Capítulo 9 - Cinemática Angular

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Hamill, Joseph, 1946- - Bases biomecânicas do movimento humano. São 
Paulo: Editora Manole, 1999. Capítulo 9, p. 368-393. 
 
Notas prévias: 
Produzido pelos Serviços de Biblioteca, Informação Documental e Museologia 
da Universidade de Aveiro. 
Organização da paginação: topo da página, entre parêntesis retos. 
Lista de abreviaturas e respetivo desdobramento: 
m - metros 
m/s - metros por segundo 
s - segundo(s) 
rad - radianos 
rad/s - radianos por segundo 
°/s - graus por segundo 
i.e. - isto é 
graus/s2 - graus por segundo ao quadrado 
rad/s2 - radianos por segundo ao quadrado 
m/s2 - metros por segundo ao quadrado 
SI - Sistema Internacional 
cos - cosseno 
 
[368] 
 
Capítulo 9 - Cinemática Angular 
I. Medida dos Ângulos 
A. Unidades de Medida 
1. grau 
2. revolução 
3. radiano 
II. Tipos de Ângulos 
A. Ângulo Relativo 
1. lei dos cossenos 
2. cosseno inverso 
B. Ângulo Absoluto 
1. tangente de um ângulo 
2. tangente inversa 
III. Representação de Vetores de Movimento Angular 
IV. Movimento Angular 
A. Distância e Deslocamento Angular 
B. Velocidade Angular 
C. Aceleração Angular 
V. Ângulos Articulares dos Membros Inferiores 
A. Ângulos do Plano Sagital 
B. Ângulos do Retropé 
VI. Relação entre Movimentos Angulares e Lineares 
A. Deslocamento Angular e Linear 
1. raio de rotação 
B. Velocidade Linear e Angular 
1. velocidade tangencial 
C. Aceleração Linear e Angular 
1. aceleração tangencial 
2. aceleração centrípeta ou radial 
VII. Diagramas Ângulo-Ângulo 
VIII. Cinemática Angular da Corrida 
IX. Resumo do Capítulo 
 
[369] 
 
Objetivos do Estudante 
 Após ler este capítulo, o estudante será capaz de: 
1. Distinguir entre movimento linear, angular e geral. 
2. Determinar ângulos relativos e absolutos. 
3. Determinar a direção dos vetores de movimento angular. 
4. Discutir a relação entre quantidades cinemáticas angulares de distância e 
deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular. 
5. Discutir as convenções para o cálculo de ângulos do membro inferior. 
6. Discutir a relação entre movimento angular e linear, particularmente as 
relações entre deslocamento angular e linear, velocidade angular e linear, e 
aceleração angular e linear. 
7. Interpretar diagramas ângulo-ângulo. 
8. Discutir estudos de pesquisa selecionados que têm sido usados na 
abordagem cinemática angular. 
9. Resolver problemas quantitativos que empregam princípios de cinemática 
angular. 
 O movimento angular ocorre quando todas as partes do corpo se movem 
pelo mesmo ângulo mas não realizam o mesmo deslocamento linear. A 
subdivisão da cinemática que trata com o movimento angular é chamada de 
cinemática angular. A cinemática angular é a descrição do movimento angular 
sem importar-se com as causas do movimento. Considere uma roda de 
bicicleta como exemplo (FIGURA 9-1). Pegue qualquer ponto próximo do 
centro da roda e qualquer ponto próximo da beira da roda. Quando a roda gira, 
o ponto próximo à beira realiza um deslocamento linear maior que o ponto 
próximo do centro. Assim, a roda está fazendo uma rotação. O movimento da 
roda é denominado movimento angular. 
 Movimento angular ocorre sobre um eixo de rotação que é uma linha 
perpendicular ao plano onde ocorre a rotação. Por exemplo, a roda da bicicleta 
gira sobre seu eixo que é o eixo de rotação. O eixo da roda é perpendicular ao 
aro da roda que descreve o plano de rotação (FIGURA 9-1). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
1. Uma roda de bicicleta como exemplo de movimento de rotação. Os pontos 
A, B e C passam pela mesma quantidade de rotação, mas com deslocamentos 
lineares diferentes, sendo o deslocamento do ponto C o maior. 
 
 Uma compreensão do movimento angular é crítica para compreender 
como alguém se move. Quase todo o movimento humano envolve as rotações 
de segmentos do corpo. Os segmentos giram sobre os centros articulares que 
formam os eixos de rotação para esses segmentos. Quando um indivíduo se 
move, os segmentos geralmente fazem tanto rotação quanto translação. 
Quando ocorre uma combinação de rotação e translação, chama-se a isso de 
movimento geral. A FIGURA 9-2 ilustra a combinação de movimentos lineares 
e rotatórios. Um ginasta faz translação quando se move através do solo. Ao 
mesmo tempo, o ginasta faz também rotação. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
2. Uma ginasta fazendo uma "estrela" como exemplo de movimento geral. A 
ginasta faz simultaneamente translação e rotação. 
 
Medida dos Ângulos 
 Um ângulo é composto de duas linhas que intersecionam um ponto 
chamado vértice. Na análise biomecânica, as linhas que se intersecionam são 
geralmente segmentos corporais. Se você considerar o eixo longitudinal do 
segmento da perna como sendo um lado de um ângulo e o eixo longitudinal do 
segmento da coxa como sendo o outro lado, o vértice seria do centro articular 
do joelho. Os ângulos podem ser determinados a partir dos mesmos pontos 
coordenados que foram descritos no Capítulo 8. Os pontos coordenados 
descrevendo os centros articulares determinam os lados e o vértice do ângulo. 
Por exemplo, um ângulo no joelho pode ser construído usando os segmentos 
de coxa e perna. Os pontos coordenados descrevendo os centros da 
articulação do tornozelo e joelho definem o segmento da perna, enquanto os 
pontos coordenados descrevendo os centros da articulação do quadril e do 
joelho definem o segmento da coxa. O vértice do ângulo é o centro da 
articulação do joelho. 
 
[370] 
 
 A definição de um segmento colocando marcadores no indivíduo sobre os 
centros articulares constitui-se uma pressuposição tecnicamente incorreta. É 
incorreto pressupor que o centro articular no vértice do ângulo não muda 
durante o movimento. Devido às assimetrias na forma das superfícies 
articuladoras na maioria das articulações, um ou ambos os ossos que 
constituem a articulação podem se deslocar um em relação ao outro. Por 
exemplo, apesar de o joelho ser geralmente considerado uma articulação em 
dobradiça, ele não o é. Na articulação do joelho, os côndilos mediai e lateral 
são assimétricos, fazendo com que a tíbia rode em seu eixo longo e sobre um 
eixo que passa no joelho de frente para trás na medida em que o joelho se 
flexiona e estende. A localização do centro articular, desse modo, muda 
durante qualquer movimento do joelho. O centro de rotação de uma articulação 
em um instante no tempo é denominado centro articular instantâneo (FIGURA 
9-3). É difícil localizar esse eixo de rotação que se move a menos que sejam 
usadas técnicas especiais como as medidas feitas com raio x. Essas medidas 
não são práticas na maioria das situações: assim, é feita uma pressuposição 
do centro articular instantâneo estático. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
3. Centro de rotação instantâneo do joelho. (Nordin, M. & Frankel, V.H. (eds). 
Biomechanics of the Musculoskeletal System (2a ed.). Philadelphia: Lea & 
Febiger, 1979.) 
 
Unidades de Medida 
 No movimento angular, existem três unidades usadas para medir ângulos. 
É importante usar as unidades corretas para que o biomecânico comunique 
claramente os resultados de seu trabalho, e para comparar valores de um 
estudo com outro. É também essencial usar as unidades corretas porque as 
medidas de ângulo podem ser usadas para cálculos adicionais. A primeira 
medida, que é a mais comumente usada, é o grau (°). Um círculo descrevendo 
uma rotação completa transcreve um arco de 360° (FIGURA 9-4A). Um ângulo 
de 90°, por exemplo, resulta em lados que são perpendiculares entre si. Uma 
linha reta tem um ângulo de 180° (FIGURA 9-4B). 
 
[371] 
 
 A segunda unidade de medida descreve o número de rotações ou 
revoluções sobre um círculo (FIGURA 9-4A). Uma revolução é um único giro de 
360°. Por exemplo,um salto triplo com patins requer que o patinador faça três 
revoluções e meia no ar. O patinador completa uma rotação de 1260°. Essa 
unidade de medida é útil em descrições qualitativas de movimentos como 
aqueles feitos na patinação artística, ginástica olímpica e saltos ornamentais, 
mas não é útil em análises quantitativas. 
 Enquanto o grau é a medida mais comumente compreendida, e a 
revolução é a mais comumente usada, a unidade mais apropriada para medida 
angular em biomecânica é o radiano. Um radiano é definido como a medida de 
um ângulo no centro de um círculo descrito por um arco igual ao comprimento 
do raio do círculo (FIGURA 9-4C). Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta = s sobre r = 1 radiano 
 
onde θ teta = o ângulo que equivale a 1 radiano, s = arco de comprimento r, e r 
= raio do círculo. Como tanto s quanto r têm unidades de comprimento (m), as 
unidades no numerador e denominador cancelam uma à outra, ficando o 
radiano sem dimensão. 
 Em cálculos subseqüentes, o radiano não é considerado na determinação 
de unidades do resultado do cálculo. Os graus têm uma dimensão e precisam 
ser incluídos na unidade do produto de qualquer cálculo. E necessário, desse 
modo. usar o radiano como uma unidade de medida angular em vez do grau 
em qualquer cálculo que envolva movimento angular porque o radiano não tem 
dimensão. Um radiano equivale a 57,3°. Para converter um ângulo em graus 
para radianos, divida o ângulo em graus por 57,3°. Por exemplo, 72° em 
radianos é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
72° = 72° sobre 57,3° = 1,26 rad 
 
 Para converter radianos para graus, simplesmente multiplique o ângulo 
em radianos por 57,3°. Por exemplo, 0,67 radiano em graus é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
0,67 rad = 0,67 rad * 57,3 = 38,4° 
 
 A medida angular em radianos é geralmente determinada em múltiplos de 
pi (π pi = 3,1416). Como há 2 π pi radianos em um círculo completo, 180° pode 
ser representado como π pi radianos, 90° como π pi/2 e assim por diante. 
 Embora a unidade de medida angular no sistema SI seja o radiano e essa 
unidade deva ser usada em cálculos futuros, os conceitos de movimento 
angular apresentados no restante deste capítulo utilizarão o grau para facilitar a 
compreensão. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
4. Unidades de medida angular: (A) revolução; (B) linhas perpendicular e reta; 
(C) radiano. 
 
Tipos de Ângulos 
Ângulo Relativo 
 Dois tipos de ângulos são geralmente calculados em biomecânica. O 
primeiro ângulo é chamado de ângulo relativo (FIGURA 9-5A). Esse ângulo 
define o ângulo incluído entre o eixo longitudinal de dois segmentos. Por 
exemplo, o angulo relativo no cotovelo descreve a quantidade de flexão ou 
extensão na articulação. Ângulos relativos, contudo, não descrevem a posição 
de segmentos ou os lados do ângulo no espaço. Se um indivíduo tem um 
ângulo relativo de 90° no cotovelo e esse ângulo é mantido, o braço pode ficar 
em qualquer posição (FIGURA 9-5B). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
5. (A) Ângulo relativo do cotovelo; (B) o mesmo ângulo do cotovelo com braço 
e antebraço em posições diferentes. 
 
 Os ângulos relativos podem ser calculados usando a Lei dos Cossenos. 
Essa lei é simplesmente um caso mais geral do Teorema de Pitágoras e 
descreve a relação entre os lados de um triângulo. Para nossos propósitos, o 
triângulo é constituído por dois segmentos (b e c) e uma linha (a) unindo a 
ponta distai de um segmento com a ponta proximal do outro (FIGURA 9-6). 
 Na FIGURA 9-6 são dados os pontos coordenados para dois segmentos 
descrevendo a coxa e a perna. Para calcular o ângulo relativo no joelho (θ 
teta), os comprimentos a, b e c podem ser calculados usando a relação de 
Pitágoras. 
 
[372] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a = raiz quadrada (x h -x a)
2 + (y h -y a)
2 
= raiz quadrada (1,14 -1,09)2 + (0,80 -0,09)2 
= raiz quadrada 0,0025 + 0,5041 
= 0,71 
 
b = raiz quadrada (x h -x k)
2 + (y h -y k)
2 
= raiz quadrada (1,14 -1,22)2 + (0,80 -0,51)2 
= raiz quadrada 0,0064 + 0,0841 
= 0,30 
 
c = raiz quadrada (x k -x a)
2 + (y k -y a)
2 
= raiz quadrada (1,22 -1,09)2 + (0,51 -0,09)2 
= raiz quadrada 0,0169 + 0,1764 
= 0,44 
 
 
[373] 
 
 O passo seguinte é o de substituir esses valores na equação da Lei dos 
Cossenos e resolvê-la para o cosseno do ângulo θ teta. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a2 = b2 + c2 -2*b*c*cos θ teta 
0,71 2 = 0,30 2 + 0,44 2 -2*0,30*0,44*cos θ teta 
cos θ teta = 0,30 2 + 0,44 2 -0,71 2 sobre 2*0,30*0,44 
cos θ teta = 0,09 + 0,19 -0,50 sobre 0,26 
cos θ teta = -0,833 
 
 Para encontrar o ângulo θ teta, o ângulo cujo cosseno é -0,833 pode ser 
determinado usando ou tabelas trigonométricas (Apêndice D) ou uma 
calculadora com funções trigonométricas. Esse é o processo conhecido como 
encontrar o cosseno inverso, e é escrito do seguinte modo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta = cos -1 -0,833 
θ teta = 146,4° 
 
 Desse modo, o ângulo relativo no joelho é 146,4°. Neste caso, o joelho 
está levemente fletido (180° representando extensão completa). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
6. Pontos coordenados descrevendo o centro articular do quadril, joelho e 
tornozelo e o ângulo relativo do joelho (θ teta). 
 
Ângulo Absoluto 
 O outro tipo de ângulo calculado em biomecânica é o ângulo absoluto. Um 
ângulo absoluto é o ângulo de inclinação de um segmento do corpo. Esse tipo 
de ângulo descreve a orientação do segmento no espaço. Existem duas 
convenções primárias para calcular ângulos absolutos. Uma envolve colocar 
um sistema de coordenadas na extremidade proximal de um segmento. O 
ângulo é, então, medido em sentido horário a partir da horizontal direita. A 
convenção mais freqüentemente usada para calcular ângulos absolutos, 
contudo, coloca um sistema de coordenadas na extremidade distal do 
segmento (FIGURA 9-7). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
7. Ângulos absolutos de: (a) braço, (b) tronco, (c) coxa e (d) perna de um 
corredor. 
 
O ângulo usado nessa convenção é também medido em sentido horário a partir 
da horizontal direita. Os ângulos absolutos calculados usando essas duas 
convenções são relacionados e dão informações que podem ser comparadas. 
Quando se calcula ângulos absolutos, contudo, a convenção usada precisa ser 
claramente anunciada. 
 Os ângulos absolutos são calculados usando a relação trigonométrica de 
tangente. A tangente é definida com base nos lados de um triângulo retângulo. 
É a relação do lado oposto do ângulo em questão e o lado adjacente ao 
ângulo. O ângulo em questão não é o ângulo reto do triângulo. Se 
considerarmos as posições coordenadas do mesmo segmento de perna e coxa 
como na FIGURA 9-6, podemos calcular os ângulos absolutos tanto do 
segmento da coxa quanto da perna (FIGURA 9-8). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
8. Ângulos absolutos da coxa e perna do modo definido em um sistema de 
coordenadas. 
 
 Para calcular o ângulo absoluto da perna, os valores das coordenadas 
das extremidades do segmento da perna são substituídos na fórmula para 
definir a tangente do ângulo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
tan θ teta perna = y proximal -y distal sobre x proximal -x distal 
= y joelho -y tornozelo sobre x joelho -x tornozelo 
= 0,51 -0,09 sobre 1,22 -1,09 
= 0,42 sobre 0,13 
= 3,23 
 
 Em seguida, o ângulocuja tangente é 3,23 é novamente determinado 
usando tabelas trigonométricas (Apêndice D) ou uma calculadora. 
 
[375] 
 
A isso chamamos encontrar a tangente inversa, e escrevemos assim: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta perna = tan -1 3,23 
= 72,8° 
 
 O ângulo absoluto da perna, desse modo, é 72,8° a partir da horizontal 
direita. Essa orientação indica que perna está posicionada de tal modo que o 
joelho está mais à frente a partir do eixo vertical (y) do sistema de coordenadas 
que o tornozelo. Ou seja, a articulação do joelho está à direita da articulação do 
tornozelo. 
 Similarmente, para calcular o ângulo da coxa, os valores coordenados são 
substituídos assim: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
tan θ teta coxa = y quadril -y joelho sobre x quadril -x joelho 
= 0,80 -0,51 sobre 1,14 -1,22 
= 0,29 sobre -0,08 
= -3,625 
 
 Novamente, o ângulo cuja tangente é -3,625 é determinado do seguinte 
modo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta coxa = tan -1 -3,625 
= 105,4° 
 
