3º EE - Equações de Navier-Stokes

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Mecânica dos Fluidos 2 
(ME262)
Turma MA – 
Maria Gabriela Rangel
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“As Equações de Navier-
Stokes”
Aluno: Henrique Chaves Brito Coelho
Curso: Engenharia Mecânica
 Recife, 8 de Junho de 2014
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2. Introdução.
Ao se aprofundarem os estudos sobre os fluidos, deve-se escolher uma de duas descrições 
possíveis para os seus movimentos: a Lagrangeana ou a Euleriana. Escolhe-se, portanto, um ponto 
de vista e uma propriedade do fluido a ser estudado, seja velocidade, massa específica ou 
viscosidade dinâmica. Abaixo diferenciam-se os dois caminhos possíveis:
• Lagrangeana: marca-se uma partícula específica, bem definida, e ela é seguida através de 
seu movimento, dentro do fluido, no escoamento estudado. O ponto do espaço no qual a 
partícula esteve anteriormente é temporariamente deixado de lado e importam apenas seus 
estados a cada instante t. Como é tomado um desenvolvimento temporal, a propriedade geral 
P é vista como função unicamente do tempo t; assim, P = P(t) – e a taxa de variação de P é 
uma derivada própria, também chamada substancial ou material: D/Dt;
• Euleriana: marca-se um ponto fixo do espaço, bem definido, dentro da corrente do fluido, 
numa região tal que as aproximações sejam válidas (por exemplo, distante o suficiente das 
bordas). Neste caso, é importante o desenvolvimento da dinâmica do fluido naquele ponto 
ou conjunto de pontos considerados; dependendo dessa escolha, a propriedade geral P não é 
dependente apenas do instante de tempo t (por exemplo, a velocidade do fluido, quanto mais 
próximo seja a região da borda, mais se aproxima de zero). Logo, P é uma função de mais de 
uma variável: P = Ø(t, α1, α2, α3, α4...) - e a taxa de variação de P é uma derivada parcial.
Para simular o comportamento de um fluido, precisa-se de uma representação matemática do 
estado do fluido em relação ao tempo. Existem várias opções a serem escolhidas e representadas; no 
entanto, considera-se que a mais importante delas é a velocidade, pois essa propriedade determina 
tanto o movimento do fluido quanto a variação de sua densidade. Como será evoluído neste texto, o 
modelo matemático generalista adotado é o que resulta nas Equações de Navier-Stokes. Pode-se 
escrever tais equações e trabalhar com elas tanto a partir de métodos lagrangeanos quanto a partir de 
métodos eulerianos. No primeiro caso, o volume de controle finito se move concomitantemente ao 
escoamento, enquanto no segundo está fixo no espaço.
3. Cinemática dos Fluidos.
A Cinemática dos Fluidos, portanto, tem como objetivo principal entender a evolução das 
diversas variáveis características do movimento de um fluido, como temperatura, concentração 
química, massa específica, velocidade e energia. A figura abaixo busca ilustrar o espírito da 
Cinemática dos Fluidos: não são feitas referências às forças que causam o afunilamento das 
partículas do fluido, causadas pelas reações entre o material interno e a parede do tubo de diâmetro 
variável.
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Figura 3: Fluxo Mássico através de um cano de diâmetro variável
Há outro conceito importante dentro da Cinemática, o de “campo de velocidades”: se o 
fluido é aproximado por um meio contínuo, suas partículas se encontram compactas; assim, pressão, 
velocidade, aceleração, massa específica, etc podem ser descritas tanto em função da posição como 
em função do tempo. A representação de um parâmetro do fluido em escoamento em função de suas 
coordenadas espaciais é uma representação por campo de escoamento: no caso das velocidades, 
propriedades destacáveis, temos v' = u(x, y, z)i + s(x, y, z)j + w(x, y, z)k, em que i, j e k são os 
vetores unitários (versores) nas direções x, y e z, respectivamente, dentro de um sistema cartesiano 
retangular tridimensional. Obviamente, há também campos de pressão, de temperatura, etc. 
