Regreção Linear- Economia - Econometria

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Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
regressão
(população)
Conceitos da
regressão
(amostra)
Estimação
Hipóteses
Análise de Regressão:
Introdução
Rodrigo de Sá
Fundação de Economia e Estatística, 2011
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
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(população)
Conceitos da
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(amostra)
Estimação
Hipóteses
Livro texto
Damodar Gujarati
Econometria Básica
3ª ed. 2005.
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
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(população)
Conceitos da
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(amostra)
Estimação
Hipóteses
Interpretação da regressão
Variável DEPENDENTE: a variável que se quer explicar.
Arrecadação.
Variáveis EXPLICATIVAS: as variáveis utilizadas para
explicar a variável dependente.
Renda, consumo, taxa de juros, etc.
OBJETIVO: estimar/prever o VALOR MÉDIO da
dependente em termos dos valores conhecidos das variáveis
explicativas.
O resultado é a ESPERANÇA CONDICIONAL da variável
DEPENDENTE dada as (realizações) das variáveis
EXPLICATIVAS.
Análise de
Regressão:
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Rodrigo de
Sá
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(população)
Conceitos da
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(amostra)
Estimação
Hipóteses
Exemplo 1 - Alturas
Para cada país, região, etc., pode-se calcular uma
ALTURA MÉDIA.
Também pode-se comparar a altura média de dois países
(A é maior do que B ou não se pode afirmar que são
estatisticamente diferentes?) usando um teste de diferença
de médias.
Mas pode-se ir além: Pode-se calcular a ALTURA MÉDIA
de um determinado grupo da população de um pais, por
exemplo, qual é a altura média dos filhos de país que
medem 1,83cm?
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Conceitos da
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(amostra)
Estimação
Hipóteses
Exemplo 1 - Alturas
Para cada país, região, etc., pode-se calcular uma
ALTURA MÉDIA.
Também pode-se comparar a altura média de dois países
(A é maior do que B ou não se pode afirmar que são
estatisticamente diferentes?) usando um teste de diferença
de médias.
Mas pode-se ir além: Pode-se calcular a ALTURA MÉDIA
de um determinado grupo da população de um pais, por
exemplo, qual é a altura média dos filhos de país que
medem 1,83cm?
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Hipóteses
Exemplo 1 - Alturas
Figura: Altura dos filhos correspondentes a dadas alturas dos pais
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Hipóteses
Exemplo 2 - Inflação versus desemprego
Figura: Curva de Phillips hipotética
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Estimação
Hipóteses
Relações estatísticas versus deterministas
Nas RELAÇÕES ESTATÍSTICAS lidamos com variáveis
ALEATÓRIAS (ou ESTOCÁSTICAS), ou seja, aquelas que
têm distribuição de probabilidade.
Mesmo se conhecermos a renda, taxa de impostos, etc. de
um consumidor, podemos apenas ESTIMAR qual será o
seu gasto, E (C |W , τ) = f (W , τ).
Nas RELAÇÕES DETERMINISTAS (ou FUNCIONAIS)
podemos calcular exatamente o valor da variável
dependente.
Conhecendo a massa de dois corpos e a distância entre
eles, podemos calcular a força de atração entre elas,
F = k m1m2
d
2
.
Mas mesmo na Física existem áreas onde as relações não
são determinísticas, como a Física Quântica!
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Estimação
Hipóteses
Regressão versus causação
Um agrônomo pode estar interessado em estudar a
dependência do rendimento da colheita de trigo em relação
à temperatura, chuva e quantidade de fertilizantes.
Porém, sem uma teoria, a regressão sozinha não dá razão
estatística para supor que a precipitação de chuva não
dependa do rendimento da colheita.
Sabemos, pelo bom senso, que a altura dos filhos depende
da altura dos país, e não o contrário! Os filhos nascem
depois dos pais.
Mas e a inflação e o desemprego? Qual variável determina
qual?