 Se considerarmos um sistema de coordenadas com a origem na 
articulação do joelho, um ângulo maior que 90° e menor que 180° não ficará no 
primeiro quadrante, mas no segundo. Se o ângulo for maior que 180° e menor 
que 270°, ficará no terceiro quadrante. Ângulos maiores que 270° e menores 
que 360° ficarão no quarto quadrante. Como o ângulo absoluto da coxa é 
105,4°, o ângulo precisará estar no segundo quadrante. Isso significa que a 
coxa é orientada de modo que a articulação do quadril fica mais próxima do 
eixo vertical (y) do sistema de coordenadas que a articulação do joelho. Nesse 
caso, a coxa se orienta com o joelho para a direita do quadril neste sistema de 
referência. 
 Em situações clínicas, geralmente calcula-se o ângulo relativo. Nas 
análises biomecânicas, contudo, os ângulos absolutos são calculados mais 
freqüentemente que os ângulos relativos porque eles são usados com mais 
freqüência em inúmeros cálculos subseqüentes conduzidos na biomecânica. 
Independente do tipo de ângulo calculado, contudo, é preciso usar um 
esquema de referência coerente. Infelizmente, muitos sistemas diferentes de 
definição de ângulos têm sido usados em biomecânica, resultando em 
dificuldade para comparar valores de estudos diferentes. Várias organizações, 
como a Sociedade Canadense de Biomecânica e a Sociedade Internacional de 
Biomecânica, estão atualmente tentando padronizar o cálculo e representação 
dos ângulos para dar coerência à pesquisa biomecânica. 
Representação de Vetores de Movimento Angular 
 É difícil representar graficamente vetores de movimento angular como 
linhas com setas como era feito na cinemática linear. É essencial, contudo, 
determinar como será dada a direção da rotação. A direção da rotação de um 
vetor de movimento angular é chamada de polaridade do vetor. A polaridade de 
um vetor de movimento angular é determinada por uma convenção conhecida 
como Regra da Mão Direita. A direção de um vetor de movimento angular é 
determinada usando esta regra, colocando os dedos da mão direita fletidos na 
direção da rotação. O vetor de movimento angular é definido por uma seta de 
comprimento apropriado que coincide com a direção do polegar da mão direita 
estendido (FIGURA 9-9). A convenção geralmente usada é que, no plano 
sagital, todos os segmentos que se movem em sentido anti-horário (SAH) a 
partir da horizontal direita têm uma polaridade positiva e todos os segmentos 
rodando em sentido horário (SH) têm uma polaridade negativa. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
9. A Regra da Mão Direita usada para identificar a polaridade da velocidade 
angular de uma patinadora artística durante um giro. Os dedos da mão direita 
apontam na direção da rotação e o polegar direito aponta na direção do vetor 
de velocidade angular. Observe que o vetor de velocidade angular é 
perpendicular ao plano de rotação. 
 
Movimento Angular 
 A relação discutida no Capítulo 8 sobre cinemática linear compara-se à 
que será discutida no caso angular. O caso angular é simplesmente uma 
analogia do caso linear. 
Distância e Deslocamento Angular 
 Os conceitos de distância e deslocamento no caso angular precisam ser 
discernidos. Considere um único pêndulo oscilando no plano x-y através de um 
arco de 70° (FIGURA 9-10). Se o pêndulo oscila através de um arco simples, a 
distância será 70°, mas se ele oscila através de 11,5 arcos, a distância angular 
será 105°. A distância angular é o total de todas as mudanças angulares 
medidas após seu caminho exato. Como no caso linear, contudo, a distância 
angular não é a mesma que no deslocamento angular. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
10. O balanço de um pêndulo ilustrando a distância angular em uma oscilação 
de 1,5 arco. 
 
 Deslocamento angular é a diferença entre as posições inicial e final do 
objeto que rodou (FIGURA 9-11). No exemplo do pêndulo, se o pêndulo oscila 
através de dois arcos completos, o deslocamento angular será zero, já que sua 
posição final será a mesma que a posição inicial. Ao discutir deslocamento 
angular, é necessário designar a direção da rotação. Uma rotação anti-horária 
é considerada positiva (+) e uma rotação horária é considerada negativa (-). 
 Se o ângulo absoluto de um segmento, teta (θ), é calculado para posições 
sucessivas no tempo, o deslocamento angular (Δ θ delta teta) será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Δ θ delta teta = θ teta final -θ teta inicial 
 
 
[376] 
 
 A polaridade ou sinal do deslocamento angular é determinada pelo sinal 
de Δ delta T. conforme calculado e pode ser confirmada pela Regra da Mão 
Direita. 
Velocidade Angular 
 As definições para velocidade escalar angular e velocidade vetorial 
angular são análogas às da velocidade escalar linear e velocidade vetorial 
linear, tanto na definição quanto no significado. A velocidade escalar angular é 
a distância angular percorrida por unidade de tempo. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Velocidade escalar angular = distância angular sobre tempo. 
 
 Velocidade escalar angular é uma quantidade escalar e geralmente não 
tem importância crítica na análise biomecânica porque não é usada para 
qualquer cálculo adicional. 
 
[377] 
 
 A velocidade vetorial angular, caracterizada pela letra grega ômega (ω), é 
uma quantidade vetorial que descreve o tempo gasto para mudança da posição 
angular. Se o ângulo medido for θ teta, então a velocidade vetorial angular 
será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
ω ómega = mudança na posição angular sobre mudança no tempo 
= θ teta final -θ teta inicial sobre tempo final -tempo inicial 
= Δ delta θ teta sobre Δ delta t 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
11. Deslocamento angular é a diferença entre a posição final e a posição inicial. 
 
 Se o ângulo inicial de um segmento era 34° no tempo 1,25s e o segmento 
moveu-se para um ângulo de 62° no tempo 1,30s, a velocidade angular será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
ω ómega = Δ delta θ teta sobre Δ delta t 
= 62° -34° sobre 1,30s -1,25s 
= 28° sobre 0,05s 
= 560°/s 
 
 As unidades de velocidade escalar angular e velocidade vetorial angular 
são geralmente apresentadas em graus por segundo (°/s). Contudo, se, como 
já foi observado, qualquer computação futura for feita usando a velocidade 
vetorial angular, as unidades precisarão ser radianos por segundo (rad/s). 
 No exemplo anterior, a velocidade vetorial angular foi calculada durante o 
intervalo de tempo de 1,25sa 1,30s. De acordo com a discussão do capítulo 
anterior, essa velocidade angular pode representar a inclinação de uma 
secante sobre um gráfico posição-tempo angular durante esse intervalo de 
tempo. A velocidade angular instantânea pode representar a inclinação de uma 
tangente em um gráfico posição-tempo angular e pode ser calculada como um 
limite. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
limite ω ómega = d θ teta sobre d t 
d t - > 0 
 
 A velocidade angular é, assim, a primeira derivada da posição angular. 
 Como no caso linear, a direção da inclinação em um perfil ângulo-tempo 
determina se a velocidade angular é positiva ou negativa, e o declive da 
inclinação indica a freqüência de mudança na posição angular. Se θ teta final é 
maior que θ teta inicial, então ω ómega é positiva (i.e., a inclinação é positiva), 
mas se θ teta final é menor que θ teta inicial, ω ómega é negativa (i.e., a inclinação 
é negativa). As duas situações podem ser confirmadas usando a Regra da Mão 
Direita. Se, contudo, não houver mudança no ângulo, a inclinação será zero e 
ω ómega será zero. 
 O método usado para calcular a velocidade em uma série de quadros de 
vídeo de uma análise cinemática é o método da primeira diferença central. 
Esse método calcula a velocidade angular no mesmo instante no tempo no 
qual estão disponíveis dados para posição angular. Para a velocidade angular, 
esta fórmula é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
ω ómega i = θ teta i+1 -θ teta i -1 sobre t i+1 -t i -1 
 
onde θ teta i é o ângulo no tempo t i. 
 
[378] 
 
Aceleração Angular 
 Aceleração angular é a freqüência de mudança da velocidade angular 
com respeito ao tempo e é simbolizada pela letra grega alfa (α). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Aceleração angular = mudança na velocidade angular sobre mudança no 
tempo 
α alfa = ω ómega final - ω ómega inicial sobre tempo final -tempo inicial 
α alfa = Δ delta ω ómega sobre Δ delta t 
 
 Para facilitar a compreensão, os biomecânicos geralmente apresentam 
seus resultados em graus/s2 mas a unidade mais comumente usada para 
aceleração angular é rad/s2. 
 Como no caso linear e com velocidade angular, a aceleração angular é a 
derivada da velocidade angular e representa a inclinação de uma linha, seja 
uma secante ou uma tangente. Se a é a inclinação de uma secante para um 
perfil velocidade angular-tempo, ela representa uma aceleração média durante 
um intervalo de tempo. Se α alfa é a inclinação de uma tangente, a aceleração 
angular instantânea é calculada. Isso implica que a inclinação pode ser positiva 
(ω ómega final é maior que ω ómega inicial), negativa (ω ómega final é menor que 
ω ómega inicial) ou zero (ω ómega final equivale a ω ómega inicial). A direção do 
vetor da aceleração angular pode ser confirmada usando a Regra da Mão 
Direita. A aceleração angular instantânea é calculada através de: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
limite α alfa = d ω ómega sobre d t 
d t - > 0 
 
 Novamente, na análise cinemática, o método usual para calcular 
aceleração angular é o método da primeira diferença central. A fórmula para 
aceleração angular nesse método seria: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
α alfa i = ω ómega i+1 -ω ómega i -1 sobre t i+1 -t i -1 
 
onde ω ómega i é a aceleração angular no tempo t i. 
 Deve ser observado que, como no caso da aceleração linear, o sinal ou 
polaridade da aceleração angular não indica a direção da rotação. Por 
exemplo, uma aceleração angular positiva pode significar um aumento na 
velocidade angular na direção positiva ou uma diminuição na velocidade 
angular na direção negativa. Também uma aceleração angular negativa pode 
indicar uma diminuição na velocidade angular na direção positiva ou um 
aumento na velocidade angular na direção negativa. A FIGURA 9-12 apresenta 
a posição angular, velocidade angular e aceleração angular da flexão do 
cotovelo. Podemos ver que embora o movimento seja somente em uma 
direção, a aceleração angular é tanto positiva quanto negativa. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
12. Representações gráficas de: (A) ângulo de flexão do cotovelo; (B) 
velocidade angular, e (C) aceleração angular como função do tempo. 
 
