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Capítulo 8 - Cinemática linear

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Hamill, Joseph, 1946- - Bases biomecânicas do movimento humano. São 
Paulo: Editora Manole, 1999. Capítulo 8, p. 328-366. 
 
Notas prévias: 
Produzido pelos Serviços de Biblioteca, Informação Documental e Museologia 
da Universidade de Aveiro. 
Organização da paginação: topo da página, entre parêntesis retos. 
Lista de abreviaturas e respetivo desdobramento: 
qps - quadros por segundo 
SI - Sistema Internacional 
Km - quilómetro(s) 
m - metros 
m/s - metros por segundo 
m/s2 - metros por segundo ao quadrado 
s - segundo(s) 
sen - seno 
cos - cosseno 
 
[328] 
 
Capítulo 8 Cinemática Linear 
 
I. Coleta de Dados Cinemáticos 
A. Sistemas de Referência 
1. sistemas bidimensionais 
2. sistemas tridimensionais 
B. Fatores Temporais do Movimento 
C. Unidades de Medida 
D. Vetores e Escalares 
1. escalares 
2. vetores 
a) representação vetorial 
b) operações vetoriais 
c) vetor resultante 
d) componentes vetoriais 
 
II. Posição e Deslocamento 
A. Movimento 
B. Posição 
C. Distância 
D. Deslocamento 
 
III. Velocidade Vetorial e Velocidade Escalar 
A. Método da Primeira Diferença Central 
B. Exemplo Numérico 
C. Velocidade Instantânea 
1. limite 
2. secante 
3. tangente 
4. diferenciação 
D. Exemplo Gráfico 
1. vértice 
 
IV. Aceleração 
A. Exemplo Numérico 
B. Exemplo Gráfico 
C. Aceleração e Direção do Movimento 
 
V. Diferenciação e Integração 
 
VI. Cinemática da Corrida 
A. Parâmetros da Passada 
1. passada 
2. passo 
3. comprimento da passada e do passo 
4. frequência da passada 
5. apoio e não apoio 
B. Curva de Velocidade 
C. Variação da Velocidade Durante o Apoio 
 
VII. Movimento de Projétil 
A. Trajetória de um Projétil 
1. parábola 
2. ápice 
B. Fatores que Influenciam os Projéteis 
1. ângulo de projeção 
a) ângulo positivo 
b) ângulo negativo 
2. velocidade de projeção 
a) velocidade horizontal 
b) velocidade vertical 
c) amplitude 
3. altura da projeção 
C. Aperfeiçoando as Condições de Projeção 
 
VIII. Equações de Aceleração Constante 
A. Exemplo Numérico 
 
IX. Resumo do Capítulo 
 
[329] 
 
Objetivos do Estudante 
Após ler este capítulo, o estudante será capaz de: 
1. Descrever como são coletados os dados cinemáticos. 
2. Distinguir entre vetores e escalares. 
3. Discutir a relação entre os parâmetros cinemáticos de posição, 
deslocamento, velocidade e aceleração. 
4. Distinguir entre quantidades médias e instantâneas. 
5. Conduzir um cálculo numérico de velocidade e aceleração usando o método 
da primeira diferença central. 
6. Conduzir um cálculo numérico da área sob uma curva parâmetro-tempo. 
7. Esboçar a forma geral da derivada de uma curva. 
8. Discutir diferentes estudos de pesquisa que utilizam uma abordagem 
cinemática linear. 
9. Demonstrar conhecimento das três equações de aceleração constante. 
10. Calcular a amplitude de um projétil usando as equações de aceleração 
constante. 
 A parte da mecânica que lida com a descrição de componentes de 
movimento espaciais e temporais é chamada cinemática. A descrição envolve 
a posição, velocidade e aceleração de um corpo sem importar-se com as 
forças que causam o movimento. Uma análise cinemática do movimento pode 
ser qualitativa ou quantitativa. Uma análise cinemática qualitativa é uma 
descrição não numérica de um movimento com base na observação direta. A 
descrição pode variar de uma simples dicotomia do desempenho - bom ou mau 
- até uma identificação sofisticada das ações musculares. O essencial, 
contudo, é que se trata de algo não numérico e subjetivo. As análises 
qualitativas são conduzidas primariamente por professores e treinadores, entre 
outros. 
 No campo da biomecânica, há um interesse maior na análise quantitativa. 
A palavra "quantitativa" implica um resultado numérico. Em uma análise 
quantitativa, o movimento é analisado numericamente com base em medidas 
de dados coletados durante o desempenho do movimento. Os movimentos 
podem ser descritos com precisão. As análises quantitativas são conduzidas 
por pesquisadores, mas raramente por treinadores e professores. O 
pesquisador usa esse tipo de análise para descrever detalhadamente as 
técnicas de movimento para partes interessadas. Por exemplo, uma análise 
quantitativa pode ser conduzida por um clínico em um indivíduo com paralisia 
cerebral para determinar o padrão de andar individual. O clínico quantifica os 
parâmetros do andar para o cirurgião que decide qual tipo de cirurgia é 
necessária para possibilitar ao paciente caminhar mais efetivamente. 
 Uma subdivisão da cinemática particular ao movimento em linha reta é 
denominada cinemática linear. Translação ou movimento de transladação é 
considerado um movimento "em linha reta" e ocorre quando todos os pontos de 
um corpo ou objeto se movem pela mesma distância durante o mesmo período 
de tempo. Na FIGURA 8-1ª, um objeto passa por translação. Os pontos A1 e 
B1 movem-se para A2 e B2, respectivamente, no mesmo tempo. A distância de 
Al para A2 e de B1 para B2 é a mesma, por isso chama-se translação. Por 
exemplo, um patinador deslizando pelo gelo mantendo sua postura é um 
exemplo de translação. Apesar de parecer que a translação pode ocorrer 
somente em linha reta, há também exemplos em que o movimento linear pode 
ocorrer ao longo de uma via curva. Isso é denominado de movimento curvilíneo 
e está ilustrado na FIGURA 8-1B. Enquanto o objeto segue uma via curva, a 
distância de A1 para A2 e de B1 para B2 é a mesma e é percorrida na mesma 
quantidade de tempo. Por exemplo, quando um pára-quedista salta do avião, 
faz um movimento curvilíneo antes da abertura do pára-quedas. 
 
[330] 
 
Coleta de Dados Cinemáticos 
 Existem vários métodos para coletar dados cinemáticos para uma análise 
quantitativa. Os laboratórios de biomecânica, por exemplo, podem usar 
acelerômetros, que medem diretamente as acelerações dos segmentos do 
corpo. O método mais comum de obter dados cinemáticos, contudo, é a 
cinematografia de alta velocidade ou o vídeo de alta velocidade. O vídeo de 
alta velocidade é atualmente uma técnica mais popular que a cinematografia e 
iremos nos referir apenas a ela, embora as mesmas tarefas possam ser feitas 
com a cinematografia de alta velocidade. Os dados obtidos por um vídeo de 
alta velocidade resultam na localização de posições dos segmentos do corpo 
em relação ao tempo. Esses dados foram adquiridos a partir do videoteipe por 
meio de digitalização, uma técnica assistida por computador que permite que o 
movimento seja analisado momento a momento. 
Sistemas de Referência 
 Antes de analisar o filme, determina-se um sistema de referência espacial. 
Existem muitas opções para o biomecânico com respeito a um sistema de 
referência; contudo, a maioria dos laboratórios usa um sistema cartesiano 
coordenado. O sistema cartesiano coordenado também é chamado de sistema 
de referência retangular. Esse sistema pode ser bidimensional ou 
tridimensional. 
 Um sistema de referência bidimensional tem dois eixos imaginários 
arranjados perpendicularmente um ao outro (FIGURA 8-2A). Os dois eixos (x, 
y) são geralmente posicionados de modo que um fique vertical (y) e o outro 
horizontal (x), embora possam ser orientados de qualquer maneira. Por 
exemplo, em certas circunstâncias, os eixos podem ser reorientados de forma 
que um eixo (y) fique paralelo ao eixo longo de um segmento. À medida que o 
segmento se move, o eixo y, correspondente ao eixo longo do osso, também 
se move, de modo que o eixo y não fica necessariamente alinhado 
verticalmente (FIGURA 8-2B). 
 Um par ordenado de números é usado para designar qualquer ponto com 
referência aos eixos, sendo a interseção ou origem dos eixos designada (0,0). 
Esse par de números é sempre designado na ordem do valor x seguido pelo 
valor y; esses são chamados de componentes horizontais e verticais, 
respectivamente. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-sea FIGURA 8-1 a mostrar os Tipos de 
movimentos de translação: (A) movimento em linha reta ou retilíneo; e (B) 
movimento curvilíneo. Tanto em (A) quanto em (B) o movimento de A 1 
subscrito para A 2 subscrito e de B 1 subscrito para B 2 subscrito é o mesmo e 
ocorre na mesma quantidade de tempo. 
 
 
 
[331] 
 
O valor x refere-se à distância a partir do eixo vertical e o valor y refere-se à 
distância a partir do eixo horizontal. As coordenadas são geralmente escritas 
como (x, y) e podem ser usadas para designar qualquer ponto sobre o plano x-
y. Um sistema de referência bidimensional é usado para designar qualquer 
ponto sobre o plano x-y. Um sistema de referência bidimensional é usado 
quando o movimento que está sendo descrito tem natureza planar. Por 
exemplo, se o objeto ou corpo pode ser visto movendo-se para cima ou para 
baixo (verticalmente) e para a direita ou para a esquerda (horizontalmente) 
quando visto de uma direção, o movimento é planar. Um sistema de referência 
bidimensional resulta em quatro quadrantes, embora o primeiro quadrante seja 
geralmente empregado quando feita a digitalização porque tantos os valores de 
x quanto os de y são positivos (FIGURA 8-3). 
 Se um indivíduo precisasse fletir e abduzir a coxa ao balançá-la para 
frente e para fora, o movimento não seria planar, mas sim de natureza 
tridimensional. Em qualquer espaço físico, são necessárias três partes de 
informação para localizar com precisão partes do corpo ou qualquer outro 
ponto de interesse, porque o conceito de profundidade (medial e lateral) 
precisa ser acrescentado aos componentes bidimensionais de altura (em cima 
e em baixo) e largura (para frente e para trás). Consequentemente, neste caso, 
um sistema de coordenadas tridimensionais precisa ser usado para descrever 
o movimento. Esse sistema de referência possui três eixos, cada um 
perpendicular ao outro para descrever uma posição relativa ao eixo horizontal 
ou x, o eixo vertical ou y, e o eixo medial/lateral ou z. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-3, com a seguinte legenda: 
Os quadrantes e sinais das coordenadas em um sistema bidimensional. 
 