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Hipóteses
Regressão versus causação
Um agrônomo pode estar interessado em estudar a
dependência do rendimento da colheita de trigo em relação
à temperatura, chuva e quantidade de fertilizantes.
Porém, sem uma teoria, a regressão sozinha não dá razão
estatística para supor que a precipitação de chuva não
dependa do rendimento da colheita.
Sabemos, pelo bom senso, que a altura dos filhos depende
da altura dos país, e não o contrário! Os filhos nascem
depois dos pais.
Mas e a inflação e o desemprego? Qual variável determina
qual?
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Hipóteses
Regressão versus correlação
São relacionadas, porém apresentam diferenças.
Na análise de CORRELAÇÃO estamos interessados no
grau de associação entre duas variáveis.
Na análise de REGRESSÃO estamos interessados em
prever ou estimar o valor médio de uma variável (em
função das outras variáveis do modelo).
Na análise de CORRELAÇÃO tratamos as duas variáveis
simetricamente
Na análise de REGRESSÃO tratamos a variável
DEPENDENTE como ESTOCÁSTICA e as variáveis
EXPLICATIVAS como DETERMINADAS.
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Hipóteses
A natureza dos dados
DADOS DE SÉRIE TEMPORAL: um conjunto de
observações dos valores que uma variável assume em
diferentes momentos do tempo.
Exemplo: arrecadação anual do RS nos anos
{t = 1980, 1981, ..., 2010}.
DADOS DE CORTE (CROSS-SECTION): dados de uma
mesma variável coletados para vários indivíduos em um
determinado ponto do tempo.
Exemplo: arrecadação anual em 2010 dos municípios
gaúchos {i = 1, 2, ..., 496}.
DADOS COMBINADOS (DADOS DE PAINEL):
observações de vários indivíduos em vários instantes do
tempo.
Exemplo: arrecadação anual de cada um dos municípios
gaúchos de 1980 a 2010,
{i = 1, ..., 496, t = 1980, ..., 2010}.
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Hipóteses
Exemplo 3 - Consumo X Renda
Figura: Consumo e renda familiar semanal
(18)(37)
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Hipóteses
Exemplo 3 - Consumo X Renda
Figura: Dispersão do consumo em função da renda
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Hipóteses
Exemplo 3 - ConsumoX Renda
Figura: Probabilidades condicionais do consumo
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Hipóteses
Exemplo 3 - Consumo X Renda
Figura: Reta de regressão da população
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Estimação
Hipóteses
Função de regressão populacional (FRP)
Pelo exemplo vemos que a média condicional de gastos de
cada família E (Y |X
i
) é uma função de X
i
. Assim,
E (Y |X
i
) = f (X
i
)
E (Y |X
i
) = β
0
+ β
1
X
i
.
β
0
e β
1
são coeficientes desconhecidos, porém fixos,
chamados de COEFICIENTES DE REGRESSÃO. São eles
que queremos estimar.
FUNÇÃO DE REGRESSÃO LINEAR DA POPULAÇÃO.
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Estimação
Hipóteses
O significado do termo �linear�
LINEAR NAS VARIÁVEIS
Exemplo: E (Y |X
i
) = β
0
+ β
1
X
i
.
LINEAR NOS PARÂMETROS
Exemplo:E (Y |X
i
) = β
0
+ β
1
X
2
i
.
Exemplo: E (Y |X
i
) = β
0
+ β
1
logX
i
.
NÃO LINEAR:
Exemplo: E (Y |X
i
) = β
0
+ β2
1
X
i
.
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Hipóteses
O significado do termo �linear�
Figura: Funções lineares nos parâmetros
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Hipóteses
Especificação estocástica da FRP
Voltemos ao exemplo (11) e vejamos o consumo específico
de cada família (e não a sua média) em função da renda.
Ele sempre aumenta?
Podemos dizer que o consumo de uma família Y
i
específica
situa-se ao redor do consumo médio de todas as famílias
com renda X = X
i
, ou seja, em torno da sua expectativa
condicional.