 
[379] 
 
Ângulos Articulares dos Membros Inferiores 
Ângulos no Plano Sagital 
 Ao discutir o ângulo de uma articulação como a do joelho ou do tornozelo, 
é essencial que seja feita uma representação significativa da ação da 
articulação. Embora, por definição, todos os ângulos articulares sejam relativos, 
os ângulos do membro inferior podem ser calculados usando ângulos absolutos 
e é possível derivar estimativas razoáveis dos segmentos respectivos no 
espaço. Um sistema de convenções para ângulos de membros inferiores foi 
apresentado por Winter (2). Essas definições de ângulos de membros inferiores 
são para uso apenas em análise bidimensional. Essa convenção de ângulos 
para membros inferiores foi mais tarde aceita como padrão pela Sociedade 
Canadense de Biomecânica para uso em estudos do andar. Até agora, nenhum 
outro padrão para análise angular bidimensional foi apresentado. 
 No sistema de Winter são usados pontos digitalizados descrevendo 
tronco, coxa, perna e pé para calcular os ângulos absolutos de cada um 
(FIGURA 9-13). Em uma análise biomecânica como essa, presume-se que está 
sendo analisada uma vista sagital do lado direito. Ou seja, o lado direito do 
corpo do indivíduo está mais próximo da câmara e é considerado como 
estando no plano x-y. Caso contrário, os dados precisam ser convertidos para 
representar uma vista pelo lado direito. Todos os segmentos do membro 
inferior, desse modo, rodam de acordo com a Regra da Mão Direita. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
13. Definição de ângulos absolutos da vista sagital do tronco, coxa, perna e pé. 
(Winter, D.A. The Biomechanics and Motor Control of Gait. Waterloo, Ont., 
Canadá, University of Waterloo Press, 1987.) 
 
 Com base nos ângulos absolutos calculados de tronco e de coxa, o 
ângulo do quadril é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta quadril = θ teta coxa - θ teta tronco 
 
 Neste esquema, se o ângulo do quadril é positivo, a ação no quadril é 
flexão; se o ângulo do quadril é negativo, a ação é extensão. Se o ângulo é 
zero, a coxa e o tronco são alinhados verticalmente em posição neutra. No 
andar humano em passo moderado, o ângulo do quadril oscila ± 20° sobre 0°, 
enquanto na corrida, o ângulo do quadril oscila ± 35°. 
 Usando o ângulo absoluto da coxa e da perna, o ângulo do joelho é 
definido como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta joelho = θ teta coxa -θ teta perna 
 
 Na locomoção humana, o ângulo do joelho é sempre positivo, ou seja, em 
algum grau de flexão, e geralmente varia de 0° a 50° durante uma passada no 
andar e de 0° a 80° durante uma passada na corrida. Como o ângulo do joelho 
é positivo, o joelho fica sempre em algum grau de flexão. Se o ângulo do joelho 
está aumentando progressivamente, o joelho está fletindo, enquanto que se o 
ângulo está se tomando progressivamente menor, o joelho está estendendo. 
Um joelho com ângulo zero encontra-se em posição neutra enquanto um 
ângulo negativo indica hiperextensão do joelho. 
 O ângulo do joelho é calculado usando ângulos absolutos do pé e da 
perna: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta tornozelo = θ teta pé -θ teta perna -90° 
 
 Isto pode parecer um cálculo mais complicado do que os outros ângulos 
articulares no membro inferior. Sem subtrairos 90° adicionais, contudo, o 
ângulo oscila em 90°, tornando a interpretação do ângulo do tornozelo difícil. 
Subtraindo os 90° adicionais, o ângulo do tornozelo oscila em 0°. Assim, um 
ângulo positivo representa dorsiflexão e um ângulo negativo representa flexão 
plantar. O ângulo do tornozelo geralmente oscila em ± 20° durante uma 
passada em ritmo normal e + 35° durante uma passada de corrida. A FIGURA 
9-14 apresenta os ângulos de membros inferiores calculados para uma 
passada de caminhada usando a convenção de Winter. 
 
[380] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
14. Gráficos de: (A) quadril; (B) joelho, e (C) ângulos da articulação do 
tornozelo durante uma passada na caminhada. 
 
Ângulo do Retropé 
 Outro ângulo do membro inferior freqüentemente calculado na análise 
biomecânica é o ângulo do retropé. O movimento na articulação subtalar em 
uma análise bidimensional é considerado como ocorrendo no plano frontal. O 
ângulo do retropé representa o movimento da articulação subtalar. O ângulo do 
retropé, assim, aproxima a eversão e a inversão do calcâneo no plano frontal. 
A eversão/inversão do calcâneo é um dos movimentos que ocorre na ação de 
pronação/supinação da articulação subtalar. Na literatura de pesquisa, a 
eversão do calcâneo é geralmente chamada de pronação, enquanto a inversão 
do calcâneo é chamada de supinação. 
 O ângulo do retropé é calculado usando os ângulos absolutos da perna e 
do calcâneo no plano frontal. São colocados dois marcadores nos segmentos 
sobre a parte posterior da perna para definir o eixo longitudinal da perna. Dois 
marcadores são também colocados sobre o calcâneo (ou na porção de trás do 
calçado) para definir o eixo longitudinal do calcâneo (FIGURA 9-15). Esses 
marcadores são usados para calcular os ângulos absolutos da perna e do 
calcanhar e desse modo o ângulo do retropé é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta RP = θ teta perna -θ teta calcâneo 
 
 Através desse cálculo, um ângulo positivo representa inversão do 
calcâneo, um ângulo negativo representa eversão do calcâneo, e um ângulo 
zero é a posição neutra. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
15. Definição de ângulos absolutos da perna e calcâneo no plano frontal. Esses 
ângulos são usados para estabelecer o ângulo do retropé do pé direito. 
 
 
[381] 
 
 Durante a fase de apoio do ciclo do andar, a posição do retropé, definida 
pelo ângulo do retropé, fica invertida no contato inicial do pé com o solo. Nesse 
instante, o ângulo do retropé é positivo. A partir desse ponto para frente, 
durante o apoio até o meio do apoio, o retropé move-se para uma posição 
evertida. Assim, o ângulo do retropé fica negativo. Na posição de apoio médio, 
o pé fica menos evertido e move-se para uma posição invertida de retirada dos 
artelhos. O ângulo do retropé torna-se menos negativo e eventualmente 
positivo na retirada dos artelhos. A FIGURA 9-16 é uma representação de uma 
curva típica de ângulo de retropé durante a fase de apoio de uma passada de 
corrida. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
16. Um gráfico ângulo-tempo típico do retropé durante a corrida (CP - contato 
do pé; SA - saída dos artelhos). O ângulo máximo do retropé está indicado. 
 
Relação entre Movimentos Angulares e Lineares 
 Em muitos movimentos humanos, o resultado do movimento é linear, 
enquanto os movimentos dos segmentos que constituem o movimento são de 
natureza angular. Por exemplo, um lançador de beisebol lança uma bola que 
faz uma trajetória linear. Contudo, os movimentos dos segmentos do lançador 
que resultam no lançamento são movimentos de rotação. Em muitos casos é 
necessário conhecer o movimento linear da mão que depende do movimento 
angular dos segmentos do membro superior. Este exemplo sugere uma relação 
mecânica entre movimento linear e angular. 
Deslocamento Angular e Linear 
 Quando a medida angular de um ângulo, o radiano, foi definida, observou-
se que: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
θ teta = s sobre r 
 
onde θ teta era o ângulo subentendido por um arco de comprimento s igual ao 
raio do círculo. O comprimento do arco pode ser apresentado como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
s = r θ teta 
 
 Suponha que o antebraço, com comprimento r1, gire sobre a articulação 
do cotovelo (FIGURA 9-17). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
17. Ilustração da relação entre deslocamento linear e angular. 
 
 
[382] 
 
O arco descrito pela rotação - a distância que o punho se move - é Δ delta s 1 e 
o ângulo é Δ delta θ teta. A distância linear que o punho percorre é então 
descrita como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Δ delta s1 = r1 Δ delta θ teta 
 
 Assim, a distância linear que qualquer ponto no segmento se move pode 
ser descrita se forem conhecidos a distância daquele ponto até o eixo de 
rotação e o ângulo através do qual o segmento gira. Suponha que outro ponto 
sobre o braço esteja marcado como s2 com uma distância de r2 até o eixo de 
rotação. A distância que esse ponto percorre durante o mesmo movimento 
angular é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Δ delta s2 = r2 Δ delta θ teta 
 
 Como r1 é mais longo que r2, a distância percorrida por s1 precisa ser 
maior que s2. Assim, os pontos mais distais sobre um segmento percorrem 
uma distância maior que os pontos mais próximos do eixo de rotação. O valor 
para a expressão r é chamado raio de rotação e refere-se à distância de um 
ponto a partir do eixo de rotação. 
 Considere que a mudança no ângulo, Δ delta θ teta, é muito pequena; 
então o comprimento do arco, Δ delta s, pode ser aproximado como uma linha 
reta. Assim, a relação entre deslocamento angular e linear pode ser formulada. 
Ou seja, quando r é o raio de rotação, então: 
deslocamento linear = raio de rotação * deslocamento angular ou 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Δ delta s = r Δ delta θ teta 
 
ou usando cálculo (ou seja, quando d θ teta é muito pequeno) 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
d s = r d θ teta 
 
 Por exemplo, se o segmento do braço de comprimento 0,13m roda sobre 
o cotovelo uma distância angular de 0,23 radiano, a distância linear que o 
punho percorreu é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Δ delta s = r Δ delta θ teta 
Δ delta s = 0,23 rad * 0,13m 
Δ delta s = 0,03m 
 
 Observe que Δ delta s tem uma unidade de comprimento (m) que é a 
unidade correta já que é uma distância linear. Lembre-se que os radianos não 
têm dimensão: assim, radianos vezes metros resulta em unidades de metros. 
Velocidade Linear e Angular 
 A relação entre velocidade linear e angular é similar à relação entre 
deslocamento linear e angular. No exemplo na última seção, foi usado o braço, 
com comprimento r, girando sobre o cotovelo. O deslocamento linear do punho 
é o produto da distância r, o raio de rotação, e o deslocamento angular do 
segmento. Diferenciando esta equação com respeito ao tempo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
d s = r d θ teta 
d s sobre d t = r d θ teta sobre d t 
 
 Assim, a velocidade linear de um ponto sobre um corpo em rotação é o 
produto da distância daquele ponto a partir do eixo de rotação e a velocidade 
angular do corpo. O vetor de velocidade linear nessa expressão é 
instantaneamente tangente ao caminho do objeto e é denominada velocidade 
tangencial ou vT (FIGURA 9-18). Ou seja, o vetor de velocidade linear podecomportar-se como uma tangente, somente tocando a trajetória curva em um 
ponto. O vetor, desse modo, seria perpendicular ao segmento que está 
girando. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
18. Velocidade tangencial de um segmento em rotação em diferentes 
momentos no tempo. Observe que a velocidade tangencial é perpendicular ao 
raio de rotação. 
 
 Por exemplo, se o segmento do braço de comprimento r = 0,13m rodou 
com uma velocidade angular de 2,4rad/s, a velocidade do punho foi: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
vT = r ω ómega 
vT = 0,13m * 2,4rad/s 
vT = 0,31m/s 
 
 Deve ser observado que a velocidade linear tem unidade de m/s que 
resulta nesse exemplo de metros vezes rad/s já que os radianos não têm 
dimensão. 
 A relação entre velocidade linear e angular é crítica em inúmeros 
movimentos humanos, particularmente naqueles nos quais o indivíduo lança ou 
golpeia um objeto. 
 
[383] 
 
Para aumentar a velocidade linear da bola, por exemplo, o jogador de futebol 
pode aumentar a velocidade angular dos segmentos do membro inferior, ou 
aumentar o comprimento do membro estendendo suas articulações, ou ambos, 
para ganhar a máxima amplitude no chute. Para um indivíduo, a principal 
alternativa é aumentar as velocidades angulares desses segmentos. Por 
exemplo, Plagenhoef (3) relatou velocidades do pé antes do impacto de 
16,33m/s a 24,14m/s para vários tipos de chutes de futebol para o mesmo 
indivíduo. Como os comprimentos dos segmentos não mudam 
substancialmente, pode-se afirmar que se a velocidade do pé mudou, então a 
velocidade angular certamente precisa ter variado para cada tipo de chute. 
 Em algumas atividades, contudo, o comprimento r pode mudar. No golfe, 
os tacos têm comprimentos e inclinações de cabeça variados de acordo com a 
distância desejada que a bola deve percorrer (FIGURA 9-19). Por exemplo, o 
ferro-2 é mais longo que o ferro-9 e tem uma inclinação diferente na cabeça, 
com o ferro-9 tendo uma inclinação mais íngreme na cabeça que o ferro-2. Se 
os dois tacos tivessem a mesma inclinação de cabeça, o ferro-2 teria um golpe 
com alcance maior que o ferro-9, dada a mesma velocidade angular de 
balanceio do taco como ocorre na maioria dos jogadores experientes. Os 
golfistas geralmente usam o mesmo taco mas variam o comprimento, r, 
"bloqueando" no cabo ou segurando o taco mais perto do meio do corpo. 
Usando essa técnica, o jogador pode fazer o balanceio com a mesma 
velocidade angular mas variar o comprimento, e pode então variar a velocidade 
linear da cabeça do taco. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
19. Uma comparação entre os comprimentos de um taco de golfe ferro-2 e 
ferro-9. 
 
Aceleração Linear e Angular 
 Lembre-se que o vetor de velocidade linear calculado a partir do produto 
do raio e velocidade angular é tangente a trajetória curva e pode ser 
denominado de velocidade tangencial. Como já foi dito: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
vT = ω ómega r 
 
 Se a derivada de tempo dessa expressão é determinada, existe uma 
relação que expressa a aceleração tangencial em termos de raio de rotação e 
aceleração angular. A expressão da derivada é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
aT = α alfa r 
 
onde aT é a aceleração tangencial, r é o raio de rotação, e α alfa é a aceleração 
angular. A aceleração tangencial, como o vetor de velocidade tangencial, é um 
vetor tangente com a curva e perpendicular com o segmento de rotação 
(FIGURA 9-20). Em qualquer atividade, como o lançamento de disco, onde o 
atleta gira de modo a lançar o objeto, o propósito é lançá-lo o mais longe 
possível. É assim necessária uma compreensão da velocidade tangencial e da 
aceleração tangencial. A freqüência de mudança na velocidade tangencial do 
disco ao longo de seu caminho curvo é a aceleração tangencial. O pico da 
velocidade tangencial é idealmente alcançado um pouco antes da liberação do 
disco onde o tempo de aceleração tangencial deve ser zero. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
20. Ilustração da aceleração tangencial de um segmento em balanceio. 
Observe que ela é perpendicular ao membro que faz o balanceio. 
 
 Considere um lançador de softball usando uma luva apropriada; pode-se 
ter uma compreensão adicional sobre outro componente da aceleração linear 
agindo durante o movimento de rotação. 
 
[384] 
 
Enquanto o lançador move seu braço até o ponto de liberação do lançamento, 
a bola segue uma via curva. Como o braço do lançador fica preso ao ombro, a 
bola precisa seguir a trajetória curva produzida pela rotação do braço. Assim, 
para continuar nesse caminho, a bola move-se levemente para dentro e 
levemente vertical para baixo em cada momento no tempo até que seja 
liberada (FIGURA 9-21). Ou seja, a bola é gradualmente acelerada para baixo 
e é também acelerada para dentro na direção do ombro ou do eixo de rotação. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
21. As direções dos componentes de aceleração do punho de um lançador de 
softball durante o balanceio do braço para baixo para liberar a bola. O punho é 
acelerado para dentro em direção ao ombro e para baixo tangencialmente ao 
trajeto do punho. Esses dois vetores são perpendiculares entre si. 
 
 Foram discutidos dois componentes da aceleração produzida pela rotação 
de um segmento: um tangencial ao caminho do segmento e outro ao longo do 
segmento em direção ao eixo de rotação. Essas duas acelerações são 
necessárias para que a bola na mão do lançador continue em seu caminho 
curvo. O movimento para frente é resultado da aceleração tangencial que foi 
discutida anteriormente. A aceleração em direção ao eixo ou centro de rotação, 
contudo, é chamada de aceleração centrípeta (FIGURA 9-22). O adjetivo 
centrípeto significa "buscando o centro". Aceleração centrípeta é também 
conhecida como aceleração radial. Os dois nomes são corretos, mas para o 
restante desta discussão será usado o termo aceleração centrípeta. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
22. Ilustração da aceleração tangencial (a T) e aceleração centrípeta (a c). 
Observe que elas são perpendiculares entre si. A aceleração tangencial 
acelera a ponta do segmento para baixo e a aceleração centrípeta acelera a 
ponta em direção ao centro de rotação. O resultado é o movimento ao longo de 
uma trajetória curva. 
 
 Para derivar a fórmula para aceleração centrípeta, é preciso observar que 
a aceleração linear resultante da extremidade de um segmento, como o punho, 
para um segmento em rotação é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a = d v sobre d t 
 
Como o segmento está rodando, a velocidade linear é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
vT = ω ómega r 
 
Fazendo uma substituição na equação de aceleração, a aceleração fica: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a = d (ω ómega r) sobre d t 
 
Se forem aplicadas certas regras de cálculo, essa equação ficará: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a = ω ómega * d r sobre d t + d ω ómega sobre d t * r 
 
Como d r sobre d t é a velocidade linear e d ω ómega sobre d t é a aceleração 
angular do segmento, esta expressão fica: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a = ω ómega v + α alfa r 
 
Observe que a velocidade linear, v, é igual a ω ómega r e assim a expressão 
para a aceleração da extremidade do segmento é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula:a = ω ómega ω ómega r + α alfa r 
ou 
a = ω ómega2 r + α alfa r 
 
 Lembre-se que a aceleração resultante tem dois componentes que são 
um perpendicular ao outro. Esta expressão ilustra esses dois componentes. 
 
