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ECV 107 Resistência dos Materiais I Prof.: Maila Pereira CAPÍTULO 02 Tensão 2 - Tensão Revisão de Estática – Exemplo 01: Considere a estrutura mostrada na figura, projetada para suportar uma carga de 30 kN. A estrutura consiste de uma barra AB (seção transversal retangular de 30x50 mm) e uma barra BC (seção transversal circular com diâmetro de 20 mm). A duas barras são conectadas por pinos (momento igual a zero nos pinos). As barras suportam o carregamento aplicado? 2 - Tensão 2.1 Tensão Normal Média • Seja um elemento de área A submetido a uma carregamento axial como na figura: m ed P A = tensão normal média P = força normal interna A = área da seção transversal • A força por unidade de área que age perpendicularmente à seção é definida como tensão normal média . • Para barra tracionada tensão de tração + • Para barra comprimida tensão de compressão – • A unidade no SI é Pa (kPa, Mpa, GPa) 2 - Tensão 2.1 Tensão Normal Média • A barra permanece reta a após a aplicação das cargas. • A seção transversal permanece plana durante a deformação (deformação é uniforme) • A força P está aplicada ao longo do eixo do centroide da seção, o que garante uma distribuição uniforme de tensão. Esse tipo de carregamento é chamado de carga centrada. • O material que constitui o elemento possui as mesmas propriedades ao longo de seu volume. • Para o cálculo da tensão normal média que age sobre a seção transversal de uma barra deve-se considerar: • Se a barra estiver excentricamente carregada, então a resultante da distribuição de tensões em uma seção deve produzir uma força axial aplicada no centróide e um momento conjugado. A distribuição de tensões nesse caso não é uniforme 2 - Tensão • A tensão normal em um determinado ponto pode não ser igual à tensão média. • A variação de tensão é pequena em uma seção distante do ponto de aplicação da carga (c) • A distribuição real das tensões é estaticamente indeterminada, ou seja, não pode ser encontrada a partir das condições de equilíbrio somente. • Na prática, consideraremos que a distribuição de tensões normais em uma barra sob carga axial é uniforme, exceto nas vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das cargas 2.1 Tensão Normal Média 2 - Tensão 2.2 Tensão de Cisalhamento Média • Considere a barra da figura submetida à força transversal F como indicado. Considerando os apoios rígidos e a força F grande o suficiente, o material da barra irá deformar-se e falhar ao longo dos planos AB e CD. m ed V A • A tensão média de cisalhamento correspondente é: • De acordo com o diagrama de corpo livre do vão central, para a situação de equilíbrio: 2 FV = tensão de cisalhamento média, ocorre em cada área secionada onde a força V se desenvolve V = força normal interna A = área da seção transversal • As tensões de cisalhamento ocorrem frequentemente em parafusos, pinos, soldas e cola (madeira) A AC C 2 - Tensão Exemplo de Tensões de Cisalhamento Cisalhamento Simples med V F A A • A junta de madeira da figura é um exemplo de cisalhamento simples. Ao fazer um corte entre os elementos obtém-se o diagrama de corpo livre como na figura. Para manter o equilíbrio a área da seção transversal de fixação entre os elementos (cola) está submetida a uma única força de cisalhamento: V F med 2 V F A A 2 FV 2 FP med 2 P F A A Cisalhamento Duplo • Ocorre quando duas superfícies de cisalhamento são consideradas, como na figura. Ao se fazer um corte entre cada um dos elementos, os diagramas de corpo livre do elemento central mostra a situação de duplo cisalhamento 2 - Tensão • A tensão normal produzida pela compressão de uma superfície contra outra é denominada tensão de esmagamento, pois se essa tensão for muito grande poderá esmagar ou deformar uma ou ambas as superfícies. e P A • Por exemplo a placa