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3º EE - Equações de Navier-Stokes

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da Massa na forma diferencial.
Primeiramente, devem ser definidos sistema e volume de controle. Enquanto sistema pode 
ser tratado como uma quantidade de massa (logicamente fluida) fixa e identificável, a qual deve ser 
acompanhada ao longo do movimento, através das ideias lagrangeanas, volume de controle é o 
volume no espaço através do qual o fluido escoa, uma entidade fixa e tratada pelo método euleriano. 
Será dada preferência ao estudo com base nos volumes de controle.
A Lei da Conservação da Massa, a qual apenas deixa claro que nada (no caso, a matéria) 
pode ser criado ou destruído, mas apenas transformado, como Lavoisier dizia, pode ser formulada 
matematicamente assim: dM(t)/dt = 0, em que M(t) é a massa total do sistema considerado. Vale 
lembrar que M = ∫dm = ∫ρdV.
Provar e demonstrar o Teorema do Transporte de Reynolds não é o objetivo, mas algumas 
ideias gerais podem ser transmitidas. Considerando N como qualquer propriedade extensiva, ou 
seja, dependente de quantidade (portanto massa) do sistema e η a propriedade intensiva (distribuída) 
correspondente a N, pode-se escrever: N = ∫ηdm = ∫ηρdV, sempre considerando o sistema como 
região de integração. Exemplificando a conexão entre extensividade e intensividade: para as 
propriedades extensivas M, P e E (massa, vetor momento linear e energia), as correspondentes 
grandezas intensivas são, respectivamente, 1, v' e e (unidade, vetor velocidade e energia específica, 
respectivamente).
O Teorema do Transporte de Reynolds afirma que:
dN(t)/dt = ∂( ∫ηρdV )/∂t + ∫ηρ v''.dA'
Na formulação acima, a primeira derivada parcial deve ser tomada em relação ao volume de 
controle, a segunda derivada parcial deve ser tomada em relação à superfície de controle e a 
variação da propriedade extensiva N em relação ao tempo refere-se ao sistema como um todo. É 
bom destacar que a compreensão do sistema como um todo é diretamente relacionada às percepções 
do volume e da superfície de controle. Portanto, há uma união entre as descrições de Lagrange e de 
Euler.
Entendidas as ideias de Reynolds, atinge-se a Conservação da Massa com: N(t) = M(t), η = 
1 e dM(t)/dt.
0 = ∂( ∫ρdV )/∂t + ∫ρ v''.dA' 
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O Princípio da Conservação de Massa para um volume de controle. O primeiro termo de 
derivada parcial é a taxa de variação de massa no volume de controle; o segundo termo é o fluxo de 
massa através da superfície de controle tomada, a Vazão Mássica. Essa equação também é 
conhecida como Equação da Continuidade.
Agora serão comentados casos específicos da Equação da Continuidade.
• Escoamento incompressível: aqui a massa específica ρ é constante e a Equação assume a 
forma:
0 = ∂V(t)/∂t + ∫v'.dA'
Se, ainda, o volume de controle VC for tomado de tal forma que seja indeformável, o que é 
bastante comum, a derivada parcial do volume em relação ao tempo se anula e tem-se:
∫v'.dA' = 0 = Q
Q é chamado de Vazão Volumétrica e tem unidades de m³/s.
• Escoamento permanente: aqui o termo que varia com o tempo se anula e a Equação da 
Continuidade se simplifica para determinar que a Vazão Mássica é nula:
dm(t)/dt = ∫ρ v'.dA' = 0
• Consideração adicional de escoamento uniforme na seção:
Escoamento incompressível: Q = ∫v'.dA' = Σ v'.dA' = 0
Escoamento permanente: dm(t)/dt = ∫ρ v'.dA' = Σρ v'.dA' = 0
 
Figura 9: interpretação da Equação da Continuidade
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7. Dinâmica dos Fluidos.
A Dinâmica dos Fluidos é parte da Mecânica dos Fluidos. Diferentemente da Cinemática 
dos Fluidos, no entanto, dá importância ao entendimento de como ocorre e o porquê de ocorrerem 
as movimentações dos fluidos. As forças que causam o movimento, portanto, são estudadas e 
destacadas. A Hidrodinâmica, como também é conhecida, engloba várias especialidades de interesse 
da Engenharia, como a Aerodinâmica (estudo específico do fluido ar em movimento) e a Hidráulica 
(estudo específico dos fluidos líquidos em movimento).