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Hipóteses
Especificação estocástica da FRP
Voltemos ao exemplo (11) e vejamos o consumo específico
de cada família (e não a sua média) em função da renda.
Ele sempre aumenta?
Podemos dizer que o consumo de uma família Y
i
específica
situa-se ao redor do consumo médio de todas as famílias
com renda X = X
i
, ou seja, em torno da sua expectativa
condicional.
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Hipóteses
Especificação estocástica da FRP
Assim, podemos expressar o DESVIO de um indivíduo Y
i
em torno do seu valor esperado:
u
i
= Y
i
− E (Y |X
i
)
Y
i
= E (Y |X
i
) + u
i
Y
i
= β
0
+ β
1
X
i
+ u
i
.
Tomando o valor esperado condicional de ambos os lados:
E (Y
i
|X
i
) = E [E (Y |X
i
) |X
i
] + E (u
i
|X
i
)
E (Y
i
|X
i
) = E (Y |X
i
) + E (u
i
|X
i
)
E (u
i
|X
i
) = 0.
A hipótese de que a reta de regressão passa pela média
condicional de Y implica que os valores médios
condicionais do erro são zero. EM MÉDIA NÃO
ERRAMOS!
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Hipóteses
O significado do termo de pertubação estocástico
O DESVIO ou TERMO DE PERTURBAÇÃO
ESTOCÁSTICO pode ser entendido como o componente
assistemático �substitui� todas as variáveis que afetam Y
que não estão no modelo. Por que não aumentar o número
de variáveis?
1
Imprecisão da teoria.
1
A Teoria Econômica pode não explicitar todas as variáveis
que afetam uma outra.
2
É certo que a renda afeta o consumo, mas quais outras
variáveis também o fazem?
2
Indisponibilidade de dados.
1
Mesmo que saibamos que variáveis afetam a nossa variável
de interesse, pode ser que não tenhamos acesso a várias
delas.
3
Variáveis essenciais versus variáveis periféricas.
1
Podemos decidir não usar algumas variáveis por
acreditarmos que o seu efeito é pequeno.
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Hipóteses
O significado do termo de pertubação estocástico
1
Casualidade intrínseca no comportamento humano.
2
Variáveis proxy fracas.
1
As variáveis utilizadas podem não ser medidas acuradas.
2
Exemplo: renda permanente da função de consumo
proposta por Milton Friedman.
3
Princípio da parcimônia.
1
Seguindo a navalha de Ocan, gostaríamos de deixar o
nosso modelo de regressão tão simples quanto possível.
4
Forma funcional errada.
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Hipóteses
Função de regressão amostral
Mas nós não conhecemos a população!
Por isso precisamos estimar a função de regressão amostral
para fazermos inferência sobre a função de regressão
populacional.
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Exemplo 4 - Consumo X Renda
Figura: Amostras aleatórias
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Exemplo 4 - Consumo X Renda
Figura: Retas de regressão baseadas em duas amostras diferentes
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Hipóteses
Função de regressão amostral estimada
Yˆ
i
= βˆ
0
+ βˆ
1
X
i
Yˆ
i
é o estimador de E (Y |X
i
).
βˆ
i
é o estimador de β
i
.
Assim:
Y
i
= βˆ
0
+ βˆ
1
X
i
+ uˆ
i
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Retas de regressão
Figura: Regras de regressão da amostra e da população
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Hipóteses
Exercício 1
Os modelos a seguir são lineares nos parâmetros, nas variáveis,
em ambos ou em nenhum?
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Hipóteses
Exercício 2
A seguinte reta de regressão é FRP ou FRA? Por que? Como
você interpretaria os pontos dispersos em torno da reta de
regressão? Além do PIB que outros fatores, ou variáveis,
poderiam determinar a despesa de consumo pessoal?