[385] 
 
Esta explicação, contudo, requer o uso de cálculo vetorial e é muito mais 
complicada na derivação do que a apresentada. Deve-se observar que o sinal 
de adição (+) nesta expressão significa adição de vetor. Foi anteriormente 
determinado que α alfa r era a aceleração tangencial; assim ω ómega2 r é a 
aceleração centrípeta. A expressão para aceleração centrípeta é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a c = ω ómega
2 r 
 
 A aceleração centrípeta pode também ser expressa da seguinte forma 
como uma função da velocidade tangencial e raio de rotação. Ou seja, se v = ω 
ómega r for substituído na equação de aceleração centrípeta, a equação ficará: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a c = v
2 sobre r 
 
 A partir dessa expressão, pode ser visto que a aceleração centrípeta irá 
aumentar se a velocidade tangencial aumentar ou se o raio de rotação diminuir. 
Por exemplo, a diferença usual entre uma corrida em pista coberta e uma 
corrida em pista ao ar livre é que a pista coberta é muito menor e assim tem um 
raio menor. Se um corredor tenta manter a mesma velocidade dentro de uma 
pista coberta que ele manteria na pista ao ar livre, a aceleração centrípeta 
precisaria ser necessariamente maior para o corredor completar a volta. 
Geralmente, o corredor não consegue fazer a volta na mesma velocidade que 
faria na pista ao ar livre, de modo que os tempos de corrida na pista coberta 
são um pouco mais baixos que na pista ao ar livre. 
 Como a aceleração centrípeta e a aceleração tangencial são 
componentes da aceleração linear, eles precisam estar um perpendicular ao 
outro. O vetor resultante de aceleração desses componentes pode então ser 
construído. A aceleração resultante (FIGURA 9-23) é computada usando a 
relação de Pitágoras: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a = raiz quadrada a T
2 + a c
2 
 
 Ao computar a aceleração tangencial ou centrípeta, as unidades de 
velocidade angular e aceleração angular são rad/s e rad/s2, respectivamente. 
As unidades de aceleração linear (m/s2) podem resultar somente quando é 
usada uma unidade baseada em radianos no cálculo. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
23. Vetor de aceleração linear resultante (a R) composto de componentes de 
aceleração centrípeta e tangencial. 
 
Diagramas Ângulo-Ângulo 
 Na maioria das apresentações de movimento humano, geralmente algum 
parâmetro (por exemplo, posição, ângulo, velocidade etc.) é grafado como uma 
função do tempo. Em certas atividades como a locomoção, os movimentos dos 
segmentos são cíclicos, já que são repetitivos, com o final de um ciclo sendo o 
início do próximo. Nesses casos, um diagrama ângulo-ângulo pode ser útil para 
representar a relação entre dois ângulos durante o movimento. Um diagrama 
ângulo-ângulo é a marcação de um ângulo como uma função do outro ângulo. 
Ou seja, um ângulo é usado para o eixo x e um para o eixo y. Em um diagrama 
ângulo-ângulo, um ângulo é geralmente um ângulo relativo e o outro é um 
ângulo absoluto. Para que o gráfico ângulo-ângulo seja significativo, deve 
existir uma relação funcional entre os ângulos (FIGURA 9-24). Por exemplo, ao 
estudar a corrida de um indivíduo, a relação entre a vista sagital dos ângulos 
do tornozelo e joelho pode ser significativa, enquanto a relação entre o ângulo 
do cotovelo e o ângulo do tornozelo pode não ser significativa. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
24. Diagramas ângulo-ângulo do ângulo do joelho como uma função do ângulo 
da coxa (A) e o ângulo do joelho plotado como uma função do ângulo do 
tornozelo (B) para uma passada completa de corrida de um indivíduo correndo 
a 3,6m/s. RA representa a retirada dos artelhos e CP representa o contato do 
pé inicial. (Williams, K.R. Biomechanics of Running. In Exercise and Sports 
Sciences Review 14, 1985.) 
 
 Um problema com esse tipo de diagrama é que o tempo não pode ser 
facilmente representado no gráfico. Ele pode ser apresentado, contudo, 
colocando marcadores na curva ângulo-ângulo para representar cada instante 
no tempo onde os dados foram calculados. Esses marcadores são colocados 
em intervalos de tempo iguais e dão uma indicação da distância angular 
através da qual cada articulação está se movendo em intervalos iguais de 
tempo. Assim, a velocidade angular do movimento é representada, já que 
quanto mais separados os marcadores se acham na curva, maior a velocidade 
do movimento. Por outro lado, quanto mais próximos os marcadores, menor a 
velocidade (FIGURA 9-25). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
25. Diagrama ângulo-ângulo da flexão do joelho como uma função do ângulo 
de pronação subtalar para um indivíduo correndo 6 minutos/milha em uma 
esteira rolante. Os pontos na curva indicam intervalos de tempo iguais. (Bates, 
B.T.; James, S.L.; Osternig, L.R. Foot function during the support phase of 
running. Running 24:29, Fall/1978.) 
 
 Os diagramas ângulo-ângulo têm se mostrado muito úteis no exame da 
relação entre o ângulo do retropé e o ângulo do joelho (5, 6). Essa relação 
baseia-se nos movimentos anatômicos das articulações subtalar e do joelho. 
Durante a fase de apoio do andar, o joelho se flexiona durante o toque com o 
solo e continua a fletir até o meio do apoio. 
 
[386] 
 
No mesmo tempo, o pé aterrissa em uma posição invertida e imediatamente 
começa a everter até o meio do apoio. Essas duas ações - flexão de joelho e 
eversão subtalar - estão associadas com a rotação interna da tíbia. Após o 
apoio médio, o joelho se estende e a articulação subtalar inverte. Essas duas 
ações articulares resultam em rotação externa da tíbia. Essas ações estão 
apresentadas na FIGURA 9-25 com o ângulo do joelho expresso como ângulo 
relativo e a inversão/eversão da articulação subtalar expressa como ângulo 
absoluto. A FIGURA 9-26 é um diagrama ângulo-ângulo apresentado em um 
artigo de Van Woensel e Cavanagh (6) e ilustra a relação entre o ângulo do 
joelho e o ângulo do retropé em condições de calçados diferentes. Um dos três 
calçados usados nesse estudo foi elaborado especificamente para forçar o 
corredor a fazer pronação durante o apoio, outro para forçar o corredor a fazer 
supinação durante o apoio, e o terceiro era um calçado neutro. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 9-
26. Diagrama ângulo-ângulo joelho-retropé de um indivíduo usando três tipos 
de calcados de corrida (CP = contato do pé). O calçado VARO tem uma cunha 
medial, assim mediando a supinação do retropé; o calçado VALGO tem uma 
cunha lateral, assim favorecendo a pronação do retropé; e o calçado NEUTRO 
é um calçado de corrida normal. (Van Woensel, W. & Cavanagh, RR. A 
perturbation study of lower extremity motion during running. International 
Journal of Sports Biomechanics 8:30-47, 1992.) 
 
Cinemática Angular da Corrida 
 Muitos pesquisadores têm relatado o quanto os ângulos articulares dos 
membros inferiores variam durante a passada da corrida, particularmente 
durante a porção de apoio da passada. Geralmente, esses ângulos são 
relatados em instantes discretos no tempo, como exatamente antes do contato, 
apoio médio ou retirada dos artelhos. Existem numerosas análises 
biomecânicas da cinemática angular do membro inferior. Assim, para esta 
breve revisão, serão apresentadas apenas seleções da literatura descrevendo 
ângulos particulares dos membros inferiores - o ângulo do retropé e o ângulo 
do joelho - durante a corrida.O ângulo do joelho é de flexão durante o amortecimento com o solo e tem 
sido relatado na literatura como ficando entre 21 e 30° (5, 7, 8, 9). Após o toque 
com o solo, os joelhos flexionam para valores que variam de 38 a 50° com a 
maior flexão ocorrendo em velocidades de corrida mais rápidas (5, 10). A 
máxima flexão de joelho ocorre no meio do apoio, após o qual o joelho se 
estende até a retirada dos artelhos. A extensão completa não é alcançada na 
retirada dos artelhos, com valores que vão de 27° (7) até 18° (11), dependendo 
da velocidade da corrida. Valores de extensão maiores durante a retirada dos 
artelhos são geralmente associados com velocidades de corrida maiores. 
Enquanto a magnitude dos ângulos do joelho nesses instantes específicos no 
tempo durante a fase de apoio da corrida variam, o perfil básico da curva não 
varia. O perfil do ângulo da articulação do joelho parece ser relativamente 
estável e imune à distorção devido a influências como o modelo do calçado 
para corrida (6, 9) ou a dor muscular tardia (12). 
 Muitas pesquisas descreveram o ângulo do retropé durante a fase de 
apoio da corrida. Tem se levantado a hipótese de que movimento excessivo do 
retropé cause uma variedade de lesões do membro inferior embora haja pouca 
evidência para relacionar diretamente movimento excessivo do retropé com 
lesão (8, 13). De fato, uma definição válida de movimento excessivo do retropé 
ainda não está determinada. De um ponto de vista funcional, a eversão do 
calcâneo é um movimento necessário porque permite que o pé assuma uma 
posição retificada sobre o solo. 
 