Essa outra visão da Equação é atingida através das seguintes suposições: o tubo pode ter 
vários diâmetros diversos, com áreas transversais S, S', S'', etc. Consideram-se apenas as 
velocidades em pontos das partes do tubo onde as condições de fronteira são pouco importantes, 
definindo, portanto, uma velocidade característica para cada região do tubo: v, v', v'', etc. Se o 
líquido for incompressível (mesma massa específica em todo e qualquer ponto), a vazão Z será 
constante, pois a mesma quantidade volumétrica de líquido deverá atravessar cada seção transversal 
do duto. Assim, tem-se:
Z = Z' = Z'' = cte = Sv = S'v' = S''v'' = S'''v''' = cte
Essa formulação indica que a velocidade com a qual o líquido, gás ou vapor escoa no 
interior do tubo é inversamente proporcional à área de seção transversal (S) do mesmo: diminuindo 
a área, a velocidade v com a qual o fluido escoa aumenta na mesma proporção. Como a figura 
abaixo ilustra, ao diminuir-se a saída da água de uma mangueira com uso dos dedos, sua velocidade 
aumenta, assim como o alcance da água.
Figura 10: variação da velocidade de saída de água através de regulação da área S
A Dinâmica dos Fluidos não estuda apenas forças, mas também as energias. Entender e 
aplicar os conceitos de energia pode facilitar bastante a resolução de problemas de escoamento. 
Uma das principais formulações da Mecânica dos Fluidos é a Equação de Bernoulli, desenvolvida 
pelo suíço neerlandês Daniel Bernoulli, matemático, físico e filósofo. A demonstração de sua 
Equação também foge aos objetivos desta apresentação, mas seu enunciado será mostrado.
A partir da Equação de Euler, interpretação para fluidos da Segunda Lei de Newton, 
considerando esse fluido perfeito e sujeito a forças de origem gravitacional, com adição das ideias 
básicas de linhas de corrente, atinge-se a Equação de Bernoulli.
Figura 11: uma das maneiras de escrever a Equação de Euler
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Abaixo, a Equação de Bernoulli:
ρv²/2 + p + ρgz = constante (1)
Aqui, ρ representa a massa específica do fluido, v refere-se à velocidade média do fluido em 
cada tubo (região), p é a pressão sofrida pelo fluido, g indica a aceleração da gravidade no local (ou 
nos locais) onde o experimento é realizado e z nada mais é do que a distância em relação à origem 
tomada paralela ao eixo z, ou seja, a altura.
Dependendo do experimento, a massa específica ρ pode ser uma questão complicada, daí 
pode-se dividir a equação toda por ρ e encontrar o seguinte:
v²/2 + p/ρ + gz = constante (2)
A outra maneira, também muito utilizada, é trabalhar com termos cujas dimensões 
representam comprimentos, forçando uma analogia geral a energias potenciais, as chamadas 
“cargas”:
v²/2g + p/ρg + z = constante = H (3)
Aqui, a Equação de Bernoulli virgem foi inteiramente dividida por ρg, de modo a um 
terceiro termo puramente de comprimento ser conseguido. O v²/2g é chamado “altura cinética”; o 
p/ρg, por sua vez, “altura estática” ou “altura piezométrica”; já o z é a “altura geométrica” direta. H 
é chamado “altura total” ou “carga total”.
Figura 12: chiaroescuro de Daniel Bernoulli
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8. Equações Gerais do Movimento.
Quando se estuda um fenômeno, busca-se simplificá-lo até equações gerais bem conhecidas 
poderem ser aplicadas. Ao se supor que o fluido é não-viscoso, portanto ideal, chega-se às Equações 
de Euler. Essa abordagem pode ser válida, desde que as condições do experimento realizado tornem 
a viscosidade algo com efeito muito menor do que as outras grandezas que atuam sobre o 
experimento. As Equações de Euler afirmam que, se os termos viscosos são pequenos 
(desprezíveis), ou seja, a viscosidade dinâmica µ é (controladamente) aproximadamente nula, o 
movimento do fluido de interesse pode ser conhecido através da forma vetorial
Figura