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4 Metodo dos quadrados minimos

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96 
4.7 - AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS 
 
Introdução 
 
Vimos, no capítulo anterior, que uma forma de se trabalhar com uma função 
definida por uma tabela de valores é a interpolação polinomial. 
 
Contudo, a interpolação não é aconselhável quando: 
a) é preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do 
intervalo de tabelamento, ou seja, quando se quer extrapolar; 
b) os valores tabelados são resultados de algum experimento físico ou de alguma 
pesquisa, porque, nestes casos, estes valores poderão conter erros inerentes 
que, em geral, não são previsíveis. 
 
Surge então a necessidade de se ajustar a estas funções tabeladas uma função que 
seja uma “boa aproximação” para os valores tabelados e que nos permita “extrapolar” com 
certa margem de segurança. 
 
4.7.1 - Método dos quadrados mínimos 
 
4.7.1.1- O Caso discreto 
 
Sejam dados os pontos (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ..., (xm, f(xm)) e as n funções g1(x), 
g2(x), ..., gn(x) escolhidas de alguma forma. 
Consideraremos que o número de pontos m, tabelados, é sempre maior ou igual a n 
o número de funções escolhidas ou o número de coeficientes ai a se determinar. 
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a1, a2, ..., an tais que a função j(x) = 
a1g1(x) + a2g2(x) + ... + angn(x) se aproxime ao máximo de f(x). 
Seja dk = f(xk) – j(xk) o desvio em xk. Vamos observar que, um conceito de 
proximidade é que dk seja mínimo para todo k = 1, 2, ..., m. 
O método dos quadrados mínimos consiste em escolher os a j´s de tal forma que a 
soma dos quadrados dos desvios seja mínima. É claro que se a soma 
åå
==
j-=
m
1k
2
kk
m
1k
2
k ))x()x(f(d é mínima, teremos que cada parcela [f(xk) – j(xk)]
2 é 
pequena, donde cada desvio [f(xk) – j(xk)] é pequeno. 
Portanto, dentro do critério dos quadrados mínimos, os coeficientes ak, que fazem 
com que j(x) se aproxime ao máximo de f(x), são os que minimizam a função 
å
=
=j-=aaa
m
1k
2
kkn21 )]x()x(f[),,,(F K 
 å
=
a--a-a-=
m
1k
2
knnk22k11k )]x(g)x(g)x(g)x(f[ K . 
 97 
Observamos que, se o modelo ajustar exatamente os dados, o mínimo da função 
acima será zero e, portanto, a interpolação é um caso especial dentro do método dos 
quadrados mínimos. 
Usando o Cálculo Diferencial, sabemos que, para obter um ponto de mínimo de 
F(a1, a2, ..., an), temos de, inicialmente, encontrar seus pontos críticos, ou seja, os (a1, a2, 
..., an) tais que 
0
F
),,,(j n21
=
a¶
¶
aaa K
, j = 1, 2, ..., n. 
Calculando estas derivadas parciais para cada j = 1, 2, ..., n, temos 
å
=aaa
a--a-=
a¶
¶ m
1k
knnk11k
),,,(j
)]x(g)x(g)x(f[2
F
n21
K
K
 
Impondo a condição 
0
F
),,,(j n21
=
a¶
¶
aaa K
, j = 1, 2, ..., n. 
temos 
0)]x(g[)]x(g)x(g)x(f[ kj
m
1k
knnk11k =a--a-å
=
K , j = 1, 2, ..., n. 
 
Assim, 
 
Þ
ï
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ï
ý
ü
=a--a-
=a--a-
=a--a-
å
å
å
=
=
=
0)x(g)]x(g...)x(g)x(f[
0)x(g)]x(g...)x(g)x(f[
0)x(g)]x(g...)x(g)x(f[
kn
m
1k
knnk11k
m
1k
k2knnk11k
m
1k
k1knnk11k
M
 
