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ECV 107
Resistência dos Materiais I
Prof.: Maila Pereira
CAPÍTULO 04
Torção
4 - Torção
• Considere a barra de seção circular AB submetida em suas extremidades A e B 
a torques iguais e opostos T.
• Ao cortar a barra AB por um plano perpendicular ao 
seu eixo longitudinal em algum ponto arbitrário C 
podemos traçar o diagrama de corpo livre da parte BC:
dF T 
• Considerando o diagrama de corpo livre de BC 
pode-se notar que existem forças internas à barra 
que provocam um torque interno que por equilíbrio 
deve ser igual a T, logo:
• Uma vez que dF =  dA , tem-se:
 dA T  
Equação que relaciona T com , mas não informa 
como as tensões são distribuídas ao longo da seção 
transversal, para tanto é necessário analisar as 
deformações de cisalhamento produzidas na barra.
4.1 Tensões em uma barra de seção circular
4 - Torção
• Considere uma barra de seção circular de raio c
conectada a um suporte rígido em uma de suas 
extremidades. Se um torque T é aplicado à extremidade 
livre a barra sofrerá rotação e sua extremidade livre irá 
girar de um ângulo  (ângulo de torção).
4.2 Deformações de cisalhamento em uma barra de seção circular
• Destacando da barra um cilindro de raio , antes de 
aplicar o carregamento podemos destacar neste cilindro 
um elemento quadrado.
• Ao aplicar o torque T, o elemento quadrado se deforma 
assumindo a forma de losango.
• Sabe-se que a deformação por cisalhamento  em um 
elemento é medida pela variação dos ângulos formados 
pelos lados daquele elemento.
4 - Torção
• Conforme a figura, verificamos que  é o ângulo 
formado pelas linhas AB e A’B (em rad).
4.2 Deformações de cisalhamento em uma barra de seção circular
• A deformação de cisalhamento em uma barra circular varia linearmente com a 
distância do eixo da barra, ou seja, a deformação de cisalhamento varia de zero na 
linha central do eixo até um valor máximo max em seu contorno externo.
• Para pequenos valores de  tem-se:
AA' L
AA'




• Logo:
L

 
Deformação de cisalhamento em uma 
barra circular submetida à torção.
( e  em rad).
• A deformação de cisalhamento é máxima na superfície da barra, ou seja, quando 
 = c
max
c
L

  maxc

 
4 - Torção
• Se o torque T aplicado à barra circular produz tensões de cisalhamento na barra 
abaixo da tensão de escoamento E, então a Lei de Hooke para tensão e deformação 
de cisalhamento é válida:
G 
4.3 Tensões de cisalhamento no regime elástico
• Substituindo na equação acima tem-se:maxc

 
maxG c

  maxc

 
• Assim, desde que todas as tensões na barra não excedam a tensão de escoamento 
(regime elástico), a tensão de cisalhamento na barra de seção circular variará 
linearmente com a distância  do eixo da barra.
• Para seção vazada tem-se:
2
1
max
min
c
c


 1
2
min max
c
c
 
4 - Torção
• Já vimos que:
4.3 Tensões de cisalhamento no regime elástico
• Substituindo na equação acima tem-se:maxc

 
 dA T  
maxT dAc

 
2maxT dA
c


maxT J
c

 max
Tc
J
 
T
J

 
Fórmulas de 
torção no regime 
elástico
Substituindo em 
maxc

 
•Lembrar que:
4
2
1 cJ 
 414221 ccJ  
(Seção cheia)
(Seção vazada de raio externo c2 e interno c1)
4 - Torção
• Unidades:
4.3 Tensões de cisalhamento no regime elástico
4
N.m
ou m Pa
m
T
c
J
 

 