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Hipóteses
O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO)
Queremos estimar Y
i
= β
0
+ β
1
X
i
+ u
i
através de
Y
i
= βˆ
0
+ βˆ
1
X
i
+ uˆ
i
= Yˆ
i
+ uˆ
i
.
Fazemos isso minimizando
∑
uˆ
2
i
=
∑(
Y
i
− Yˆ
i
)
2
∑
uˆ
2
i
=
∑(
Y
i
− βˆ
0
+ βˆ
1
X
i
)
2
.
Resolvendo...
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Hipóteses
Estimador de MQO
Estimador da inclinação
βˆ
1
=
∑(
X
i
− X¯) (Y
i
− Y¯ )∑(
X
i
− X¯)2
βˆ
1
=
∑(
X
i
− X¯)Y
i∑
X
2
i
− nX¯ 2
βˆ
1
=
∑(
Y
i
− Y¯ )X
i∑
X
2
i
− nX¯ 2
Estimador do intercepto
βˆ
0
= Y¯ − βˆ
1
X¯
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Hipóteses
Exemplo 5 - Consumo X Renda
Figura: Consumo e renda familiar
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Hipóteses
Exemplo 5 - Consumo X Renda
Figura: Calculando...
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Exemplo 5 - Consumo X Renda
Figura: Reta de regressão estimada
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Hipóteses
Propriedades numéricas dos estimadores de MQO
1
Os estimadores de MQO são expressos exclusivamente em
termo das quantidades observadas pela amostra (Y e X ).
2
Eles são ESTIMADORES DE PONTO, isto é, dada uma
amostra, cada estimador fornecerá um único ponto do
parâmetro relevante da população.
3
Depois de obter as estimativas de MQO (β
0
e β
1
), pode-se
obter facilmente a reta de regressão da amostra, que
apresenta as seguintes propriedades:
1
Ela passa pelas médias de Y e X .
2
O valor médio do Y estimado é igual ao valor médio do Y
real (observado na amostra).
3
O valor médio dos resíduos é zero.
4
Os resíduos não tem correlação com o Y previsto,
5
Os resíduos não tem correlação com o X .
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Hipóteses
Hipóteses subjacentes ao MQO
O objetivo é utilizar βˆ
0
e βˆ
1
para fazermos inferência sobre
β
0
e β
1
e Yˆ
i
para tentarmos saber algo sobre E (Y |X
i
).
Para isso precisamos de hipóteses estatísticas sobre como
as variáveis são geradas (suas distribuições de
probabilidade).
O MODELO CLÁSSICO (OU PADRÃO, OU
GAUSSIANO) DE REGRESSÃO LINEAR (MCRL) têm 10
hipóteses que vão garantir suas propriedades estatísticas.
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Hipóteses
1. Linear nos parâmetros
Caso contrário, estaríamos estimando um modelo
especificado de forma incorreta!
Lembrem-se que o modelo PODE ser não-linear nas
variáveis.
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Hipóteses
2. X fixados
Os valores das variáveis explicativas (X
i
) são fixados em
amostragem repetida.
As variáveis explicativas são não-estocásticas.
Isso implica que a análise de regressão é condicional aos
dados valores do regressor.
Mais uma vez o exemplo do consumo! (11)
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3. O erro tem média zero
Dado o valor de X
i
, o valor médio do termo de perturbação
aleatória u
i
é zero,
E (u
i
|X
i
) = 0.
Isto implica que os fatores não incluídos explicitamente no
modelo (e, portanto, incluídos em u
i
) não afetam
sistematicamente o valor médio de Y .
Assim,
E (Y
i
|X
i
) = β
0
+ β
1
X
i
.
Análise de
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Conceitos da
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3. O erro tem média zero
Figura: Distribuição condicional do erro
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Hipóteses
4. Homoscedasticidade
Os erros são HOMOCEDÁSTICOS, ou seja, sua
VARIÂNCIA É CONSTANTE PARA QUALQUER VALOR
DE X
i
.
var (u
i
|X
i
) = E (u
i
− E (u
i
) |X
i
)2
var (u
i
|X
i
) = E
(
u
2
i
|X
i
)
var (u
i
|X
i
) = σ2.
