponde ao centro do círculo de Mohr:
1.10 Círculo de Mohr para Momentos e Produto de Inércia
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
4. Após traçar o círculo de Mohr, obtém o valor de Imáx e Imín e o ângulo que 
permite localizar os eixos principais de inércia.
m
a
b
a e b correspondem aos 
eixos principais de inércia
yx
xy
m II
I


2
2tan 
2
2
2 2
  
    
 
x y x y
máx,mín xy
I I I I
I I
x y
med
I I
C I
2

 
1.10 Círculo de Mohr para Momentos e Produto de Inércia
2m
1 - Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
EXEMPLO
Para a seção mostrada, sabe-se que os momentos e o produto de inércia em relação 
aos eixos x e y são
Ix = 7,20 x 106 mm4 Iy = 2,59 x 106 mm4 Ixy = -2,54 x 106 mm4.
a) Os eixos principais em relação a O
b) Os valores dos momentos principais 
em relação a O
c) Os momentos e o produto de inércia 
em relação aos eixos x’ e y’.
Usando o círculo de Mohr, determine: