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Capítulo 11 - Cinética Angular

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Prévia do material em texto

Hamill, Joseph, 1946- - Bases biomecânicas do movimento humano. São 
Paulo: Editora Manole, 1999. Capítulo 11, p. 428-459. 
 
Notas prévias: 
Produzido pelos Serviços de Biblioteca, Informação Documental e Museologia 
da Universidade de Aveiro. 
Organização da paginação: topo da página, entre parêntesis retos. 
Lista de abreviaturas e respetivo desdobramento: 
N - newtons 
kg - quilogramas 
PC - peso corporal 
m - metros 
kg-m2 - quilogramas-metros ao quadrado 
N-m/s - newtons-metros por segundo 
N-m - newton-metros 
p.ex. - por exemplo 
rad/s - radianos por segundo 
 
[428] 
 
Capítulo 11 - Cinética Angular 
I. Torque ou Momento de Força 
1. dupla de força 
II. Centro de Massa 
A. Método da Prancha de Reação 
B. Método Segmentar 
1. cálculo do centro de massa do segmento 
2. cálculo do centro de massa corporal total 
III. Rotação e Alavanca 
A. Alavanca 
1. fulcro 
2. braço de esforço 
3. braço de resistência 
4. vantagem mecânica 
B. Alavanca de Primeira Classe 
C. Alavanca de Segunda Classe 
D. Alavanca de Terceira Classe 
IV. Momento de Inércia 
1. raio de giro 
2. teorema do eixo paralelo 
V. Momento Angular 
1. conservação do momento angular 
2. momento angular local 
3. momento angular remoto 
VI. Análogo Angular para as Leis do Movimento de Newton 
1. lei da inércia 
2. lei da aceleração angular 
3. lei da ação e reação 
VII. Aplicações Especiais do Torque 
A. Trabalho Angular 
1. trabalho positivo 
2. trabalho negativo 
B. Energia 
1. energia cinética de rotação 
2. relação trabalho-energia 
C. Potência Angular 
VIII. Resumo do Capítulo 
 
[429] 
 
Objetivos do Estudante 
 Após ler este capítulo, o estudante deverá ser capaz de: 
1. Definir torque e discutir as suas características. 
2. Definir o conceito de centro de massa. 
3. Discutir os diferentes métodos para determinar parâmetros do segmento 
corporal para o cálculo do centro de massa. 
4. Calcular o centro de massa segmentar e o centro de massa corporal total. 
5. Discutir o conceito de momento de inércia. 
6. Diferenciar as três classes de alavancas. 
7. Dar as analogias angulares das três leis do movimento de Newton e seu 
impacto no movimento humano. 
8. Compreender o impacto do momento angular no movimento humano. 
9. Discutir as relações entre torque, trabalho angular, energia cinética de 
rotação e potência angular. 
 
 No capítulo anterior, foi discutida a noção de que o movimento não ocorre 
a menos que seja aplicada uma força externa. Também foram discutidas as 
características de uma força; duas delas eram a linha de ação e o ponto de 
aplicação. Se a linha de ação e o ponto de aplicação de uma força são críticos, 
parece que diferentes tipos de movimento podem resultar dependendo dessas 
características. Por exemplo, uma enfermeira empurrando uma cadeira de 
rodas exerce duas forças iguais, uma em cada mão. O resultado é que essas 
linhas de ação e pontos de aplicação particulares das duas forças fazem com 
que a cadeira de rodas se mova em linha reta. E o que acontece quando a 
enfermeira empurra a cadeira com apenas um braço, aplicando uma força 
sobre apenas um dos cabos? A força ainda está sendo aplicada, mas o 
movimento é totalmente diferente. De fato, a cadeira de rodas irá fazer 
translação e rotação (FIGURA 11-1). A situação que acabamos de descrever 
representa a maioria dos tipos de movimento que ocorrem quando os humanos 
se movem. É raro que uma força ou um sistema de forças cause pura 
translação. Na verdade, a maioria das aplicações de força no movimento 
humano causa translação e rotação simultâneas. 
 O ramo da mecânica que trata das causas do movimento é chamado de 
cinética. O ramo da mecânica que trata das causas do movimento angular é 
chamado de cinética angular. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-1. Em uma vista de cima para baixo de uma cadeira de rodas, (A) a cadeira 
é transladada para frente pelas forças F1 e F2 e (B) a cadeira de rodas irá rodar 
e fazer translação se somente uma força, F, for aplicada. 
 
Torque ou Momento de Força 
 Quando uma força causa uma rotação, esta ocorre sobre um ponto pivô, e 
a linha de ação da força precisa agir a certa distância do ponto pivô. Quando 
uma força é aplicada de modo que cause uma rotação, o produto daquela força 
e a distância perpendicular à sua linha de ação é denominado torque ou 
momento de força. Esses termos são sinônimos e são usados 
indiscriminadamente na literatura. Um torque não é uma força, mas meramente 
a efetividade de uma força para causar uma rotação. Torque é definido, assim, 
como a tendência de uma força para causar rotação sobre um eixo específico. 
Qualquer discussão sobre torque precisa ser com referência a um eixo 
específico. Matematicamente, torque é: 
T = F * r 
onde T é o torque, F é a força aplicada em newtons, e r é a distância 
perpendicular, em metros, da linha de ação da força até o ponto pivô. Como 
torque é o produto de uma força, com unidade de newtons, e uma distância, 
com unidade de metros, o torque possui unidade de newtons-metros (N-m). A 
distância, r, é denominada braço de momento da força. Este conceito está 
ilustrado na FIGURA 11-2. Se a força age diretamente sobre o ponto pivô ou o 
eixo de rotação, o torque é zero, porque o braço do momento será zero 
independente de quão grande seja a força. Nesse caso, irá ocorrer um 
movimento de translação puro. Como a força não é aplicada através do ponto 
pivô. entende-se que o torque resulta de uma força excêntrica ou literalmente 
uma força de fora do centro. A força excêntrica causa primariamente rotação, e 
também causa translação. 
 
[430] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-2. Representação do braço de momento, linha de ação e ponto pivô 
constituindo um torque. 
 
 Torque é uma quantidade vetorial e assim tem as propriedades de 
magnitude e direção. A magnitude é representado pela quantidade de 
magnitude da força vezes a magnitude do braço do momento. O sentido, 
contudo, é determinado pela convenção da Regra da Mão Direita. Como foi 
observado para o movimento angular, um sentido anti-horário é considerado 
positivo (+) enquanto um sentido horário é considerado negativo (-). Assim, um 
torque anti-horário é positivo e um torque horário é negativo. Os torques em um 
sistema podem ser avaliados através de operações de vetores do modo como 
foi descrito para as forças. Ou seja, os torques podem ser compostos dentro de 
um torque resultante. 
 O conceito de torque está presente em nossa vida cotidiana. Por exemplo, 
muitos provavelmente já usaram uma chave de boca para afrouxar a porca de 
um parafuso. Aplicando uma força à chave, é produzida uma rotação que faz 
com que a porca se afrouxe. Intuitivamente, a chave é segurada na 
extremidade como na FIGURA 11-3A. Segurando-a desse modo, o braço de 
momento é maximizado e, para uma dada aplicação de força, o torque é 
maximizado. Se a chave fosse segurada em seu ponto médio, o torque seria 
reduzido pela metade, embora a mesma força fosse aplicada (FIGURA 11-3B). 
Para obter o mesmo torque como no primeiro caso, a força precisaria ser 
dobrada. Assim, um torque pode ser aumentado aumentando-se a força, 
aumentando o braço do momento, ou ambos. 
 O conceito de torque é geralmente usado na avaliação para reabilitação. 
Por exemplo, se um indivíduo lesou seu cotovelo, o fisioterapeuta pode usar 
uma técnica de resistência máxima para avaliar a articulação. O fisioterapeuta 
pode resistir à flexão do cotovelo do indivíduo exercendo uma força na posição 
média de seu antebraço. Isso cria um torque que o paciente precisa vencer. A 
medida que o indivíduo progride, o fisioterapeuta pode exercer 
aproximadamente o mesmo nível de força no punho ao invés de aplicá-la no 
meio do antebraço. Aumentando o braço do momento e mantendo a força 
constante,o fisioterapeuta aumenta o torque que o paciente precisa vencer. 
Essa técnica simples pode ser útil para o desenvolvimento de um programa 
para a reabilitação do indivíduo. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-3. Uma ilustração de uma chave de boca com dois pontos de aplicação de 
força. Segurando a chave na ponta (A) é gerado um torque maior porque o 
braço de momento é maior que no exemplo (B). 
 
 Dupla de Força: Quando um ginasta espera executar um giro sobre um 
eixo longitudinal, ele aplica não um, mas dois torques, iguais e opostos. 
Aplicando uma força para trás com um pé e uma força para frente com o outro 
pé. o ginasta cria dois torques que fazem com que ele rode sobre o eixo 
longitudinal (FIGURA 11-4). Esse par de forças é chamado de dupla de força. 
 
[431] 
 
Uma dupla de força é composta por duas forças iguais em magnitude e que 
agem em sentidos opostos. Essas forças agem a uma certa distância de um 
eixo e produzem rotação sobre ele. Uma dupla de força pode ser entendida 
como dois momentos de força, cada um criando uma rotação sobre o eixo 
longitudinal do ginasta. Os torques. contudo, também causam translação. mas 
como a translação causada por cada torque é em sentido oposto, a translação 
do corpo é cancelada. Assim, uma dupla de força causa uma rotação pura 
sobre um eixo sem translação. Colocando seus pés um pouco mais separados, 
o ginasta da FIGURA 11-4 pode aumentar o braço do momento e assim causar 
bem mais rotação. 
 Uma dupla de força é calculada através de: 
Dupla de Força = F d 
onde F é uma das forças iguais e opostas e d é a distância entre as forças. 
Apesar de não existirem duplas de força verdadeiras na anatomia humana, o 
corpo humano freqüentemente usa duplas de força. Por exemplo, uma dupla 
de força pode ser criada quando alguém usa o polegar e os outros dedos para 
abrir a tampa de um vidro. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-4. Um torque PDir * dD é criado pelo pé direito enquanto outro torque PEsq 
* dE é criado pelo pé esquerdo. Como esses dois torques são iguais e estão na 
mesma direção angular, a dupla de força resultará em uma rotação sobre o 
eixo longitudinal através do centro de massa. 
 
Centro de Massa 
 O peso corporal de um indivíduo é produto de sua massa e a aceleração 
devido à gravidade. O vetor do peso corporal se origina em um ponto 
denominado centro de gravidade, ou o ponto sobre o qual todas as partículas 
do corpo estão uniformemente distribuídas. O ponto sobre o qual a massa do 
corpo está uniformemente distribuída é denominado centro de massa. Os 
termos centro de massa e centro de gravidade se referem somente à direção 
vertical porque é essa a direção onde a gravidade atua. O termo mais geral é 
centro de massa. 
 Se o centro de massa é o ponto sobre o qual a massa está uniformemente 
distribuída, esse deve também ser o ponto de equilíbrio do corpo. Assim, o 
centro de massa pode ser também definido como o ponto sobre o qual a soma 
dos torques equivale a zero. Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
soma T cm = 0 
 
 Na FIGURA 11-5 está ilustrado um objeto consistindo de dois pontos de 
massa. O ponto de massa A resulta em um torque anti-horário sobre o ponto C 
enquanto o ponto B resulta em um torque horário sobre o ponto C. Se esses 
dois torques são iguais, o objeto fica equilibrado e o ponto C pode ser 
considerado o centro de massa. Isso não implica que a massa desses dois 
pontos de massa seja a mesma, mas que os torques criados pelas massas são 
iguais (FIGURA 11-5). 
 
[432] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-5. Um sistema de força com dois pontos equilibrados no centro de massa. 
 
 O centro de massa é um ponto teórico cuja localização pode mudar de 
instante a instante durante um movimento. A mudança na posição do centro de 
massa resulta de posições que se modificam rapidamente nos segmentos do 
corpo durante o movimento. De fato, o centro de massa não tem 
necessariamente que ficar dentro dos limites do objeto. Por exemplo, o centro 
de massa de uma porca está localizado dentro do orifício interno, porém fora 
da massa física da porca. No caso dos seres humanos, as posições dos 
segmentos podem também resultar em um caso onde o centro de massa fique 
fora do corpo. Em atividades como salto em altura e salto com vara. onde o 
corpo precisa curvar-se ao redor da barra, o centro de massa fica certamente 
fora dos limites do corpo (1). 
Método da Prancha de Reação 
 Uma abordagem de equilíbrio pode ser usada para determinar a 
localização do centro de massa de um indivíduo em uma postura estática 
particular. Esse método é conhecido como método da prancha de reação. Para 
essa técnica, usa-se uma escala de peso e uma prancha rígida medindo 
aproximadamente 2m por 0,6m com um ferro angulado nas duas pontas. O 
cálculo da localização do centro de massa envolve a soma dos torques sobre o 
suporte da plataforma. 
 Um diagrama de corpo livre do ajuste está apresentado na FIGURA 11-6. 
Uma ponta da prancha é colocada sobre a escala de peso com uma força de 
reação de S sobre aquela ponta, e R y sobre a ponta que está em contato com 
o solo. O centro de massa da prancha age através do ponto B a uma distância 
b da ponta da prancha de fora da escala. A magnitude de S y para a prancha 
apenas pode ser lida diretamente a partir da escala e age a uma distância s da 
ponta de fora da escala. Os torques sobre a ponta de fora da escala da 
prancha podem ser calculados. Se a escala para a prancha apenas apresenta 
a leitura de 90N e a prancha tem 2m de comprimento, o torque criado pelo 
peso da prancha é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
soma T = 0 
-S y * s + B * b = 0 
B * b = S y * s 
B * b = 90N * 2m 
B * b = 180N-m 
 
 
[433] 
 
 A pessoa então deita-se em decúbito dorsal sobre a prancha com seus 
calcanhares diretamente sobre a ponta de fora da escala e é registrado S y1, o 
peso do indivíduo e da prancha (FIGURA 11-6B). Seu peso corporal, W (670N), 
age verticalmente para baixo a partir de seu centro de massa, localizado a uma 
distância x cm da ponta de fora da escala. Novamente, os torques que agem 
sobre a ponta de fora da escala podem ser somados: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Soma T = 0 
-S y1 * s + W * x cm + B * b = 0 
 
Se o peso do sistema indivíduo-prancha era 424N, todas as quantidades 
conhecidas podem ser substituídas nessa equação para encontrar x cm: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
-424N * 2m + 670N * x cm + 180N-m = 0 
x cm = 848 N-m -180N-m sobre 670N 
x cm = 0,99m 
 
 Isso indica que o centro de massa do indivíduo está localizado 0,99m da 
ponta de fora da escala, com respeito aos pés do indivíduo. Esse valor é 
geralmente expresso como uma porcentagem da altura do indivíduo. 
Orientando o corpo em diferentes posições, fica evidente como o centro de 
massa pode mudar. Por exemplo, simplesmente movendo os braços para uma 
posição acima da cabeça, pode-se esperar que o centro de massa fique mais 
distante dos pés. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-6. Diagramas de corpo livre de: (A) sistema da prancha de reação; e (B) 
sistema prancha de reação/pessoa. 
 
Método Segmentar 
 Cálculo do Centro de Massa do Segmento: O método da prancha de 
reação é um exercício interessante, mas não tem muito uso no estudo 
biomecânico. Uma abordagem muito mais útil envolve o conhecimento das 
massas e localização dos centros de massa de cada um dos segmentos do 
corpo. Essa abordagem, chamada método segmentar, utiliza coordenadas x-y 
a partir de dados digitalizados, e as propriedadesmencionadas acima sobre os 
segmentos, para analisar um segmento por vez e então calcular o centro de 
massa corporal total. Antes de apresentar os cálculos desse método, é preciso 
abordar as fontes de informações relativas aos segmentos corporais. Têm sido 
utilizados pelo menos três métodos para derivar essa informação. Eles são: 1) 
medidas baseadas em estudos em cadáveres; 2) modelo matemático; e 3) 
exame com radioisótopos. 
 Vários pesquisadores têm apresentado fórmulas que estimam a massa e 
localização do centro de massa dos vários segmentos com base em estudos 
com cadáveres (2, 3, 4, 5). Esses pesquisadores têm gerado equações de 
regressão ou predição que tornam possível estimar a massa e a localização do 
centro de massa. A TABELA 11-1 apresenta as equações de predição a partir 
de Chandler et al. (4). Os parâmetros previstos baseiam-se em parâmetros 
conhecidos como peso corporal total ou a extensão ou circunferência do 
segmento. Um exemplo de uma equação de regressão baseada em Clauser et 
al. (3) para estimar a massa do segmento da perna é: 
Massa da perna = 0,111 circunferência da panturrilha + 0,047 altura da tíbia + 
0,074 circunferência do tornozelo -4,208 
onde todas as dimensões de comprimento são medidas em centímetros. A 
localização do centro de massa do segmento é geralmente apresentada como 
uma porcentagem do comprimento do segmento a partir da ponta proximal ou 
distal do segmento. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma tabela constituída por 3 colunas e 9 
linhas cuja legenda é: TABELA 11-1. Equações para previsão do peso do 
segmento e localização do centro de massa. (De Chandler, R.F., Clauser, C.E., 
McConville, J.T., Reynolds, H.M., Young, J.W. Investigation of inertial 
properties of the human body. AMRL Technical Report, pp. 74-137. Wright-
Patterson Air Force Base, 1975.) 
Segmento Peso (N) Localização do CM (%) 
cabeça 0,032 PC+ 18,70 66,3% da ponta proximal 
tronco 0,532 PC - 6,93 52,2% da ponta proximal 
antebraço 0,022 PC + 4,76 50,7% da ponta proximal 
braço 0,013 PC + 2,41 41,7% da ponta proximal 
mão 0,005 PC + 0,75 51,5% da ponta proximal 
coxa 0,127 PC - 14,82 39,8% da ponta proximal 
perna 0,044 PC - 1,75 41,3% da ponta proximal 
pé 0,009 PC + 2,48 40,0% da ponta proximal 
 Outros pesquisadores têm usado modelos matemáticos para prever as 
massas dos segmentos e localizações de seus centros de massa. Isso tem 
sido feito representando os segmentos corporais do indivíduo como sólidos 
geométricos regulares (6, 7, 8, 9). Usando esse método, os segmentos do 
corpo são representados como cones truncados (p.ex., braço, antebraço, coxa, 
perna e pé), cilindros (p.ex., tronco) ou esferas elípticas (p.ex., cabeça e mão). 
Um desses modelos, o modelo de Hanavan, está apresentado na FIGURA 11-
7. 
 
[434] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-7. Representação do corpo humano usando sólidos geométricos. (Miller, 
D.I. & Morrison, W.E. Prediction of segmental parameters using the Hanavan 
human body model. Medicine and Science in Sports 7(3):207-212, 1975.) 
 
As equações de regressão baseadas na geometria dos sólidos requer a 
obtenção de várias medidas para cada segmento. Por exemplo, o segmento da 
coxa requer a medida da circunferência da coxa superior e inferior, o 
comprimento da coxa, e a massa corporal total para estimar os parâmetros 
desejados para o segmento. 
 O terceiro método para determinar as características do segmento 
necessárias é a técnica "gama" sugerida por Zatsiorsky e Seluyanov (10). Esta 
envolve o uso de um método de radioisótopos. Usando esse método, é feita a 
medida de um raio de radiação gama antes e depois de passar por um 
segmento. Desse modo pode-se calcular a massa por unidade de área de 
superfície e assim gerar equações de predição para determinar as 
características do segmento. A equação do exemplo a seguir baseia-se nesses 
dados e prevê a massa do segmento da perna: 
y = -1,592 + 0,0362 * massa corporal + 0,0121 * altura corporal 
onde y é a massa da perna em quilogramas. A equação a seguir prevê a 
localização do centro de massa ao longo do eixo longitudinal para o mesmo 
segmento: 
y = -6,05 -0,039 * massa corporal + 0,142 * altura corporal 
onde y é a localização do centro de massa como uma porcentagem do 
comprimento do segmento. 
 Todos esses métodos têm sido usados na literatura para determinar as 
características dos segmentos do centro de massa e todas dão estimativas 
razoáveis desses parâmetros. O segmento da coxa será usado como exemplo 
para calcular esses parâmetros. Usando os dados de Dempster (2), a massa 
da coxa de um indivíduo é 0,1 vezes sua massa corporal total. Assim, se um 
indivíduo tivesse uma massa corporal total de 75kg, a massa da coxa seria: 
m coxa = 0,1 * 75 kg 
m coxa = 7,5 kg 
 Usando os mesmos dados, o centro de massa se localiza em 43,3% do 
comprimento da coxa medido a partir da ponta proximal ao longo do eixo do 
segmento. Considere as coordenadas da ponta do segmento da ilustração de 
coxa da FIGURA 11-8. A localização do centro de massa será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
x cm = x p -(comprimento do segmento na direção -x * 0,433) 
= x p -((x p -x d) * 0,433) 
= 0,45 -((0,45 -0,41) * 0,433) 
= 0,4327 
 
onde x cm é a localização do centro de massa, x p é a localização da articulação 
do quadril, e x d é a localização da articulação do joelho, sempre na direção 
horizontal. Similarmente: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
y cm = y p -(comprimento do segmento na direção -y * 0,433) 
= y p -((y p -y d) * 0,433) 
= 0,78 -((0,78 -0,47) * 0,433) 
= 0,645 
 
 
[435] 
 
onde y cm é a localização do centro de massa, y p é a localização da articulação 
do quadril, e y d é a localização da articulação do joelho, sempre na direção 
vertical. O centro de massa do segmento é (0,4327; 0,645) no quadro de 
referência. Observe que a localização do centro de massa precisa estar entre 
os valores para as pontas proximal e distai dos segmentos. Esse procedimento 
precisa ser realizado para cada segmento, usando as coordenadas dos centros 
articulares para definir cada um. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-8. Ilustração do segmento da coxa e as coordenadas da ponta do segmento 
em um instante no tempo durante uma passada da caminhada. 
 
 Cálculo do Centro de Massa Corporal Total: Assim que as localizações 
dos centros de massa segmentares foram definidas, pode-se calcular o centro 
de massa corporal total. Considere a ilustração de um modelo hipotético com 
três segmentos na FIGURA 11-9. A massa e a localização do centro de massa 
de cada segmento foi determinada previamente. Para determinar a localização 
horizontal do centro de massa, são calculados os torques sobre o eixo y, 
usando o conceito de que a soma dos torques sobre o centro de massa do 
sistema total é zero. Existem quatro torques para considerar: três criados pelos 
centros de massa segmentares e um pelo centro de massa do sistema total. 
Assim: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
m 1 g x 1 + m 2 g x 2 + m 3 g x 3 = M g x cm 
 
onde m é a massa dos segmentos respectivos, M é a massa total do sistema, g 
é a aceleração devido à gravidade, x é a localização dos centros de massa 
segmentares, e x cm é a localização do centro de massa do sistema. Como o 
termo g aparece em todos os termos da equação, ele pode ser cortado 
resultando em: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 = M x cm 
 
 Substituindo os valores da FIGURA 11-8 nessa equação, há somente uma 
quantidade desconhecida, x cm. Assim: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula:1 (1) + 2 (1) + 3 (3) = 6 x cm 
x cm = 12 sobre 6 
x cm = 2 
 
Assim, o centro de massa está localizado a 2 unidades do eixo y. 
 Usando o mesmo procedimento, a localização vertical do centro de massa 
do sistema pode ser encontrada determinando os torques sobre o eixo x. 
Assim, a localização vertical do centro de massa do sistema pode ser calculada 
através de: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 = M y cm 
1 (1) + 2 (1) + 3 (3) = 6 y cm 
y cm = 14 sobre 6 
y cm = 2,3 
 
O centro de massa localiza-se a 2,3 unidades do eixo x. Assim, o centro de 
massa desse sistema total fica em (2; 2,3). Na direção x, a massa fica 
igualmente distribuída entre os lados esquerdo e direito e assim a localização 
do centro de massa é basicamente no centro. Isso não é o que ocorre na 
direção y. A massa total não fica distribuída igualmente entre o topo e a base 
porque a maior parte da massa está localizada perto do topo do sistema. 
Desse modo, a localização y cm é mais próxima da maior parte da massa do 
sistema. A localização do centro de massa do sistema está representada na 
FIGURA 11-9 pela intersecção das linhas pontilhadas. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-9. Localização do centro de massa em um sistema de massa de três 
pontos. 
 
 O exemplo anterior pode ser usado para generalizar o procedimento para 
cálculo da localização do centro de massa corporal total. No exemplo anterior, 
tanto para a posição horizontal quanto vertical, os produtos das coordenadas 
do centro de massa do segmento e a massa do segmento, para cada 
segmento, eram somados e então divididos pela massa corporal total. Em 
termos algébricos: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
x cm = soma n i=1 m i x i sobre M 
 
onde x cm é a localização horizontal do centro de massa corporal total, n é o 
número total de segmentos, m i é a massa do segmento i, M é a massa 
corporal total, e x i é a localização horizontal do centro de massa do segmento 
i. 
 
[436] 
 
 Similarmente, para a direção vertical: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
y cm = soma n i=1 m i y i sobre M 
 
onde y cm é a localização vertical do centro de massa corporal total, n é o 
número total de segmentos, m i é a massa do segmento i, M é a massa 
corporal total, e y i é a localização vertical do centro de massa do segmento i. 
 Essa técnica para cálculo do centro de massa corporal total é usada em 
muitos estudos em biomecânica. O cálculo é baseado nas características do 
segmento e as coordenadas determinadas a partir da análise cinemática. Para 
a maioria das situações, o corpo é considerado como um modelo de 14 
segmentos (cabeça, tronco, 2 braços, 2 antebraços, 2 mãos, 2 coxas, 2 pernas, 
2 pés). Em certas situações onde as ações dos membros são simétricas, será 
suficiente o modelo de 8 segmentos (cabeça, tronco, braço, antebraço, mão, 
coxa, perna e pé), embora a massa dos segmentos não digitalizados precise 
ser incluída. Como exemplo dessa técnica, considere a ilustração do corredor 
na FIGURA 11-10. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-10. Centros segmentares de massa de um corredor em um instante no 
tempo. O centro de massa corporal total está indicado por um asterisco. 
 
 As coordenadas das localizações dos centros de massa segmentares 
estão apresentadas na ilustração do corredor. Se assumirmos que o corredor 
tem uma massa corporal de 68,2kg e forem usadas para a massa dos 
segmentos as proporções de Dempster (2), poderemos calcular o centro de 
massa corporal total. Primeiro, precisará ser calculada a soma para todos os 
segmentos dos produtos da massa do segmento e o valor de x para o centro 
de massa do segmento. Ou seja: 
cabeça = 5,39 * 3,6 = 19,40 
tronco = 35,05 * 8,46 = 296,52 
braço esquerdo = 1,81 * 4,44 = 8,04 
braço direito = 1,81 * 6,18 = 11,19 
antebraço esquerdo = 1,06 * 3,77 = 3,996 
antebraço direito =1,06 * 8,49 = 8,999 
mão esquerda = 0,41 * 2,50 = 1,03 
mão direita = 0,41 * 10,91 = 4,47 
coxa esquerda = 6,58 * 9,07 = 59,68 
coxa direita = 6,58 * 12,73 = 83,76 
perna esquerda = 3,07 * 8,76 = 26,89 
perna direita = 3,07 * 16,99 = 52,16 
pé esquerdo = 0,95 * 10,11 = 9,60 
pé direito = 0,95 * 19,60 = 18,62 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
soma n i=1 m i x i = 604,36 
 
O x cm pode então ser calculado através de: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
x cm = soma n i=1 m i x i sobre M 
= 604,36 sobre 68,2 
= 8,86 
 
 
[437] 
 
Similarmente, podem ser feitos os cálculos para a coordenada y cm. Ou seja: 
cabeça = 5,39 * 14,8 = 79,77 
tronco = 35,05 * 13,67 = 479,13 
braço esquerdo = 1,81 * 13,04 = 23,60 
braço direito = 1,81 * 16,50 = 29,87 
antebraço esquerdo = 1,06 * 12,26 = 12,996 
antebraço direito = 1,06 * 18,34 = 19,44 
mão esquerda = 0,41 * 14,21 = 5,83 
mão direita = 0,41 * 18,20 = 7,46 
coxa esquerda = 6,58 * 11,20 = 73,30 
coxa direita = 6,58 * 10,70 = 70,41 
perna esquerda = 3,07 * 8,16 = 25,05 
perna direita = 3,07 * 7,66 = 23,52 
pé esquerdo = 0,95 * 5,63 = 5,35 
pé direito = 0,95 * 4,91 = 4,66 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
soma n i=1 m i x i = 860,78 
 
O y cm pode então ser calculado através de: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
y cm = soma n i=1 m i y i sobre M 
= 860,78 sobre 68,2 
= 12,62 
 
As coordenadas do centro de massa corporal total, assim, são 8,86 e 12,62 e 
estão indicadas na FIGURA 11-10 pelo asterisco. 
Rotação e Alavanca 
 O resultado de um torque é produzir uma rotação ou pivotear sobre um 
eixo. Quando são consideradas as rotações sobre um ponto fixo, podem ser 
discutidos os efeitos da alavanca. Uma alavanca é uma haste rígida que é 
rodada sobre um ponto fixo ou eixo chamado de fulcro. Uma alavanca consiste 
de uma força de resistência, uma força de esforço, uma estrutura semelhante a 
uma barra, e um fulcro. Além disso, existem dois momentos ou braços de 
alavanca designados como braço de esforço e braço de resistência. O braço de 
esforço é a distância perpendicular a partir da linha de ação da força de esforço 
até o fulcro. O braço de resistência é a distância perpendicular a partir da linha 
de ação da força de resistência até o fulcro. Como tanto as forças de esforço 
quanto as de resistência agem a certa distância do fulcro, elas criam torques 
sobre o fulcro. Um exemplo anatômico, como o segmento do antebraço, pode 
ser usado para ilustrar uma alavanca (FIGURA 11-11). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-11. Uma ilustração de uma alavanca anatômica. 
 
O osso longo do segmento do antebraço é a estrutura rígida semelhante a uma 
barra e a articulação do cotovelo é o fulcro. A força de resistência pode ser o 
peso do segmento e possivelmente uma carga a mais levada pela mão ou pelo 
punho. A força de esforço é produzida pela tensão desenvolvida nos músculos 
para fletir o cotovelo. A FIGURA 11-12 ilustra vários exemplos de máquinas 
simples que são, na verdade, tipos diferentes de alavancas. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-12. Objetos simples que são alavancas. 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-12. (continuação) Objetos simples que são alavancas. 
 
 Uma alavanca pode ser avaliada quanto a sua efetividade mecânica 
computando sua vantagem mecânica. Vantagem mecânica é definida como a 
relação entre braço de esforço e braço de resistência. Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
VM = braço de esforçosobre braço de resistência 
 
 Na construção de uma alavanca, existem três situações que podem surgir 
e definem a função da alavanca. O caso mais simples é quando VM = 1 ou 
quando o braço de esforço equivale ao braço de resistência. Nesse caso, a 
função da alavanca é alterar a direção do movimento ou o equilíbrio da 
alavanca, mas não ampliar nem a força de esforço nem a de resistência. O 
segundo caso é quando a VM > 1, ou quando o braço de esforço é maior que o 
braço de resistência. Nesse caso, o torque criado pela força de esforço é 
ampliado pelo braço de esforço maior. Assim, quando VM > 1, considera-se 
que a alavanca amplia a força de esforço. Na terceira situação, VM < 1, o braço 
de esforço é menor que o braço de resistência. Nesse caso, uma força de 
esforço muito maior é necessária para vencer a força de resistência. 
 
[438] 
 
A força de esforço age sobre uma distância pequena, contudo, com o resultado 
de que a força de resistência é movida sobre uma distância muito maior na 
mesma quantidade de tempo (FIGURA 11-13). Desse modo, quando VM < 1 
considera-se que a velocidade do movimento é ampliada. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-13. Uma alavanca de primeira classe onde VM < 1, ou seja, o braço de 
esforço é menor que o braço de resistência. A distância linear movida pela 
força de esforço, contudo, é menor que a movida pela força de resistência no 
mesmo período de tempo. 
 
 Existem três classes de alavancas. Em uma alavanca de primeira classe, 
a força de esforço e a força de resistência estão em lados opostos do fulcro. 
Exemplos cotidianos dessa configuração de alavanca são a gangorra, a 
balança com pesos e o pé de cabra. Uma alavanca de primeira classe pode ser 
configurada de muitos modos diferentes e pode ter uma vantagem mecânica 
igual a 1, maior que 1 ou menor que 1. As alavancas de primeira classe 
existem no sistema músculo-esquelético do corpo humano. A ação simultânea 
dos músculos agonistas e antagonistas agindo em lados opostos de uma 
articulação cria uma alavanca de primeira classe. Na maioria dos casos, 
contudo, a alavanca de primeira classe no corpo humano age com uma 
vantagem mecânica igual a 1. Ou seja, elas agem para equilibrar ou mudar a 
direção da força de esforço. Um exemplo da situação anterior é a ação do 
músculo esplênio agindo para equilibrar a cabeça sobre a articulação 
atlantoaxial (FIGURA 11-14). A situação anterior, onde a alavanca age para 
simplesmente mudar a direção da força de esforço, é vista na ação de muitas 
proeminências ósseas chamadas processos. 
 
[439] 
 
Esse tipo de alavanca de primeira classe é chamado de polia. Um exemplo 
seria a ação da patela na extensão da articulação do joelho. Aqui o ângulo de 
tração dos músculos quadríceps é alterado pela ação de deslizamento da 
patela sobre o sulco condilar do fêmur. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-14. Uma alavanca mecânica de primeira classe na qual o peso da cabeça é 
a força de resistência, o músculo esplênio provê a força de esforço e o fulcro é 
a articulação atlantoccipital. 
 
 Na alavanca de segunda classe, a força de esforço e a força de 
resistência agem no mesmo lado do fulcro. Nessa classe de alavanca, a força 
de resistência age entre o fulcro e a força de esforço. Ou seja, o braço da força 
de resistência é menor que o braço de esforço e assim a vantagem mecânica é 
maior que 1. Um exemplo de alavanca de segunda classe em situações 
cotidianas é o carrinho de mão (FIGURA 11-15). Existem alguns poucos 
exemplos de alavancas de segunda classe no corpo humano, embora o ato de 
elevar-se sobre a ponta dos pés é geralmente defendido como sendo um 
desses exemplos. Essa ação é usada no treinamento com pesos e é conhecida 
como "levantamento de panturrilha". Como existem tão poucos exemplos de 
alavancas de segunda classe no corpo humano, é seguro dizer que os 
humanos não foram projetados para aplicar grandes forças através de sistemas 
de alavancas de segunda classe. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-15. Uma ilustração de um carrinho de mão como alavanca de segunda 
classe. Observe que a força de resistência está localizada entre o fulcro e a 
força de esforço. Como o braço de esforço > braço de resistência, VM > 1 e a 
força de esforço fica ampliada. 
 
 A força de esforço e a força de resistência podem também estar no 
mesmo lado do fulcro em uma alavanca de terceira classe. Nesse arranjo, 
contudo, a força de esforço age entre o fulcro e a linha de ação da força de 
resistência. Como resultado, o braço da força de esforço é menor que o braço 
da força de resistência e assim a vantagem mecânica é menor que 1. Um 
exemplo desse tipo de alavanca é uma pá de cabo comprido quando a mão 
que está mais próxima da pá aplica a força de esforço (FIGURA 11-16). Assim, 
parece que uma grande força de esforço precisa ser aplicada para vencer uma 
força de resistência moderada. Em uma alavanca de terceira classe, uma 
grande força de esforço é aplicada para ganhar a vantagem de uma maior 
velocidade de movimento. 
 
[440] 
 
Esse é o tipo mais proeminente de arranjo de alavanca no corpo humano, com 
quase todas as articulações dos membros agindo como alavancas de terceira 
classe. É provavelmente seguro concluir que, do ponto de vista do modelo, 
parece haver uma ênfase no sistema músculo-esquelético para maiores 
velocidades de movimento, exemplificadas pelas alavancas de terceira classe, 
ficando em segundo plano a capacidade de aplicação de grandes forças de 
esforço, características da alavanca de segunda classe. A FIGURA 11-17 
ilustra um arranjo de alavanca de terceira classe no corpo humano. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-16. Um indivíduo usando uma pá é um exemplo de alavanca de terceira 
classe. 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-17. O braço mantido em uma posição de flexão no cotovelo é uma alavanca 
anatômica de terceira classe: a força de resistência é o peso do braço, o fulcro 
é a articulação do cotovelo, e a força de esforço é dada pelos músculos 
flexores do cotovelo. 
 
Momento de Inércia 
 De acordo com a primeira lei do movimento de Newton, inércia é uma 
tendência do objeto de resistir a uma mudança de velocidade. A medida da 
inércia de um objeto é sua massa. O equivalente angular de massa é o 
momento de inércia. É uma quantidade que indica a resistência de um objeto a 
uma mudança no movimento angular. Diferente de seu equivalente linear, 
massa, o momento de inércia do corpo depende não somente da massa do 
objeto, mas também da distribuição da massa com respeito ao eixo de rotação. 
O momento de inércia também tem valores diferentes porque existem muitos 
eixos sobre os quais um objeto pode girar. Ou seja, o momento de inércia não 
é fixo, mas é uma quantidade modificável. Se for usado como exemplo um 
ginasta rodando no ar com o corpo em uma posição estendida, o modo pelo 
qual o momento de inércia muda pode ser ilustrado. Suponha que o ginasta 
gire sobre um eixo longitudinal passando por seu centro de massa. A massa do 
ginasta está distribuída ao longo de seu eixo, e relativamente perto dele 
(FIGURA 11-18A). Se o ginasta agora roda sobre um eixo transverso através 
do centro de massa, a mesma massa é distribuída muito mais além do eixo de 
rotação (FIGURA 11-18B). Como existe uma maior distribuição de massa 
rodando sobre o eixo transverso que sobre o eixo longitudinal, o momento de 
inércia é maior no primeiro caso. Ou seja, existe uma maior resistência à 
rotação sobre o eixo transverso que sobre o eixo longitudinal. O ginasta 
também pode alterar a distribuição de sua massa sobre um eixo assumindo 
diferentes posições no corpo. Eles podem assumiruma posição curvada, 
trazendo mais massa corporal para perto do eixo transverso, assim diminuindo 
o momento de inércia. Em saltos mortais múltiplos no ar, os ginastas assumem 
uma posição extremamente curvada colocando a cabeça quase entre os 
joelhos em uma tentativa de reduzir seu momento de inércia. Eles fazem isso 
para proporcionar menor resistência à aceleração angular e assim completar os 
saltos mortais múltiplos. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-18. A distribuição da massa de um indivíduo sobre o eixo longitudinal 
através do centro de massa corporal total (A) e sobre um eixo transverso 
através do centro de massa corporal total (B). 
 
 
[441] 
 
 O conceito de reduzir o momento de inércia para favorecer o movimento 
angular é também visto na corrida (FIGURA 11-19). Durante a fase de 
balanceio, o pé é trazido para frente vindo de trás do corpo até o ponto no solo 
onde será feito o próximo contato. Assim que o pé deixa o solo, contudo, a 
perna flexiona consideravelmente no joelho e o pé é levantado para cima 
próximo das nádegas. O efeito dessa ação é diminuir o momento de inércia do 
membro inferior com relação ao eixo transverso através da articulação do 
quadril. Isso possibilita ao membro rodar para frente mais rapidamente do que 
seria possível se o membro inferior não estivesse fletido. Essa ação é uma 
característica que distingue a ação dos membros inferiores de corredores de 
velocidade. A FIGURA 11-19 ilustra a mudança no momento de inércia do 
membro inferior durante a ação de recuperação da corrida. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-19. Uma ilustração gráfica das mudanças no momento de inércia da perna 
durante a passada. 
 
 Se todos os objetos são considerados como constituídos de um número 
de pequenas partículas, cada uma com sua própria massa e sua própria 
distância do eixo de rotação, então o momento de inércia pode ser 
representado em termos matemáticos por: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I = soma n i=1 m i r i 
2 
 
onde I é o momento de inércia, n representa o número de massas de partícula, 
m i representa a massa da partícula i, e r i é a distância da partícula i do eixo de 
rotação. Ou seja, o momento de inércia equivale à soma dos produtos de 
massa e a distância do eixo de rotação ao quadrado de todas as partículas de 
massa que compreendem o objeto. Uma análise dimensional da equação 
acima resulta em unidades de quilogramas por metros ao quadrado (kg-m2) 
para o momento de inércia. 
 Considere a ilustração na FIGURA 11-20. Esse objeto hipotético é 
compreendido de 5 pontos de massa cada um com uma massa de 0,5kg. As 
distâncias r1 a r5 representam a distância do eixo de rotação. Os pontos de 
massa estão separados 0,1m e o primeiro está a 0,1m do eixo y-y. Cada ponto 
de massa está a 0,1m do eixo x-x. O momento de inércia sobre o eixo y-y é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I y -y = soma n i=1 m i r i 
2 
= m1 r1 
2 + m2 r2 
2 + m3 r3 
2 + m4 r4 
2 + m5 r5 
2 
= 0,5kg * (0,1m)2 + 0,5kg * (0,2m)2 + 0,5kg * (0,3m)2 + 0,5kg * (0,4m)2 + 0,5kg * 
(0,5m)2 
= 0,005kg-m2 + 0,02kg-m2 + 0,045kg-m2 + 0,08kg-m2 + 0,125kg-m2 
= 0,275kg-m2 
 
 
 
[442] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-20. Um sistema de massa hipotético de cinco pontos. 
 
 Se o eixo de rotação é mudado para o eixo x-x. o momento de inércia do 
objeto sobre seu eixo será: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I x -x = soma n i=1 m i r i 
2 
= m1 r1 
2 + m2 r2 
2 + m3 r3 
2 + m4 r4 
2 + m5 r5 
2 
= 0,5kg * (0,1m)2 + 0,5kg * (0,1m)2 + 0,5kg * (0,1m)2 + 0,5kg * (0,1m)2 + 0,5kg * 
(0,1m)2 
= 0,005kg-m2 + 0,005kg-m2 + 0,005kg-m2 + 0,005kg-m2 + 0,005kg-m2 
= 0,025kg-m2 
 
 A mudança no eixo de rotação do eixo y-y para o eixo x-x reduz 
dramaticamente o momento de inércia, resultando em menos resistência ao 
movimento angular sobre o eixo x-x que sobre o eixo y-y. 
 
[443] 
 
Se é usado um eixo que passa através do centro de massa geométrico, a 
massa do ponto 3 pode não influenciar no momento de inércia porque o eixo 
passa diretamente sobre esse ponto. Assim: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I cm = soma n i=1 m i r i 
2 
= m1 r1 
2 + m2 r2 
2 + m3 r3 
2 + m4 r4 
2 + m5 r5 
2 
= 0,5kg * (0,2m)2 + 0,5kg * (0,1m)2 + 0,5kg * (0,1m)2 + 0,5kg * (0,2m)2 
= 0,02kg-m2 + 0,005kg-m2 + 0,005kg-m2 + 0,02kg-m2 
= 0,05kg-m2 
 
 A partir desses exemplos, deve estar claro agora que o momento de 
inércia muda de acordo com o eixo de rotação. 
 No corpo humano, os segmentos não são simplesmente construídos como 
no exemplo acima. Cada segmento é constituído de diferentes tipos de tecido 
como osso, músculo, pele etc, que não são distribuídos uniformemente. Os 
segmentos do corpo têm também formato irregular. Isso significa que um 
segmento não tem densidade uniforme e assim seria impraticável determinar o 
momento de inércia dos segmentos do corpo humano usando o método de 
partícula-massa. Os valores para o momento de inércia de cada segmento do 
corpo têm sido determinados usando um número de métodos diferentes. 
Experimentalmente, os valores do momento de inércia têm sido obtidos usando 
quase os mesmos meios que os parâmetros para o centro de massa. Os 
valores têm sido obtidos de estudos em cadáveres (2), modelos matemáticos 
(7, 8) e de técnicas de exame gama (10). Jensen (11) desenvolveu equações 
de previsão especificamente para crianças baseadas na massa corporal e 
altura delas. 
 Para um alto grau de precisão, é necessário calcular um momento de 
inércia que seja único para um determinado indivíduo. A maioria das técnicas 
que proporcionam valores para momentos de inércia dos segmentos 
proporcionam informações sobre o raio de giro do segmento e a partir daí 
pode-se calcular seu momento de inércia. O raio de giro denota a distribuição 
da massa do segmento sobre o eixo de rotação e é a distância do eixo de 
rotação até um ponto onde a massa possa ser considerada como concentrada 
sem mudar as características de inércia do segmento. Assim, o momento de 
inércia de um segmento pode ser calculado através de: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I = m (ρ ro 1)2 
 
onde I é o momento de inércia, m éa massa do segmento, 1 é o comprimento 
do segmento e a letra grega ro, ρ, é o raio de giro do segmento como uma 
proporção do comprimento do segmento. Por exemplo, considere a perna de 
um indivíduo com uma massa e comprimento de 3,6kg e 0,4m, 
respectivamente. A proporção do raio de giro para o comprimento do segmento 
é 0,302 com base nos dados de Dempster (2). Essa informação é suficiente 
para calcular o momento de inércia da perna sobre um eixo através do centro 
de massa. Assim: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I cm = m (ρ ro cm 1)
2 
= 3,6kg * (0,302 * 0,4m)2 
= 0,0525kg-m2 
 
 O momento de inércia sobre um eixo através do centro de massa é 
0,0525kg-m2. A TABELA 11-2 ilustra o raio de giro como uma proporção dos 
valores de comprimento do segmento de Dempster (2). 
 
[444] 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma tabela constituída por 4 colunas e 8 
linhas cuja legenda é: TABELA 11-2. Raio de giro como uma proporção do 
comprimento do segmento sobre um eixo transverso. (De Dempster, W.T. 
Space requirements of the seated operator. WADC Technical Report, pp. 55-
159. Wright-Patterson Air Force Base, 1955.) 
Segmento Centro de Massa Proximal Distal 
cabeça, pescoço, tronco 0,503 0,830 0,607 
antebraço 0,322 0,542 0,645 
braço 0,303 0,526 0,647 
mão 0,2970,587 0,577 
coxa 0,323 0,540 0,653 
perna 0,302 0,528 0,643 
pé 0,475 0,690 0,690 
 Usando a técnica do raio de giro, pode também ser calculado o momento 
de inércia sobre um eixo transverso através das pontas proximal e distal do 
segmento. O raio de giro como uma proporção do comprimento do segmento 
sobre a ponta proximal da perna no exemplo anterior é 0,528. Assim, o 
momento de inércia sobre a ponta proximal do segmento é calculado como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I prox = m (ρ ro prox 1)
2 
= 3,6kg * (0,528 * 0,4m)2 
= 0,161kg-m2 
 
Na ponta distal do segmento da perna, o momento de inércia é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I distal = m (ρ ro distal 1)
2 
= 3,6kg * (0,643 * 0,4m)2 
= 0,238kg-m2 
 
 Os valores do momento de inércia para qualquer segmento é geralmente 
dado para um eixo através do centro de massa do segmento. Esse valor de 
momento de inércia é o menor valor possível quando comparado com qualquer 
outro eixo paralelo através do segmento. Por exemplo, na FIGURA 11-21, são 
desenhados três eixos transversos paralelos através do segmento da perna. 
Esses eixos são através da extremidade proximal, através do centro de massa 
e através da extremidade distal. Como a massa do segmento é distribuída 
igualmente sobre o centro de massa, intuitivamente, o momento de inércia 
sobre o eixo do centro de massa deve ser pequeno, e os momentos de inércia 
sobre os outros eixos são maiores, porém não iguais. Isso foi ilustrado nos 
cálculos anteriores do momento de inércia. Como a massa da maioria dos 
segmentos está distribuída mais próxima da ponta proximal do segmento, o 
momento de inércia sobre o eixo proximal é menor que sobre um eixo paralelo 
através da ponta distal. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-21. Eixos transversos paralelos através do ponto proximal, distal e do centro 
de massa da coxa. 
 
 O momento de inércia, contudo, pode ser calculado sobre qualquer eixo 
paralelo, dado o momento de inércia sobre um eixo, a massa do segmento e a 
distância perpendicular entre os eixos paralelos. Esse cálculo é conhecido 
como Teorema do Eixo Paralelo. Considere que o momento de inércia sobre 
um eixo transverso através do centro de massa de um segmento é conhecido, 
e é necessário calcular o momento de inércia sobre um eixo transverso 
paralelo através da extremidade proximal. Esse teorema afirma que: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I prox = I cm + mr
2 
 
onde I é o momento de inércia sobre o eixo proximal, I cm é o momento de 
inércia sobre o eixo do centro de massa, m é a massa do segmento e r é a 
distância perpendicular entre os dois eixos paralelos. 
 
[445] 
 
A partir do cálculo do exemplo anterior da perna, foi determinado que o 
momento de inércia sobre um eixo através do centro de massa era 0,0525kg-
m2. Se o centro de massa está localizado a 43,3% do comprimento do 
segmento a partir da ponta proximal, o momento de inércia sobre um eixo 
paralelo através da extremidade proximal do segmento pode ser calculado. Se 
o comprimento do segmento é 0,4m, a distância entre a extremidade proximal 
do segmento e o centro de massa é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
d = 0,433 * 0,4m 
= 0,173m 
 
O momento de inércia sobre uma extremidade proximal, então, é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I prox = I cm + mr
2 
= 0,0525kg-m2 + 3,6kg * (0,173m)2 
= 0,161kg-m2 
 
Esse valor é o mesmo que foi calculado usando a proporção raio de 
giro/comprimento do segmento dos dados de Dempster (2). Pode ser visto que 
o momento de inércia sobre um eixo através do centro de massa é menor que 
o momento de inércia sobre qualquer outro eixo paralelo através de qualquer 
outro ponto no segmento. 
Momento Angular 
 No capítulo anterior, o momento linear foi definido como a quantidade de 
movimento linear. O análogo angular do momento linear é o momento angular 
e é definido como a quantidade de movimento angular. Como esses conceitos 
são análogos, a fórmula algébrica de momento angular pode ser derivada do 
caso linear. Se o momento linear é o produto de massa e velocidade, o 
momento angular de qualquer corpo rígido deve ser o produto do momento de 
inércia e velocidade angular. Assim: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
H = I ω ómega 
 
onde H é a velocidade angular, I é o momento de inércia e ω ómega é a 
velocidade angular. As unidades para momento angular podem ser 
determinadas através de uma análise de unidades. Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
H = kg-m2 * rad/s 
H = kg-m2 sobre s 
 
Observe que os radianos não têm dimensão e desaparecem da unidade final 
do momento angular. O momento angular é um vetor e a direção do vetor é 
determinada pela Regra da Mão Direita. Novamente, as rotações anti-horárias 
são positivas (+) e as rotações horárias são negativas (-). 
 Quando a gravidade é a única força externa agindo sobre um objeto, 
como no movimento de um projétil, o momento angular gerado na largada 
permanece constante durante a duração do vôo. Esse princípio é conhecido 
como conservação do momento angular. O momento angular é conservado 
durante um vôo porque o vetor do peso corporal, agindo através do centro de 
gravidade corporal total, não cria torque algum porque o braço do momento é 
zero. 
 Considere o momento angular de um ginasta fazendo um salto mortal sem 
apoio sobre um eixo transverso através de seu centro de massa corporal total 
(FIGURA 11-22). A quantidade de momento angular é determinada pelo torque 
aplicado sobre o tempo no ponto de decolagem. Durante a fase de vôo, o 
momento angular não muda. O ginasta pode manipular seu momento de 
inércia, contudo, para girar mais rápido ou mais lentamente sobre o eixo 
transverso. Na decolagem, o ginasta está em uma posição "esticada" com um 
momento de inércia relativamente grande e uma velocidade angular ou 
freqüência de giro relativamente pequena. A medida que o ginasta assume 
uma posição dobrada, o momento de inércia diminui e a velocidade angular 
aumenta na mesma proporção porque a quantidade de momento angular é 
constante. Quando o ginasta já completou a rotação necessária e está se 
preparando para aterrissar, ele "se abre" ou assume uma posição "esticada", 
aumentando seu momento de inércia e diminuindo sua freqüência de giro. Se 
essas ações são feitas com sucesso, o ginasta irá aterrissar sobre seus pés. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-22. O momento angular, momento de inércia e velocidade angular de um 
saltador fazendo um salto mortal. Através da porção aérea do mergulho, o 
momento angular corporal total do saltador é constante. Quando o saltador 
está em posição esticada, o momento de inércia diminui e a velocidade 
aumenta proporcionalmente. Durante a porção dobrada do mergulho, a 
velocidade angular aumenta e o momento de inércia diminui 
proporcionalmente. 
 
 
[446] 
 
 Até este ponto foi discutido apenas o momento angular sobre um eixo 
único. O momento angular sobre um eixo pode ser transferido para outro eixo. 
Isso ocorre em muitas atividades onde o corpo é um projétil. Enquanto o 
momento angular total é constante, este pode ser transferido, por exemplo, de 
um eixo transverso através do centro de massa para um eixo longitudinal 
através do centro de massa. Por exemplo, um mergulhador pode rodar sobre o 
eixo longitudinal e iniciar ações para então fazer um rolamento sobre o eixo 
transverso. Esse mergulho é conhecido como "1 e 1/2 salto mortal com 
parafuso". Os pesquisadores têminvestigado os movimentos de braço e quadril 
para realizar essa mudança no momento angular (12, 13, 14, 15). Outras 
atividades que usam os princípios de transferência do momento angular são o 
esqui em estilo livre e a ginástica olímpica. 
 As rotações podem ser iniciadas no meio do ar mesmo quando o 
momento angular corporal total for zero. Essas são chamadas de "rotações 
com momento zero". Um exemplo importante disso é a ação de um gato 
quando derrubado estando de patas para cima. O gato inicia uma rotação com 
momento zero e sempre aterrissa sobre suas patas. A medida que o gato 
começa a cair, ele arqueia sua coluna ou se "empina" para criar duas seções 
corporais, uma anterior e uma posterior, e dois eixos de rotação distintos 
(FIGURA 11-23A). As patas anteriores do gato são trazidas para perto de sua 
cabeça, diminuindo o momento de inércia da seção anterior e a parte anterior 
do tronco é rodada 180° (FIGURA 11-23B). O gato estende seus membros 
posteriores e roda a seção posterior em direção oposta para contrapor a 
rotação do segmento anterior. Como o momento de inércia da seção posterior 
é maior que o da seção anterior, a distância angular que a seção posterior se 
move é relativamente bem pequena. Para completar a rotação, o gato trás as 
patas traseiras e a cauda alinhadas com seu tronco e roda a seção posterior 
sobre um eixo através da seção posterior (FIGURA 11-23C). A reação da 
porção anterior do gato à rotação da seção posterior é pequena porque o gato 
cria um grande momento de inércia estendendo seus membros dianteiros. 
Finalmente, o gato rodou suficientemente para aterrissar ereto sobre suas 
quatro patas (FIGURA 11-23D). O uso de ações como essas em esportes 
como nos saltos ornamentais e em atletismo tem recebido atenção 
considerável (12, 16). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-23. Um gato iniciando uma rotação no ar na ausência de um torque externo. 
 
 Durante o movimento humano, múltiplos segmentos rodam. Quando isso 
acontece, cada segmento individual tem um momento angular sobre o centro 
de massa do segmento, e também sobre o centro de massa corporal total. O 
momento angular do segmento sobre seu próprio centro de massa é 
denominado momento angular local do segmento. O momento angular de um 
segmento sobre o centro de massa corporal total é denominado momento 
angular remoto do segmento. Um momento angular total de segmento é 
constituído de aspectos locais e remotos (FIGURA 11-24). Expressando 
algebricamente: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
H total = H local + H remoto 
 
Se o momento angular total de um indivíduo é calculado, os aspectos locais de 
cada segmento e os aspectos remotos de cada segmento devem ser incluídos. 
Desse modo: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
H total = soma n i=1 H local + soma n i=1 H remoto 
 
onde i representa cada segmento e n é o número total de segmentos. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-24. Uma ilustração dos momentos local (H L) e remoto (H R) do segmento da 
perna. 
 
