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Capítulo 9 - Cinemática Angular

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um salto triplo com patins requer que o patinador faça três 
revoluções e meia no ar. O patinador completa uma rotação de 1260°. Essa 
unidade de medida é útil em descrições qualitativas de movimentos como 
aqueles feitos na patinação artística, ginástica olímpica e saltos ornamentais, 
mas não é útil em análises quantitativas. 
 Enquanto o grau é a medida mais comumente compreendida, e a 
revolução é a mais comumente usada, a unidade mais apropriada para medida 
angular em biomecânica é o radiano. Um radiano é definido como a medida de 
um ângulo no centro de um círculo descrito por um arco igual ao comprimento 
do raio do círculo (FIGURA 9-4C). Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta = s sobre r = 1 radiano 
 
onde θ teta = o ângulo que equivale a 1 radiano, s = arco de comprimento r, e r 
= raio do círculo. Como tanto s quanto r têm unidades de comprimento (m), as 
unidades no numerador e denominador cancelam uma à outra, ficando o 
radiano sem dimensão. 
 Em cálculos subseqüentes, o radiano não é considerado na determinação 
de unidades do resultado do cálculo. Os graus têm uma dimensão e precisam 
ser incluídos na unidade do produto de qualquer cálculo. E necessário, desse 
modo. usar o radiano como uma unidade de medida angular em vez do grau 
em qualquer cálculo que envolva movimento angular porque o radiano não tem 
dimensão. Um radiano equivale a 57,3°. Para converter um ângulo em graus 
para radianos, divida o ângulo em graus por 57,3°. Por exemplo, 72° em 
radianos é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
72° = 72° sobre 57,3° = 1,26 rad 
 
 Para converter radianos para graus, simplesmente multiplique o ângulo 
em radianos por 57,3°. Por exemplo, 0,67 radiano em graus é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
0,67 rad = 0,67 rad * 57,3 = 38,4° 
 
 A medida angular em radianos é geralmente determinada em múltiplos de 
pi (π pi = 3,1416). Como há 2 π pi radianos em um círculo completo, 180° pode 
ser representado como π pi radianos, 90° como π pi/2 e assim por diante. 
 Embora a unidade de medida angular no sistema SI seja o radiano e essa 
unidade deva ser usada em cálculos futuros, os conceitos de movimento 
angular apresentados no restante deste capítulo utilizarão o grau para facilitar a 
compreensão. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
4. Unidades de medida angular: (A) revolução; (B) linhas perpendicular e reta; 
(C) radiano. 
 
Tipos de Ângulos 
Ângulo Relativo 
 Dois tipos de ângulos são geralmente calculados em biomecânica. O 
primeiro ângulo é chamado de ângulo relativo (FIGURA 9-5A). Esse ângulo 
define o ângulo incluído entre o eixo longitudinal de dois segmentos. Por 
exemplo, o angulo relativo no cotovelo descreve a quantidade de flexão ou 
extensão na articulação. Ângulos relativos, contudo, não descrevem a posição 
de segmentos ou os lados do ângulo no espaço. Se um indivíduo tem um 
ângulo relativo de 90° no cotovelo e esse ângulo é mantido, o braço pode ficar 
em qualquer posição (FIGURA 9-5B). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
5. (A) Ângulo relativo do cotovelo; (B) o mesmo ângulo do cotovelo com braço 
e antebraço em posições diferentes. 
 
 Os ângulos relativos podem ser calculados usando a Lei dos Cossenos. 
Essa lei é simplesmente um caso mais geral do Teorema de Pitágoras e 
descreve a relação entre os lados de um triângulo. Para nossos propósitos, o 
triângulo é constituído por dois segmentos (b e c) e uma linha (a) unindo a 
ponta distai de um segmento com a ponta proximal do outro (FIGURA 9-6). 
 Na FIGURA 9-6 são dados os pontos coordenados para dois segmentos 
descrevendo a coxa e a perna. Para calcular o ângulo relativo no joelho (θ 
teta), os comprimentos a, b e c podem ser calculados usando a relação de 
Pitágoras. 
 
