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02_Tensao

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ECV 107
Resistência dos Materiais I
Prof.: Maila Pereira
CAPÍTULO 02
Tensão
2 - Tensão
Revisão de Estática – Exemplo 01:
Considere a estrutura mostrada na 
figura, projetada para suportar uma 
carga de 30 kN. A estrutura consiste de 
uma barra AB (seção transversal 
retangular de 30x50 mm) e uma barra 
BC (seção transversal circular com 
diâmetro de 20 mm). A duas barras são 
conectadas por pinos (momento igual a 
zero nos pinos).
As barras suportam o carregamento 
aplicado?
2 - Tensão
2.1 Tensão Normal Média
• Seja um elemento de área A submetido a uma 
carregamento axial como na figura:
m ed
P
A
  
 = tensão normal média
P = força normal interna
A = área da seção transversal
• A força por unidade de área que age 
perpendicularmente à seção é definida como 
tensão normal média .
• Para barra tracionada tensão de tração + 
• Para barra comprimida tensão de compressão – 
• A unidade no SI é Pa (kPa, Mpa, GPa)
2 - Tensão
2.1 Tensão Normal Média
• A barra permanece reta a após a aplicação das cargas.
• A seção transversal permanece plana durante a deformação 
(deformação é uniforme)
• A força P está aplicada ao longo do eixo do centroide da seção, o 
que garante uma distribuição uniforme de tensão. Esse tipo de 
carregamento é chamado de carga centrada.
• O material que constitui o elemento possui as mesmas 
propriedades ao longo de seu volume.
• Para o cálculo da tensão normal média que age sobre a seção transversal de 
uma barra deve-se considerar:
• Se a barra estiver excentricamente carregada, então a 
resultante da distribuição de tensões em uma 
seção deve produzir uma força axial aplicada no 
centróide e um momento conjugado. A distribuição de 
tensões nesse caso não é uniforme
2 - Tensão
• A tensão normal em um determinado ponto pode não 
ser igual à tensão média.
• A variação de tensão é pequena em uma seção 
distante do ponto de aplicação da carga (c)
• A distribuição real das tensões é estaticamente 
indeterminada, ou seja, não pode ser encontrada a 
partir das condições de equilíbrio somente. 
• Na prática, consideraremos que a distribuição de tensões normais em uma 
barra sob carga axial é uniforme, exceto nas vizinhanças imediatas dos 
pontos de aplicação das cargas
2.1 Tensão Normal Média
2 - Tensão
2.2 Tensão de Cisalhamento Média
• Considere a barra da figura submetida à força transversal F 
como indicado. Considerando os apoios rígidos e a força F
grande o suficiente, o material da barra irá deformar-se e 
falhar ao longo dos planos AB e CD.
m ed
V
A
 
• A tensão média de cisalhamento correspondente é:
• De acordo com o diagrama de corpo livre do vão central, 
para a situação de equilíbrio:
2
FV 
 = tensão de cisalhamento média, ocorre em cada 
área secionada onde a força V se desenvolve
V = força normal interna
A = área da seção transversal
• As tensões de cisalhamento ocorrem 
frequentemente em parafusos, pinos, 
soldas e cola (madeira)
A
AC C
2 - Tensão
Exemplo de Tensões de Cisalhamento
Cisalhamento Simples
med
V F
A A
  • A junta de madeira da figura é um exemplo de 
cisalhamento simples. Ao fazer um corte entre os 
elementos obtém-se o diagrama de corpo livre como 
na figura. Para manter o equilíbrio a área da seção 
transversal de fixação entre os elementos (cola) está 
submetida a uma única força de cisalhamento: 
V F
med 2
V F
A A
  
2
FV 
2
FP  med 2
P F
A A
  
Cisalhamento Duplo
• Ocorre quando duas superfícies de 
cisalhamento são consideradas, como na 
figura. Ao se fazer um corte entre cada 
um dos elementos, os diagramas de 
corpo livre do elemento central mostra a 
situação de duplo cisalhamento
2 - Tensão
• A tensão normal produzida pela 
compressão de uma superfície 
contra outra é denominada tensão 
de esmagamento, pois se essa 
tensão for muito grande poderá 
esmagar ou deformar uma ou 
ambas as superfícies.
e
P
A
 