[387] 
 
Tipicamente, têm sido relatados na literatura valores máximos de ângulos de 
retropé de -6 a -17° durante o apoio médio (8, 14). Essa grande variação nos 
valores máximos pode ser devido a diferenças na estrutura do pé dos 
indivíduos assim como à influência do calçado. Foram relatados ângulos de 
retropé mais extremos no apoio médio quando as pessoas corriam usando 
calçados de corrida do que quando usavam calçados de treinamento (14). 
Ângulos mais extremos de eversão de retropé foram também relatados para 
corredores usando calçado com solado médio muito macio mais do que 
naqueles que usavam calçados com solado médio mais firme (9). Embora o 
ângulo do retropé se relacione no movimento com o ângulo do joelho através 
da ação de rotação da tíbia, ele é, diferente do ângulo do joelho, altamente 
variável e certamente pode ser influenciado por inúmeros fatores. 
 As ações simultâneas desses dois ângulos do membro inferior têm sido 
tópicos de várias pesquisas. Como a rotação interna da tíbia acompanha a 
flexão do joelho e a eversão da articulação subtalar, e ambas atingem o 
máximo no meio do apoio, a falta de cadência entre essas ações articulares 
tem sido sugerida como possível mecanismo para lesão dos membros 
inferiores (5). Hamill et al. (9) ilustraram que o ângulo do retropé poderia ser 
alterado por um calçado de corrida com o solado médio muito macio, enquanto 
que o ângulo do joelho não. Eles relataram que, em um calçado de corrida com 
solado macio, o ângulo máximo do retropé ocorreu mais cedo no período de 
apoio que a flexão máxima de joelho. A articulação subtalar também 
permaneceu no seu máximo quando o joelho começou a se estender. 
 
[388] 
 
Desse modo, parece que uma ação de torção pode ser aplicada na tíbia 
através de velocidades diferenciais onde a tíbia roda no início e no final do 
apoio. Como a tíbia é uma estrutura rígida e pode ser difícil de rodar, ela pode 
continuar a rodar internamente no joelho, embora deva girar externamente. 
Essa ação indesejável no joelho pode provocar dor no joelho do corredor. Se 
essas ações são repetidas com cada contato do pé com o solo e o corredor 
experimenta muitos contatos do pé com o solo. pode ocorrer uma lesão do 
joelho, impedindo o corredor de treinar. Esse tipo de lesão é geralmente 
chamada de lesão por uso excessivo (overuse). Ela resulta de um acúmulo de 
estresses e não de um único estresse de alta intensidade. 
Resumo do Capítulo 
 Quase todos os movimentos humanos voluntários envolvem a rotação dos 
segmentos sobre eixos que passam por centros articulares e assim é 
necessário um conhecimento de cinemática angular para compreender o 
movimento humano. Os ângulos podem ser medidos em unidades de graus, 
revoluções ou radianos. Se a medida angular vai ser usada em cálculos 
adicionais, o radiano deverá ser usado. Um radiano equivale a 57,3°. 
 Os ângulos podem ser definidos como relativos e absolutos e ambos 
podem ser usados em pesquisas biomecânicas. Um ângulo relativo mede o 
ângulo entre dois segmentos mas não pode determinar a orientação dos 
segmentos no espaço. Um ângulo absoluto mede a orientação de um 
segmento no espaço com relação ao eixo horizontal direito colocado na 
extremidade distai do segmento. A forma como os ângulos dos segmentos são 
definidos precisa ser anunciada claramente ao apresentar os resultados de 
qualquer análise biomecânica. 
 As quantidades cinemáticas de posição angular, deslocamento, 
velocidade vetorial e aceleração têm as mesmas relações entre si que seus 
análogos lineares. Assim, a velocidade angular é calculada usando o método 
da primeira diferença central conforme se segue: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
ω ómega i = θ teta i+1 -θ teta i -1 sobre 2 Δ delta t 
 
Do mesmo modo, a aceleração angular é definida como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
α alfa i = ω ómega i+1 -ω ómega i -1 sobre 2 Δ delta t 
 
 As técnicas de diferenciação e integração se aplicam às quantidades 
angulares assim como às quantidades lineares. Assim, a velocidade angular é 
a primeira derivada da posição angular com respeito ao tempo, e a aceleração 
angular é a segunda derivada. O conceito de inclinação de uma secante e uma 
tangente também se aplica no caso angular para distinguir quantidades médias 
e instantâneas. 
 É difícil representar vetores de movimento angular da maneira como são 
representados os vetores de movimento linear. A Regra da Mão Direita é usada 
para determinar a direção do vetor de movimento angular. As rotações no 
sentido anti-horário são rotações positivas (+) enquanto as no sentido horário 
são negativas (-). 
 Os ângulos dos membros inferiores na vista sagital foram definidos 
usando um sistema sugerido por Winter (2). Nessa convenção, os ângulos do 
tornozelo, joelho e quadril foram definidos usando os ângulos absolutos dos 
segmentos do pé, perna, coxa e pelve. O ângulo do retropé mede o movimento 
relativo da perna e do calcâneo no plano frontal e é calculado a partir de 
ângulos absolutos do calcâneo e da perna. 
 Existe uma relação entre movimento linear e angular. Quantidades 
comparáveis de duas formas de movimento podem ser relacionadas quando o 
raio de rotação é considerado. A velocidade linear da extremidade distai de um 
segmento que está rodando é chamada de velocidade tangencial e é calculada 
como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v T = ω ómega r 
 
onde ω ómega é a velocidade angular do segmento e r é o comprimento do 
segmento. A derivada da velocidade tangencial, a aceleração tangencial, é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a T = α alfa r 
 
onde α alfa é a aceleração angular do segmento que está girando. O outro 
componente da aceleração linear do ponto final do segmento que está girando 
é a aceleração centrípeta ou radial. É expressa como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a c = ω ómega 
2 r 
 
Os componentes da aceleração tangencial e centrípeta ficam perpendiculares 
entre si. 
Um instrumento útil em biomecânica é a apresentação do movimento angular 
em diagramas ângulo-ângulo. Esses diagramasgeralmente apresentam 
ângulos de articulações que são anatomicamente relacionadas funcionalmente. 
O tempo, contudo, pode ser apresentado somente indiretamente nesse tipo de 
gráfico. 
 
[389] 
 
Questões para Revisão 
1. Quais das atividades a seguir ilustram movimento de translação, movimento 
curvilíneo, movimento angular ou movimento geral? 
a) ciclismo 
b) deslizar sobre patins 
c) ação da perna durante a corrida 
d) pára-quedismo acrobático 
e) o corredor durante uma corrida 
f) movimento do taco de bilhar durante uma jogada 
g) deslizamento durante a puxada no nado de peito 
2. Um patinador faz um salto duplo com giro seguido por um salto triplo com 
giro. a) Quantas revoluções foram completadas em cada salto? b) Qual a 
distância angular em graus e radianos completada para cada salto? (Resposta: 
a) 2,3; b) 720° ou 12,57rad, 1080° ou 18,85rad.) 
3. Na questão 2, qual o deslocamento angular para cada salto? (Resposta: a) 
0°; b) 0°.) 
4. Durante uma flexão de bíceps. o ângulo relativo no cotovelo muda de 0° para 
160° para cada flexão. Se forem feitas quatro flexões, qual é a) a distância 
angular total e b) o deslocamento angular do cotovelo? (Resposta: a) 640°; b) 
0°.) 
5. Durante um exercício de flexão do cotovelo, o ângulo relativo no cotovelo era 
10° em 0,5s e 120° em 0,71s. Qual a velocidade angular do cotovelo? 
(Resposta: 523,81°/s.) 
6. No diagrama a seguir, use um transferidor para medir: 
a) o ângulo relativo do joelho 
b) o ângulo relativo do tornozelo 
c) o ângulo relativo do cotovelo 
d) o ângulo absoluto do tronco 
e) o ângulo absoluto da coxa 
f) o ângulo absoluto do braço 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem representativa da figura 
humana. 
 
7. Se a velocidade angular em 0,47s era 1,5rad/s e no tempo 0,51s era 
2,1rad/s, qual a aceleração angular média nesse intervalo de tempo? 
(Resposta: 15,0rad/s2.) 
8. Se um patinador está rodando durante um giro em velocidade angular 
constante, qual a sua aceleração angular? (Resposta: 0rad/s2.) 
9. Existem dois estilos de colocação do chute no futebol americano: o estilo 
tradicional head-on e o estilo usado no nosso futebol. Em qual estilo o chutador 
obtém uma maior velocidade linear do pé? Por quê? 
10. Por que um batedor no beisebol pode querer fazer obstrução (choke up) ao 
rebater quando se depara com um lançador com uma bola excepcionalmente 
rápida? 
 