[372] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a = raiz quadrada (x h -x a)
2 + (y h -y a)
2 
= raiz quadrada (1,14 -1,09)2 + (0,80 -0,09)2 
= raiz quadrada 0,0025 + 0,5041 
= 0,71 
 
b = raiz quadrada (x h -x k)
2 + (y h -y k)
2 
= raiz quadrada (1,14 -1,22)2 + (0,80 -0,51)2 
= raiz quadrada 0,0064 + 0,0841 
= 0,30 
 
c = raiz quadrada (x k -x a)
2 + (y k -y a)
2 
= raiz quadrada (1,22 -1,09)2 + (0,51 -0,09)2 
= raiz quadrada 0,0169 + 0,1764 
= 0,44 
 
 
[373] 
 
 O passo seguinte é o de substituir esses valores na equação da Lei dos 
Cossenos e resolvê-la para o cosseno do ângulo θ teta. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a2 = b2 + c2 -2*b*c*cos θ teta 
0,71 2 = 0,30 2 + 0,44 2 -2*0,30*0,44*cos θ teta 
cos θ teta = 0,30 2 + 0,44 2 -0,71 2 sobre 2*0,30*0,44 
cos θ teta = 0,09 + 0,19 -0,50 sobre 0,26 
cos θ teta = -0,833 
 
 Para encontrar o ângulo θ teta, o ângulo cujo cosseno é -0,833 pode ser 
determinado usando ou tabelas trigonométricas (Apêndice D) ou uma 
calculadora com funções trigonométricas. Esse é o processo conhecido como 
encontrar o cosseno inverso, e é escrito do seguinte modo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta = cos -1 -0,833 
θ teta = 146,4° 
 
 Desse modo, o ângulo relativo no joelho é 146,4°. Neste caso, o joelho 
está levemente fletido (180° representando extensão completa). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
6. Pontos coordenados descrevendo o centro articular do quadril, joelho e 
tornozelo e o ângulo relativo do joelho (θ teta). 
 
Ângulo Absoluto 
 O outro tipo de ângulo calculado em biomecânica é o ângulo absoluto. Um 
ângulo absoluto é o ângulo de inclinação de um segmento do corpo. Esse tipo 
de ângulo descreve a orientação do segmento no espaço. Existem duas 
convenções primárias para calcular ângulos absolutos. Uma envolve colocar 
um sistema de coordenadas na extremidade proximal de um segmento. O 
ângulo é, então, medido em sentido horário a partir da horizontal direita. A 
convenção mais freqüentemente usada para calcular ângulos absolutos, 
contudo, coloca um sistema de coordenadas na extremidade distal do 
segmento (FIGURA 9-7). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
7. Ângulos absolutos de: (a) braço, (b) tronco, (c) coxa e (d) perna de um 
corredor. 
 
O ângulo usado nessa convenção é também medido em sentido horário a partir 
da horizontal direita. Os ângulos absolutos calculados usando essas duas 
convenções são relacionados e dão informações que podem ser comparadas. 
Quando se calcula ângulos absolutos, contudo, a convenção usada precisa ser 
claramente anunciada. 
 Os ângulos absolutos são calculados usando a relação trigonométrica de 
tangente. A tangente é definida com base nos lados de um triângulo retângulo. 
É a relação do lado oposto do ângulo em questão e o lado adjacente ao 
ângulo. O ângulo em questão não é o ângulo reto do triângulo. Se 
considerarmos as posições coordenadas do mesmo segmento de perna e coxa 
como na FIGURA 9-6, podemos calcular os ângulos absolutos tanto do 
segmento da coxa quanto da perna (FIGURA 9-8). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
8. Ângulos absolutos da coxa e perna do modo definido em um sistema de 
coordenadas. 
 
 Para calcular o ângulo absoluto da perna, os valores das coordenadas 
das extremidades do segmento da perna são substituídos na fórmula para 
definir a tangente do ângulo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
tan θ teta perna = y proximal -y distal sobre x proximal -x distal 
= y joelho -y tornozelo sobre x joelho -x tornozelo 
= 0,51 -0,09 sobre 1,22 -1,09 
= 0,42 sobre 0,13 
= 3,23 
 
 Em seguida, o ângulo