de base B provocará uma tensão de esmagamento no concreto igual a: 2.3 Tensão de Esmagamento em Conexões 2 - Tensão • Parafusos e pinos criam tensões ao longo da superfície de esmagamento, ou de contato, nos elementos que eles se conectam. dt P A P e • A intensidade da força média correspondente é chamada de tensão de esmagamento • A resultante da distribuição de força na superfície é igual e oposta à força exercida sobre o pino. P F • Como a distribuição de forças e tensões é complicada , calcula-se uma valor nominal médio e dividindo a força pela área A = td, onde d = diâmetro do parafuso ou pino e t = espessura da placa 2.3 Tensão de Esmagamento em Conexões 2 - Tensão As componentes de madeira ;a e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira compensada que serão totalmente coladas às superfícies em contato. Como parte do projeto da junção, e sabendo que as extremidades das componentes deve ser 6 mm, determine o comprimento L mínimo permitido para que a tensão de cisalhamento média na cola não exceda 700 kPa Exemplo 2 - Tensão Uma barra de aço AB de 15,88 mm de diâmetro está encaixada em um furo redondo próximo à extremidade C de uma vigota de madeira CD. Para o carregamento mostrado, determine: Exemplo a) A tensão normal média máxima na madeira. b) A distância b para a qual a tensão de cisalhamento média é 690 kPa nas superfícies indicadas pelas linhas pontilhadas c) A tensão de esmagamento média na madeira. 2 - Tensão No suporte mostrado na figura, a parte superior do elemento ABC tem 9,5 mm de espessura e as partes inferiores tem 6,4 mm de espessura cada uma. É utilizada resina epóxi para unir as partes superior e inferior em B. O pino em A tem 9,5 mm de diâmetro e o pino usado em C tem 6,4 mm de diâmetro. Determine: Exemplo a) A tensão de cisalhamento no pino em A. b) A tensão de cisalhamento no pino em C. c) A maior tensão normal no elemento ABC. d) A tensão de cisalhamento média na superfícies coladas em B. e) A tensão de esmagamento no elemento em C. 2 - Tensão 2.4 Tensões em um Plano Inclinado • Vamos mostrar que as forças axiais ou transversais podem produzir tanto tensões normais e de cisalhamento com relação a um plano que não seja um corte perpendicular ao eixo barra . • Forças axiais aplicadas em um elemento de barra, provocam tensões normais em um plano de corte perpendicular ao eixo barra. • Forças transversais agindo em parafusos e pinos provocam apenas tensões de cisalhamento no plano perpendicular ao eixo do parafuso ou pino. 2 - Tensão 2.4 Tensões sobre um Plano Inclinado PsenVPF cos • Decompondo P em componentes normais e tangenciais à seção oblíqua, • Considere a barra da figura submetida à forças axiais P. Ao cortar a barra por um plano formando um ângulo com o plano normal e traçando o diagrama de corpo livre do componente da esquerda, por equilíbrio a força interna é igual a P • Da figura tem-se que: AA cos 2F P cos P cosAA Acos V Psen P sen cosAA Acos • As tensões normais e de cisalhamento média sobre o plano inclinado são 2P cos A P sen cos A 2 - Tensão • A tensão máxima de cisalhamento ocorre para uma inclinação de + 45 º com relação ao eixo da barra, 45 45 2máx máx P Psen cos A A • Uma análise da equação para indica que para = 0 a tensão é máxima e é dada por: 2P Pcos sen cos A A máx 0 P A • Neste caso á tensão normal será: 2 45 2 P Pcos A A 2.5 Tensão Máxima 2 - TensãoUm tubo de aço de 400 mm de diâmetro externo é fabricado a partir de uma chapa de aço com espessura de 10 mm soldada ao longo de uma hélice que forma um ângulo de 20 ° com um plano perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo que as tensões normal e de cisalhamento máximas admissíveis nas direções, respectivamente, normal e tangencial à solda são = 60 Mpa e = 36 Mpa, determine a intensidade P da maior força axial que pode ser aplicada ao