Figura 4: campo de velocidades obtido para Re = 100, com uma malha de 21x21 volumes 
4. Velocidade e Aceleração da Partícula Fluida.
Como mostrado no tópico anterior, a velocidade v' (vetorial) de uma partícula fluida é 
descrita como: v' = u(x, y, z)i + s(x, y, z)j + w(x, y, z)k, e o módulo (tamanho) dessa velocidade v' 
pode ser dado por √ (u² + s² + w²). Ou seja, v' nada mais é do que a variação do vetor r(t), aquele 
que liga a origem do sistema de referência tridimensional retangular à partícula, no instante t.
Figuras 5, 6 e 7, da esquerda para a direita: modelo computacional de escoamento tridimensional; 
gráfico de escoamento bidimensional; fluxo de água saindo de uma mangueira de pressão, 
aproximadamente unidimensional
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Dentre os diversos escoamentos existentes, aqueles em regime permanente são 
importantíssimos, pois podem ser “forçados”, a depender dos mecanismos utilizados – e facilitam 
bastante os cálculos e o entendimento. No regime permanente, a velocidade não varia com o tempo, 
ou seja, a derivada parcial de v(t) em relação a t é nula. Já nos escoamentos transitórios, a derivada 
frisada é não nula e não existe uma sequência regular para a variação.
Assim como anteriormente foi definido o campo de velocidades, pode-se fazer o mesmo 
com o campo de acelerações. Sabendo que v(t) = v(r, t) = v(x(t), y(t), z(t), t), em que não apenas a 
velocidade depende de parâmetros dependentes do tempo, como também depende diretamente do 
tempo, deve-se diferenciar v(t) em relação a t. Sabendo que u = dx/dt, s = dy/dt e w = dz/dt, tem-se: 
a(t) = ∂v/∂t + u ∂v/∂x + s ∂v/∂y + w ∂v/∂z
Esse resultado pode ser simplificado como a(t) = dv(t)/dt, em que o operador d[]/dt equivale 
a ∇∂[]/dt + (v(t) . ) []. Deve-se perceber que o termo ∂v/∂t, por estar relacionado a uma derivada 
temporal, corresponde a uma aceleração local e representa os efeitos transitórios do escoamento, ao 
passo que as outras derivadas, de caráter espacial, são uma aceleração chamada convectiva, já que 
seus parâmetros variam devido ao fenômeno da convecção, forma de transmissão de calor 
característica dos fluidos, na qual o transporte de matéria facilita a movimentação do calor.
5. Deformação da Partícula Fluida.
Todo e qualquer fluido não possui forma própria: quando em equilíbrio estático (domínio da 
Hidrostática), assume o formato do recipiente. Quando em movimento, é incapaz de resistir a 
tensões de cisalhamento, deformando-se, portanto, continuamente. Da Mecânica dos Sólidos, sabe-
se que a tensão de cisalhamento τ = F/A, a razão entre o módulo da componente tangencial da força 
aplicada e a área da superfície sobre a qual a força externa está sendo aplicada. 
“A tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à variação da velocidade ao longo da 
direção normal às placas.”
Isso pode ser matematicamente traduzido como τ = α (dv/dy), uma simples 
proporcionalidade. Ela pode ser transformada numa igualdade através da introdução de uma 
constante, a viscosidade dinâmica µ: 
τ = µ (dv/dy)
Essa relação é chama de “Lei de Newton Para o Cisalhamento”. A viscosidade dinâmica µ é 
o coeficiente de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidades. Seu 
significado físico é a propriedade do fluido através da qual ele oferece resistência às tensões de 
cisalhamento. Os fluidos capazes de terem seus movimentos determinados por essa relação linear 
direta são denominados fluidos newtonianos e são a maior parte dos fluidos existentes.
Pode-se utilizar as ideias de Análise Dimensional, no sistema [FLT], para entender melhor a 
viscosidade, entidade que torna a questão dos fluidos tão ímpar: 
[µ] = [τ]/[(dv/dy)] = F L‾²/T ‾¹ = FT/L² = (N s)/m²
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Figura 8: troca de fluido de freio, no qual a viscosidade é relevante para o rendimento da máquina
 
6. Conservaçãoda Massa na forma diferencial.
Primeiramente, devem ser definidos sistema e volume de controle. Enquanto sistema pode 
ser tratado como uma quantidade de massa (logicamente fluida) fixa e identificável, a qual deve ser 
acompanhada ao longo do movimento, através das ideias lagrangeanas, volume de controle é o 
volume no espaço através do qual o fluido escoa, uma entidade fixa e tratada pelo método euleriano. 