 
[332] 
 
Em um sistema tridimensional (FIGURA 8-4) as coordenadas podem ser 
escritas como (x, y, z). A interseção dos eixos ou sua origem é definida (0, 0, 0) 
no espaço tridimensional. Todos os valores coordenados são positivos no 
primeiro quadrante do sistema de referência. Nesse sistema, as coordenadas 
podem designar qualquer ponto sobre uma superfície - não apenas um plano - 
como no sistema bidimensional. A análise cinemática tridimensional do 
movimento humano é muito mais complicada que a análise bidimensional e 
assim não será abordada neste livro. 
 
Nota de revisor: A seguir apresenta-se a FIGURA 8-4, com a seguinte legenda: 
Um sistema de coordenadas tridimensional. 
 
 A FIGURA 8-5 mostra um sistema de coordenadas bidimensional e como 
um ponto é designado neste sistema. Nesta figura, o ponto A está localizado a 
cinco unidades do eixo y e a quatro unidades do eixo x. A designação do ponto 
A é (5,4). É importante lembrar que o número designado como coordenada x 
determina a distância a partir do eixo y e a coordenada y determina a distância 
a partir do eixo x. 
 A distância desde a origem até o ponto é chamada de resultante (r) e 
pode ser determinada usando o Teorema de Pitágoras a seguir: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula cujo conteúdo é o seguinte: 
r = raiz quadrada x ao quadrado + y ao quadrado; 
r = raiz quadrada 5 ao quadrado + 4 ao quadrado 
=6,40 
 
 Antes de filmar ou gravar o movimento, o biomecânico precisa colocar 
marcadores na pessoa. Esses marcadores são colocados geralmente em 
pontos de referência dos segmentos corporais que vão ser analisados. Por 
exemplo, se o biomecânico está interessado em uma visão sagital da perna do 
indivíduo, os marcadores devem ser colocados no côndilo lateral do joelho e no 
maléolo lateral do tornozelo. Os segmentos em questão são identificados 
geralmente desta maneira. A FIGURA 8-6 é a fotografia de um único quadro de 
um vídeo de alta velocidade ilustrando uma visão sagital da perna de um 
corredor. Em certas circunstâncias, como durante uma apresentação ou 
competição, os marcadores não podem ser colocados no indivíduo. Nesse 
caso, o biomecânico precisa estimar os pontos de referência de cada segmento 
corporal durante o processo de digitalização. 
 Para analisar o vídeo, o biomecânico projeta o videoteipe com um quadro 
ou chapa por vez. O sistema de coordenadas é imposto sobre cada quadro 
com a origem colocada no canto esquerdo inferior do quadro. Depois de 
colocado, o sistema de coordenadas permanece constante até que todos os 
quadros de movimento sejam digitalizados. Desse modo, cada ponto de 
referência do segmento que é digitalizado pode ser colocado de acordo com os 
eixos x-y e identificado em cada quadro pela duração do movimento. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-5, a mostrar um sistema de 
coordenadas bidimensional ilustrando o par ordenado de números definindo um 
ponto relativo à origem. 
 
Fatores Temporais do Movimento 
 A análise dos fatores temporais ou de cadência no movimento humano é 
uma abordagem inicial para uma análise biomecânica. Na locomoção humana, 
podem ser investigados fatores como cadência, duração da passada, duração 
do apoio ou suporte (quando o corpo está sendo suportado por um membro) e 
duração da fase de balanceio (quando o membro está balançando para 
preparar-se para o próximo contato com o solo) e o período sem apoio. O 
conhecimento dos padrões temporais de um movimento é crítico em uma 
análise cinemática já que as mudanças de posição ocorrem com o tempo. 
 
[333] 
 
Nota de revisor: A seguir apresenta-se a FIGURA 8-6 com uma fotografia de 
um corredor marcado para uma análise cinemática sagital da perna direita. 
 
 Em uma análise de vídeo, o intervalo de tempo entre cada quadro é 
determinado pela frequência de quadros da câmera. Isso forma a base para 
cronometrar o movimento. As câmeras de vídeo geralmente operam com 30 
campos ou quadros por segundo (qps). Porém, câmeras de vídeo de alta 
velocidade usadas tipicamente em biomecânica podem operar com 60qps, 
120qps, 180qps ou 200qps. Por exemplo, a 60qps o tempo entre cada quadro 
ou chapa é de 1/60s (0,01667s) ou 1/200s (0,005s) quando o vídeo foi obtido a 
200qps. Geralmente um evento chave no início do movimento é designado 
como o quadro inicial para digitalização. Por exemplo, em uma análise da 
caminhada, o primeiro evento pode ser considerado o contato do calcanhar do 
pé que está no lado da câmera com o solo. Com o contato do pé do lado da 
câmera ocorrendo no tempo 0,00s, todos os eventos subsequentes no 
movimento são cronometrados a partir desse evento. 
Unidades de Medida 
 Para fazer uma análise quantitativa, é necessário relatar os achados nas 
unidades de medida corretas. Na biomecânica, o sistema métrico é usado 
extensivamente na literatura de pesquisa científica. O sistema métrico é 
empregado para uso cotidiano em muitos países do mundo. Nos Estados 
Unidos, contudo, o sistema inglês ainda é empregado. O sistema métrico 
baseia-se no Système International d'Unités ou sistema SI. Cada quantidade 
de um sistema de medidas tem uma dimensão associada a ela. O termo 
dimensão representa a natureza de uma quantidade. No sistema SI as 
dimensões básicas são massa, comprimento, tempo e temperatura. Cada 
dimensão tem uma unidade associada a ela. As unidades básicas do sistema 
SI são o quilograma (massa), metro (comprimento), segundo (tempo) e graus 
Kelvin (temperatura). Todas as outras unidades usadas na biomecânica 
derivam dessas unidades básicas. As unidades SI e suas abreviaturas estão 
apresentadas no Apêndice D. Como as unidades SI são usadas muito 
frequentemente em biomecânica, elasserão usadas exclusivamente neste 
texto. 
Vetores e Escalares 
 Certas quantidades como massa, distância e volume podem ser descritas 
completamente por sua quantidade ou magnitude. Essas quantidades são 
chamadas quantidades escalares. Por exemplo, quando alguém corre uma 
corrida que tem 5 quilómetros (km) de comprimento, a distância ou a 
magnitude da corrida é de 5km. Outras quantidades, contudo, não podem ser 
completamente descritas por sua magnitude apenas. Nesses casos, as 
quantidades são chamadas vetores e são descritas quanto à magnitude e 
direção. Por exemplo, quando um objeto é deslocado, a distância e a direção 
são importantes. Muitas das quantidades calculadas em uma análise 
cinemática são vetores, por isso é necessária uma compreensão detalhada dos 
vetores. 
 Na cinemática linear, os vetores são representados por uma seta com a 
magnitude representada pelo comprimento de uma linha com a seta apontando 
na direção apropriada (FIGURA 8-7). Os vetores são iguais quando suas 
magnitudes são iguais e apontam para a mesma direção. 
 Os vetores podem ser somados. Graficamente, os vetores podem ser 
somados colocando o fim de um vetor sobre o começo do outro vetor (FIGURA 
8-8A). Na FIGURA 8-8B, os vetores não estão na mesma direção mas o fim de 
b pode ainda ser colocado sobre o começo de a. Unindo o fim de a com o 
começo de b, pode ser determinado o vetor c, que é a soma de a + b ou a 
resultante dos dois vetores. A subtração de vetores se consegue somando o 
negativo de um dos vetores. Ou seja c é igual a, a mais (menos b). Isto está 
ilustrado na FIGURA 8-8C. 
 
[334] 
 
Nota de revisor: A seguir apresenta-se a FIGURA 8-7 com a seguinte legenda: 
Exemplos de vetores. Somente os vetores (A) e (B) são iguais, pois se 
equivalem em magnitude e direção. 
 
 
 Os vetores podem passar por formas de multiplicação que são usadas 
principalmente em uma análise tridimensional e não serão descritas neste livro. 
A multiplicação por um escalar, contudo, será discutida. A multiplicação de um 
vetor por um escalar altera a magnitude do vetor, mas não sua direção. Assim, 
o número "3" (escalar) vezes o vetor a é o mesmo que somar a + a + a 
(FIGURA 8-8D). 
 Um vetor pode também ser decomposto ou dividido em seus 
componentes horizontal e vertical. Na FIGURA 8-9A, o vetor a está ilustrado 
com seus componentes horizontal e vertical. O vetor pode ser decomposto 
nesses componentes usando funções trigonométricas de seno e cosseno. Um 
triângulo retângulo pode ser construído com os dois componentes e o próprio 
vetor. Considere um triângulo retângulo com os lados x, y, a, em que a é a 
hipotenusa do triângulo (FIGURA 8-9B). O seno do ângulo teta é definido 
como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
seno do ângulo Δ teta =comprimento do lado oposto a Δ teta sobre hipotenusa 
OU 
seno do ângulo Δ teta = y sobre r 
 
O cosseno do ângulo Δ teta é definido como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
cosseno do ângulo Δ teta = comprimento do lado adjacente a Δ teta sobre 
hipotenusa 
OU 
cosseno do ângulo Δ teta = x sobre r 
 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-8.com a seguinte legenda: 
Operações vetoriais ilustradas graficamente: (A) e (B) adição, (C) subtração, 
(D) multiplicação por um escalar. 
 