 
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
=a++a
=a++a
=a++a
Þ
ååå
ååå
ååå
===
===
===
m
1k
knkn
m
1k
knkn1
m
1k
k1kn
m
1k
k2kn
m
1k
k2kn1
m
1k
k2k1
m
1k
k1kn
m
1k
k1kn1
m
1k
k1k1
)x(g)x(f])x(g)x(g[])x(g)x(g[
)x(g)x(f])x(g)x(g[])x(g)x(g[
)x(g)x(f])x(g)x(g[])x(g)x(g[
K
M
K
K
 
 
que é um sistema linear com n equações e n incógnitas: a1, a2, ..., an. 
 98 
As equações deste sistema linear são as chamadas equações normais. 
O sistema linear acima pode ser escrito na forma matricial Aa = b: 
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=a++a+a
=a++a+a
=a++a+a
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
baaa
baaa
baaa
K
M
K
K
 
 
onde A = (aij) é tal que aij = å
=
=
m
1k
ijkikj a)x(g)x(g (ou seja, A é simétrica) 
 
a = (a1, a2, ..., an)t e b = (b1, b2, ..., bn)t é tal que 
 
bi = å
=
m
1k
kik )x(g)x(f . 
 
Lembramos que, dados os vetores x e y Î Âm, o número real y,x = å
=
m
1i
iiyx é 
chamado de produto escalar de x por y. 
Usando esta notação, o sistema normal Aa = b ficará expresso por 
 
A = jiij g,g)a( = e b = (bi) = ig,f onde 
lg é o vetor (gl (x1)gl (x2) ... g l (xm))
T e f, o vetor (f(x1)f(x2) ... f(xm))T. 
Demonstra-se que, se as funções g1(x), ..., gn(x) forem tais que os vetores 
n21 g,,g,g K sejam linearmente independentes, então o determinante da matriz A é 
diferente de zero e, portanto, o sistema linear 
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
=a++a
=a++a
=a++a
ååå
ååå
ååå
===
===
===
m
1k
knkn
m
1k
knkn1
m
1k
k1kn
m
1k
k2kn
m
1k
k2kn1
m
1k
k2k1
m
1k
k1kn
m
1k
k1kn1
m
1k
k1k1
)x(g)x(f])x(g)x(g[])x(g)x(g[
)x(g)x(f])x(g)x(g[])x(g)x(g[
)x(g)x(f])x(g)x(g[])x(g)x(g[
K
M
K
K
 
 99 
admite solução única: n1 ,, aa K . Ainda mais, demonstra-se também que esta solução 
n1 ,, aa K é o ponto em que a função F( n1 ,, aa K ) atinge seu valor mínimo. 
Observamos que, se os vetores n21 g,,g,g K tiverem uma propriedade 
suplementar de serem tais que ji g,g : 
î
í
ì
=¹
¹=
ji,0
ji,0
, o que, em linguagem de álgebra linear 
se diz “se os vetores n21 g,,g,g K forem ortogonais entre si”, então a matriz A do sistema 
normal será matriz diagonal, com aii ¹ 0 e, portanto, o sistema terá solução única, a qual 
será facilmente determinada. 
Felizmente, dado um conjunto de pontos {x1, x2, ..., xm} é fácil construir 
polinômios de grau 0, 1, ..., n que são ortogonais, no sentido acima, em relação ao produto 
escalar 
ji g,g = å
=
m
1k
kjki )x(g)x(g . 
Polinômios ortogonais constituem uma classe particular de funções ortogonais. 
Tais funções possuem várias propriedades muito interessantes e úteis. O leitor interessado 
em aprender sobre o assunto pode pesquisar, por exemplo, nos livros [5] e [27]. O estudo 
de funções ortogonais, em particular de polinômios ortogonais, merece um capítulo 
especial, o que será feito aqui. 
 