• Por exemplo a placa de base B 
provocará uma tensão de 
esmagamento no concreto igual a:
2.3 Tensão de Esmagamento em Conexões
2 - Tensão
• Parafusos e pinos criam tensões ao longo 
da superfície de esmagamento, ou de 
contato, nos elementos que eles se 
conectam.
dt
P
A
P
e
• A intensidade da força média 
correspondente é chamada de tensão de 
esmagamento
• A resultante da distribuição de força na 
superfície é igual e oposta à força 
exercida sobre o pino. 
P F
• Como a distribuição de forças e tensões é 
complicada , calcula-se uma valor nominal 
médio e dividindo a força pela área A = td, 
onde d = diâmetro do parafuso ou pino e 
t = espessura da placa
2.3 Tensão de Esmagamento em Conexões
2 - Tensão
As componentes de madeira ;a e B devem 
ser unidas por cobrejuntas de madeira 
compensada que serão totalmente coladas às 
superfícies em contato. Como parte do 
projeto da junção, e sabendo que as 
extremidades das componentes deve ser 6 
mm, determine o comprimento L mínimo 
permitido para que a tensão de cisalhamento 
média na cola não exceda 700 kPa
Exemplo
2 - Tensão
Uma barra de aço AB de 15,88 mm de 
diâmetro está encaixada em um furo 
redondo próximo à extremidade C de uma 
vigota de madeira CD. Para o carregamento 
mostrado, determine:
Exemplo
a) A tensão normal média máxima na 
madeira.
b) A distância b para a qual a tensão 
de cisalhamento média é 690 kPa
nas superfícies indicadas pelas 
linhas pontilhadas
c) A tensão de esmagamento média 
na madeira.
2 - Tensão
No suporte mostrado na figura, a parte superior do 
elemento ABC tem 9,5 mm de espessura e as partes 
inferiores tem 6,4 mm de espessura cada uma. É 
utilizada resina epóxi para unir as partes superior e 
inferior em B. O pino em A tem 9,5 mm de diâmetro 
e o pino usado em C tem 6,4 mm de diâmetro. 
Determine:
Exemplo
a) A tensão de cisalhamento no pino em A.
b) A tensão de cisalhamento no pino em C.
c) A maior tensão normal no elemento ABC.
d) A tensão de cisalhamento média na superfícies 
coladas em B.
e) A tensão de esmagamento no elemento em C.
2 - Tensão
2.4 Tensões em um Plano Inclinado
• Vamos mostrar que as forças axiais ou 
transversais podem produzir 
tanto tensões normais e de 
cisalhamento com relação a um 
plano que não seja um corte 
perpendicular ao eixo barra .
• Forças axiais aplicadas em um 
elemento de barra, provocam tensões 
normais em um plano de 
corte perpendicular ao eixo barra.
• Forças transversais agindo 
em parafusos e pinos provocam 
apenas tensões de 
cisalhamento no plano perpendicular 
ao eixo do parafuso ou pino.
2 - Tensão
2.4 Tensões sobre um Plano Inclinado
 PsenVPF  cos
• Decompondo P em componentes normais e 
tangenciais à seção oblíqua, 
• Considere a barra da figura submetida à forças 
axiais P. Ao cortar a barra por um plano formando 
um ângulo  com o plano normal e traçando o 
diagrama de corpo livre do componente da 
esquerda, por equilíbrio a força interna é igual a P
• Da figura tem-se que: AA
cos 

2F P cos P cosAA Acos
V Psen P sen cosAA Acos



 


  

  
  
• As tensões normais e de cisalhamento média sobre 
o plano inclinado são 
2P cos
A
P sen cos
A
 
  


2 - Tensão
• A tensão máxima de cisalhamento ocorre 
para uma inclinação de + 45 º com relação ao 
eixo da barra, 
45 45
2máx máx
P Psen cos
A A
   
• Uma análise da equação para  indica que para 
 = 0 a tensão é máxima e é dada por: 
2P Pcos sen cos
A A
     