 
[335] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-9 com a seguinte legenda: 
Vetor a decomposto em seus componentes horizontal (x) e vertical (y) usando 
funções trigonométricas, seno e cosseno. Os componentes estão ilustrados em 
(A). Os componentes e o vetor formam um triângulo retângulo em (B). 
 
 
 Se os componentes do vetor, x e y, e a resultante r formam um triângulo 
retângulo, as funções de seno e cosseno podem ser usadas para separar os 
componentes caso sejam conhecidos o comprimento do vetor resultante e do 
ângulo letra grega delta que esse vetor faz com a horizontal. 
 Se o vetor resultante tem um comprimento de sete unidades e o vetor está 
formando um ângulo de 43 °, o componente horizontal pode ser encontrado 
usando a definição de cosseno do ângulo. Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula cujo conteúdo é o seguinte: 
cosseno 43 ° = x sobre a. 
 
Rearranjando esta equação para decompor o componente horizontal: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
x = a cosseno 43° 
= 7*0,7314 
= 5,12 
 
em que o cosseno 43 ° é 0,7314 (Apêndice D). 
 O componente vertical é encontrado usando a definição de seno do 
ângulo. Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
seno 43 ° = y sobre a 
 
 
e rearranjando esta equação para decompor o componente vertical y: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
y = a seno 43 ° 
= 7 * 0,6820 
= 4,77 
 
em que seno 43 ° é 0,6820 (Apêndice D). 
 Os comprimentos respectivos dos componentes horizontal e vertical são 
5,12 e 4,77. Esses dois valores identificam o ponto relativo à origem do sistema 
coordenado. 
Posição e Deslocamento 
 Posição de um objeto refere-se a sua localização no espaço com respeito 
a uma referência. As unidades de comprimento são usadas para medir a 
posição de um objeto a partir de um eixo de referência. Como o sistema 
métrico é usado quase exclusivamente em biomecânica, a unidade mais 
comumente usada para comprimento é o metro (m). Por exemplo, um 
mergulhador de plataforma em pé sobre a plataforma de 10 metros está 
localizado a 10 metros da superfície da água. A referência é a superfície da 
água e a posição do mergulhador é 10 metros acima da referência. A posição 
do mergulhador pode ser determinada durante o mergulho com a altura medida 
a partir da superfície da água. Como já foi mencionado, o processo de 
digitalização determina a posição de um ponto de referência no corpo ou 
segmento relativo a duas referências em um sistema bidimensional, o eixo x e 
o eixo y. 
 Quando o mergulhador deixa a plataforma, o movimento ocorre à medida 
que ele vai pelo ar em direção à água. O movimento ocorre quando um objeto 
ou corpo muda a posição. Os objetos não podem mudar de posição 
instantaneamente; assim, o tempo precisa ser levado em conta ao considerar o 
movimento de um objeto. O movimento, desse modo, pode ser entendido como 
uma mudança progressiva de posição em um período de tempo. Nesse 
exemplo, o mergulhador experimentou um deslocamento de 10 metros do 
trampolim até a água. O deslocamento é medido em linha reta a partir de uma 
posição até e a posição seguinte. Deslocamento não deve ser confundido com 
distância. 
 
[336] 
 
 A distância que um objeto percorre pode ser ou não em linha reta. Na 
FIGURA 8-10, um corredor começa a corrida, corre até o ponto A, vira para 
direita até o ponto B, à esquerda até o ponto C, à direita até o ponto D e à 
esquerda até o final. A distância percorrida é o comprimento propriamente dito 
do caminho percorrido. O deslocamento, por outro lado, é uma linha reta entre 
o início e o fim da corrida. 
 Deslocamento é definido como quão distante o objeto foi movido de sua 
posição inicial e em que direção ele foi movido. Como o deslocamento 
inerentemente descreve a magnitude e a direção da mudança de posição, ele é 
uma quantidade vetorial. A distância, como se refere somente a quão distante 
um objeto foi movido, é uma quantidade escalar. 
 A letra grega Δ delta refere-se a uma alteração em um parâmetro; assim, 
Δ delta s pode significar uma mudança em s. Se s representa a posição de um 
ponto, então Δ delta s é o deslocamento daquele ponto. Os subscritos f e i 
referem-se à posição final e à posição inicial, respectivamente, com a 
implicação que, no tempo, a posição final ocorreu após a posição inicial. 
Matematicamente,o deslocamento (Δ delta s) é para o caso geral: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
Δ delta s = s f -s i 
 
em que s f é a posição final e s i é a posição inicial. O deslocamento para cada 
componente da posição também pode ser calculado do seguinte modo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
Δ delta x = x f - x i - para o deslocamento horizontal 
Δ delta y = y f - y i - para o deslocamento vertical 
 
 
O deslocamento resultante também pode ser calculado por: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
r = raiz quadrada Δ delta x ao quadrado + Δ delta y ao quadrado 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a figura 8-10 com a seguinte legenda: 
Um corredor move-se ao longo do caminho seguido pela linha tracejada. O 
comprimento dessa via é a distância percorrida. A extensão da linha sólida 
representa o deslocamento do objeto. 
 
 
[337] 
 
 Por exemplo, se um objeto estava localizado na posição A (1,0; 1,0) no 
tempo 0,02s e na posição B (7,0; 7,0) no tempo 0,04s (FIGURA 8-1 IA), o 
deslocamento horizontal e vertical foi: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
Δ delta x = 7,0 m -1,0 m 
= 6,0 m 
Δ delta y = 7,0 m -1,0 m 
= 6,0 m 
 
 O objeto foi deslocado 6 m horizontalmente e 6 m verticalmente. O 
movimento também pode ser descrito como para a direita e para cima com 
respeito à origem do sistema de referência. O deslocamento resultante ou o 
comprimento do vetor de A até B pode ser calculado como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
r = raiz quadrada 6,0 ao quadrado m+6,0 ao quadrado m 
= 8,48 m 
 
 O ponto, desse modo, foi deslocado por uma distância de 8.48 m para 
cima e para a direita a partir da origem. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-11, a mostrar os 
deslocamentos horizontal e vertical em um sistema de coordenadas no 
caminho de (A) A para B e (B) B para C. 
 
 Considere a FIGURA 8-11B. Em uma posição sucessiva até B. o objeto 
moveu-se para a posição C (11,0; 3,0). O deslocamento seria, então: 
Δ delta x = 11,0 m -7,0 m 
= 4,0 m 
Δ delta y = 3,0 m -7,0 m 
= 4,0 m 
 
 O objeto foi deslocado 4,0 m horizontalmente e -4,0 m verticalmente ou 
4metros para a direita afastando-se do eixo y e 4metros para baixo em direção 
ao eixo x. O deslocamento resultante entre os pontos B e C pode ser calculado 
como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
r = raiz quadrada 4,0 m ao quadrado + 4,0 m ao quadrado 
= 5,66 m 
 
O deslocamento do ponto B até C é uma distância de 5.66metros em uma 
direção para a direita e para baixo em direção ao eixo x a partir do ponto B. 
Velocidade Vetorial e Velocidade Escalar 
 Quando os conceitos de deslocamento e tempo são combinados, leva-se 
em conta o conceito de velocidade. Velocidade vetorial é uma quantidade 
definida como o tempo que leva uma mudança de posição. Velocidade escalar 
seria o que no dia-a-dia consideramos como velocidade, e é uma quantidade 
escalar. Em automóveis, por exemplo, a velocidade escalar é medida 
constantemente quando se vai de um local para o outro. A velocidade escalar é 
definida como a distância que um objeto percorreu dividida pelo tempo que 
levou para percorrê-la. Assim: 
velocidade escalar = distância sobre tempo 
 Comumente usamos apenas o termo velocidade, mas você pode perceber 
pela definição que velocidade vetorial descreve a magnitude e direção, 
enquanto velocidade escalar descreve apenas a magnitude. Em corridas de 
carro, a largada fica geralmente próxima à chegada, e a velocidade vetorial na 
corrida como um todo pode ser bastante pequena. Nesse caso, a velocidade 
escalar seria um parâmetro mais importante para os participantes. 
 Na biomecânica, contudo, a velocidade vetorial é geralmente de mais 
interesse que a velocidade escalar. A velocidade vetorial é geralmente 
designada pela letra minúscula v, e o tempo pela letra minúscula t. A 
velocidade vetorial pode ser determinada por: 
v = deslocamento sobre tempo 
 
[338] 
 
Especificamente, velocidade vetorial é: 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
v = posição final-posição inicial, sobre tempo na posição final-tempo na posição 
inicial 
= mudança na posição sobre mudança no tempo 
=Δ delta s sobre Δ delta t 
 
 
 Como o sistema métrico de medida é o sistema recomendado em 
biomecânica, a unidade de velocidade vetorial mais comumente usada em 
biomecânica é m /s (metros por segundo) embora qualquer unidade de 
comprimento dividida por uma unidade de tempo seja correta desde que 
apropriada para a situação. As unidades de velocidade podem ser 
determinadas usando a fórmula para velocidade e dividindo as unidades de 
comprimento por unidades de tempo. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
velocidade vetorial = deslocamento (m) sobre tempo (s) 
= m /s 
 
 Considere a posição de um objeto que esteja no ponto A (2,4) no tempo 
1,5s e seja movido para o ponto B (4,5; 9) no tempo 5,0s. A velocidade 
horizontal (vx) é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
vx = 4,5 m -2 m sobre 5,0 s -1,5 s 
= 2,5 m sobre 3,5 s 
= 0,71 m /s 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-12, a mostrar a posição 
horizontal assinalada como uma função do tempo. A inclinação da linha de A 
para B é delta x sobre delta t. 
 