Será dada preferência ao estudo com base nos volumes de controle.
A Lei da Conservação da Massa, a qual apenas deixa claro que nada (no caso, a matéria) 
pode ser criado ou destruído, mas apenas transformado, como Lavoisier dizia, pode ser formulada 
matematicamente assim: dM(t)/dt = 0, em que M(t) é a massa total do sistema considerado. Vale 
lembrar que M = ∫dm = ∫ρdV.
Provar e demonstrar o Teorema do Transporte de Reynolds não é o objetivo, mas algumas 
ideias gerais podem ser transmitidas. Considerando N como qualquer propriedade extensiva, ou 
seja, dependente de quantidade (portanto massa) do sistema e η a propriedade intensiva (distribuída) 
correspondente a N, pode-se escrever: N = ∫ηdm = ∫ηρdV, sempre considerando o sistema como 
região de integração. Exemplificando a conexão entre extensividade e intensividade: para as 
propriedades extensivas M, P e E (massa, vetor momento linear e energia), as correspondentes 
grandezas intensivas são, respectivamente, 1, v' e e (unidade, vetor velocidade e energia específica, 
respectivamente).
O Teorema do Transporte de Reynolds afirma que:
dN(t)/dt = ∂( ∫ηρdV )/∂t + ∫ηρ v''.dA'
Na formulação acima, a primeira derivada parcial deve ser tomada em relação ao volume de 
controle, a segunda derivada parcial deve ser tomada em relação à superfície de controle e a 
variação da propriedade extensiva N em relação ao tempo refere-se ao sistema como um todo. É 
bom destacar que a compreensão do sistema como um todo é diretamente relacionada às percepções 
do volume e da superfície de controle. Portanto, há uma união entre as descrições de Lagrange e de 
Euler.
Entendidas as ideias de Reynolds, atinge-se a Conservação da Massa com: N(t) = M(t), η = 
1 e dM(t)/dt.
0 = ∂( ∫ρdV )/∂t + ∫ρ v''.dA' 
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O Princípio da Conservação de Massa para um volume de controle. O primeiro termo de 
derivada parcial é a taxa de variação de massa no volume de controle; o segundo termo é o fluxo de 
massa através da superfície de controle tomada, a Vazão Mássica. Essa equação também é 
conhecida como Equação da Continuidade.
Agora serão comentados casos específicos da Equação da Continuidade.
• Escoamento incompressível: aqui a massa específica ρ é constante e a Equação assume a 
forma:
0 = ∂V(t)/∂t + ∫v'.dA'
Se, ainda, o volume de controle VC for tomado de tal forma que seja indeformável, o que é 
bastante comum, a derivada parcial do volume em relação ao tempo se anula e tem-se:
∫v'.dA' = 0 = Q
Q é chamado de Vazão Volumétrica e tem unidades de m³/s.
• Escoamento permanente: aqui o termo que varia com o tempo se anula e a Equação da 
Continuidade se simplifica para determinar que a Vazão Mássica é nula:
dm(t)/dt = ∫ρ v'.dA' = 0
• Consideração adicional de escoamento uniforme na seção:
Escoamento incompressível: Q = ∫v'.dA' = Σ v'.dA' = 0
Escoamento permanente: dm(t)/dt = ∫ρ v'.dA' = Σρ v'.dA' = 0
 
Figura 9: interpretação da Equação da Continuidade
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7. Dinâmica dos Fluidos.
A Dinâmica dos Fluidos é parte da Mecânica dos Fluidos. Diferentemente da Cinemática 
dos Fluidos, no entanto, dá importância ao entendimento de como ocorre e o porquê de ocorrerem 
as movimentações dos fluidos. As forças que causam o movimento, portanto, são estudadas e 
destacadas. A Hidrodinâmica, como também é conhecida, engloba várias especialidades de interesse 
da Engenharia, como a Aerodinâmica (estudo específico do fluido ar em movimento) e a Hidráulica 
(estudo específico dos fluidos líquidos em movimento).