tubo. Exemplo 2 - Tensão • Considere uma corpo sujeito a várias cargas P1, P2, ... . Essas forças provocam um estado de tensão no corpo. Para entender esse estado de tensão vamos passar um corte através de um ponto Q (interno ao corpo e arbitrário) paralelo ao plano yz. • Utilizando a parte da esquerda como diagrama de corpo livre, temos algumas forças originais e as forças normal e cortante agindo sobre uma pequena área A que circunda o ponto Q. Sendo: força normal agindo numa superfície perpendicular à direção do eixo x. força cortante na direção de y agindo numa superfície perpendicular à direção do eixo x. força cortante na direção de z agindo numa superfície perpendicular à direção do eixo x. xF x yV x yV 2.6 Tensão sob Carregamentos Gerais 2 - Tensão • Dividindo as intensidades de forças pela área A e fazendo A aproximar-se de zero, definimos as 3 componentes mostradas: A V A V A F x z A xz x y A xy x A x limlim lim 00 0 xy xz• O primeiro índice em , e indica que as tensões consideradas estão aplicadas em um superfície perpendicular ao eixo x. • O segundo índice em e indica a direção das componentes de tensão. x xy xz • Na figura acima as tensões são positivas, pois os correspondentes vetores apontam no sentido positivo dos respectivos eixos. 2.6 Tensão sob Carregamentos Gerais 2 - Tensão • Na figura ao lado tensões também são positivos, uma vez que a seção está voltada para o lado negativo do eixo x. Vetores que apontam para o mesmo sentido que a seção são sempre positivos. • Passando um corte por Q paralelo ao plano zx tem-se: y yz yx, , z zx zy, , • Passando um corte por Q paralelo ao plano xy tem-se: • O estado de tensão no ponto Q pode ser vizualizado pelo cubo centrado em Q. 2.6 Tensão sob Carregamentos Gerais 2 - Tensão • Relações importantes entre as componentes de tensão de cisalhamento podem ser deduzidas a partir da figura ao lado. • A combinação de forças geradas pela tensão devem satisfazer as condições para o equilíbrio: 0x y zF F F • As forças normal e cortante que atuam nas várias faces do cubo são deduzidas multiplicando-se as componentes de tensão pela área A de cada face • Essas equações ficam satisfeitas porque existem forças iguais e opostas nas faces ocultas do cubo 2.7 Estado de Tensão 2 - Tensão • Ainda considerando o equilíbrio, as seguintes equações também devem ser satisfeitas: 0x' y' z'M M M 0 0 2 2 2 2 0 z xy xy yx yx xy yx xy yx M a a a aA A A A A a A a xzzxzyyz eSimilar, • Considere os momentos em torno do eixo z: • Segue-se que apenas 6 componentes de tensão são necessárias para definir o estado completo de tensão. x yx zx xy y zy xz yz z 2.7 Estado de Tensão 2 - Tensão admissível Tensão limite Tensão segurança deFator all u FS FS Elementos estruturais ou máquinas devem ser concebidos de tal forma que as tensões de trabalho (solicitantes) sejam menores do que a resistência final do material (resistente). Considerações para um fator de segurança: • Incerteza nas propriedades do material • Incerteza de cargas • Incerteza das análises •Requisitos de manutenção e os efeitos de deterioração • Importância da barra para a integridade de toda estrutura • Risco à vida e à propriedade 2.8 Fator de Segurança 2 - Tensão São aplicadas duas forças ao suporte BCD mostrado na figura. a) Sabendo que a barra de controle AB deve ser feita de aço e ter um limite de tensão normal de 600 MPa. Determine o diâmetro da barra para o qual o coeficiente de segurança é igual a 3,3. b) Sabendo que o pino C deve ser feito de aço com um limite de tensão de cisalhamento de 350 MPa, determine o diâmetro do pino C para o qual o coeficiente de segurança também é 3,3. c) Determine a espessura necessária para as barras de apoio C, sabendo que a tensão de esmagamento admissível do aço utilizado é 300 Mpa. Exemplo
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