Exemplo 4.7.1: 
 
Seja o conjunto de pontos X5 = {–1, – ½, 0, ½, 1} e os polinômios 
 
g0(x) = 1; g1(x) = x, g2(x) = x2 – ½ 
 
Então, os polinômios g0(x), g1(x) e g2(x) são funções ortogonais em X5 com 
relação ao produto escalar ji g,g = å
=
m
1k
kjki )x(g)x(g pois os vetores 
=0g (g0(xi)) = (1 1 1 1 1)
T 
 
=1g (g1(xi)) = (–1 – ½ 0 ½ 1)
T e 
 
=2g (g2(xi)) = ( ½ – ¼ – ½ –¼ ½ )
T são ortogonais entre si, o que se verifica 
facilmente: 
00 g,g = 5 ¹ 0 
10 g,g = 1(– 1) + 1(–½ ) + 1(0) + 1(½) + 1(1) = 0 
20 g,g = 1(½) + 1(–¼) + 1(–½) + 1(–¼) + 1(½) = 0 
Fica a cargo do leitor fazer as demais verificações. 
 100 
Os polinômios citados são conhecidos como polinômios de Gram, { }m0iimP = 
ortogonais em conjuntos de pontos eqüidistantes, xi = –1 + 
m
i2
. 
Assim, 
î
í
ì
¹
=
0
0
P,P m,jm,i 
 
Exemplo 4.7.2: 
 
Seja a função tabelada 
 
x –1.0 –0.75 –0.6 –0.5 –0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0 
f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05 
 
Feito o diagrama de dispersão, deve ser ajustada por uma parábola passando pela 
origem, ou seja, f(x) = j(x) = ax2 (neste caso temos apenas uma função g(x) = x2). 
Temos, pois, de resolver apenas a equação 
 
åå
==
=a
11
1k
kk
11
1k
kk )x(g)x(f])x(g)x(g[ 
åå
=-
=a
11
1k
kk
11
1k
2
k )x(g)x(f])x(g[ 
åå
==
=a
11
1k
k
2
k
11
1k
22
k )x(f)x(])x([ 
 
Continuando a tabela com g(xk)g(xk) e g(xk)f(xk), temos 
 
 Somas 
x –1.0 –0.75 –0.6 –0.5 –0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0(x2)(x2) 1 0.3164 0.1296 0.0625 0.0081 0 0.0016 0.0256 0.0625 0.2401 1.0 2.8464 
f(x)x2 2.05 0.6486 0.162 0.1 0.045 0 0.008 0.096 0.128 0.0588 2.05 5.8756 
 
Assim, nossa equação é 2.0642a = 5.8756 Þ a = »
8464.2
8756.5
2.0642 
Então j(x) =2.0642x2 é a parábola que melhor se aproxima, no sentido dos 
quadrados mínimos, da função tabelada. 
 
4.7.1.2- O Caso Contínuo 
 
Para simplificar a notação, desenvolveremos aqui o caso em que “escolhemos” 
apenas duas funções. 
se i ¹ 
j 
¹
 101 
Sejam então f(x) contínua em um intervalo [a, b] e g1(x) e g2(x) duas funções 
contínuas em [a, b] que foram escolhidas de alguma forma. É preciso encontrar duas 
constantes reais a1 e a2 tais que j(x) = a1g1(x) + a2g2(x) esteja o “mais próximo possível” 
de f(x). 
Seguindo o critério dos quadrados mínimos para o conceito de proximidade entre 
j(x) e f(x), os coeficientes a1 e a2 a serem obtidos deverão ser tais que o valor de 
ò j-
b
a
2 dx)]x()x(f[ seja o menor possível. 
Geometricamente, isto significa que a área entre as curvas f(x) e j(x) seja mínima. 
Portanto, o problema consiste em obter o mínimo para 
òò =j+j-=j-
b
a
22
b
a
2 dx])x()x()x(f2)x(f[dx)]x()x(f[ 
ò +a+a+a-=
b
a
2
1
2
12211
2 )x(g)]x(g)x(g)[x(f2)x(f{ 
 dx)}x(g)x(g)x(g2 22
2
22121 a+aa+ 
+a-a-= òòò
b
a
22
b
a
11
b
a
2 ]dx)x(g)x(f2[]dx)x(g)x(f2[dx)x(f 
 ),(F]dx)x(g[]dx)x(g)x(g2[]dx)x(g[ 21
b
a
2
2
b
a
2121
b
a
2
1
2
1 aa=+aa+a+ òòò 
),(Fdx)]x()x(f[ 21
b
a
2 aa=j-Þ ò 
Com o mesmo argumento do caso discreto, temos de achar os pontos críticos de F, 
ou seja, achar (a1, a2) tal que 
 
