Capítulo 8 - Cinemática linear

mais íngreme que 
a linha b, indicando que o objeto foi deslocado por uma maior distância por 
unidade de tempo. A linha c ilustra uma inclinação negativa indicando que o 
objeto moveu-se em direção à origem. A linha d mostra uma inclinação zero 
significando que o objeto não deslocou-se nem para perto nem para longe da 
origem naquele intervalo de tempo. As linhas e, e f têm inclinações idênticas, 
mas e tem uma inclinação positiva e f tem inclinação negativa. 
Método da Primeira Diferença Central 
Os dados cinemáticos que foram coletados em certos estudos biomecânicos 
baseiam-se nas posições dos pontos de referência dos segmentos gerados a 
partir de cada quadro do vídeo com um intervalo de tempo baseado na 
velocidade de quadros da câmera. Isto fornece ao biomecânico todas as 
informações necessárias para calcular a velocidade. Contudo, quando se 
calcula a velocidade em um intervalo de tempo, não é gerada velocidade em 
nenhuma ponta do intervalo de tempo; ou seja, não se pode presumir que a 
velocidade calculada ocorra no tempo da posição final nem no tempo da 
posição inicial. A posição de um objeto pode mudar em um período de tempo 
menor que o intervalo de tempo entre os quadros do vídeo. Assim, a 
velocidade calculada entre dois quadros de vídeo representa uma média das 
velocidades em todo o intervalo de tempo entre os quadros. Uma velocidade 
média, desse modo, é usada para estimar a mudança de posição em um 
intervalo de tempo. Essa não é a velocidade no início do intervalo de tempo 
nem a velocidade no final do intervalo de tempo. Se este é o caso, deve haver 
algum ponto no intervalo de tempo entre os quadros em que ocorra a 
velocidade calculada. A melhor estimativa para a ocorrência dessa velocidade 
é no ponto médio do intervalo de tempo. Por exemplo, se a velocidade é 
calculada usando os dados nos quadros 4 e 5, a velocidade calculada pode 
ocorrer no ponto médio do intervalo de tempo entre os quadros 4 e 5 (FIGURA 
8-14A). 
 Se os dados são coletados em 60qps, as posições nos quadros de vídeo 
1, 2, 3, 4 e 5 ocorrem nos tempos Os, 0,0167s, 0,0334s, 0,050 1s e 0,0668s. 
As velocidades calculadas usando esse método ocorrem nos tempos 0,0084s, 
0,0251s, 0,0418s e 0,0585s. Isso significa que após usar a fórmula geral para 
calcular a velocidade, as posições obtidas pelo vídeo e as velocidades 
calculadas não se combinam exatamente no tempo. Esse é um problema que 
precisa ser superado e pode ser inconveniente em certos cálculos. Para 
superá-lo, o método frequentemente usado para calcular a velocidade é 
denominado de método da primeira diferença central, que emprega a diferença 
nas posições entre dois quadros como o numerador. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-14, a mostrar uma 
Ilustração da localização no tempo da velocidade calculada usando: (A) método 
tradicional sobre um intervalo de tempo único; (B) método da primeira diferença 
central. 
 
 
[340] 
 
O denominador no cálculo de velocidade é a mudança no tempo em dois 
intervalos de tempo. A fórmula para esse método é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
v x i = x i+1-x i-1 sobre 2 Δ delta t 
para a componente horizontal 
v y i = y i+ 1-y i-1 sobre 2 Δ delta t 
para componente vertical 
 
 Isto significa que a velocidade no quadro i é calculada usando a posição 
seguinte no quadro i + 1 e a posição anterior no quadro i - 1. Usando 2 Δ delta 
t, a velocidade calculada ocorre no mesmo momento que no quadro i já que 
este é o ponto médio do intervalo de tempo. Por exemplo, para calcular a 
velocidade no quadro 5, são usados os dados nos quadros 4 e 6. Se o tempo 
no quadro 4 é 0,0501s e no quadro 6 é 0,0835s, a velocidade calculada usando 
este método deve ocorrer no tempo 0.0668s ou no quadro 5 (FIGURA 8-14B). 
 Do mesmo modo, para calcular a velocidade no quadro 3 são usadas as 
posições nos quadros 2 e 4. Como o intervalo de tempo entre os dois quadros 
é o mesmo, a mudança no tempo pode ser duas vezes Δ delta t. Para calcular 
a velocidade horizontal no tempo do quadro 13, pode ser usada a seguinte 
equação: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
v x13 = x14 - x12 sobre t14 - t12 
 
