18_1 - Resumo Lugar das raizes(1)

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CEFET-PR APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES Prof. Brero 1 
 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA 
 
LUGAR DAS RAÍZES 
 
A função de transferência do circuito abaixo em malha fechada é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A expressão total é dita função de transferência em malha fechada. G(s).H(s) é 
chamado função de transferência em malha aberta. 
O objetivo é determinar PÓLOS da função de transferência em malha fechada, 
pois eles caracterizam a resposta do sistema. Então a equação a ser resolvida é: 
1 + G(s).H(s) = 0 
A qual é chamada equação característica. 
 
REGRA 1 – EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA 
Para construir o lugar das raízes, obtenha a equação característica e rearrange na 
forma: 
Então localize os pólos e zeros do laço aberto no plano S. 
Exemplo: Considere o sistema: 
Então: 
 
 
F(s) = C(s) = G(s) 
 R(s) 1+ G(s).H(s) 
+ 
 
 - 
R(s) C(s) G(s) 
 H(s) 
1 + K (s - z1).(s - z2)......(s - zm) = 0 
 (s - p1).(s - p2)......(s - pn) 
G(s) = K 
 s.(s+1) 
H(s) = (s+2) 
 (s+3).(s+4) 
 1 + K. (s+2) = 0 
 s.(s+1) (s+3).(s+4) 
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Desenhando os pólos e zeros de malha aberta: 
 
REGRA 2 – PONTOS DE INÍCIO E TÉRMINO DO LUGAR DAS RAÍZES 
Encontre os pontos de início e término do lugar das raízes. Como nos sistemas 
reais o número de pólos de malha aberta é maior ou igual ao número de zeros (n ≥ m), o 
lugar das raízes inicia para K = 0 nos pólos de malha aberta e termina em um zero de 
malha aberta ou no infinito. 
Existem n ramos, m dos quais irão terminar em um zero, e (n - m) ramos irão 
terminar no infinito seguindo assíntotas. 
EXEMPLO: No exemplo anterior, o número de pólos de malha aberta é n=4, e o 
número de zeros de malha aberta é m=1. Então um ramo terminará em um zero e três 
terminarão no infinito. 
 
REGRA 3 – LUGAR DAS RAÍZES NO EIXO REAL 
Determinar o lugar das raízes no eixo real. Um ponto no eixo real faz parte do 
lugar das raízes se o número total de pólos e zeros de malha aberta no eixo real à direita 
do ponto for impar. 
EXEMPLO: Para o exemplo anterior: 
 
REGRA 4- DETERMINAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS 
Determine as assíntotas do lugar das raízes. (n-m) ramos do lugar das raízes 
terminam no infinito, seguindo as assíntotas. OS ângulos das assíntotas são: 
Todas as assíntotas interceptam o eixo real no ponto σ dado por: 
 
 jω 
 -4 -3 -2 -1 
 x x o x x σ 
 
 jω 
 -4 -3 -2 -1 
 x x o x x σ 
β = ± 180(2N +1) [ N = 0,1,2,..... ] 
 n - m 
σ = (p1 + p2 +p3 .....+ pn) - (z1 + z2 + .....zm) 
 n - m
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Exemplo: Para o exemplo anterior n-m = 3. Então os ângulos das assíntotas são: 
Então, os ângulos serão: +180, +60, -60 e interceptam o ponto dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA 5 – PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL 
Encontre os pontos de saída e entrada. Se o lugar das raízes localiza-se entre dois 
pólos adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de saída. Se o lugar das raízes 
localiza-se entre dois zeros adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de 
entrada. Se o lugar das raízes está entre um zero e um polo no eixo real, pode não existir 
nenhum ponto de entrada ou saída. 
Se a equação característica é dada por: 
Então a localização do ponto de entrada ou saída será dado por: 
 A'(s).B(s) - A(s).B'(s) = 0 
Onde o apóstrofo indica diferenciação com respeito a s. 
EXEMPLO: Do exemplo anterior a equação característica é: 
Então: 
B(s) = s+2 
A(s) = s.(s+1).(s+3).(s+4) = s4 + 8s3+ 19s2 + 12s 
 