A velocidade vertical (v y subscrito) pode ser similarmente determinada por: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
vy = 9 m -4 m sobre 5,0 s -1,5 s 
= 5 m sobre 3,5 s 
= 1,43m /s 
 
 A velocidade resultante ou geral pode ser calculada usando a relação de 
Pitágoras a seguir: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula cujo conteúdo é o seguinte: 
v =raiz quadrada 0,71 ao quadrado + 1,43 ao quadrado 
= raiz quadrada 2,55 
= 1,60 m s 
 
 A FIGURA 8-12 é uma ilustração da mudança da posição horizontal ou da 
posição ao longo do eixo x como uma função do tempo. Nesse gráfico, a 
expressão geométrica que descreve a mudança na posição horizontal é 
chamada de delta x. A expressão que descreve a mudança no tempo é 
chamada de delta t. A inclinação de uma linha é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
inclinação = mudança na posição sobre mudança no tempo 
= Δ delta x sobre Δ delta t. 
 
 
 A inclinação de uma linha indica a relação entre dois parâmetros, neste 
caso, o deslocamento horizontal e o tempo. Assim, a inclinação da linha 
assinalada sobre um gráfico deslocamento-tempo é a relação entre o 
deslocamento e o tempo e representa a velocidade vetorial média no intervalo 
de tempo. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-13 com uma ilustração de 
inclinações diferentes sobre um gráfico de posição vertical versus tempo. As 
inclinações a, b, e são positivas. As inclinações c e f são negativas e d tem 
inclinação zero. 
 
[339] 
 
 A declividade de uma inclinação dá um quadro bem claro relativo à 
velocidade. Se a inclinação é muito íngreme, o número é elevado e a posição 
está se modificando muito rapidamente, sendo a velocidade grande. Se a 
inclinação é igual a zero, o objeto não mudou de posição e a velocidade é zero. 
Contudo, como a velocidade é um vetor, podem haver tanto inclinações 
positivas quanto negativas. Na FIGURA 8-13 está representada uma ilustração 
de inclinação positiva, negativa e zero. As linhas a e b têm inclinações 
positivas, que implica que o objeto foi deslocado para longe da origem do 
sistema de referência. Contudo, a linha a tem uma inclinaçãomais íngreme que 
a linha b, indicando que o objeto foi deslocado por uma maior distância por 
unidade de tempo. A linha c ilustra uma inclinação negativa indicando que o 
objeto moveu-se em direção à origem. A linha d mostra uma inclinação zero 
significando que o objeto não deslocou-se nem para perto nem para longe da 
origem naquele intervalo de tempo. As linhas e, e f têm inclinações idênticas, 
mas e tem uma inclinação positiva e f tem inclinação negativa. 
Método da Primeira Diferença Central 
Os dados cinemáticos que foram coletados em certos estudos biomecânicos 
baseiam-se nas posições dos pontos de referência dos segmentos gerados a 
partir de cada quadro do vídeo com um intervalo de tempo baseado na 
velocidade de quadros da câmera. Isto fornece ao biomecânico todas as 
informações necessárias para calcular a velocidade. Contudo, quando se 
calcula a velocidade em um intervalo de tempo, não é gerada velocidade em 
nenhuma ponta do intervalo de tempo; ou seja, não se pode presumir que a 
velocidade calculada ocorra no tempo da posição final nem no tempo da 
posição inicial. A posição de um objeto pode mudar em um período de tempo 
menor que o intervalo de tempo entre os quadros do vídeo. Assim, a 
velocidade calculada entre dois quadros de vídeo representa uma média das 
velocidades em todo o intervalo de tempo entre os quadros. Uma velocidade 
média, desse modo, é usada para estimar a mudança de posição em um 
intervalo de tempo. Essa não é a velocidade no início do intervalo de tempo 
nem a velocidade no final do intervalo de tempo. Se este é o caso, deve haver 
algum ponto no intervalo de tempo entre os quadros em que ocorra a 
velocidade calculada. A melhor estimativa para a ocorrência dessa velocidade 
é no ponto médio do intervalo de tempo. Por exemplo, se a velocidade é 
calculada usando os dados nos quadros 4 e 5, a velocidade calculada pode 
ocorrer no ponto médio do intervalo de tempo entre os quadros 4 e 5 (FIGURA 
8-14A). 
 Se os dados são coletados em 60qps, as posições nos quadros de vídeo 
1, 2, 3, 4 e 5 ocorrem nos tempos Os, 0,0167s, 0,0334s, 0,050 1s e 0,0668s. 
As velocidades calculadas usando esse método ocorrem nos tempos 0,0084s, 
0,0251s, 0,0418s e 0,0585s. Isso significa que após usar a fórmula geral para 
calcular a velocidade, as posições obtidas pelo vídeo e as velocidades 
calculadas não se combinam exatamente no tempo. Esse é um problema que 
precisa ser superado e pode ser inconveniente em certos cálculos. Para 
superá-lo, o método frequentemente usado para calcular a velocidade é 
denominado de método da primeira diferença central, que emprega a diferença 
nas posições entre dois quadros como o numerador. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-14, a mostrar uma 
Ilustração da localização no tempo da velocidade calculada usando: (A) método 
tradicional sobre um intervalo de tempo único; (B) método da primeira diferença 
central. 
 
 
[340] 
 
O denominador no cálculo de velocidade é a mudança no tempo em dois 
intervalos de tempo. A fórmula para esse método é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
v x i = x i+1-x i-1 sobre 2 Δ delta t 
para a componente horizontal 
v y i = y i+ 1-y i-1 sobre 2 Δ delta t 
para componente vertical 
 
 Isto significa que a velocidade no quadro i é calculada usando a posição 
seguinte no quadro i + 1 e a posição anterior no quadro i - 1. Usando 2 Δ delta 
t, a velocidade calculada ocorre no mesmo momento que no quadro i já que 
este é o ponto médio do intervalo de tempo. Por exemplo, para calcular a 
velocidade no quadro 5, são usados os dados nos quadros 4 e 6. Se o tempo 
no quadro 4 é 0,0501s e no quadro 6 é 0,0835s, a velocidade calculada usando 
este método deve ocorrer no tempo 0.0668s ou no quadro 5 (FIGURA 8-14B). 
 Do mesmo modo, para calcular a velocidade no quadro 3 são usadas as 
posições nos quadros 2 e 4. Como o intervalo de tempo entre os dois quadros 
é o mesmo, a mudança no tempo pode ser duas vezes Δ delta t. Para calcular 
a velocidade horizontal no tempo do quadro 13, pode ser usada a seguinte 
equação: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
v x13 = x14 - x12 sobre t14 - t12 
 
 A localização da velocidade calculada pode ser em t 13 subscrito ou no 
mesmo ponto no tempo que o quadro 13. Usando este método de computação 
os dados de posição e velocidade ficam exatamente alinhados no tempo. 
Assume-se que os intervalos de tempo entre os quadros de dados seja 
constante. Como já foi salientado, isso é o que geralmente ocorre nos estudos 
biomecânicos. 
 O método da primeira diferença central usa os dados colocados antes e 
depois do ponto em que a velocidade é calculada. Um problema que pode 
surgir é que ficarão faltando dados no início e no final da sequência de vídeo. 
Isso significa que tanto a velocidade no início quanto a velocidade no final da 
sequência precisará ser estimada ou algum outro meio precisará ser usado 
para avaliar a velocidade nesses pontos. Um método simples é digitalizar 
alguns quadros antes e alguns quadros após o evento que termina o 
movimento. Ao digitalizar uma passada, por exemplo, o primeiro contato do pé 
direito com o solo seria coletado como o evento inicial para nossa sequência de 
vídeo. Nesse caso, pelo menos um quadro antes desse evento deveria ser 
digitalizado para calcular a velocidade no momento do contato do pé direto. 
Similarmente, se o evento final da sequência fosse o contato subsequente do 
pé direito, pelo menos um quadro além desse evento deveria ser digitalizado 
para calcular a velocidade no final do evento. Na prática, os biomecânicos 
geralmente digitalizam vários quadros antes do evento inicial e vários quadros 
após o evento final da sequência. 
 
Exemplo Numérico 
Os dados a seguir representam o movimento vertical de um objeto em um 
intervalo de tempo de 0,167 segundo. Nesta série de dados, a velocidade da 
câmera era de 60 quadros por segundo de modo que Δ delta t era 1/60s ou 
0,0167s. O objeto inicia em repouso, move-se primeiramente no sentido vertical 
ascendente por 0.1002s e depois descendente além da posição inicial antes de 
retornar a ela. A TABELA 8-1 mostra o tempo em cada quadro, a posição 
vertical para cada quadro e a velocidade calculada para cada quadro. 
 Usando a fórmula do método da primeira diferença central, se a 
velocidade no tempo para o quadro 3 for calculada, o resultado será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
v y3 = y4-y2 sobre t4-t2 
=0,27 m -0,15 m sobre 0,0501s -0,0167s 
=3,59m /s 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a figura 8-15., a mostrar o perfil posição-
tempo (A) e perfil velocidade-tempo (B) dos dados da TABELA 8-1. 
 
[341] 
 
 Como outro exemplo, se a velocidade no tempo para o quadro 9 for 
calculada, o resultado será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
V y9 = y10-y8 sobre t10-t8 
= -0,22 m -(-0,26 m) sobre 0,1503s -0,1169s 
=1,20 m /s 
 
 A FIGURA 8-15 é um gráfico dos perfis de posição e velocidade deste 
movimento. Cada uma dessas velocidades calculadas representa a inclinação 
da linha reta representando o quanto houve de mudança de posição dentro 
daquele intervalo de tempo ou a velocidade média naquele intervalo de tempo. 
Note que quando as posições mudam rapidamente a inclinação da curva de 
velocidade torna-se mais acentuada, quando a posição muda menos 
rapidamente a inclinação é menos acentuada. 
 