 O momento angular local é expresso como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
H local = I cm ω ómega 
 
onde H local é o momento angular local do segmento. I cm é o momento de 
inércia sobre um eixo através do centro de massa do segmento, e ω ómega é a 
velocidade angular do segmento sobre um eixo através do centro de massa do 
segmento. O aspecto remoto do momento angular é calculado como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
H remoto = m d 
2 ω ómega’ 
 
onde H remoto é o momento angular remoto, m é a massa do segmento, d é a 
distância entre o centro de massa do segmento e o centro de massa corporal 
total, e ω ómega’ a velocidade angular do segmento sobre um eixo através do 
centro de massa corporal total (17). 
 
[447] 
 
A FIGURA 11-25 ilustra a proporção entre momento angular local e remoto do 
momento angular total em um mergulho para frente com 2 1/2 mortais. Nesse 
caso, o momento angular remoto constitui uma maior proporção do momento 
angular total que o momento angular local. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-25. A relação entre o momento angular corporal total, o momento angular 
local total e o momento angular remoto total de um saltador durante um 
mergulho para frente com 2 1/2 saltos mortais. A marca tracejada denota o 
instante da propulsão. (Hamill, J., Ricard, M.D., Golden, D.M. Angular 
momentum in multiple rotation non-twisting dives. International Journal of 
Sports Biomechanics 2:78-87, 1986.) 
 
 Essa técnica para cálculo do momento angular corporal total tem sido 
usada em inúmeros estudos biomecânicos. O esporte de saltos ornamentais, 
por exemplo, tem sido uma área de estudo com respeito aos requerimentos de 
momento angular de muitos tipos de saltos. Hamill e associados (18) 
encontraram que o momento angular de saltadores de plataforma aumentava à 
medida que o número de rotações necessários no salto aumentava (FIGURA 
11-26). Valores elevados como 70kg-m2/s têm sido relatados em saltos em 
trampolim (19). A inclusão de um movimento de parafuso com um mergulho de 
múltiplas rotações aumenta ainda mais as necessidades de momento angular 
(20). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-26. Perfis de mergulhos para trás com 1/2, 1 e 2 rotações representando o 
desenvolvimento do momento angular sobre a plataforma. As marcas 
tracejadas denotam os instantes de propulsão. (Hamill, J., Ricard, M.D., 
Golden, D.M. Angular momentum in multiple rotation non-twisting dives. 
International Journal of Sports Biomechanics 2:78-87, 1986.) 
 
 Hinrichs (21) analisou o movimento dos membros superiores durante a 
corrida considerando o momento angular. Ele usou uma análise tridimensional 
para determinar o momento angular sobre os três eixos cardinais através do 
centro de massa corporal total. Hinrichs relatou que os braços constituíam uma 
contribuição significativa somente para o eixo longitudinal vertical. Os braços 
geraram momentos angulares alternados positivos e negativos, e tenderam a 
cancelar o padrão do momento angular oposto das pernas. Essas descobertas 
estão ilustradas na FIGURA 11-27. Observou-se que a porção superior do 
tronco girava em conjunto com os braços enquanto a porção inferior do tronco 
girava em conjunto com as pernas. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-27. O componente vertical do momento angular de braços, cabeça e tronco, 
pernas e corpo total de um corredor em uma corrida de velocidade média. 
(Hinrichs, R.N. Upper extremity function in running. II: Angular momentum 
considerations. International Journal of Sports Biomechanics 3:242-263, 1987.) 
 
 
[448] 
 
Análogo Angular para as Leis do Movimento de Newton 
 O caso linear das leis do movimento de Newton foi apresentado no 
capítulo anterior. Essas leis podem ser afirmadas novamente para representar 
os análogos angulares. Deve-se observar que cada quantidade linear tem um 
correspondente análogo angular. Por exemplo, o análogo angular de força é o 
torque, da massa é o momento de inércia, da aceleração é a aceleração 
angular. Observando esses análogos, pode-se substituí-los diretamente nas 
leis lineares para criar os análogos angulares. 
 Lei da Inércia 
 Um corpo em rotação continuará em estado de movimento angular 
uniforme a menos que seja influenciado por um torque externo. 
 Essa lei reafirma o princípio da conservação do momento angular. Assim, 
um objeto continuará girando com um momento angular constante a menos 
que seja influenciado por um torque externo. Como foi mencionadona seção 
anterior, esse princípio possibilita aos saltadores e ginastas, por exemplo, 
realizar saltos mortais no ar manipulando seus momentos de inércia e 
velocidades angulares porque eles têm um momento angular constante. 
 
[449] 
 
 Lei da Aceleração Angular 
 Um torque externo produzirá uma aceleração angular de um corpo que é 
proporcional ao torque, na direção do torque, e inversamente proporcional ao 
momento de inércia do corpo. 
 Essa lei pode ser afirmada algebricamente como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
T = I α alfa 
 
onde T é o torque externo, I é o momento de inércia do objeto, e a é a 
aceleração angular do objeto. Por exemplo, se um indivíduo abduz o braço a 
partir do corpo para uma posição horizontal, o torque no ombro resulta em uma 
aceleração angular do braço. Quanto maior o momento de inércia do braço 
sobre um eixo através do ombro, menor a aceleração angular do segmento. 
 A segunda lei pode também ser expressa para relacionar torque e 
momento angular. A expressão dessa relação é novamente análoga ao caso 
linear. Ou seja, a soma dos torques externos é igual à freqüência de mudança 
no momento angular. Assim 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
T = I α alfa 
T = I Δ delta ω ómega sobre Δ delta t 
T = I Δ delta ω ómega sobre Δ delta t 
 
onde I Δ delta ω ómega é o momento angular. 
 Lei da Ação e Reação 
 Para cada torque exercido por um corpo sobre outro corpo, há um torque 
igual e oposto exercido pelo segundo corpo sobre o primeiro. 
 Geralmente, o torque gerado por uma parte do corpo para girar aquela 
parte resulta em um torque contrário por outra parte do corpo. Esse conceito se 
aplica a atividades como salto à distância no atletismo. Por exemplo, os atletas 
de salto à distância oscilam suas pernas para frente e para cima em preparo 
para a aterrissagem. Para contrapor esse torque da parte inferior do corpo, o 
resto do corpo se move para frente e para baixo, produzindo um torque igual e 
oposto ao torque do membro inferior. Enquanto o torque e o contratorque são 
iguais e opostos, a velocidade angular dessas duas partes do corpo é diferente 
porque os momentos de inércia são diferentes. 
 Quando torques iguais são aplicados a corpos diferentes, contudo, a 
aceleração angular resultante pode não ser a mesma devido à diferença nos 
momentos de inércia dos corpos respectivos. Ou seja, o efeito de um corpo 
sobre outro pode ser maior que o do segundo corpo sobre o primeiro. Por 
exemplo, quando o homem da segunda base no beisebol executa um 
movimento de pivô durante uma jogada dupla, eles saltam no ar e lançam a 
bola para a primeira base. No lançamento da bola, os músculos no braço de 
lançamento do homem da segunda base criam um torque na medida em que o 
braço completa o lançamento. O resto do corpo precisa, então, contrapor esse 
torque. Esses torques são iguais e opostos, mas têm um efeito muito diferente 
sobre os segmentos respectivos. Enquanto o braço passa por uma grande 
aceleração angular, o corpo acelera angularmente muito menos porque o 
momento de inércia do corpo é maior que o do braço. 
Aplicações Especiais do Torque 
 Em movimentos angulares, existem aplicações especiais de torque 
comparáveis às aplicações de força no caso linear. Muitas das aplicações 
angulares são análogas às do caso linear e têm definições similares. 
Trabalho Angular 
 Trabalho angular mecânico é definido como o produto da magnitude do 
torque aplicado a um objeto e a distância angular que o objeto roda na direção 
do torque enquanto o torque está sendo aplicado. Expressando 
algebricamente: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Trabalho angular = T * Δ delta θ teta 
 
onde T é o torque aplicado e Δ delta θ teta é a distância angular. Como o 
torque tem unidades de N-m e a distância angular tem unidades de radianos, 
as unidades para trabalho angular são newtons-metros (N-m) ou joules (J), as 
mesmas unidades do caso linear. Por exemplo, se um torque de 40,5N-m é 
aplicado sobre uma rotação de 0,79 radiano. o trabalho feito na rotação é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Trabalho = T * Δ delta θ teta 
= 40,5N-m * 0,79rad 
= 32,0N-m 
 
Assim, dizemos que foram feitos 32,0N-m de trabalho pelo torque, T. 
 Quando um músculo se contrai e produz tensão para mover um 
segmento, é produzido um torque na articulação e o segmento é movido 
através de algum deslocamento angular. O trabalho angular mecânico é feito 
pelos músculos que giram o segmento. Para diferenciar entre tipos de ações 
musculares, contudo, o trabalho angular feito pelos músculos é caracterizado 
como trabalho positivo ou negativo. Trabalho positivo é associado com ações 
musculares concêntricas ou ações onde o músculo é encurtado na medida em 
que cria tensão. Por exemplo, se um levantador de peso faz uma "rosca direta" 
com uma barra, a fase de flexão dos cotovelos para trazer a barra para cima é 
a fase concêntrica (FIGURA 11-28A). 
 