Essa outra visão da Equação é atingida através das seguintes suposições: o tubo pode ter 
vários diâmetros diversos, com áreas transversais S, S', S'', etc. Consideram-se apenas as 
velocidades em pontos das partes do tubo onde as condições de fronteira são pouco importantes, 
definindo, portanto, uma velocidade característica para cada região do tubo: v, v', v'', etc. Se o 
líquido for incompressível (mesma massa específica em todo e qualquer ponto), a vazão Z será 
constante, pois a mesma quantidade volumétrica de líquido deverá atravessar cada seção transversal 
do duto. Assim, tem-se:
Z = Z' = Z'' = cte = Sv = S'v' = S''v'' = S'''v''' = cte
Essa formulação indica que a velocidade com a qual o líquido, gás ou vapor escoa no 
interior do tubo é inversamente proporcional à área de seção transversal (S) do mesmo: diminuindo 
a área, a velocidade v com a qual o fluido escoa aumenta na mesma proporção. Como a figura 
abaixo ilustra, ao diminuir-se a saída da água de uma mangueira com uso dos dedos, sua velocidade 
aumenta, assim como o alcance da água.
Figura 10: variação da velocidade de saída de água através de regulação da área S
A Dinâmica dos Fluidos não estuda apenas forças, mas também as energias. Entender e 
aplicar os conceitos de energia pode facilitar bastante a resolução de problemas de escoamento. 
Uma das principais formulações da Mecânica dos Fluidos é a Equação de Bernoulli, desenvolvida 
pelo suíço neerlandês Daniel Bernoulli, matemático, físico e filósofo. A demonstração de sua 
Equação também foge aos objetivos desta apresentação, mas seu enunciado será mostrado.
A partir da Equação de Euler, interpretação para fluidos da Segunda Lei de Newton, 
considerando esse fluido perfeito e sujeito a forças de origem gravitacional, com adição das ideias 
básicas de linhas de corrente, atinge-se a Equação de Bernoulli.
Figura 11: uma das maneiras de escrever a Equação de Euler
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Abaixo, a Equação de Bernoulli:
ρv²/2 + p + ρgz = constante (1)
Aqui, ρ representa a massa específica do fluido, v refere-se à velocidade média do fluido em 
cada tubo (região), p é a pressão sofrida pelo fluido, g indica a aceleração da gravidade no local (ou 
nos locais) onde o experimento é realizado e z nada mais é do que a distância em relação à origem 
tomada paralela ao eixo z, ou seja, a altura.
Dependendo do experimento, a massa específica ρ pode ser uma questão complicada, daí 
pode-se dividir a equação toda por ρ e encontrar o seguinte:
v²/2 + p/ρ + gz = constante (2)
A outra maneira, também muito utilizada, é trabalhar com termos cujas dimensões 
representam comprimentos, forçando uma analogia geral a energias potenciais, as chamadas 
“cargas”:
v²/2g + p/ρg + z = constante = H (3)
Aqui, a Equação de Bernoulli virgem foi inteiramente dividida por ρg, de modo a um 
terceiro termo puramente de comprimento ser conseguido. O v²/2g é chamado “altura cinética”; o 
p/ρg, por sua vez, “altura estática” ou “altura piezométrica”; já o z é a “altura geométrica” direta. H 
é chamado “altura total” ou “carga total”.
Figura 12: chiaroescuro de Daniel Bernoulli
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8. Equações Gerais do Movimento.