 A localização da velocidade calculada pode ser em t 13 subscrito ou no 
mesmo ponto no tempo que o quadro 13. Usando este método de computação 
os dados de posição e velocidade ficam exatamente alinhados no tempo. 
Assume-se que os intervalos de tempo entre os quadros de dados seja 
constante. Como já foi salientado, isso é o que geralmente ocorre nos estudos 
biomecânicos. 
 O método da primeira diferença central usa os dados colocados antes e 
depois do ponto em que a velocidade é calculada. Um problema que pode 
surgir é que ficarão faltando dados no início e no final da sequência de vídeo. 
Isso significa que tanto a velocidade no início quanto a velocidade no final da 
sequência precisará ser estimada ou algum outro meio precisará ser usado 
para avaliar a velocidade nesses pontos. Um método simples é digitalizar 
alguns quadros antes e alguns quadros após o evento que termina o 
movimento. Ao digitalizar uma passada, por exemplo, o primeiro contato do pé 
direito com o solo seria coletado como o evento inicial para nossa sequência de 
vídeo. Nesse caso, pelo menos um quadro antes desse evento deveria ser 
digitalizado para calcular a velocidade no momento do contato do pé direto. 
Similarmente, se o evento final da sequência fosse o contato subsequente do 
pé direito, pelo menos um quadro além desse evento deveria ser digitalizado 
para calcular a velocidade no final do evento. Na prática, os biomecânicos 
geralmente digitalizam vários quadros antes do evento inicial e vários quadros 
após o evento final da sequência. 
 
Exemplo Numérico 
Os dados a seguir representam o movimento vertical de um objeto em um 
intervalo de tempo de 0,167 segundo. Nesta série de dados, a velocidade da 
câmera era de 60 quadros por segundo de modo que Δ delta t era 1/60s ou 
0,0167s. O objeto inicia em repouso, move-se primeiramente no sentido vertical 
ascendente por 0.1002s e depois descendente além da posição inicial antes de 
retornar a ela. A TABELA 8-1 mostra o tempo em cada quadro, a posição 
vertical para cada quadro e a velocidade calculada para cada quadro. 
 Usando a fórmula do método da primeira diferença central, se a 
velocidade no tempo para o quadro 3 for calculada, o resultado será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
v y3 = y4-y2 sobre t4-t2 
=0,27 m -0,15 m sobre 0,0501s -0,0167s 
=3,59m /s 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a figura 8-15., a mostrar o perfil posição-
tempo (A) e perfil velocidade-tempo (B) dos dados da TABELA 8-1. 
 
[341] 
 
 Como outro exemplo, se a velocidade no tempo para o quadro 9 for 
calculada, o resultado será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
V y9 = y10-y8 sobre t10-t8 
= -0,22 m -(-0,26 m) sobre 0,1503s -0,1169s 
=1,20 m /s 
 
 A FIGURA 8-15 é um gráfico dos perfis de posição e velocidade deste 
movimento. Cada uma dessas velocidades calculadas representa a inclinação 
da linha reta representando o quanto houve de mudança de posição dentro 
daquele intervalo de tempo ou a velocidade média naquele intervalo de tempo. 
Note que quando as posições mudam rapidamente a inclinação da curva de 
velocidade torna-se mais acentuada, quando a posição muda menos 
rapidamente a inclinação é menos acentuada. 
 
Velocidade Instantânea 
 Mesmo usando o método da primeira diferença central, a velocidade 
média em um intervalo de tempo é computada. Em alguns casos, é necessário 
calcular a velocidade em um momento particular no tempo. Quando essa 
velocidade é calculada, ela é chamada de velocidade instantânea. Se a 
mudança