Quinta Lista Cálculo 4

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Quinta Lista de Exercícios 
Cálculo Diferencial e Integral 4 
Questão 01: Uma barra metálica com laterais isoladas termicamente tem suas extremidades 
mantidas a temperaturas ficadas em 0oC (extremidade esquerda) e 25oC (extremidade 
direita). A barra tem cinco centímetros de comprimento e sua constante de difusividade 
térmica é 1 cm²/s. A distribuição inicial de temperatura é descrita pela função . Determine 
a distribuição de temperatura no instante e a distribuição de equilíbrio (estado 
estacionário). 
Questão 02: Uma função -periódica é dada no intervalo [ ] pela expressão . 
Calcule sua série de Fourier. Use o resultado para calcular a soma da série 
∑
 
 
 
 
 
Questão 03: Uma barra metálica com laterais isoladas termicamente tem suas extremidades 
mantidas a temperaturas fixadas em 0oC. A barra tem centímetros de comprimento e sua 
constante de difusividade térmica é 0,5 cm²/s. A distribuição inicial de temperatura é 
descrita pela função ( ) ( ). Determine a distribuição de temperatura no instante 
 . Quando , quantos pontos da barra (contando com as extremidades) estão à 
temperatura 0oC? Dica: uma identidade trigonométrica pode ajudar. 
Questão 04: Considere a função , periódica de período 2, que no intervalo ( ] 
é definida por ( ) . (a) Calcule a série de Fourier de , determinando em que 
valores de a soma desta série coincide com ( ). (b) Use o Teorema de Fourier para 
calcular ∑ 
 
 e ∑ ( )
 
 
 . (c) Use a identidade de Parseval para calcular ∑ 
 
 . 
05. Resolva o problema de condução de calor: 
{
 
 ( ) ( ) 
 ( ) {
 
 
 
06. Resolva o problema da corda vibrante: 
{
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
 
07. Seja uma função periódica de período , que no intervalo [ ] é dada 
por ( ) . Encontre a série de Fourier de . Esboce o gráfico da série de Fourier de 
no intervalo [ ] . Use o Teorema de Fourier para calcular ∑
( ) 
 
 
 
Questão 08: Uma corda de comprimento L tem suas extremidades livres para se mover ao 
longo de trilhos perpendiculares à corda, de modo que as condições de fronteira são 
descritas por ( ) ( ) . Aqui, ( ) é a função que descreve o deslocamento 
vertical da corda e satisfaz a equação . Determine todas as soluções da forma 
 ( ) ( ) ( ), desenvolvendo em detalhe o método de separação de variáveis. 
Questão 09: Determine a solução ( ) do problema de condução do calor 
{
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
Questão 10: Se ( ) para , expanda ( ) numa série de cossenos. Se 
 é a função determinada pela série de Fourier acima, desenhe o gráfico de para 
 . Calcule o valor das séries ∑
 
( ) 
 
 e ∑
 
( ) 
 
 . 
Questão 11: Considere a função 
 ( ) {
 
 
 
estendida periodicamente com período quatro. Encontre a série de Fourier de ( ). Esboce 
o gráfico da função definida pela série acima no intervalo [ ]. Para quais valores de o 
valor da série difere do valor de ( )? Faça para calcular o valor de 
∑
 
 
 
 
 
Questão 12: Uma barra com comprimento e difusividade térmica tem suas 
extremidades mantidas à temperatura fixa T = 0. Determine a distribuição de temperatura 
 ( ), sabendo que a distribuição inicial de temperatura é descrita pela função 
 ( ) ( ) (
 
 
) ( ) 
Questão 13: Uma barra metálica com comprimento e difusividade térmica é 
mantida termicamente isolada, inclusive em suas extremidades. A distribuição inicial de 
temperatura ao longo da barra é descrita pela função ( ) , para . 
Determine a distribuição de temperatura ( ). 
Questão 14: Uma corda elástica oscila com suas extremidades fixas a altura zero, e a uma 
distância horizontal L = 1 uma da outra. Sua posição inicial é descrita pela função ( ) , 
para , e sua velocidade inicial é descrita pela função ( ) , para . A 
velocidade de propagação da oscilação é . Determine o deslocamento da corda ( ). 
Calcule o valor de ∑
 
 
 
 . Dica: use a identidade de Parseval e os cálculos feitos na 
primeira parte do problema. 
Questão 15: Considere a função 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
estendida periodicamente com período . Encontre a série de Fourier de ( ) e esboce seu 
gráfico no intervalo [ 
 
 
 
 
 
]. Para quais valores de o valor da série difere do valor de 
 ( )? Calcule o valor de ∑
 
 
 
 . Dica: Analise o que ocorre quando . 
Questão 16: Considere a função dada no intervalo [ ] por , e estendida de forma 
ímpar e periódica com período 10. Encontre sua série de Fourier. Faça para 
determinar o valor da soma ∑
( ) 
( ) 
 
 . Aplique a identidade de Parceval para calcular a 
soma da série ∑
 
 
 
 . 
 
Respostas: 
01. ( ) 
 
 
∑ (
 ( )
 
 
 
 ) 
02. 
 
 
 
 
 
∑ 
( )
 
 
 . ∑
 
 
 
 
 
 
 
03. ( ) ( ) . 9 pontos. 
04. ( )( ) 
 
 
 
 
 
∑
 (( ) )
( ) 
 
 . ( )( ) ( ) para todo real. ∑ 
 
 
 
 
. 
∑ ( ) 
 
 
 
 
. ∑ 
 
 
 
 
. 
05. ( ) 
 
 
 
 
 
∑
( ) 
 
 ( )
 (
( ) 
 
) 
06. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
07. 
 
 
 ∑
( ) 
 
 ( ) ∑
( ) 
 
 
 
 
 
 
08. ( ) , ( ) (
 
 
)( (
 
 
) (
 
 
)) 
09. ( ) 
 
 
 
 
 
∑ 
 ( )
 
 
10. ( )( ) 
 
 
 
 
 
∑ 
( )
 
 Mesmo gráfico da extensão par de nesse intervalo. 
A primeira série vale e a segunda, . 
11. ( )( ) 
 
 
 
 
 
∑
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
∑
( ) (
 
 
)
 
 
 . A série difere da função nos 
pontos de descontinuidade de , que são da forma , para inteiro. ∑
 
 
 
 
 
 
. 
12. ( ) (
 
 
) 
 
 ( ) 
13. ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
14. ( ) 
 
 
∑ 
( ) ( )
 
 
 
15. ( )( ) 
 
 
 
 
 
∑ 
( )
 
 
 
 
 
∑ 
( ) ( )
 
 
 . A série difere da função nos 
pontos de descontinuidade de , que têm a forma 
 
 
 , inteiro. ∑
 
 
 
 
 
 
. 
16. ( )( ) 
 
 
∑
 (
 
 
)
 
 
 . A soma da primeira série pedida é 
 
 
 e a da segunda, 
 
 
 .