0
F
),(i 21
=
a¶
¶
aa
, i = 1, 2. 
 
i = 1 Þ +a+-=
a¶
¶
òò
aa
b
a
1
2
1
b
a
1
),(1
]dx)2(g2[dx)x(g)x(f2
F
21
 
 + ò a221 ]dx)x(g)x(g2[ 
Assim, 
),(1 21
F
aaa¶
¶
= Þ=
a¶
¶
aa
0
F
),(2 21
 
 
 102 
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
=a+a
=a+a
òòò
òòò
b
a
2
b
a
2
2
2
b
a
121
b
a
12
b
a
21
b
a
1
2
1
dx)x(g)x(f]dx)x(g[]dx)x(g)x(g[
dx)x(g)x(f]dx)x(g)x(g[]dx)x(g[
 
 
Se ò=
b
a
2
111 dx)x(ga , òò ===
b
a
2112
b
a
12 adx)x(g)x(gdx)x(2g)x(1ga 
 ò=
b
a
2
222 dx)x(ga 
 ò=
b
a
11 dx)x(g)x(fb e ò=
b
a
22 dx)x(g)x(fb , 
podemos escrever o sistema linear acima como 
 
î
í
ì
=a+a
=a+a
2222121
1212111
baa
baa
 ou Aa = b, onde A = ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
2221
1211
aa
aa
 
 
a = (a1a2)T , b = (b1b2)T . 
 
Demonstra-se que, se as funções escolhidas g1(x) e g2(x) forem linearmente 
independentes, o determinante da matriz A é diferente de zero, o que implica que o sistema 
linear admite única solução ),( 21 aa . Ainda mais, demonstra-se também que esta solução 
é o ponto em que a função F(a1, a2) atinge seu valor mínimo. 
Usando aqui a definição de produto escalar de duas funções p(x) e q(x) no 
intervalo [a, b] por 
 
ò=
b
a
dx)x(q)x(pq,p , 
teremos que, no caso em que queremos aproximar 
 
f(x) » a1g1(x) + ... + angn(x) o sistema normal Aa = b fica 
 
A = (aij) = ò ==
b
a
ijjiji g,gdx)x(g)x(gg,g 
b = (bi) = ò=
b
a
ii dx)x(g)x(fg,f . 
 103 
Da mesma forma que no caso discreto, temos funções ortogonais com relação ao 
produto escalar, como mostrará o exemplo abaixo. 
 
Exemplo 4.7.3: 
 
Os polinômios de Legendre, definidos por 
 
P0(x) º 1, Pk(x) = k2)k(
)k(
k
)]1x[(
dx
d
!k2
1
- , k = 1, 2, ... 
são ortogonais em [–1, 1], com relação ao produto escalar ò=
b
a
dx)x(q)x(pq,p . 
Fica como exercício a verificação de que os três primeiros polinômios de Legendre 
P0(x) º 1, P1(x) = x e P2(x) = )1x3(
2
1 2 - são ortogonais entre si. 
Uma observação interessante é que, em geral, polinômios ortogonais satisfazem 
uma fórmula de recorrência de 3 termos, ou seja, dados P0(x) e P1(x), conseguimos 
construir Pk(x), k = 2, 3, ... 
No caso dos polinômios de Legendre, a fórmula de recorrência é 
Pj + 1(x) = )x(P1j
j
)x(xP
1j
1j2
1jj -÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
, j = 1, 2, ... 
 
Exemplo 4.7.4: 
 
Vamos aproximar f(x) = 4x3 por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no 
intervalo [a, b] = [0, 1]. 
 
j(x) = a1g1(x) + a2g2(x) = a1 + a2x, a1, a2 Î Â 
 
(g1(x) º 1 g2(x) = x). 
 
