simulado-02-v0_1

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UFPE – A´REA II – Prof. Fernando J. O. Souza
MA129 (ca´lculo 4) – 2014.1 – turmas Q3 e Q7
SIMULADO DA 2a UNIDADE v. 0.1
Orientac¸a˜o: Distribuir os itens em quatro sesso˜es de 120 minutos cada, sem inter-
rupc¸a˜o nem distrac¸o˜es. Dar soluc¸o˜es leg´ıveis e justificadas, escrevendo os passos,
detalhes e propriedades relevantes. Ler as soluc¸o˜es de uma sessa˜o so´ depois dela.
Questa˜o 1. Encontrar a soluc¸a˜o completa se o item so´ apresentar a EDO, e
resolver o PVI (dando todas as soluc¸o˜es globais) se o item contiver condic¸o˜es ini-
ciais. Em todos, y e´ a func¸a˜o (de t ou x, conforme o caso). Dar soluc¸o˜es expl´ıcitas !
1.a.
d 2y
dt2
+ 2
dy
dt
= 12
(
t+ e−2t
)
1.b.
d 2y
dt2
+ 2y = 12
(
t+ e−2t
)
1.c.
d 2y
dt2
− 6
dy
dt2
+ 9y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1
1.d.
d 2y
dt2
− 2
dy
dt
+ 5y = 20 sen(t)
1.e. x2
d 2y
dx2
− 3x
dy
dx
+ 13 y = 10x, x 6= 0
1.f.
d 2y
dt2
− 2
dy
dt
+ 2y = t− 1
1.g.
d 2y
dt2
+ 8
dy
dt
+ 16 y = 32
(
e−4t + sen(−4t)
)
1.h.
d 2y
dt2
− 2
dy
dt
+ y =
et
t3
, t > 0
1.i.
d 2y
dt2
+ 2
dy
dt
+ y = e−t + 2et, y(0) = 0, y′(0) = 0
1.j. x2
d 2y
dx2
− 5x
dy
dx
= 40x2, x 6= 0
1.k.
d 2y
dt2
+ 4y = 2 tan (t), t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
1.l.
d 2y
dt2
+ 4y = 9 t sen(2t)
1
Questa˜o 2. Para cada func¸a˜o F (s) abaixo, calcular sua transformada de Laplace
inversa f(t):
2.a. F (s) =
s− 2
s2 − 4s+ 5
2.b. F (s) =
3e−2s
s2 − 4
2.c. F (s) =
e−3s
s
+
4
(s − 2)3
Questa˜o 3. Utilizando transformadas de Laplace, encontrar e simplificar a solu-
c¸a˜o expl´ıcita y(t) do PVI abaixo:
3.a. y ′′(t)− y(t) =
{
2t , se t < 3;
0 , se t ≥ 3;
y(0) = 0; y ′(0) = 2.
3.b.
d 2y
dt2
− y(t) =
{
4 t , se t < 2;
4 t+ 3 , se t ≥ 2;
y(0) = 0; y ′(0) = 2.
3.c (dif´ıcil).
d 2y
dt2
+ 9 y = 12 sen (3t)− 50 cosh (4t); y(0) = 2,
dy
dt
(0) = 1;
Dica: Diferenciar (com relac¸a˜o a s) as func¸o˜es L{cos (3t)} (s) e L{ sen (3t)} (s).
Questa˜o 4. Escrever, como func¸a˜o expl´ıcita de s, a transformada de Laplace Y (s)
da soluc¸a˜o y(t) do PVI abaixo:
d 2y
dt2
+ 9 y = 2 cos (3t) sen (4t) + 2 cosh (3t) senh (4t); y(0) = 1,
dy
dt
(0) = 2
Questa˜o 5. Calcular as transformadas de Laplace das func¸o˜es perio´dicas abaixo:
5.a. f tem per´ıodo 1 e e´ determinada por: f(t) = et, se 0 < t < 1; e f na˜o
esta´ definida em 1;
5.b–c. g e h teˆm per´ıodo 4 e sa˜o determinadas por:
g(t) =


−1, se − 2 < t < −1;
2, se − 1 < t < 1;
−1, se 1 < t < 2;
h(t) =


9, se − 2 < t < −1;
6− 3t, se − 1 ≤ t ≤ 1;
3, se 1 < t < 2;
g na˜o esta´ definida em ±1 e ±2, enquanto h na˜o esta´ definida em ±2.
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