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Capítulo 8 - Cinemática linear

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vetores, a velocidade de projeção tem um componente vertical (v y) e um 
componente horizontal (v x). 
 A magnitude da velocidade vertical é reduzida pelo efeito da gravidade 
(9,81m/s para cada segundo de vôo para cima). A gravidade reduz a 
velocidade vertical do projétil até que a velocidade se iguale a zero. Nesse 
ponto, o projétil atinge seu ponto de vôo mais alto. O componente vertical de 
velocidade, desse modo, determina a altura do ápice da trajetória. A velocidade 
vertical é provavelmente aumentada pelo efeito da gravidade na trajetória para 
baixo. Assim, a velocidade vertical afeta a altura que o projétil alcança, o tempo 
que o projétil leva para atingir aquela altura e, conseqüentemente, o tempo de 
retorno para a superfície da Terra (FIGURA 8-31). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
31. Componentes da velocidade de projeção durante o vôo de um projétil. 
 
 O componente horizontal da velocidade de projeção é constante durante a 
trajetória do projétil. Sabe-se que: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte equação: 
v x = dx sobre dt 
 
e rearranjando esta equação: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte equação: 
dx = v x * dt 
 
 Lembrando que dx representa a mudança na posição do projétil durante 
seu vôo, dx é, então, determinado pelo produto da velocidade horizontal e o 
tempo de vôo para aquela posição. A magnitude de dx é a distância que o 
projétil percorre e é chamada de amplitude do projétil. 
 
[355] 
 
Por exemplo, se um projétil é liberado com uma velocidade horizontal de 
13,7m/s, o projétil terá percorrido 13,7m no primeiro segundo, 27,4m após 2 
segundos, 40,1m após 3 segundos e assim por diante. Em outro exemplo, se 
um arremessador de peso libera o peso com uma velocidade horizontal de 
10,5m/s e percorre o ar durante 2,2s, o alcance do arremesso será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Alcance = 10,5m/s * 2,2s 
= 23,1m 
 
 O ângulo de projeção afetará a magnitude relativa dos componentes de 
velocidade horizontal e vertical. Se o ângulo de projeção é 40° e a velocidade 
de projeção é 13,7 m/s, o componente horizontal da velocidade de projeção 
será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v x = velocidade de projeção * cosseno do ângulo de projeção 
= 13,7m/s * cos 40° 
= 10,49m/s 
 
e o componente vertical é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v y = velocidade de projeção * seno do ângulo de projeção 
= 13,7m/s * sen 40° 
= 8,81m/s 
 
 Se o ângulo é alterado para 35°, o componente horizontal torna-se: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v x = 13,7m/s * cos 35° 
= 11,22m/s 
 
e o componente vertical torna-se: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v y = 13,7m/s * sen 35° 
= 7,86m/s 
 
 Para compreender no geral como o ângulo de projeção afeta os 
componentes de velocidade, considere que o cosseno de 0° é 1 e diminui para 
zero à medida que o ângulo aumenta. Se o cosseno do ângulo é usado para 
representar a velocidade horizontal, então a velocidade horizontal diminui à 
medida que o ângulo de projeção aumenta de 0 para 90° (FIGURA 8-32). 
Também, o seno de 0° é zero e aumenta para 1 à medida que o ângulo 
aumenta. Conseqüentemente, se o seno do ângulo é usado para representar a 
velocidade vertical, então a velocidade vertical aumenta à medida que o ângulo 
aumenta de 0 para 90° (FIGURA 8-32). Pode-se ver prontamente que à medida 
que o ângulo aproxima-se de 90°, a velocidade horizontal torna-se menor e a 
velocidade vertical toma-se maior. À medida que o ângulo aproxima-se de 0°, a 
velocidade horizontal fica maior e a velocidade vertical fica menor. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
32. Gráfico dos valores de seno e cosseno em ângulos de 0 a 90°. Observe 
que seno 45° = cosseno 45°. 
 