Então diferenciando com respeito a s: 
B'(s) = 1 
A'(s) = 4.s3 + 24.s2 + 38.s + 12 
β = ± 180(2N +1) 
 3 
σ = ( 0 - 1 - 3 - 4) -(-2) = -2 
 3 
 jω 
 180o +60o 
 x x o x x σ 
 -60o 
 
 1 + k.B(s) = 0 
 A(s)
 1 + K. (s+2) = 0 
 s.(s+1) (s+3).(s+4) 
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O ponto de saída obtido foi: s = -0.497 
 
REGRA 6 – CRUZAMENTO COM O EIXO IMAGINÁRIO 
Encontre os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. Os pontos 
onde o lugar das raízes intercepta o eixo imaginário pode ser encontrado substituindo 
s=jω na equação característica. Igualando as partes reais e imaginárias a zero pode-se 
achar a solução para K e ω. 
EXEMPLO: Do exemplo acima, fazendo s=jω: 
jω.(jω + 1).(jω + 3).(jω + 4) + k.(jω + 2) = 0 
Separando parte real e imaginária: 
ω=2.57 e K=41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA 7 - CRITÉRIO DE MÓDULO 
Para se obter o ganho k para um determinado ponto do lugar das raízes, pode-se 
usar a condição de módulo. 
Da equação característica: 
1 + K.G.H = 0 
K.G.H = -1 
k = - 1/(G.H) 
Então : |k | = | 1/(G.H) | 
Isto equivale a obter os módulos dos vetores de todos os pólos e zeros em relação 
à este ponto do lugar das raízes. 
Exemplo: Ache o ganho onde o Lugar das raízes cruza o eixo imaginário. 
 GH(s) = K.(s+2)/(s.(s+1).(s+3).(s+4)) 
k = | s.(s+1).(s+3).(s+4)/(s+2)| onde s=2.57j 
k = 40,9 
 1 + K. (jω+2) = 0 
 jω.( jω+1) (jω+3).( jω+4) 
 jω 
 jω=2,57 (k=41) 
 
 k=0 k=0 k=∞ k=0 k=0 
 x x o x x σ 
 
 
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De forma gráfica pode-se obter o mesmo resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA 8 - CRITÉRIO DE ÂNGULO 
A condição de ângulo é definida como: 
∠G(s)H(s) = (1+2.L).180 para L = 0, ±1, ±2, ... 
Escrevendo de outra forma: 
β = ∠ numerador - ∠ denominador = (1+2.L).180 
Os ângulos são positivos quando medidos no sentido anti-horário. 
Esta equação é usada para a construção gráfica do lugar das raízes. Em outras 
palavras, há valores particulares de s para os quais G(s).H(s) satisfaz a condição angular. 
Para uma dada sensibilidade de malha, somente um certo número destes valores de s 
satisfazem simultaneamente a condição de módulo. 
Os valores de s que satisfazem ambas as condições, angular e de módulo, são as raízes 
da equação característica. 
 
Exemplo: da figura acima: 
Para os pólos: 
θ1= 32,50o θ2= 40,5o θ3=70o θ4=90o 
Para o zero: 
ψ1=51,5o 
 então: 
β = θ1 + θ2 + θ3 + θ4 - ψ1 = 181,5o =(1+2L).180o 
Pelo resultado o ponto da figura pertence ao lugar das raízes.REGRA 9 
ÂNGULOS DE PARTIDA E CHEGADA (pólos e zeros complexos) 
 O ângulo de partida (θp), do lugar das raízes de um pólo complexo, é dado 
por: 
 
 2,57 
 
 
 
|A| 
 |B| |C| |D| |E| 
|k| = |sm| |s -pi| |s - p2| .... = |A|.|B|.|D|.|E| = 41,2 
 |s-z1| |s - z2|..... |C| 
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 θp = 1800 + arg(GH)' 
onde: arg(GH)' é ângulo de fase de GH, calculado no pólo complexo, mas 
ignorando a contribuição daquele pólo particular. 
Exemplo: 
 
 
O ângulo de partida do lugar das raízes do pólo complexo em s= -1 + j é obtido 
calculando o ângulo de GH para s= -1+j, ignorando a contribuição do pólo em s= -1 + j. O 
resultado obtido é 45o . O ângulo de partida é θp = 180 - 45= 135o. 
 