Velocidade Instantânea 
 Mesmo usando o método da primeira diferença central, a velocidade 
média em um intervalo de tempo é computada. Em alguns casos, é necessário 
calcular a velocidade em um momento particular no tempo. Quando essa 
velocidade é calculada, ela é chamada de velocidade instantânea. Se a 
mudançano tempo, Δ delta t, torna-se cada vez menor, a velocidade calculada 
será a velocidade média durante um intervalo de tempo muito mais breve. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-16 a mostrar a inclinação 
da secante a é a velocidade média no intervalo de tempo t1 a t4. A inclinação da 
secante b é a velocidade média no intervalo de tempo t2 a t3. A inclinação da 
tangente é a velocidade instantânea no intervalo de tempo t1 quando o intervalo 
de tempo é tão pequeno que se considera como zero. 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a tabela 8.1 constituída por 4 colunas e 
por 12 linhas com a seguinte informação Cálculo da velocidade a partir de um 
grupo de dados posição-tempo. 
Quadro Tempo (s) Posição Vertical 
(y) (m) 
Velocidade (vy) 
(m /s) 
1 0,0000 0,00 0,00 
2 0,0167 0,15 6,59 
3 0,0334 0,22 3,59 
4 0,0501 0,27 2,40 
5 0,0668 0,30 -2,10 
6 0,0835 0,20 -8,98 
7 0,1002 0,00 -13,77 
8 0,1169 -0,26 -8,98 
9 0,1336 -0,30 1,20 
10 0,1503 -0,22 8,98 
11 0,1670 0,00 0,00 
O valor calculado, então, se aproximará da velocidade em um momento 
particular no tempo. No processo de tornar o intervalo de tempo 
progressivamente menor, Δ delta t eventualmente aproxima-se de zero. Em um 
ramo da matemática denominado cálculo, esse resultado é chamado limite. Um 
limite ocorre quando a mudança no tempo aproxima-se de zero. O conceito de 
limite é ilustrado graficamente na FIGURA 8-16. Se a velocidade é calculada no 
intervalo de tempo de t1 a t2, como se faz usando o método da primeira 
diferença central, é calculada a inclinação de uma linha chamada secante. Uma 
linha secante intersecciona uma linha curva em dois pontos da curva. 
 
[342] 
 
A inclinação dessa secante é a velocidade média no intervalo de tempo t1 a t2 
Porém, quando a mudança no tempo torna-se muito pequena e aproxima-se de 
zero, a linha inclinada toca a curva em somente um ponto. Essa linha inclinada 
é uma linha tangente à curva ou uma linha que toca a curva somente em um 
ponto. A inclinação da tangente representa a velocidade instantânea já que o 
intervalo de tempo é muito pequeno, tendo efeito de zero. 
 A velocidade instantânea, assim, é a inclinação de uma linha tangente até 
a curva posição-tempo. Em cálculo, a velocidade instantânea é expressa como 
limite. O numerador em um limite é representado por dx ou dy, significando 
uma pequena mudança nas posições horizontal ou vertical, respectivamente. O 
denominador é chamado de dt, significando uma mudança muito pequena no 
tempo. Para os casos horizontal e vertical, as fórmulas para velocidade 
instantânea expressa como limite são: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
limite vx = dx sobre dt 
dt ->0 
limite v y = d y sobre dt 
dt ->0 
 
 Para a velocidade horizontal instantânea, lê-se dx/dt ou o limite de vx 
quando dt aproxima-se de zero. É também conhecido como derivada de x com 
respeito a t. Similarmente, a velocidade vertical instantânea, dy/dt, é o limite de 
Vy na medida em que dt aproxima-se de zero ou da derivada de y com respeito 
a t. 
Exemplo Gráfico 
 É possível fazer um gráfico de uma estimativa do formato de uma curva 
de velocidade com base no formato do perfil posição-tempo. A capacidade para 
fazer isso é crítica para demonstrar nossa compreensão dos conceitos 
discutidos anteriormente. Dois desses conceitos serão usados para construir o 
gráfico: 1) o conceito de inclinação e 2) o conceito de vértice. O ponto no qual 
uma curva muda de direção (quando atinge um máximo ou um mínimo) é 
chamado de vértice. A inclinação nesse ponto é zero, assim a derivada da 
curva naquele ponto no tempo será zero (FIGURA 8-17). Ou seja, quando a 
posição muda de direção, a velocidade no ponto de mudança de direção será 
instantaneamente zero. 
 Na FIGURA 8-18A a posição horizontal de um objeto é assinalada como 
uma função do tempo. Os vértices, que são pontos nos quais a curva muda de 
direção, são indicados como P1, P2, e P3. Nesses pontos a velocidade, por 
definição, será zero. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-17,coma seguinte legenda: 
Ilustração de vértices (inclinação = 0) em um gráfico posição-tempo. 
 
Se a curva de velocidade precisa ser construída na mesma linha de tempo, 
esses pontos podem ser projetados para a linha de tempo de velo-* cidade 
sabendo que a velocidade nesses pontos será zero. As inclinações de cada 
seção da curva posição-tempo são 1) positiva; 2) negativa; 3) positiva e 4) 
negativa. A partir do começo do movimento até o vértice P1, o objeto moveu-se 
em uma direção positiva, porém no vértice P1 a velocidade era zero. A curva 
de velocidade correspondente nesta seção precisa aumentar positivamente e, 
então, tornar-se menos positiva, assim retornando a zero. Na seção 2 da curva 
posição-tempo, a inclinação é negativa, indicando que a velocidade deve ser 
negativa. Os vértices P1 e P2, contudo, indicam que a velocidade nesses 
pontos será zero. Assim, na seção 2 a curva de velocidade correspondente 
inicia-se em zero, aumenta negativamente e torna-se menos negativa, 
retornando a zero em P2. Do mesmo modo, a forma da curva de velocidade 
pode ser gerada para as seções 3 e 4 sobre a curva de posição (FIGURA 8-
18B). 
Aceleração 
 No movimento humano a velocidade de um corpo ou de um segmento 
corporal raramente é constante. A velocidade muda continuamente pelo 
movimento. Mesmo quando a velocidade é constante, ela pode ser vista assim 
somente quando feita uma média durante um intervalo amplo de tempo. Por 
exemplo, em uma corrida de longa distância, o corredor pode correr distâncias 
consecutivas de 300 m em 65s, indicando uma velocidade constante em cada 
trecho. Uma análise detalhada, contudo, revelará que o corredor, na verdade, 
aumentou e diminuiu a velocidade, mantendo constante a média durante os 
300 m. 
 
[343] 
 
De fato tem sido mostrado que corredores diminuem sua velocidade e depois 
aumentam durante cada contato de cada pé com o solo (1). Se a velocidade 
muda continuamente, parece-nos que essas variações na velocidade devem 
ser descritas. Além disso, a frequência com que cada velocidade muda pode 
estar relacionada com as forças que causam o movimento. 
 A mudança de velocidade em relação ao tempo é chamada de 
aceleração. No uso diário, aceleração significa aumento de velocidade. Em um 
carro quando o acelerador é pisado, a velocidade escalar do carro aumenta. 
Quando se tira o pé do acelerador, a velocidade escalar do carro diminui. Nos 
dois exemplos a direção do carro não é levada em conta já que a velocidade é 
um escalar. Aceleração, contudo, refere-se tanto ao aumento quanto à 
diminuição nas velocidades vetoriais. Como velocidade é um vetor, a 
aceleração também precisa ser um vetor. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-18 com uma ilustração 
gráfica da (A) curva posição-tempo e (B) curva velocidade-tempo respectiva 
desenhadas usando os conceitos de vértices e inclinações. 
 
 A aceleração, geralmente designada pela letra minúscula a, pode ser 
determinada por: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a = mudança de velocidade sobre mudança no tempo 
De um modo geral a aceleração é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a =velocidade final - velocidade inicial sobre tempo na posição final - tempo na 
posição inicial 
=mudança na velocidade sobre mudança no tempo 
=Δ delta v sobre Δ delta t 
 
 
 
[344] 
 
 As unidades da aceleração são a unidade de velocidade (m /s) dividida 
pela unidade do tempo (s) resultando em m /s/s ou m /s ao quadrado. 
aceleração = velocidade (m /s) sobre tempo (s) 
 Essa é a unidade de aceleração mais comum usada em biomecânica. 
 Como aceleração representa a mudança de velocidade comrelação ao 
tempo, os conceitos relativos à velocidade também se aplicam à aceleração. 
Assim, aceleração pode ser representada como uma inclinação indicando a 
relação entre velocidade e tempo. Sobre um gráfico velocidade-tempo, o 
declive e direção da inclinação indicam se a aceleração é positiva, negativa ou 
zero. Além disso, a aceleração instantânea pode ser definida como um modelo 
que faz analogia com a velocidade instantânea. A aceleração instantânea pode 
ser definida como a inclinação de uma linha tangente com um gráfico 
velocidade-tempo ou como um limite: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
limite a x=dv x sobre dt - para aceleração horizontal 
dt -> 0 
limite a y = dv y sobre dt - para aceleração vertical 
dt - > 0 
 
 O termo dv refere-se a uma mudança na velocidade. A aceleração 
horizontal é o limite de vx à medida que dt aproxima-se de zero e a aceleração 
vertical é o limite de vy à medida que dt aproxima-se de zero. 
 O método da primeira diferença central também é usado para calcular a 
aceleração em muitos estudos biomecânicos. O uso desse método significa 
que a aceleração calculada associa-se com um tempo no movimento onde uma 
velocidade calculada e um ponto digitalizado estão também associados. A 
fórmula da primeira diferença central para cálculo de aceleração é análoga à do 
cálculo de velocidade: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a xi=VX i+1 - VX i-1 sobre 2 Δ delta t - para o componente horizontal 
a yi=Vy i+1 - Vy i-1 sobre 2 Δ delta t - para o componente vertical 
 
 
 Por exemplo, para calcular a aceleração no quadro 7, devem ser usados 
os valores de velocidade nos quadros 8 e 6, e duas vezes o intervalo de tempo 
entre quadros individuais. 
 