[390] 
 
Questões Adicionais 
1. Calcule: a) o ângulo relativo do joelho e os ângulos absolutos de b) coxa e c) 
perna, dadas as seguintes posições em graus. (Sugestão: marque esses 
pontos em um gráfico antes de calculá-los.) 
quadril - (1,228: 0,931), joelho - (1,122; 0,542), tornozelo - (0,897; 0,160) 
(Resposta: a) 164,75°; b) 74,75°; c) 59,50°.) 
2. Quais os ângulos da questão 1 em radianos? (Resposta: a) 2,86rad: b) 
1,31rad; c) l,04rad.) 
3. Durante a fase de apoio do andar, o ângulo absoluto da coxa tem as 
seguintes velocidades angulares: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma tabela constituída por 3 colunas e 5 
linhas que contém as velocidades angulares mencionadas na questão 3. 
quadro tempo (s) velocidade angular (rad/s) 
38 0,6167 1,033 
39 0,6333 1,511 
40 0,6500 1,882 
41 0,6667 2,190 
Calcule a aceleração angular nos quadros 39 e 40. (Resposta: quadro 39: 
25,42rad/s2; quadro 40: 20,33rad/s2.) 
4. Faça um esboço das curvas de velocidade angular e aceleração angular 
usando os conceitos de inclinação e vértice da seguinte curva de posição 
angular. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem que relaciona posição 
angular e tempo. 
 
5. Um ciclista completa 2,1 revoluções cíclicas em 1s. Qual é: a) a distância 
angular, b) o deslocamento angular e c) a velocidade angular? (Resposta: a) 
756°; b) 36°; c) 756°/s.) 
6. O segmento do braço de um indivíduo tem 0,15m de comprimento e 
velocidade angular de 123°/s. Qual a velocidade tangencial do punho? 
(Resposta: 0,32m/s.) 
7. Um indivíduo está correndo ao redor de um percurso com 12m de raio com 
uma velocidade escalar de corrida de 4,83m/s. Qual a aceleração centrípeta do 
corredor? (Resposta: 1,94m/s2.) 
8. Represente o braço de um jogador de boliche no momento do balanceio 
para baixo com os vetores seguintes ilustrados no braço: 
a) velocidade angular do braço 
b) comprimento do braço 
c) velocidade linear do punho 
d) aceleração centrípeta 
9. Um lançador de martelo roda a 14,7rad/s com uma aceleração angular de 
6,28rad/s2 antes de liberar o martelo. Dado o raio (i.e., o comprimento do braço 
do atleta mais o comprimento do cabo do martelo) de 1,5m, quais são as 
magnitudes das acelerações: a) tangencial, b) centrípeta e c) resultante? 
(Resposta: a) 9,42m/s2; b) 324,14m/s2; c) 324,27m/s2.) 
10. Por que um corredor diminui sua velocidade quando corre em uma pista 
coberta em comparação com uma corrida na pista ao ar livre se os dois 
percursos têm o mesmo raio de volta? 
 
[391] 
 
Leituras Adicionais 
1. Inman, V.T., Ralston, H.J., Tood, F. Human Walking. Baltimore: Williams and 
Wilkins, 1981. 
2. Milliron, M.J., Cavanagh, P.R. Sagittal plane kinematics of the lower 
extremity during distance running. In P.R. Cavanagh (ed.). Biomechanics of 
Distance Running. pp. 65-105. Champaign, IL: Human Kinetics Publishing, 
1990. 
3. Stacoff, A., Kaelin, X., Stuessi, E., Segesser, B. The torsion of the foot in 
running. International Journal of Sports Biomechanics 5:375-389, 1989. 
4. Winter, D.A. Biomechanics and Motor Control of Human Movement (2nd 
edition). New York: John Wiley and Sons, Inc., 1990. 
Referências 
1. Nordin, M. and Frankel, V.H. (eds.). Biomechanics of the Musculoskeletal 
System (2nd ed.). Philadelphia: Lea & Febiger, 1979. 
2. Winter, D.A. The Biomechanics and Motor Control of Gait. Waterloo, Ont., 
Canada: University of Waterloo Press, 1987. 
3. Plagenhoef, S. Patterns of Human Motion. Inglewood Cliffs. NJ: Prentice-
Hall, Inc, 1971. 
4. Williams, K.R. Biomechanics of Running. In Exercise and Sports Sciences 
Review. 13:389-441, 1985. 
5. Bates, B.T., James, S.L., Osternig, L.R. Foot function during the support 
phase of running. Running 24:29, Fall/1978. 
6. van Woensel, W. and Cavanagh, P.R. A perturbation study of lower extremity 
motion during running. International Journal of Sports Biomechanics 8:30-47, 
1992. 
7. Elliott, B.R. and Blanksby, B.A. A biomechanical analysis of the male jogging 
action. Journal of Human Movement Studies 5:42-51, 1979. 
8. Clarke, T.E., Frederick, E.C., Hamill, CL. The effects of shoe design 
parameters of rearfoot control in running. Medicine and Science in Sports and 
Exercise 15(5):376-381, 1983. 
9. Hamill, J., Bates, B.T., Holt, K.G. Timing of lower extremity joint actions 
during treadmill running. Medicine and Science in Sports and Exercise 24:807-
813, 1992. 
10. Bates, B.T., Osternig, L.R., Mason, B.R., James, S.L. Functional variability 
of the lower extremity during the support phase of running. Medicine and 
Science in Sports and Exercise 11(4):328-331, 1979. 
11. Cavanagh, P.R., Pollock, M.L., Landa, J. A biomechanical comparison of 
good and elite distance runners. In P. Milvy (ed.). The Marathon: Physiological, 
Medical, Epidemiological, and Psychological Studies. pp. 328-345, New York: 
New York Acad. Sci., 1977. 
12. Hamill, J., Clarkson, P.M., Freedson, P.S., Braun, B. Muscle soreness 
during running: Biomechanical and physiological considerations. International 
Journal of Sports Biomechanics 7:125-137, 1990. 
13. Nigg, B.M., Luethi, S., Denoth, J., Stacoff, A. Methodological aspects of 
sport shoe and sport surface analysis. In H. Matsui and K. Kobayashi (eds.). 
Biomechanics VIII-B. pp. 1041-1052. Champaign, IL: Human Kinetics 
Publishers, 1983. 
14. Hamill, J., Freedson, P.S., Boda, W., Reichsman, F. Effects of shoe type on 
cardiorespiratory responses and rearfoot control during treadmill running. 
Medicineand Science in Sports and Exercise 20:515-521, 1987. 
 
[392] 
 
Glossário 
Aceleração Angular: Mudança na velocidade angular por unidade de tempo. 
Aceleração Centrípeta: Componente da aceleração linear direcionada para o 
eixo de rotação. 
Aceleração Radial: Ver aceleração centrípeta. 
Aceleração Tangencial: Mudança na velocidade linear por unidade de tempo de 
um corpo que se move por uma trajetória curva. 
Ângulo: Figura formada por duas linhas que se encontram em um ponto 
comum chamado vértice. 
Ângulo Absoluto: Ângulo de um segmento medido a partir da horizontal direita 
que descreve a orientação do segmento no espaço. 
Ângulo Relativo: Ângulo formado pelos eixos longitudinais de dois segmentos 
adjacentes cujo vértice se acha na articulação. 
Centro Articular Instantâneo: Centro de rotação de uma articulação em certo 
instante no tempo. 
Cinemática Angular: Descrição do movimento angular incluindo posições 
angulares, velocidades angulares e acelerações angulares, sem preocupar-se 
com as causas do movimento. 
Deslocamento Angular: Diferença entre a posição angular final e a posição 
angular inicial de um corpo em rotação. 
Diagrama Ângulo-ângulo: Gráfico no qual o ângulo de um segmento é marcado 
como uma função do ângulo de outro segmento. 
Distância Angular: Total de todas as mudanças angulares de um corpo em 
rotação. 
Eixo de Rotação: Ponto sobre o qual um corpo gira. 
Grau: Unidade de medida angular de 1/360 de uma revolução. 
Lei dos Cossenos: Caso geral do Teorema de Pitágoras que afirma: 
a2 = b2 + c2 - 2ab cos A 
onde a é o comprimento do ângulo A do lado oposto e b e c são os 
comprimentos dos outros dois lados no triângulo. 
Lesão por Uso Excessivo: Lesão causada por estresses contínuos de baixa 
intensidade sobre o corpo. 
Movimento Angular: Movimento sobre um eixo de rotação onde diferentes 
regiões do mesmo objeto não se movem através da mesma distância ao 
mesmo tempo. 
Movimento Geral: Movimento que envolve tanto translação quanto rotação. 
Polaridade: Direção da rotação designada como positiva ou negativa. 
Radiano: Medida de um ângulo no centro de um círculo descrito por um arco; 
equivale ao comprimento do raio do círculo (1 rad = 57,3°). 
Raio de Rotação: Distância linear a partir do eixo de rotação até um ponto no 
corpo que está rodando. 
Regra da Mão Direita: Convenção que designa a direção de um vetor de 
movimento angular; os dedos da mão direita são fletidos na direção da rotação 
e o polegar aponta na direção do vetor. 
 
[393] 
 
Revolução: Unidade de medida que descreve um ciclo completo de um corpo 
em rotação. 
Rotação: Movimento que ocorre quando todas as partes de um objeto não 
fazem o mesmo deslocamento. 
Tangente: Relação do lado oposto de um ângulo com o ângulo adjacente em 
um triângulo retângulo. 
Velocidade Escalar Angular: Distância angular percorrida dividida pelo período 
de tempo no qual o movimento angular ocorreu. 
Velocidade Tangencial: Mudança na posição linear por unidade de tempo de 
um corpo que se move por uma trajetória curva. 
Velocidade Vetorial Angular: Freqüência de tempo de mudança do 
deslocamento angular. 
Vértice: Interseção de duas linhas que formam um ângulo.