máx 0
P
A
   
• Neste caso á tensão normal será:
2 45
2
P Pcos
A A
   
2.5 Tensão Máxima
2 - TensãoUm tubo de aço de 400 mm de diâmetro 
externo é fabricado a partir de uma chapa de 
aço com espessura de 10 mm soldada ao longo 
de uma hélice que forma um ângulo de 20 °
com um plano perpendicular ao eixo do tubo. 
Sabendo que as tensões normal e de 
cisalhamento máximas admissíveis nas 
direções, respectivamente, normal e tangencial 
à solda são  = 60 Mpa e  = 36 Mpa, 
determine a intensidade P da maior força axial 
que pode ser aplicada ao tubo.
Exemplo
2 - Tensão
• Considere uma corpo sujeito a várias cargas P1, P2, ... . 
Essas forças provocam um estado de tensão no corpo. 
Para entender esse estado de tensão vamos passar um 
corte através de um ponto Q (interno ao corpo e 
arbitrário) paralelo ao plano yz. 
• Utilizando a parte da esquerda como diagrama de corpo 
livre, temos algumas forças originais e as forças normal e 
cortante agindo sobre uma pequena área A que circunda 
o ponto Q. Sendo:
 força normal agindo numa superfície 
perpendicular à direção do eixo x.
 força cortante na direção de y agindo numa 
superfície perpendicular à direção do eixo x.
 força cortante na direção de z agindo numa 
superfície perpendicular à direção do eixo x.
xF 
x
yV 
x
yV 
2.6 Tensão sob Carregamentos Gerais
2 - Tensão
• Dividindo as intensidades de forças pela área A e fazendo 
A aproximar-se de zero, definimos as 3 componentes 
mostradas:
A
V
A
V
A
F
x
z
A
xz
x
y
A
xy
x
A
x











limlim
lim
00
0


xy xz• O primeiro índice em , e indica que as tensões 
consideradas estão aplicadas em um superfície 
perpendicular ao eixo x.
• O segundo índice em e indica a direção das 
componentes de tensão.
x
xy xz
• Na figura acima as tensões são positivas, pois os correspondentes vetores 
apontam no sentido positivo dos respectivos eixos.
2.6 Tensão sob Carregamentos Gerais
2 - Tensão
• Na figura ao lado tensões também são positivos, uma vez que 
a seção está voltada para o lado negativo do eixo x. Vetores 
que apontam para o mesmo sentido que a seção são sempre 
positivos.
• Passando um corte por Q paralelo ao plano zx tem-se:
y yz yx, ,  
z zx zy, ,  
• Passando um corte por Q paralelo ao plano 
xy tem-se:
• O estado de tensão no ponto Q pode ser 
vizualizado pelo cubo centrado em Q.
2.6 Tensão sob Carregamentos Gerais
2 - Tensão
• Relações importantes entre as componentes de 
tensão de cisalhamento podem ser deduzidas a 
partir da figura ao lado. 
• A combinação de forças geradas pela 
tensão devem satisfazer as condições para o 
equilíbrio: 
0x y zF F F    
• As forças normal e cortante que atuam nas 
várias faces do cubo são deduzidas 
multiplicando-se as componentes de tensão 
pela área A de cada face
• Essas equações ficam satisfeitas porque 
existem forças iguais e opostas nas faces 
ocultas do cubo
2.7 Estado de Tensão
2 - Tensão
• Ainda considerando o equilíbrio, as seguintes 
equações também devem ser satisfeitas: 
0x' y' z'M M M    
       
   
0
0
2 2 2 2
0
z
xy xy yx yx
xy yx
xy yx
M
a a a aA A A A
A a A a
   
 
 
 
       
   

xzzxzyyz   eSimilar,
• Considere os momentos em torno do eixo z:
• Segue-se que apenas 6 componentes de 
tensão são necessárias para definir o estado 
completo de tensão. 
x yx zx
xy y zy
xz yz z
  
  
  
 
 
 
  
 
2.7 Estado de Tensão
2 - Tensão
admissível Tensão
limite Tensão
segurança deFator 
all
u 


FS
FS
Elementos estruturais ou 
máquinas devem ser 
concebidos de tal forma que as 
tensões de trabalho (solicitantes) 
sejam menores do que 
a resistência final do material 
(resistente).
Considerações para um fator de segurança: 
• Incerteza nas propriedades do material
• Incerteza de cargas
• Incerteza das análises
•Requisitos de manutenção e os efeitos de 
deterioração
• Importância da barra para a 
integridade de toda estrutura
• Risco à vida e à propriedade
2.8 Fator de Segurança
2 - Tensão
São aplicadas duas forças ao suporte BCD 
mostrado na figura.
a) Sabendo que a barra de controle AB 
deve ser feita de aço e ter um limite de 
tensão normal de 600 MPa. Determine 
o diâmetro da barra para o qual o 
coeficiente de segurança é igual a 3,3.
b) Sabendo que o pino C deve ser feito de 
aço com um limite de tensão de 
cisalhamento de 350 MPa, determine o 
diâmetro do pino C para o qual o 
coeficiente de segurança também é 3,3.
c) Determine a espessura necessária para 
as barras de apoio C, sabendo que a 
tensão de esmagamento admissível do 
aço utilizado é 300 Mpa.
Exemplo

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