Exemplo Numérico 
 Os dados de velocidade previamente calculados a partir dos dados na 
TABELA 8-1 representando os dados da posição vertical (y) de um objeto 
serão usados para ilustrar o método da primeira diferença central em cálculos 
de aceleração. A TABELA 8-2 apresenta o tempo em cada quadro, a posição 
vertical, a velocidade vertical e a aceleração vertical calculada para cada 
quadro. 
 Para calcular a aceleração no tempo do quadro 4, a conta é a seguinte: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a y4 = v5-v3 sobre t5-t3 
=-2,10 m /s -3,59 m /s sobre 0,0668s -0,0334s 
= -170,36 m /s ao quadrado 
 
 Como outro exemplo, para calcular a aceleração no tempo do quadro 8 a 
conta é a seguinte: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a y8 = v9 - v7 sobre t9 -t7 
=1,20 m /s -13,77 m /s sobre 0,1336s -0,1002s 
= 448,20 m /s ao quadrado 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a TABELA 8-2, constituída por 5 colunas 
e por 12 linhas, a mostrar o Cálculo da aceleração a partir de um grupo de 
dados velocidade-tempo. 
Quadro Tempo (s) Posição Vertical 
(y) (m) 
Velocidade 
(v y) (m /s) 
Aceleração (a y) (m /s 
ao quadrado) 
1 0,0000 0,00 0,00 0,0000 
2 0,0167 0,15 6,59 107,49 
3 0,0334 0,22 3,59 -125,45 
4 0,0501 0,27 2,40 -170,36 
5 0,0688 0,30 -2,10 -340,72 
6 0,0835 0,20 -8,98 -349,40 
7 0,1002 0,00 -13,77 0,00 
8 0,1169 -0,26 -8,98 448,20 
9 0,1336 -0,30 1,20 537,72 
10 0,1503 -0,22 8,98 -35,93 
11 0,1670 0,00 0,00 0,00 
 
[345] 
 
 A FIGURA 8-19 é um gráfico dos perfis de velocidade e aceleração do 
movimento completo. Observe que na medida em que a velocidade aumenta 
rapidamente, a inclinação da curva de aceleração toma-se mais acentuada, e à 
medida que a velocidade muda menos rapidamente, a inclinação fica menos 
acentuada. 
Exemplo Gráfico 
 Previamente, foi colocada em gráfico uma estimativa da forma da relação 
entre posição e velocidade usando os conceitos de inclinação e vértices. É 
também possível colocar em um gráfico a estimativa da forma de uma curva de 
aceleração baseada na forma do perfil velocidade-tempo. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-19, a mostrar o perfil 
velocidade-tempo (A) e perfil aceleração-tempo (B) para a TABELA 8-2. 
 
 
[346] 
 
Novamente são usados os dois conceitos de inclinação e vértice, dessa vez 
sobre um gráfico velocidade-tempo. A FIGURA 8-20A representa a velocidade 
horizontal dos dados apresentados previamente na FIGURA 8-18. Os vértices 
da curva de velocidade nos quais a curva muda de direção são indicados como 
V1 e V2. Nesses pontos a aceleração é zero. Construindo a curva de 
aceleração na mesma linha de tempo que a curva de velocidade, a ocorrência 
desses vértices a partir da linha de tempo da curva de velocidade pode ser 
projetada para a linha de tempo de aceleração. 
 As inclinações de cada seção da curva velocidade-tempo são 1) até V1, 
negativa: 2) de V1 para V2, positiva; e 3) além de V2, negativa. A curva de 
velocidade até V1, tem uma inclinação negativa, mas a curva atinge o vértice 
em V1. A curva de aceleração correspondente dessa seção (FIGURA 8-20B) é 
negativa, mas torna-se zero no vértice V1. Entre V1 e V2 a curva de velocidade 
tem uma inclinação positiva. A curva de aceleração entre esses pontos no 
tempo iniciará com um valor zero no tempo correspondente a V1, tornando-se 
mais positiva e eventualmente retornando para zero no tempo correspondente 
a V2. A mesma lógica pode ser usada para descrever a construção do restante 
da curva de aceleração. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-20, a mostrar uma 
ilustração gráfica da relação entre uma curva velocidade-tempo e uma curva 
aceleração-tempo usando os conceitos de vértices e inclinações. 
 
Aceleração e Direção do Movimento 
 Um fator que complica a compreensão do significado de aceleração 
relaciona-se com a direção do movimento de um objeto. O termo "acelerado" é 
geralmente usado para indicar um aumento na velocidade e o termo 
"desacelerado" para descrever uma diminuição de velocidade. Esses termos 
são satisfatórios quando o objeto que está sendo considerado está se movendo 
na mesma direção continuamente. Mesmo que a velocidade e, desse modo, a 
aceleração mudem, a direção na qual o objeto está seguindo pode não mudar. 
Por exemplo, um corredor em uma corrida de 100m larga a partir do repouso 
ou de uma velocidade zero. Quando a corrida inicia, o corredor aumenta a 
velocidade até o ponto de 70m da corrida, assim mudando sua velocidade para 
algum valor bem maior que no repouso e sua aceleração sendo positiva. Após 
a marca de 70m, sua velocidade pode não mudar por certo período da corrida, 
resultando em aceleração zero. Após o corredor cruzar a linha de chegada, ele 
reduz sua velocidade, resultando em aceleração negativa. Eventualmente, o 
corredor vai para o repouso, ponto no qual sua velocidade iguala-se a zero. 
Durante a corrida, o corredor moveu-se na mesma direção, mas teve 
acelerações positivas, zero e negativas. Assim observa-se que a aceleração 
pode ser considerada como independente da direção do movimento. 
 Considere um atleta completando uma corrida de ida e volta (shuttle run), 
que consiste em correr 10m afastando-se da posição inicial e, em seguida, 
correr 10m de volta para a posição inicial. As duas seções dessa corrida estão 
ilustradas na FIGURA 8-21. A primeira seção de 10m da corrida pode ser 
considerada uma corrida em direção positiva. O corredor, correndo em direção 
positiva, aumenta sua velocidade e, então, na medida em que se aproxima do 
ponto de retorno, precisa diminuir sua velocidade positiva. Assim o corredor 
apresenta uma aceleração positiva seguida por uma aceleração negativa. No 
ponto de retorno, o corredor, agora correndo em direção negativa, aumenta sua 
velocidade negativa. Na medida em que se aproxima da linha de chegada, 
precisa diminuir sua velocidade negativa de modo a ter uma aceleração 
positiva. Assim,como as acelerações negativa e positiva ocorrem em direções 
positiva e negativa, pode-se observar que a aceleração independe da direção 
do movimento. 
 Na FIGURA 8-22 estão representados o perfil de velocidade horizontal 
idealizado e o perfil de aceleração horizontal correspondente para a atividade 
descrita acima (shuttle run). De t0 até t2 a velocidade é positiva porque a 
mudança na posição foi constantemente para longe do eixo y. Além disso, a 
inclinação da curva de velocidade de t0 para t1 é positiva, indicando uma 
aceleração positiva, enquanto a inclinação da curva de velocidade de t1 até t2 é 
negativa, resultando em uma aceleração negativa. Assim, tanto a aceleração 
positiva quanto a negativa podem ocorrer sem que o objeto mude de direção. 
De t2 para t4, a velocidade é negativa porque o objeto moveu-se para trás em 
direção ao eixo y ou ao ponto de referência. A inclinação da curva de 
velocidade de t2 para t3 é negativa, indicando uma aceleração negativa. 
 
[347] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-21, a mostrar o movimento 
para a direita é considerado positivo e para a esquerda é considerado negativo. 
A velocidade positiva e negativa baseia-se na direção do movimento. A 
aceleração pode ser positiva, negativa ou zero com base na mudança de 
velocidade. 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-22, a mostrar a relação 
gráfica entre aceleração e direção de movimento durante a corrida de ida e 
volta (shuttle run) (t2 aponta quando o corredor mudou de direção). 
 
 
Contudo, a inclinação da curva de velocidade de t3 para t4 é positiva, resultando 
em uma aceleração positiva. Novamente, mesmo que a direção não tenha 
mudado, as acelerações resultantes foram positiva e negativa. 
 Deve-se observar que se a velocidade final for maior que a velocidade 
inicial, a aceleração será positiva. Por exemplo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a = v f - v i sobre t f - t i 
=10 m /s -3 m /s sobre 3s -1s 
= 7 m /s sobre 2s 
= 3,5 m /s ao quadrado 
 
Se, contudo, a velocidade final é menor que a velocidade inicial, a aceleração é 
negativa. Por exemplo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a = v f - v i sobre t f - t i 
= 4 m /s -10 m /s sobre 5s -3s 
= -6 m /s sobre 2s 
= -3 m /s ao quadrado 
 
 
[348] 
 
 No primeiro caso considera-se que o objeto está sendo acelerado, e no 
segundo caso, desacelerado. Esses termos tornam-se confusos, contudo, 
quando o objeto realmente muda de direção. Para evitar confusões, é melhor 
que os termos "aceleração" e "desaceleração" sejam evitados e que seja 
encorajado o uso dos termos aceleração positiva e negativa. 
Diferenciação e Integração 
 Até aqui descrevemos uma análise cinemática com base em um processo 
no qual os dados de posição são reunidos primeiro. Quando a velocidade é 
calculada a partir da combinação de deslocamento e tempo ou quando a 
aceleração é calculada a partir da combinação de velocidade e tempo, o 
processo matemático envolvido é chamado diferenciação. A solução do 
processo de diferenciação é chamada derivada. Uma derivada é simplesmente 
a inclinação de uma linha, seja secante ou tangente, em função do tempo. 
Assim, quando a velocidade é calculada a partir de posição e tempo, a 
diferenciação é o método usado para calcular a derivada de posição. A 
velocidade é chamada derivada de deslocamento e tempo. Também, a 
aceleração é a derivada de velocidade e tempo. 
 Em certas situações, contudo, podem ser coletados dados de aceleração. 
A partir desses dados, as velocidades e posições podem ser calculadas com 
base em um processo que é oposto àquele de diferenciação. Esse processo 
matemático é conhecido como integração. Integração é geralmente chamada 
de anti-diferenciação. O resultado do processo de integração é chamado de 
integral. A velocidade, então, é a integral de tempo da aceleração. A equação à 
seguir descreve a afirmação acima: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte equação: 
v = t2 “s” alongado t1 a dt 
 