Quando se estuda um fenômeno, busca-se simplificá-lo até equações gerais bem conhecidas 
poderem ser aplicadas. Ao se supor que o fluido é não-viscoso, portanto ideal, chega-se às Equações 
de Euler. Essa abordagem pode ser válida, desde que as condições do experimento realizado tornem 
a viscosidade algo com efeito muito menor do que as outras grandezas que atuam sobre o 
experimento. As Equações de Euler afirmam que, se os termos viscosos são pequenos 
(desprezíveis), ou seja, a viscosidade dinâmica µ é (controladamente) aproximadamente nula, o 
movimento do fluido de interesse pode ser conhecido através da forma vetorial
Figura13: maneira alternativa (à Figura 11) de representar as Equações de Euler
Em que: ρ é a massa específica do fluido, a diferencial do vetor velocidade em relação ao 
tempo é considerada total, p é a pressão absoluta que atua sobre o fluido, µ é o coeficiente de 
∇viscosidade (novo termo) e (del) representa o operador diferencial, do Cálculo Diferencial de 
Integral
Como foi citado anteriormente, a Equação de Bernoulli pode ser obtida a partir de 
integração da Equação de Euler sobre uma linha de corrente (velocidades tangentes em todos os 
pontos), considerando a densidade constante e aproximações adequadas. Essa formulação é devida a 
Leonhard Paul Euler, matemático, físico e escritor suíço germânico, o qual utilizou fundamentos de 
Análise Matemática para expandir e depois restringir as Leis de Newton para aplicação em fluidos, 
materiais bastante diferentes de partículas ou corpos rígidos.
Figura 14: face de Euler numa cédula de 10 francos suíços, utilizada também em Liechtenstein
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9. Equações de Navier-Stokes.
As Equações de Navier-Stokes são estruturas da Física as quais, como dito no primeiro 
tópico, foram formuladas por Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes. Elas descrevem, de 
uma maneira bem mais próxima à realidade, o movimento de substâncias e conjuntos fluidos. Elas 
são construídas a partir da aplicação ponderada da Segunda Lei de Newton do Movimento aos 
fluidos, junto à aproximação de que a tensão resultante a qual o fluido é submetido é o conjunto de 
um termo viscoso difusor, proporcional ao gradiente de velocidade) e um termo de pressão.
Figura 15: também pode-se modelar a evolução de um jet ski com as Equações de Navier-Stokes, 
usando um híbrido de Hidrodinâmica e Aerodinâmica
As derivadas parciais apresentadas podem determinar campos de velocidade e de pressão 
num escoamento. As variações (gradientes) em momentos lineares e acelerações das partículas 
fluidas são causadas pelas variações de pressão e forças viscosas dissipativas (atritivas) presentes na 
situação. A força viscosa, como já foi ressaltado, é originada nas interações moleculares: isso 
mostra o quão interessante as Equações são: termos macroscópicos e derivados de campos 
(pressões) aliam-se a termos de origem microscópica (intermoleculares) para causar variações 
mensuráveis, as quais podem ser vistas partícula a partícula ou considerando o fluido como um 
todo.
Já em casos mais complexos, é necessária a utilização do CFD, Computational Fluid 
Dynamics, ou Dinâmica dos Fluidos Computacional. É um modo de simulação numérica 
computadorizada de qualquer processo físico-químico que apresente escoamento. Com base em 
modelos microscópicos baseados nos princípios vistos anteriormente, como Conservação de Massa, 
Conservação de Energia e Conservação da Quantidade de Movimento, modelos microscópicos, 
escoamentos complexos são totalmente definidos por computadores.
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Figura 16: modelação CFD para escoamento aerodinâmico sobre veículo de Fórmula 1
Abaixo, uma das maneiras de representar a Equação:
Figura 17: Equação de Navier-Stokes, em que η representa a massa específica
Vale ressaltar que o modelo matemático, base do caminho de solução dos problemas, muitas 
vezes requere a complementação através de um modelo físico, seja através de laboratórios 
hidráulicos ou de túneis de vento, já que a formulação aproxima com bastante segurança 
escoamentos bidimensionais ou unidimensionais, mas pode ter dificuldades para o caso geral 3D.
As Equações de Navier-Stokes são não-lineares (complexidade de resolução), materiais 
(utilizam derivadas materiais), conservacionais (estabelecem uma relação de igualdade e 
conservação). Sua importância deriva tanto da riqueza matemática intrínseca a sua demonstração, 
assim como da importância prática de sua utilização. Como visto neste texto, também há a 
relevância didática, pois que o entendimento de suas aplicações só pode ser de fato entendido com 
um arcabouço teórico profundo da Mecânica dos Fluidos.