[450] 
 
Durante esse movimento, os músculos flexores do levantador de peso realizam 
trabalho na barra. O trabalho negativo, por outro lado. está associado com 
ações musculares excêntricas, ou ações onde o músculo é alongado enquanto 
cria tensão. Em uma "rosca direta", quando o levantador está abaixando o 
haltere. resistindo ao impulso da gravidade, os músculos flexores estão 
realizando trabalho negativo (FIGURA 11-28B). Nesse caso, o haltere está 
realizando trabalho sobre os músculos. Apesar das observações de que o 
trabalho positivo requer um maior gasto metabólico que o trabalho negativo, 
não foi relatada relação direta entre trabalho mecânico dos músculos e trabalho 
fisiológico. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-28. Uma ilustração do trabalho muscular positivo (A) e do trabalho muscular 
negativo (B) durante um exercício de bíceps com haltere. 
 
 
[451] 
 
Energia 
 No capítulo anterior, a energia cinética de translação foi definida em 
termos de massa e velocidade. A energia cinética de rotação pode também ser 
definida similarmente, usando os análogos angulares de massa e velocidade, 
momento de inércia e velocidade angular. Assim, energia cinética de rotação é 
definida algebricamente como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
ECR = 1 sobre 2 I ω ómega2 
 
onde ECR é a energia cinética de rotação, I o momento de inércia e ω ómega a 
velocidade angular. Assim, quando a energia total de um sistema é definida, a 
energia cinética de rotação precisa ser somada à energia cinética de translação 
e à energia potencial. A energia mecânica total é então definida como: 
Energia Total = Energia Cinética de Translação + Energia Potencial + Energia 
Cinética de Rotação 
ou 
ET = ECT + EP + ECR 
 Na discussão sobre cinemática angular, observou-se que segmentos 
individuais são submetidos a grandes velocidades angulares durante a corrida. 
Assim, se for considerado um segmento individual, pode-se esperar 
intuitivamente que a energia cinética de rotação possa influenciar na energia 
total do segmento mais significativamente que a energia cinética de translação. 
Winter et al. (22), por exemplo, levantou a hipótese de que contribuições 
angulares da perna seriam importantes para as mudanças na energia total do 
segmento na corrida. Williams (23) ofereceu o seguinte exemplo para ilustrar 
que isso não ocorre. 
 Considere a ilustração de um modelo teórico de um segmento do membro 
inferior passando por movimentos de translação e rotação na FIGURA 11-29. 
Se o segmento da perna for considerado, a velocidade linear do centro de 
massa da perna é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v PERNA cm = ω ómega ronde ω ómega é a velocidade angular da perna e r é a distância do joelho até o 
centro de massa da perna. Usando os seguintes valores de segmentos 
corporais da perna: momento de inércia = 0,0393kg-m2, massa = 3,53kg, e r = 
0,146m, a magnitude da energia cinética de rotação é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
ECR = 1 sobre 2 I ω ómega2 
= 0,05 * 0,0393 * ω ómega2 
= 0,0192 ω ómega2 
 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-29. Representação teórica das velocidades de translação e rotação da coxa 
e da perna durante a corrida. (Williams, K.R. A Biomechanical and 
Physiological Evaluation of Running Efficiency. Unpublished doctoral 
dissertation, The Pennsylvania State University, 1980.) 
 
A energia cinética de translação da pema nas mesmas circunstâncias é: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
ECT = 1 sobre 2 m v 2 
 
onde m e v são a massa e a velocidade linear da perna. Substituindo a 
expressão, cor, nessa equação para a velocidade linear, v, a equação se torna: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
ECT = 1 sobre 2 m (ω ómega r)2 
= 0,5 * 3,53 * (0,146 * ω ómega)2 
= 0,0376 ω ómega2 
 
 Como ω ómega2 é a mesma nas duas respostas, os dois tipos de energia 
podem ser avaliados, com base nos valores de 0,0192 vezes ω ómega2 para a 
energia de rotação, e 0,0376 vezes ω ómega2 para a energia de translação. 
Assim, a energia cinética de translação é quase o dobro da energia cinética de 
rotação. De fato, Williams afirmou que a energia cinética de rotação da maioria 
dos segmentos será muito menor que a energia cinética de translação. A 
FIGURA 11-30 ilustra a relação entre os componentes de energia do pé 
durante uma passada de caminhada. Nessa FIGURA, a magnitude da energia 
total é constituída quase completamente de energia cinética de translação. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem cuja legenda é: FIGURA 
11-30. A relação entre energia total (Total), energia cinética de rotação (ECR), 
energia cinética de translação (ECT) e energia potencial (EP) do pé durante 
uma passada da caminhada. 
 
 
[452] 
 
 Potência Angular: No capítulo anterior, potência foi definida no caso 
linear como trabalho feito por unidade de tempo ou o produto da força e 
velocidade. Potência angular pode ser similarmente definida como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Potência = d W sobre d t 
 
onde d W é o trabalho angular feito e d t é o tempo no qual o trabalho foi feito. 
A potência angular pode também ser definida como no caso linear, usando os 
análogos angulares de força e velocidade, torque e velocidade angular. A 
potência angular é o trabalho angular feito por unidade de tempo e é calculada 
como produto de torque e velocidade angular: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Potência Angular = T * ω ómega 
 
onde T é o torque aplicado em N-m e ω ómega é a velocidade angular em 
rad/s. A potência angular, desse modo, tem unidades de N-m/s ou watts. O 
conceito de potência angular é geralmente usado para descrever potência 
muscular mecânica. A potência muscular é determinada pelo cálculo do torque 
total do músculo agindo através da articulação e da velocidade angular da 
articulação. Esse cálculo será expandido no próximo capítulo. 
Resumo do Capítulo 
 Ocorre torque ou momento de força quando a linha de ação não passa 
pelo centro de rotação de um objeto. Os torques causam movimento de rotação 
de um objeto sobre um eixo. Os torques são vetores e assim precisam ser 
considerados em termos de magnitude e direção. A Regra da Mão Direita 
define se o torque é positivo (rotação anti-horária) ou negativo (rotação 
horária). 
 O conceito de torque pode ser usado para definir o centro de massa de 
um objeto. A soma dos torques sobre o centro de massa de um objeto equivale 
a zero. Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
soma T = 0 
 
 
[453] 
 
Essa relação define o centro de massa como o ponto de equilíbrio do objeto. 
 O centro de massa pode ser calculado usando o método da prancha de 
reação ou o método segmentar. O método da prancha de reação pode ser 
usado somente em circunstâncias onde o objeto é estático. O uso do método 
segmentar requer o cálculo de parâmetros dos segmentos do corpo, como a 
localização do centro de massa e a proporção entre o segmento e a massa 
corporal total. A localização de um centro de massa do segmento requer 
coordenadas das extremidades proximal e distal do segmento e é definida 
como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
s cm = s prox -(ds * % comprimento a partir da ponta proximal do segmento) 
= s prox -((s prox –s distal) * %L) 
 
onde s cm é a localização do centro de massa do segmento, s prox é o ponto 
coordenado da ponta proximal do segmento, s distal é o ponto coordenado da 
ponta distal do segmento, ds é o comprimento do segmento, e %L é a 
localização do centro de massa do segmento como uma proporção do 
comprimento do segmento a partir da ponta proximal do segmento. Para 
localizar o centro de massa corporal total com o método segmentar usa-se 
também o conceito de que a soma dos torques sobre o centro de massa é 
zero. Esse cálculo usa a fórmula: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
s cm = soma n i=1 m i s i sobre M 
 
onde s cm é a localização do centro de massa corporal total, n é o número de 
segmentos, m i é a massa do segmento i, s i é a localização do centro de 
massa do segmento e M é o centro de massa corporal total. 
 Uma alavanca é uma máquina simples que tem um ponto de equilíbrio 
chamado de fulcro, e duas forças - uma força de esforço e uma força de 
resistência. A vantagem mecânica (VM) da alavanca é definida como a relação 
entre o braço de esforço e o braço de resistência. As alavancas podem tanto 
ampliar a força (VM > 1), ampliar a velocidade de rotação (VM < 1) ou mudar a 
direção da tração (VM = 1). Existem três classes de alavancas baseadas na 
relação entre as forças de esforço e resistência com o fulcro. No corpo 
humano, contudo, predomina a alavanca de terceira classe que amplia a 
velocidade do movimento. A maioria das alavancas nos membros são 
alavancas de terceira classe. 
 Momento de inércia é o análogo angular de massa. O momento de inércia 
de um objeto é a resistência ao movimento angular e depende do eixo sobre o 
qual o objeto está rodando. O cálculo do momento de inércia do segmento 
pode ser calculado usando o raio de giro como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
I cm = m (ρ ro cm L)
2 
 
onde I cm é o momento de inércia sobre um eixo transverso através do centro 
de massa, m é a massa do segmento, ρ ro cm é uma proporção que descreve a 
relação entre o raio de giro sobre o centro de massa e o comprimento do 
segmento, e L é o comprimento do segmento. 
 Momento angular é o análogo angular de momento linear e refere-se à 
quantidade de rotação de um objeto. O momento angular de um corpo 
multissegmentar precisa ser compreendido em termos de momento angular 
local e remoto. Momento angular local é o momento angular de um segmento 
sobre seu próprio centro de massa. Momento angular remoto é o momento 
angular de um segmento sobre o centro de massa corporal total. Momento 
angular segmentar total é a soma dos aspectos locais e remotos do segmento. 
O análogo angular da primeira lei de movimento de Newton é uma afirmação 
da lei de conservação do momento angular. 
 As leis de movimento de Newton podem ser reafirmadas a partir do caso 
linear para seus análogos angulares. Os análogos angulares dessas leis são:

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