Se os erros fossem HETEROCEDÁSTICOS, poderíamos
denotar a sua variância como var (u
i
|X
i
) = σ2
i
.
Análise de
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(população)
Conceitos da
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(amostra)
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4. Homoscedasticidade
Figura: Erros homocedásticos
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(população)
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(amostra)
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Hipóteses
4. Homoscedasticidade
Figura: Erros heterocedásticos
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(população)
Conceitos da
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(amostra)
Estimação
Hipóteses
4. Homoscedasticidade
Exemplos
Homocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas a
variabilidade é igual tanto para pessoas com maior ou
menor renda.
Heterocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas a
variabilidade também aumenta com a renda. Indivíduos
pobres, em geral, consomem toda a renda (pouca
variabilidade). Indivíduos mais ricos podem consumir
grande parte da renda como também podem poupá-la.
É importante que os erros tenham variância constante pois
o modelo clássico considera todos os Y
i
importantes.
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(amostra)
Estimação
Hipóteses
5. Os erros não são correlacionados entre si
Não existe nenhuma autocorrelação entre as perturbações.
Dados dois valores X
i
e X
j
quaisquer (i 6= j), a correlação
entre u
i
e u
j
é zero.
cov (u
i
, u
j
|X
i
,X
j
) = 0.
Caso contrário, Y
t
dependeria também de u
t−1, e não só
das variáveis explicativas.
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
regressão
(população)
Conceitos da
regressão
(amostra)
Estimação
Hipóteses
5. Os erros não são correlacionadosentre si
Figura: Padrões de correlação entre os erros.
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
regressão
(população)
Conceitos da
regressão
(amostra)
Estimação
Hipóteses
6. Os erros não são correlacionados com X
A perturbação u e a variável explanatória X não tem
correlação.
cov (u
i
,X
i
) = 0.
Essa hipótese é necessária porque precisamos separar os
efeitos de X e u sobre o Y ; caso contrário, não saberíamos
que parte do efeito atribuiríamos às variáveis e aos erros.
Essa hipótese abre espaço para que o X também seja
estocástico!
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
regressão
(população)
Conceitos da
regressão
(amostra)
Estimação
Hipóteses
7. Observações suficientes
O número de observações n deve ser maior do que o
número de parâmetros a serem estimados (número de
variáveis explicativas).
Quantos pontos precisamos para traçarmos uma reta?
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
regressão
(população)
Conceitos da
regressão
(amostra)
Estimação
Hipóteses
8. Variabilidade de X
Os valores X em uma dada amostra não podem ser todos
iguais.
Isto é, var (X ) > 0.
O que aconteceria na fórmula do estimador caso contrário?
O que aconteceria se regredirmos a arrecadação dos
governos municipais gaúchos contra a unidade da
federação a qual pertencem?
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
regressão
(população)
Conceitos da
regressão
(amostra)
Estimação
Hipóteses
9. Especificação correta
O modelo de regressão está corretamente especificado.
Isto é, não há nenhum viés de especificação.
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
regressão
(população)
Conceitos da
regressão
(amostra)
Estimação
Hipóteses
9. Especificação correta
Figura: Curvas de Phillips linear e não-linear.
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
regressão
(população)
Conceitos da
regressão
(amostra)
Estimação
Hipóteses
10. Ausência de multicolinearidade
Não há relação lineares perfeitas entre as variáveis
explicativas.
Voltaremos a esse ponto quando tratarmos de regressão
múltipla.
	A natureza da análise de regressão
	Análise de regressão de duas variáveis: conceitos básicos (População)
	Análise de regressão de duas variáveis: conceitos básicos (Amostra)
	O modelo de regressão de duas variáveis: o problema da estimativa
	Hipóteses