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Prova 2 JAIME 2014/01 - Gabarito

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MAT0355 - Álgebra Linear I - A
Segunda Prova - 17/06/2014
(1) (2,0) Comprove que se x; y; z; w são soluções do sistema8<:
4x� 12y � z � 2w = �8
�3x+ 9y + 4z + 3w = 6
2x� 6y + 6z � w = �4
então x; y são soluções do sistema� �12x+ 36y = 24
x� 3y = �2
Solução:
Basta resolver o primeiro sistema (do jeito que souber, usando ou não o
escalonamento de matrizes) e ver que ele tem como soluções z = w = 0 e
x = 3y� 2: Daí resolver o segundo sistema e veri…car que suas soluções x e y
são as que satisfazem a igualdade x = 3y � 2:
(2) (2,0) Ache uma base ortonormal u; v do R2 tal que u seja múltiplo do
vetor (1; 3); ou seja, esteja na reta passando por (0; 0) e (1; 3):
Solução:
u = (1;3)k(1;3)k =
(1;3)p
1+9
=
�
1p
10
; 3p
10
�
; v =
�
3p
10
;� 1p
10
�
:
(3) Considere T (x; y) = (�x+ 2y; 2x� 3y):
(a) (1,5) Comprove que T é auto-adjunta, ou seja hT (u); vi = hu; T (v)i
para todos u; v 2 R2: Podemos concluir que T é diagonalizável?
Solução:
Suponha u = (x; y) e v = (z; w): Então
hT (u); vi = h(�x+ 2y; 2x� 3y); (z; w)i = �xz + 2yz + 2xw � 3yw =
h(x; y); (�z + 2w; 2z � 3w)i = hu; T (v)i
(b) (1,5) Determine os autovalores de T
Solução:
p(z) = det
� �1� z 2
2 �3� z
�
= z2 + 4z � 1
p(z) = 0 , z = �2 � p5: Logo os autovalores são �1 = �2 +
p
5 e
�2 = 2�
p
5:
1
(c) (1,5) Determine uma base ortonormal B do R2 que diagonaliza
T; determinando [T ]B :
Solução:
T (x; y) = �1(x; y), (�x+ 2y; 2x� 3y) =
��2 +p5� (x; y),
�x+ 2y =
�
�2 +
p
5
�
x
2x� 3y =
�
�2 +
p
5
�
y
que tem como soluções x =
�
1
2
+ 1
2
p
5
�
y: Tomando y = 2 (pode tomar
qualquer outro valor não nulo) vem x = 1 +
p
5: Então u = (2;1+
p
5)
k(2;1+p5)k =
(2;1+
p
5)q
(
p
5+1)
2
+4
: Como v deve ser ortogonal a u; e para que seja unitário, tomamos
v = (1+
p
5;�2)q
(
p
5+1)
2
+4
: Logo
B =
8<: (2; 1 +
p
5)q�p
5 + 1
�2
+ 4
;
(1 +
p
5;�2)q�p
5 + 1
�2
+ 4
9=;
é uma base ortonormal que diagonaliza T: Nesta base temos
[T ]B =
� �2 +p5 0
0 �2�p5
�
(d) (1,5) Se as coordenadas de u 2 R2 na base B são �3 e 4; ou seja, u =
(3; 4)B; determine as coordenadas de T (u) na base B sem usar a expressão
geral de T (x; y):
Solução: tem-se
[TB]
�
3
4
�
=
� �2 +p5 0
0 �2�p5
� �
3
4
�
=
�
3
p
5� 6
�4p5� 8
�
de modo que
T (u) =
�
�6 + 3
p
5;�9� 4
p
5
�
B
2