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02_Tensao

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Um tubo de aço de 400 mm de diâmetro 
externo é fabricado a partir de uma chapa de 
aço com espessura de 10 mm soldada ao longo 
de uma hélice que forma um ângulo de 20 °
com um plano perpendicular ao eixo do tubo. 
Sabendo que as tensões normal e de 
cisalhamento máximas admissíveis nas 
direções, respectivamente, normal e tangencial 
à solda são  = 60 Mpa e  = 36 Mpa, 
determine a intensidade P da maior força axial 
que pode ser aplicada ao tubo.
Exemplo
2 - Tensão
• Considere uma corpo sujeito a várias cargas P1, P2, ... . 
Essas forças provocam um estado de tensão no corpo. 
Para entender esse estado de tensão vamos passar um 
corte através de um ponto Q (interno ao corpo e 
arbitrário) paralelo ao plano yz. 
• Utilizando a parte da esquerda como diagrama de corpo 
livre, temos algumas forças originais e as forças normal e 
cortante agindo sobre uma pequena área A que circunda 
o ponto Q. Sendo:
 força normal agindo numa superfície 
perpendicular à direção do eixo x.
 força cortante na direção de y agindo numa 
superfície perpendicular à direção do eixo x.
 força cortante na direção de z agindo numa 
superfície perpendicular à direção do eixo x.
xF 
x
yV 
x
yV 
2.6 Tensão sob Carregamentos Gerais
2 - Tensão
• Dividindo as intensidades de forças pela área A e fazendo 
A aproximar-se de zero, definimos as 3 componentes 
mostradas:
A
V
A
V
A
F
x
z
A
xz
x
y
A
xy
x
A
x











limlim
lim
00
0


xy xz• O primeiro índice em , e indica que as tensões 
consideradas estão aplicadas em um superfície 
perpendicular ao eixo x.
• O segundo índice em e indica a direção das 
componentes de tensão.
x
xy xz
• Na figura acima as tensões são positivas, pois os correspondentes vetores 
apontam no sentido positivo dos respectivos eixos.
2.6 Tensão sob Carregamentos Gerais
2 - Tensão
• Na figura ao lado tensões também são positivos, uma vez que 
a seção está voltada para o lado negativo do eixo x. Vetores 
que apontam para o mesmo sentido que a seção são sempre 
positivos.
• Passando um corte por Q paralelo ao plano zx tem-se:
y yz yx, ,  
z zx zy, ,  
• Passando um corte por Q paralelo ao plano 
xy tem-se:
• O estado de tensão no ponto Q pode ser 
vizualizado pelo cubo centrado em Q.
2.6 Tensão sob Carregamentos Gerais
2 - Tensão
• Relações importantes entre as componentes de 
tensão de cisalhamento podem ser deduzidas a 
partir da figura ao lado. 
• A combinação de forças geradas pela 
tensão devem satisfazer as condições para o 
equilíbrio: 
0x y zF F F    
• As forças normal e cortante que atuam nas 
várias faces do cubo são deduzidas 
multiplicando-se as componentes de tensão 
pela área A de cada face
• Essas equações ficam satisfeitas porque 
existem forças iguais e opostas nas faces 
ocultas do cubo
2.7 Estado de Tensão
2 - Tensão
• Ainda considerando o equilíbrio, as seguintes 
equações também devem ser satisfeitas: 
0x' y' z'M M M    
       
   
0
0
2 2 2 2
0
z
xy xy yx yx
xy yx
xy yx
M
a a a aA A A A
A a A a
   
 
 
 
       
   

xzzxzyyz   eSimilar,
• Considere os momentos em torno do eixo z:
• Segue-se que apenas 6 componentes de 
tensão são necessárias para definir o estado 
completo de tensão. 
x yx zx
xy y zy
xz yz z
  
  
  
 
 
 
  
 
2.7 Estado de Tensão
2 - Tensão
admissível Tensão
limite Tensão
segurança deFator 
all
u 


FS
FS
Elementos estruturais ou 
máquinas devem ser 
concebidos de tal forma que as 
tensões de trabalho (solicitantes) 
sejam menores do que 
a resistência final do material 
(resistente).
Considerações para um fator de segurança: 
• Incerteza nas propriedades do material
• Incerteza de cargas
• Incerteza das análises
•Requisitos de manutenção e os efeitos de 
deterioração
• Importância da barra para a 
integridade de toda estrutura
• Risco à vida e à propriedade
2.8 Fator de Segurança
2 - Tensão
São aplicadas duas forças ao suporte BCD 
mostrado na figura.
a) Sabendo que a barra de controle AB 
deve ser feita de aço e ter um limite de 
tensão normal de 600 MPa. Determine 
o diâmetro da barra para o qual o 
coeficiente de segurança é igual a 3,3.
b) Sabendo que o pino C deve ser feito de 
aço com um limite de tensão de 
cisalhamento de 350 MPa, determine o 
diâmetro do pino C para o qual o 
coeficiente de segurança também é 3,3.
c) Determine a espessura necessária para 
as barras de apoio C, sabendo que a 
tensão de esmagamento admissível do 
aço utilizado é 300 Mpa.
Exemplo