 A leitura desta expressão é que velocidade é a integral de aceleração do 
tempo 1 até o tempo 2. Os termos t1 e t2 definem os pontos de início e final 
nos quais a velocidade é avaliada. Do mesmo modo, posição é a integral de 
velocidade e é expressa como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte equação: 
s = t2 “s” alongado t1 v dt 
 
O significado de integral não é tão óbvio como o de derivada, contudo. O 
processo de integração requer cálculo da área sob uma curva velocidade-
tempo para calcular o deslocamento médio ou a área sob uma curva 
aceleração-tempo para calcular a velocidade média. O sinal de integração, é 
um "s" alongado e indica a soma de áreas entre o tempo t1 e o tempo t2. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
t2 “s” alongado t1 
 
A FIGURA 8-23 ilustra o conceito de área sob a curva. Para fins de ilustração, 
foram desenhados dois retângulos representando uma aceleração constante 
de 3m/s2 para um período de 6s na primeira porção da curva e uma aceleração 
constante de 7m/s2 para um período de 2s. Para calcular a área de um 
retângulo, calcula-se o produto do comprimento vezes a largura. Assim, a área 
sob o primeiro retângulo é 3m/s2 vezes 6s ou 18m/s. No segundo retângulo, a 
área é 7m/s2 vezes 2s ou 14m/s. A área total é 32m/s. 
 A área sob uma curva aceleração-tempo é a mudança na velocidade no 
intervalo de tempo. Isso pode ser demonstrado por uma análise das unidades 
ao calcular a área sob a curva. Por exemplo, tomar a área sob uma curva 
aceleração-tempo envolve multiplicar um valor de aceleração por um valor de 
tempo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Área sob a curva = aceleração * tempo 
= m sobre s2 * s 
= m sobre s*s * s 
= m/s 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
23. Uma curva aceleração-tempo imaginária. A área A equivale a 3m/s2 * 6s ou 
18m/s. Isso representa a mudança de velocidade em um intervalo de tempo de 
0s até 6s. A mudança na velocidade para a área B é 14m/s. 
 
 
[349] 
 
 A área sob a curva deve ter unidades de velocidade. Assim, uma medida 
de velocidade é a área sob uma curva aceleração-tempo. Essa área representa 
a mudança na velocidade no intervalo de tempo em questão. Do mesmo modo, 
a mudança no deslocamento é a área sob uma curva velocidade-tempo. 
 As curvas velocidade-tempo ou aceleração-tempo geralmente não formam 
retângulos como nos exemplos anteriores e, assim, o cálculo integral não é tão 
simples. A técnica geralmente usada é chamada somatória de Riemann e 
depende do tamanho do intervalo de tempo, dt. Se dt for pequeno o suficiente, 
o que geralmente ocorre no estudo cinemático, a integral ou área sob a curva 
pode ser calculada pela soma progressiva do produto de cada ponto de dado 
ao longo da curva e dt. Por exemplo, se a curva a ser integrada é uma curva 
horizontal velocidade-tempo, então a integral iguala a mudança na posição. Se 
a curva velocidade-tempo horizontal é constituída de pontos de 30 dados cada 
um separado 0,005s, a integral será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
t30 “s” alongado t1 v xi dt = ds 
 
e para encontrar a área sob a curva: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
ds = soma 30 i=1 (v xi * dt) 
 
 O cálculo da somatória de Riemann geralmente dá uma estimativa 
excelente da área sob a curva. 
Cinemática da Corrida 
 A análise cinemática descreve as posições, velocidades e acelerações 
dos corpos em movimento. É um dos tipos mais básicos de análise que pode 
ser conduzida, pois é usada somente para descrever o movimento sem 
referênciaàs causas do movimento. Os dados cinemáticos são geralmente 
coletados usando câmeras de vídeo de alta velocidade e os quadros de vídeo 
são digitalizados para gerar as posições dos segmentos do corpo. Para ilustrar 
as análises cinemáticas em biomecânica, será usado como exemplo o estudo 
da locomoção humana. As formas de locomoção humana mais estudadas são 
a caminhada e a corrida. Como existem numerosos artigos de pesquisa sobre 
cinemática do andar, esta discussão irá se limitar somente à cinemática da 
corrida. 
 Nas duas formas locomotoras de movimento, as ações do corpo são 
cíclicas, envolvendo seqüências nas quais o corpo é suportado primeiro por 
uma perna e depois pela outra. Essas seqüências são definidas por certos 
parâmetros. Parâmetros típicos como passada e passo estão representados na 
FIGURA 8-24. Um ciclo locomotor ou passada é definido pelos eventos nessas 
seqüências. Uma passada é definida a partir de um evento sobre uma perna 
até o mesmo evento sobre a mesma perna no contato seguinte. Geralmente 
um evento tal como o primeiro instante do contato do pé irá definir o início de 
uma passada. Por exemplo, uma passada poderia ser definida desde o contato 
do calcanhar do membro direito até o contato de calcanhar subseqüente do 
membro direito. A passada é ainda subdividida em passos. Um passo é uma 
porção da passada desde um evento que ocorre em uma perna até o mesmo 
evento ocorrendo na perna oposta. Por exemplo, um passo poderia ser definido 
como o contato do pé no membro direito até o contato do pé no membro 
esquerdo. Assim, dois passos equivalem a uma passada. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
24. Ilustração dos parâmetros da passada durante o andar. 
 
 
[350] 
 
 O comprimento da passada e freqüência da passada estão entre os 
parâmetros cinemáticos comumente estudados. A distância coberta por uma 
passada é o comprimento da passada e o número de passadas por minuto é a 
freqüência da passada. A velocidade da corrida é o resultado da relação entre 
freqüência da passada e comprimento da passada. Ou seja: 
Velocidade (escalar) da corrida = comprimento da passada * freqüência da 
passada 
 Os corredores podem aumentar sua velocidade de corrida aumentando o 
comprimento da passada ou a freqüência da passada, ou aumentando os dois. 
 Numerosos estudos abordam essa relação à medida que a velocidade da 
corrida aumenta de um trote lento para alta velocidade na corrida de velocidade 
(2, 3, 4, 5). Esses estudos têm mostrado que ocorre um aumento tanto na 
freqüência quanto no comprimento da passada com o aumento de velocidade. 
Isto está ilustrado na FIGURA 8-25. Para velocidades acima de 7m/s os 
aumentos têm sido relatados como lineares, enquanto em velocidades mais 
altas ocorre um incremento menor no comprimento da passada e um 
incremento maior na freqüência da passada. Isso indica que quando dão o 
máximo em corridas de velocidade, os corredores aumentam sua velocidade 
aumentando sua freqüência de passada mais que seu comprimento de 
passada. Um corredor aumenta inicialmente sua velocidade aumentando o 
comprimento de sua passada. Contudo, existe um limite físico de quanto um 
indivíduo pode aumentar o comprimento de sua passada. Para correr mais 
rápido, desse modo, o corredor precisa, então, aumentar a freqüência de sua 
passada. 
 A passada da corrida pode ainda ser subdividida nas fases conhecidas 
como suporte ou apoio e não apoio ou balanceio. A fase de suporte ou apoio 
ocorre quando o pé está em contato com o solo, ou seja, a partir do ponto do 
contato do pé até deixar o solo. Durante o apoio, o ponto no qual o centro de 
massa do corredor está diretamente sobre a base de apoio é denominado de 
apoio médio. A fase de não apoio ou balanceio ocorre desde o ponto em que o 
pé deixa o solo até o mesmo pé fazer contato com o solo novamente. Tem sido 
também relatado que, à medida que aumenta a velocidade da corrida, o tempo 
para um ciclo de corrida diminui (6). Além disso, o tempo absoluto e o tempo 
relativo (uma porcentagem do tempo total da passada) gasto sem suporte 
diminui à medida que a rapidez da corrida aumenta (1, 7). Mudanças típicas no 
tempo relativo variam de 68% no trote para 54% na corrida moderada e 47% 
na corrida rápida (curta distância). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
25. Mudanças no comprimento da passada e na freqüência da passada como 
função da velocidade da corrida. (Luhtanen, P. & Komi, P. V. Mechanical 
factors influencing running speed. In Biomechanics VI-B. Editado por E. 
Asmussen & K. Jorgensen. Baltimore, University Park Press, 1973.) 
 
 
[351] 
 
 A velocidade do corredor durante a corrida também tem sido estudada 
pelos biomecânicos. Em vários casos, os corredores são considerados como 
pontos únicos e não é levado em consideração o movimento dos braços e 
pernas como unidades individuais. Com o passar dos anos, vários 
pesquisadores têm tentado medir a curva de velocidade de um corredor 
durante uma corrida de velocidade (8). A. V. Hill, que mais tarde ganhou o 
Prêmio Nobel de Fisiologia, propôs um modelo matemático simples para 
representar a curva de velocidade e pesquisas subseqüentes confirmaram 
esse modelo (FIGURA 8-26). A maioria dos corredores se ajusta relativamente 
de acordo com esse modelo. No início da corrida a velocidade do corredor é 
zero. A velocidade aumenta rapidamente primeiro, mas depois cai para um 
valor constante. Isso significa que o corredor acelera rapidamente primeiro, 
mas que a aceleração diminui em direção ao final da corrida. O corredor 
velocista não pode aumentar a velocidade indefinidamente pela corrida. De 
fato, o vencedor de uma corrida de velocidade é geralmente o corredor cuja 
velocidade diminui pelo menos no final da corrida. Em um estudo de mulheres 
corredoras de velocidade (9), foi relatado que as corredoras atingiam sua 
velocidade máxima entre 23 e 27m em uma corrida de 100m. Foi também 
relatado que essas corredoras perdiam em média 7,3% de sua velocidade 
máxima nos últimos 10m da corrida. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
26. Representação gráfica do modelo matemático proposto por Hill de uma 
curva de velocidade em uma corrida de velocidade. (Brancazio, P. J. Sport 
Science. New York, Simon and Schuster, 1984.) 
 