Pelo que vimos, (a1, a2) é a única solução de Aa = b onde 
 
A = ú
û
ù
ê
ë
é
2221
1211
aa
aa
 a = ú
û
ù
ê
ë
é
a
a
2
1 b = ú
û
ù
ê
ë
é
2
1
b
b
, sendo 
 
a11 = òò ==
1
0
b
a
2
1 1dx1dx)x(g 
a12 = òò ====
1
0
21
1
0
2b
a
21 a2
1
2
x
xdxdx)x(g)x(g 
 104 
a22 = 
3
1
3
x
dxxdx)x(g
1
0
31
0
2
b
a
2
2 === òò 
 
b1 = 1
4
x4
dxx4dx)x(g)x(f
1
0
41
0
3
b
a
1 === òò 
b2 = òò ===
1
0
1
0
5
3
b
a
2 5
4
5
x4
xdxx4dx)x(g)x(f 
 
Temos então o sistema 
 
ï
ï
î
ïï
í
ì
=a+a
=a+a
5
4
3
1
2
1
1
2
11
21
21
 
5
18
,
5
4
21 =a-=aÞ . 
 
Logo, a aproximação por quadrados mínimos de f(x) = 4x3 no intervalo [0, 1], por 
um polinômio de grau 1, é a reta j(x) = 
5
4
x
5
18
- . 
4.7.3- O Caso Não Linear 
 
Em alguns casos, a família de funções escolhidas pode ser não linear nos 
parâmetros, como, por exemplo, se ao diagrama de dispersão de uma determinada função se 
ajustar uma exponencial do tipo f(x) » j(x) = a1e–a2x, a1 e a2 positivos. 
Para se aplicar o método dos quadrados mínimos, é necessário que se efetue uma 
linearização do problema através de alguma transformação conveniente. 
Por exemplo: 
y » a1e –a2x Þ z = ln(y) » ln(a1) – a2x. 
 
Se a1 = ln(a1) e a2 = – a2 Þ ln(y) » a1 – a2x = f(x) que é um problema linear nos 
parâmetros a1 e a2. 
O método dos quadrados mínimos pode então ser aplicado na resolução do 
problema linearizado. Obtidos os parâmetros deste problema, usaremos estes valores para 
calcular os parâmetros originais. 
É importante observar que os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do 
critério dos quadrados mínimos, isto porque estamos ajustando o problema linearizado por 
quadrados mínimos e não o problema original. 
Portanto, no exemplo, os parâmetros a1 e a2 são os que ajustam a função f(x) à 
função z(x) no sentido dos quadrados mínimos; não se pode afirmar que os parâmetros a1 e 
a2 (obtidos através de a1 e a2) são os que ajustam j(x) à f(x) dentro do critério dos 
quadrados mínimos. 
 
 105 
Exemplo 4.7.5: 
 
Suponhamos que num laboratório obtivemos experimentalmente os seguintes 
valores para f(x) sobre os pontos xi, i = 1, 2, ..., 8: 
 
x –1.0 –0.7 –0.4 –0.1 0.2 0.5 0.8 1.0 
f(x) 36.547 17.264 8.155 3.852 1.820 0.860 0.406 0.246 
 
Fazendo o diagrama de dispersão dos dados acima, obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7.1 – diagrama de dispersão dos dados da tabela dada. 
 
 Os dados nos sugere um ajuste y » j(x) = a1e–a2x. 
 
Conforme vimos anteriormente, a “linearização” a ser feita é 
z = ln(y) » ln(a1e–a2x) = ln(a1) – a2x = f(x). 
 
Assim, em vez de ajustarmos y por quadrados mínimos, ajustaremos z = ln(y) por 
quadrados mínimos, encontrando f(x) = a1 + a2x, onde a1 = ln (a1) e a2 = –a2. (Aqui g1(x) 
= 1 e g2(x) = x). 
 
