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Exame JAIME 2014/01 - Gabarito

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MAT0355 - Álgebra Linear I - A
Recuperação - 26/06/2014 - Fila 2
1) (2,0) (a) Usando escalonamento de matrizes, veri…que que o sistema
x2 � x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
�x2 + 2x3 � x4 = 0
x1 � 3x2 + x4 = 0
tem apenas a solução trivial x1 = x2 = x3 = x4 = 0:
Solução: apenas cálculos diretos de escalonamento.
(b) (1,0) Usando (a) e o Teorema de Núcleo e da Imagem de uma TL do
R4 em R4 explique, sem fazer cálculos, porque o sistema
x2 � x3 + x4 = a
x1 + x2 + x3 + x4 = b
�x2 + 2x3 � x4 = c
x1 � 3x2 + x4 = d
tem solução para qualquer a; b; c; d 2 R:
Solução:
Considere T : R4 ! R4 dada por
T (x1; x2; x3; x4) = (x2 � x3 + x4; x1 + x2 + x3 + x4;�x2 + 2x3 � x4; x1 � 3x2 + x4) :
Então N(T ) é constituído precisamente pelas quádruplas (x1; x2; x3; x4) que
são soluções do sistema homogêneo acima. Logo, por (a), decorre queN(T ) =
f(0; 0; 0; 0)g: Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos 4 = dimR4 =
dimN(T ) + dim Im(T ) = 0 + dim Im(T ); ou seja, dim Im(T ) = 4: Como
Im(T ) � R4 tem-se dim Im(T ) = dimR4 do que decorre que Im(T ) = R4; ou
seja, T é sobrejetora.
2) (1,5) Veri…que se são li as matrizes
X =
24 �2 1 00 1 1
2 3 4
35 ; Y =
24 0 3 41 1 2
0 �1 2
35 ; Z =
24 �4 �1 �4�1 1 0
4 7 6
35
Solução: temos que determinar as soluções do sistema xX + yY + zZ =
0 =matriz nula 4� 4: Temos
1
xX+yY+zZ = x
24 �2 1 00 1 1
2 3 4
35+y
24 0 3 41 1 2
0 �1 2
35+z
24 �4 �1 �4�1 1 0
4 7 6
35 =24 �2x� 4z x+ 3y � z 4y � 4zy � z x+ y + z x+ 2y
2x+ 4z 3x� y + 7z 4x+ 2y + 6z
35 =
24 0 0 00 0 0
0 0 0
35 :Resolvendo o sis-
tema obtem-se y = z = �(1=2)x; ou seja, existe uma in…nidade de soluções
não nulas. Logo estas matrizes não são li.
3) Seja T : R2 ! R2 dada por T (x; y) = (x� 2y; 5x� y)
(1,5) (a) determine o polinômio característico de T
(1,5) (b) determine uma base B do R2 tal que a matriz de T em
relação à base B é
[T ]B =
�
0 �
�� 0
�
para algum � 2 R. A base B é ortogonal?
Solução: feito em aula exemplo semelhante em todo o desenvolvimento,
mudando apenas os números.
4) A TL transposta de uma TL T : R2 ! R2 dada por T (x; y) (�)= (ax +
by; cx+ dy) é T t(x; y)
(��)
= (ax+ cy; bx+ dy):
(a) (1,5) Comprove que T e sua transposta T t satisfazem
hT (u); vi = 
u; T t(v)�
para TODOS u; v 2 R2:
Solução: partindo de u = (x; y) e v = (z; w) calcular hT (u); vi usando
(�) e hu; T t(v)i usando (��) e veri…car que os resultados coincidem.
(b) (1,0) Qual a relação entre [T ]Bc e [T
t]Bc ; sendoBc a base canônica?
Solução: T (1; 0) = (a; b) e T (0; 1) = (c; d): Logo
[T ]BC =
�
a b
c d
�t
=
�
a c
b d
�
:
Da mesma forma obtemos�
T t
�
BC
=
�
a c
b d
�t
=
�
a b
c d
�
:
Logo [T t]BC = [T ]
t
BC
:
2