 A velocidade instantânea mais rápida de um corredor durante uma corrida 
ainda não foi medida durante competições. A velocidade média, contudo, pode 
ser prontamente calculada. Carl Lewis, durante seu desempenho para a 
medalha de ouro no Campeonato Mundial em Roma em 1991, cobriu 100m em 
9,85s com uma velocidade média de 10,15m/s ou uma velocidade equivalente 
a 22,7 milhas/hora. 
 Ao calcular a velocidade média em uma corrida, é importante lembrar que 
essa não foi a velocidade do corredor em cada momento da corrida. Durante 
uma corrida, um corredor toca o solo numerosas vezes e é importante observar 
o que ocorre com a velocidade horizontal durante esses contatos com o solo. A 
velocidade horizontal de um corredor durante a fase de apoio da passada da 
corrida está representada na FIGURA 8-27 com base em um estudo de Bates 
et al. (1). Uma análise de corredores nesse estudo indicou que a velocidade 
horizontal diminuiu imediatamente no contato com o solo e continuou a diminuir 
durante a primeira porção do período de apoio. A medida que a perna do 
corredor está se estendendo na porção final do período de apoio, a velocidade 
aumenta. O gráfico correspondente aceleração-tempo de um corredor durante 
a fase de apoio (FIGURA 8-27B) mostra acelerações negativas e positivas 
distintas. Pode ser visto que o corredor instantaneamente tem uma aceleração 
zero durante a fase de apoio, representando a transição de uma aceleração 
negativa para uma aceleração positiva. Isso resulta na diminuiçãoda rapidez 
do corredor durante a primeira porção do apoio e aumento da rapidez na 
porção final. Para manter uma velocidade média constante, o corredor precisa 
ganhar o máximo de rapidez na porção final da fase de apoio para contrapor o 
que foi perdido na primeira porção. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
27. Mudanças na (A) velocidade e (B) aceleração durante a fase de apoio de 
uma passada na corrida. (Bates, B.T., Osternig, L.R. & Mason, B. R. Variations 
of velocity within the support phase of running. In J. Terauds & G. Dales (eds.). 
Science in Athletics. Del Mar, Academic Publishers, 1979.) 
 
Movimento de Projétil 
 Previamente, foram discutidas situações que surgem quando objetos 
sofrem uma mudança na velocidade. Existem, contudo, circunstâncias 
especiais quando a freqüência de mudança na velocidade é constante. Se a 
mudança na velocidade permanece a mesma, a inclinação e, assim, a 
aceleração, é zero. 
 
[352] 
 
Essa situação ocorre no movimento de projétil. Movimento de projétil refere-se 
ao movimento de corpos que foram projetados no ar. Esse tipo de movimento 
ocorre em muitas atividades como beisebol, saltos ornamentais, patinação 
artística, basquete, golfe e vôlei. Professores, treinadores e atletas que fazem 
essas atividades devem ter algum conhecimento dos fatores que influem no 
movimento de projéteis. 
 Quando não existem outras forças agindo sobre um corpo, a força da 
gravidade sobre um projétil resulta em aceleração constante. A aceleração 
devido à gravidade é de aproximadamente 9,81m/s2 no nível do mar e resulta 
da atração de duas massas - a Terra e o objeto. Somente a gravidade e a 
resistência do ar agem sobre um objeto quando este está se movendo no ar 
sem assistência. Objetos nessa situação são chamados projéteis. A gravidade 
acelera uniformemente um projétil em direção à superfície da Terra e a 
resistência do ar retarda seu progresso. Deve ser observado, contudo, que 
nem todos os objetos que voam pelo ar são projéteis. Objetos como aviões não 
são projéteis, pois são também influenciados pelas forças de seus motores. 
 Para a discussão a seguir, contudo, a resistência do ar pode ser 
desconsiderada já que é relativamente pequena quando comparada à 
gravidade. Dependendo do projétil, podem ser levantadas diferentes questões 
cinemáticas. Por exemplo, no salto à distância ou arremesso de peso, o 
deslocamento horizontal é crítico. No salto em altura ou salto com vara, 
contudo, o deslocamento vertical precisa ser maximizado. Em biomecânica, é 
importante compreender a natureza do movimento de projétil. 
Trajetória de um Projétil 
 O percurso que um projétil descreve no ar é chamado de trajetória 
(FIGURA 8-28A). O instante no qual um objeto se torna um projétil - como 
quando um lançador solta a bola de beisebol - é conhecido como instante de 
liberação. A gravidade age continuamente para mudar o movimento de um 
objeto assim que ele é liberado. Se a gravidade não agisse sobre o projétil, ele 
continuaria seu percurso indefinidamente com a mesma velocidade que tinha 
quando foi liberado (FIGURA 8-28B). No espaço, quando uma nave espacial 
está fora da tração gravitacional da Terra, um pequeno impulso do motor da 
nave resulta em mudança na velocidade. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
28. (A) Trajetória parabólica de um projétil; (B) a via a representa a trajetória de 
um projétil sem a influência da gravidade enquanto que a via b é a trajetória 
com a ação da gravidade. A via b forma uma trajetória parabólica. 
 
 
[353] 
 
Quando o motor pára de trabalhar, a velocidade naquele instante permanece 
constante, resultando em aceleração zero. Como não há gravidade, a nave 
continua seu percurso nesse caminho até que o motor seja ativado novamente. 
 A trajetória que um projétil segue na ausência de resistência do ar é em 
forma de parábola (FIGURA 8-28A). Uma parábola é uma forma curva que é 
simétrica sobre um eixo pelo seu ponto mais alto. O ponto mais alto de uma 
parábola é chamado de ápice. 
Fatores que Influenciam os Projéteis 
 Existem três fatores primários que influenciam a trajetória de um projétil: o 
ângulo de projeção, a velocidade de projeção e a altura de projeção (FIGURA 
8-29). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
29. Os fatores que influenciam na trajetória de um projétil são: 1) velocidade de 
projeção; 2) ângulo de projeção; e 3) altura da projeção. 
 
 Ângulo de Projeção: O ângulo no qual o objeto é liberado determina a 
forma da trajetória do projétil. Os ângulos de projeção geralmente variam de 0° 
(paralelo ao solo) a 90° (perpendicular ao solo), embora em algumas atividades 
esportivas, como saltos com esqui, o ângulo de projeção seja negativo. Se o 
ângulo de projeção for 0° (paralelo à horizontal), a trajetória toma-se 
essencialmente a metade final de uma parábola, pois possui velocidade vertical 
zero, e é imediatamente influenciado pela gravidade que o puxa para a 
superfície da Terra. Por outro lado, se o ângulo de projeção for 90°, o objeto é 
projetado direto para cima no ar com velocidade horizontal zero. Nesse caso, a 
parábola pode ser tão estreita que forma uma linha reta. 
 
[354] 
 
 Se o ângulo de projeção estiver entre 0° e 90°, a trajetória terá uma forma 
verdadeiramente parabólica. A FIGURA 8-30 mostra trajetórias teóricas para 
um objeto projetado em ângulos de projeção diferentes com a mesma 
velocidade e altura de projeção. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
30. Trajetórias teóricas de um projétil em ângulos diferentes de projeção 
mantendo constante a velocidade de projeção (15,2m/s) e a altura de projeção 
(2,4m). (Broer, M. R. & Zernike, R. F. Efficiency of Human Movement. 4. ed. 
Philadelphia, Saunders College, 1979.) 
 
 O ângulo de projeção ideal para uma dada atividade baseia-se no 
propósito da atividade. Intuitivamente, parece que se alguém tentar saltar sobre 
um objeto relativamente alto como uma barra de salto em altura, seu ângulo de 
projeção será bastante acentuado. Isso foi comprovado já que saltadores em 
altura têm um ângulo de projeção de 40 a 48° usando a técnica Flop de salto 
em altura (12). Porém, quando se tenta saltar na distância horizontal máxima 
como no salto à distância, o ângulo de projeção torna-se bastante pequeno. No 
salto a distância ocorrem ângulos de projeção de 18 a 27° (13). A TABELA 8-3 
ilustra os ângulos de projeção relatados na literatura para várias atividades. 
Ângulos positivos de projeção indicam ângulos maiores que zero grau, em que 
o objeto é projetado acima da horizontal. Ângulos negativos de projeção 
referem-se àqueles menores que zero grau ou abaixo da horizontal. Por 
exemplo, no saque de tênis, o objeto é, na verdade, projetado para baixo a 
partir do ponto de impacto. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma tabela constituída por 3 colunas e 6 
linhas cuja legenda é: TABELA 8-3. Ângulos de projeção usados em atividades 
selecionadas. 
Atividade Ângulo Referência 
mergulho de saída 5° -22° Heusner 14 
salto com esqui -4° Komi et al. 15 
saque no tênis -3o -15° Owens & Lee 16 
disco -35° -15° Terauds 17 
salto em altura (queda) 40° -48° Dapena 12 
 Velocidade de Projeção: A velocidade do projétil no instante de liberação 
determinará a altura e a extensão da trajetória enquanto todos os outros fatores 
forem mantidos constantes. A velocidade resultante da projeção é geralmente 
calculada e dada ao discutir os fatores que influem no projétil. A velocidade 
resultante de projeção é a soma vetorial das velocidades horizontal e vertical. É 
necessário, contudo, enfocar os componentes do vetor velocidade já que estes 
irão ditar a altura da trajetória e a distância que o projétil irá percorrer. Como 
outros

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