Obs.:
• As equações obtidas são para barras de seção circular;
• Quando uma barras de seção circular é submetida à torção, toda seção transversal 
plana permanece plana porque o eixo circular é axissimétrico, o que não acontece 
com barras de seção transversal não circular, onde há empenamento.
4 - Torção
Exemplo 01:
Uma barra circular vazada de 
aço cilíndrica tem 1,5 m de 
comprimento e diâmetro interno 
e externo, respectivamente 
iguais a 40 mm e 60 mm.
a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado á barra circular se a 
tensão de cisalhamento não deve exceder a 120 Mpa?
b) Qual o valor da tensão de cisalhamento mínima?
4 - Torção
• As equações anteriores foram deduzidas para uma barra submetida a torque em 
suas extremidades. No entanto elas podem ser usadas para uma barra de seção 
circular variável ou para barra submetida a torques aplicados fora de suas 
extremidades.
Exemplo 02
Eixo BC é vazado, com diâmetros internos e 
externos de 90 mm e 120 mm, 
respectivamente. Os eixos AB e CD são 
sólidos e tem diâmetro d. Para o carregamento 
mostrado, determine:
a) As tensões de cisalhamento máxima e 
mínima no eixo BC.
b) O diâmetro d necessário para os eixos 
AB e CD, se a tensão de cisalhamento 
admissível nesses eixos for de 65 Mpa.
4 - Torção
• Já foi visto que quando uma barra circular está submetida à 
torção, um elemento de faces paralelas e perpendiculares dessa 
barra está sob tensão de cisalhamento.
max
Tc
J
 
4.4 Tensões normais
• As tensões exercidas no elemento c da figura de faces a 
45° do eixo da barra são tensões normais iguais a , 
ou seja, duas faces estão tracionadas e duas faces estão 
comprimidas.
max
• Sabemos de discussões anteriores que podem ser 
encontradas tensões normais, tensões de cisalhamento 
ou uma combinação de ambas sob as mesmas 
condições de carregamento, dependendo da orientação 
do elemento que foi escolhido.
• Assim, se considerarmos um elemento b que forma ângulos arbitrários com o eixo 
da barra de seção circular, esse elemento está submetido a uma combinação das 
tensões normal e de cisalhamento.
4 - Torção
max
Tc
J
 
• A equação acima é usada para determinar o módulo de elasticidade transversal 
(G) do material através do ensaio de torção.
4.5 Ângulo de torção no regime elástico
• Considere o eixo circular de comprimento L e 
seção transversal uniforme de raio c com um 
momento torçor T aplicado em sua extremidade 
livre. Já sabemos que:
max
c
L

  (1) (2)
• Considerando o regime elástico: max maxG   maxmax G

  (3)
TL
JG
 • Substituindo (1) e (2) em (3): (rad)
Equação do ângulo de 
torção no regime elástico 
de um eixo de seção circular 
com uma extremidade fixa.
4 - Torção
• Eixo homogêneo (G = constante).
• Seção transversal constante (J = constante).
• Carregamento aplicado nas extremidades do eixo.
4.6 Ângulo de torção no regime elástico
Restrições para o uso da equação para determinação do ângulo de torção:
TL
JG
 
Caso uma das condições não seja satisfeita, o eixo deverá ser dividido em partes 
componentes que satisfaçam individualmente às condições necessárias para 
aplicação da equação. Nesse caso tem-se:
i i
i i i
T L
J G
 
•  é o ângulo de torção 
total, ou seja, o ângulo pelo 
qual a extremidade A gira 
em relação à extremidade B
• Ti = momento torçor interno em cada parte componente.
• Li = comprimento de cada parte componente.
• Ji = momento de inércia de cada parte componente.
• Gi = módulo de elasticidade transversal de cada parte componente.
AC AC CD CD DE DE EB EB
AC AC CD CD DE DE EB EB
T L T L T L T L
J G J G J G J G
    
4 - Torção
4.6 Ângulo de torção no regime elástico
No caso de um eixo de seção circular variável, a equação para o ângulo de torção 
é aplicada a um disco de espessura dx, assim:
 
Tdxd
J x G
 
 0
L Tdx
J x G
 
Logo:
4 - Torção
Exemplo 03
Qual o torque deverá ser aplicado à 
extremidade do eixo para produzir um 
ângulo de torção de 2°?
Dado: G = 77 GPa e J = 1,021 10-6 m4
4 - Torção
Exemplo 04
O eixo horizontal AD está engastado 
a uma base rígida em D e submetido 
aos torques