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10. Bibliografia.
Livros:
– Introdução à Mecânica dos Fluidos - 6ª Edição - Robert W. Fox; Alan T. McDonald e Philip J. Pritchard;
– Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição Revisada – Franco Brunetti.
Links:
– http://en.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier ;
– http://fr.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes ;
– http://www.fisica.ufmg.br/~dickman/transfers/hidro/cap9(Navier-Stokes).pdf ;
– http://www.mspc.eng.br/fldetc/fld_retrte_10.shtml ;
– http://incertezaemprincipio.files.wordpress.com/2012/02/aula4.pdf ;
– http://engenhariaaeroespacial.ufabc.edu.br/old/profs/cristiano/Cap4.pdf ;
– http://penta3.ufrgs.br/CESTA/fisica/calor/conveccao.html ;
– http://www.fisicaevestibular.com.br/hidrodinamica1.htm .
Figuras:
– Capa: http://3.bp.blogspot.com/-
zWkj2wergrA/UUx2n_XocEI/AAAAAAAAH_w/QC_IwAB2EzE/s1600/logo-ufpe-1.jpg;
– Contracapa: http://www.manutencaoesuprimentos.com.br/imagens/procedimento-de-dinamica-de-fluidos-
computadorizada-e-rapido-e-tem-baixo-custo.jpg;
– 1: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/BigPictures/Navier_2.jpeg;
– 2: http://godandmath.files.wordpress.com/2012/05/stokes.jpg;
– 3: http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http%3A%2F%2Fs3.amazonaws.com%2Fmagoo
%2FABAAABKDgAH-11.jpg&imgrefurl=http%3A%2F%2Fwww.ebah.com.br%2Fcontent
%2FABAAABKDgAH%2Fcinematica-dos-fluidos%3Fpart
%3D3&h=184&w=426&tbnid=YWl2zSP2x2jyOM
%3A&zoom=1&docid=YQXoDyf2P96QIM&ei=LNaUU8O7BpLJsQSKroK4DA&tbm=isch&ved=0CCwQM
ygCMAI&iact=rc&uact=3&dur=300&page=1&start=0&ndsp=14;
– 4: http://www.sinmec.ufsc.br/cfd/doc/pt/pt/cfd-classes/docs/tutorial/tutorial03/doc/index_files/image027.jpg;
– 5: http://www.uepg.br/denge/lhc/Base/PTV01dour.jpg;
– 6: http://www.scielo.br/img/revistas/rbef/v30n4/a03fig05.jpg;
– 7: http://f.i.bol.com.br/2013/03/21/na-hora-de-limpar-o-quintal-nao-tenha-duvidas-entre-usar-uma-mangueira-
ou-um-balde-escolha-o-balde-que-faz-com-que-a-economia-de-agua-seja-consideravel-tambem-nao-vale-
empurrar-a-sujeira-do-chao-com-1363888857437_507x337.jpg;
– 8: http://i.imgur.com/UyWd9.jpg;
– 9: http://www.mundoeducacao.com/upload/conteudo_legenda/f0f9c90fd7596ce600a7cee7b1d0e90f.jpg;
– 10: http://www.pensamentoverde.com.br/wp-content/uploads/2013/10/img413.jpg;
– 11: http://upload.wikimedia.org/math/a/c/a/acab863ef3a06af374d8ed52e1bafb46.png;
– 12: http://www.famous-mathematicians.com/images/daniel-bernoulli.jpg;
– 13: http://upload.wikimedia.org/math/8/c/5/8c596f7f66eb05ecf61333df9c879184.png;
– 14: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/Euler-10_Swiss_Franc_banknote_(front).jpg;
– 15: http://olharmeucarro.com.br/portal/wp-content/gallery/jetski/jets-ski-marseille.jpg;
– 16: http://f1visaotecnica.files.wordpress.com/2010/08/voxdale1_smaller_420.jpg;
– 17: http://www.if.ufrj.br/~bertu/fis2/hidrodinamica//turbulencia/navier_stokes.gif.
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