 
 
 
 
 
O ângulo de chegada do lugar das raízes de um zero complexo é dado por: 
 θc = 1800 - arg(GH)' 
onde: arg (GH)' é o ângulo de fase de GH, no zero complexo, ignorando o efeito 
daquele zero. 
Exemplo: 
 
 
 O ângulo de chegada do lugar das raízes para o zero complexo em s=j é θc = 180 
-(-45) = 225o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA 10 
MARGEM DE GANHO E MARGEM DE FASE, A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES 
 A margem de ganho é o fator pelo qual GH pode ser multiplicado, antes que o 
sistema de malha fechada se torne instável. 
 K (s+2) 
GH = 
 (s + 1 + j)(s+ 1 - j) 
 k.(s+ j)(s-j) 
GH = 
 S(s+1) 
 jω 
 225o 
 -1 σ 
 
 
 1350 jω 
 
 -1 σ 
 
 
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 Se o lugar das raízes não cruza o eixo jω, a margem de ganho é infinita. 
 Para a margem de fase é necessário encontrar o ponto jω1, sobre o eixo jω, para o 
qual |GH(jω1)| =1, para o valor atual de k, isto é: 
 
 
 
 
 Geralmente é necessário usar um procedimento de tentativa e erro para localizar 
jω1. A margem de fase é calculada a partir de arg(GH(jω1)) como: 
 
 
 
REGRA 11 - RAZÃO DE AMORTECIMENTO A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES 
 Dado um sistema de segunda ordem: 
o fator de ganho K necessário para obter-se uma razão de amortecimento especificado 
(ξ), para o sistema de segunda ordem, é obtido desenhando-se uma linha a partir da 
origem a um ângulo θ com o eixo real negativo onde: 
 
 
 
 
 
 
 O fator de ganho do ponto de interseção da reta com o lugar das raízes é o valor 
requerido de k 
 
 
 
 
 
 Valor de K no cruzamento do eixo imaginário 
Margem de ganho = 
 Valor atual de K 
 K N(jω) =1 
 D(jω) 
 
K = D(jω1) 
 N(jω1) 
 
| Gh(jω) | =1 
 
φPM = 180o + arg(GH(jω1)) 
 K 
GH = 
 (s + p1)(s+p2) 
 
θ = cos-1ξ 
 
linha de ξ cte jω 
 
 
 θ 
 σ 
 
k para ξ especificado 
 jω 
 
 
 θ 
 σ 
 
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 Para sistemas de ordem mais elevadas, a razão de amortecimento determinada 
por este procedimento, para um par específico de pólos complexo, não determina 
necessariamente o amortecimento (constante de tempo predominante) do sistema. Isto 
só é válido se estes pólos complexos forem dominantes. 
 
RESPOSTA TRANSITÓRIA PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM, para um degrau 
unitário aplicado na entrada. 
OBS: para sistemas digitais todas as regras vistas anteriormente são válidas. O que muda é a 
interpretação com relação à região de estabilidade. 
 
Exercícios 
1.a) Desenhe o lugar das raízes para o sistema abaixo. 1.b) Determine o ganho limite de estabilidade. 
 
 
 
 
 
 
2. Para os sistemas abaixo: a) Desenhe o lugar das raízes. 2.b) Determine o ganho limite aplicando o 
critério de módulo. 2.c) Determine o ganho limite analiticamente. 2.d) Mostre que o critério de ângulo pode 
ser usado para determinar o lugar das raízes. 
 
 
 
 
(s+ 10) 
(s+ 6) (s - 5)(s + 8) 
(s + 2) 
 s 
 (s + 1) 
( s +5)(s + 9) 
 2 
( s - 1)(s + 2)