Temos pois: 
 
x –1.0 –0.7 –0.4 –0.1 0.2 0.5 0.8 1.0 
z = ln(y) 3.599 2.849 2.099 1.349 0.599 –0.151 –0.901 –1.402 
 
e a1 e a2 serão a solução do sistema: 
 
x
y
 106 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+
=+
ååå
ååå
===
===
8
1k
k2k
8
1k
2k2k2
8
1k
1k2k1
8
1k
k1k
8
1k
2k1k2
8
1k
1k1k1)x(g)x(za)]x(g)x(g[a)]x(g)x(g[
)x(g)x(za)]x(g)x(g[a)]x(g)x(g[
 
 
g1(x) = 1 Þ 8a1)x(g)x(g 11
8
1k
8
1k
k1k1 === åå
==
 
g2(x) = x Þ 59.3ax)x(g)x(g
8
1k
22
2
k
8
1k
k2k2 === åå
==
 
 
3.0aax1)x(g)x(g
8
1k
2112k
8
1k
k2k1 åå
==
==== 
b1 = 041.8)x(z)x(g)x(z
8
1k
k
8
1k
k1k == åå
==
 
b2 = åå
==
-==
8
1k
kk
8
1k
k2k 646.8x)x(z)x(g)x(z 
donde 
 
ú
û
ù
ê
ë
é
=
59.33.0
3.08
A b = ú
û
ù
ê
ë
é
- 646.8
041.8
 
 
e o sistema fica 
 
î
í
ì
-=+
=+
646.8a59.3a3.0
041.8a3.0a0.8
21
21 Þ 099.1a1 = e 5.2a 2 - 
 
Agora, a1 = ea1 Þ a1 = e1.099 = 3.001 
 a2 = –a2 Þ a2 = 2.5. 
 
Assim, a função j(x) = a1e–a2x = 3.001e–2.5x 
 
Assim, como no exemplo anterior, onde ajustamos aos dados a curva y » a1e–a2x, é 
comum encontrarmos casos em que os dados tabelados, feito o diagrama de dispersão, 
devem ser ajustados por 
 
1) Uma hipérbole: y » )x(
x
1
21
j=
a+a
 
 107 
 )x
x
1
z( 21 a+a»= 
 
2) Uma curva exponencial: y » x21aa = j(x) 
(se y > 0, z = ln(y) » =a+a 43421321
21 a
2
a
1 )ln(x)ln( a1 + a2x = f(x)). 
 
3) Uma curva geométrica: y » a1xa2 = j(x) 
(se x > 0 e y > 0, z = ln(y) » { )xln()ln(
21 a
2
a
1 a+a321 = {
t
21 )xln(aa + 
Þ z = ln(y) » a1 + a2t = f(t)).(Aqui minimizamos a soma dos quadrados dos 
desvios nos logaritmos de y, para os logaritmos de x.) 
 
4) Uma curva trigonométrica: y » a1 + a2cos(wx) = j(x).(t = cos(wx) Þ j(t) = a1 
+ a2t e, neste caso, estamos minimizando a soma dos quadrados dos desvios 
em y.) 
 
4.7.4- Teste de Alinhamento 
 
Uma vez escolhida uma função linear em a1, a2, ..., an para ajustar uma função 
dada, uma forma de verificarmos se a escolha feita foi razoável é aplicarmos o teste de 
alinhamento, que consiste em: 
 
i) fazer a “linearização” da função não linear escolhida; 
ii) fazer o diagrama de dispersão dos novos dados; 
iii) se os pontos do diagrama (ii) estiverem alinhados, isto significará que a função 
não linear escolhida foi uma “boa escolha”. 
 
Observamos que, devido aos erros de observação, e cálculos aproximados, 
consideramos satisfatório o diagrama de dispersão onde os pontos se distribuem 
aleatoriamente em torno de uma reta média. 
 
No exemplo 4.7.5, temos 
 
x –1.0 –0.7 –0.4 –0.1 0.2 0.5 0.8 1.0 
y 36.547 17.264 8.155 3.852 1.820 0.860 0.406 0.246 
z = ln(y) 3.599 2.849 2.099 1.349 0.599 –0.151 –0.901 –1.402 
 
 
 
 
 
 
 
 108 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7.2- diagrama de dispersão dos dados da tabela dada. 
 
 
4.7.5- Exercícios 
 
Ver Ruggiero (página 287 a 291 – exercícios 01 ao 13) 
 
 
 
 
 
x 
z

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