 Em 45°, contudo, o seno do ângulo equivale ao cosseno do ângulo. Para 
qualquer velocidade dada, a velocidade horizontal equivale à velocidade 
vertical. Pode parecer que 45° seja o ângulo ideal de projeção já que, para 
qualquer velocidade, as velocidades horizontal e vertical equivalem. Isso é 
válido para certas circunstâncias que serão discutidas em relação à altura da 
projeção. Geralmente, se a amplitude máxima do projétil é crítica, então, seria 
apropriado um ângulo para otimizar a velocidade horizontal ou um ângulo 
menor que 45°. Desse modo, em atividades como salto à distância ou 
arremesso de peso, o ângulo ideal de projeção é menor que 45°. Se a altura do 
projétil é importante, deve ser escolhido um ângulo maior que 45°. Isso é o que 
ocorre em atividades como salto em altura. 
 Altura da Projeção: A altura da projeção de um projétil é a diferença 
entre a posição de largada vertical e a posição de aterrissagem vertical. 
Existem três situações que podem ocorrer afetando grandemente a forma da 
trajetória. Em cada caso, a trajetória é parabólica mas o formato da parábola 
pode não ser completamente simétrico; ou seja, a metade inicial da parábola 
pode não ter tamanho igual ao da metade final da parábola. No primeiro caso, 
o projétil é liberado e aterrissa na mesma altura. A forma da trajetória é 
simétrica e assim o tempo que o projétil leva para atingir o ápice a partir do 
ponto de liberação equivale ao tempo que o projétil leva para chegar ao solo a 
partir do ápice. Se uma bola é chutada a partir da superfície de um campo e 
aterrissa sobre a superfície do campo, a altura relativa da projeção é zero e, 
assim, o tempo subindo até o ápice é igual ao tempo descendo do ápice. Na 
segunda situação, o projétil é liberado a partir de um ponto mais alto que a 
superfície sobre a qual ele aterrissa. A parábola é assimétrica com a porção 
inicial até o ápice menor que a porção final. Nesse caso, o tempo para o projétil 
alcançar o ápice é menor que o tempo para alcançar o solo a partir do ápice. 
 
[356] 
 
Por exemplo, se um arremessador de peso libera o peso a partir de uma altura 
de 2,2m acima do solo e o peso aterrissa no solo, a altura da projeção é 2,2m. 
Na terceira situação, o projétil é liberado de um ponto abaixo da superfície em 
que ele aterrissa. Novamente a trajetória é assimétrica, mas agora a porção 
inicial do ápice da trajetória é maior que a porção final. Assim, o tempo que o 
projétil leva para atingir o ápice é maior que o tempo para o projétil atingir o 
solo a partir do ápice. Por exemplo, se uma bola é lançada a partir de uma 
altura de 2,2m e pára em uma árvore em uma altura de 4m, a altura da 
projeção é 1,8m (FIGURA 8-33). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 8-
33. Influência da altura de projeção na forma da trajetória de um projétil. 
 
 Geralmente, quando a velocidade de projeção e o ângulo de projeção são 
mantidos constantes, quanto mais elevada a altura da liberação, mais longo o 
tempo de vôo. Se o tempo de vôo é mais longo, a amplitude é maior. Também 
para máxima amplitude, quando a altura relativa da projeção é zero, o ângulo 
ideal é 45°; quando a altura da projeção fica acima da altura de aterrissagem, o 
ângulo ideal é menor que 45°; e quando a altura da projeção fica abaixo da 
altura de aterrissagem, o ângulo ideal é maior que 45°. 
Aperfeiçoando as Condições de Projeção 
 Para aperfeiçoar as condições para liberação de um projétil, é preciso 
considerar o propósito do projétil. Como já foi discutido, os três fatores 
primários que afetam o vôo de um projétil estão relacionados e afetam tanto a 
altura da trajetória quanto a distância percorrida pelo projétil. Intuitivamente 
parece que tanto a altura até o ápice como a extensão da trajetória são 
afetadas