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Funções Vetoriais - Calculo II

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Prévia do material em texto

Funções vetoriais
I) Funções vetoriais a valores reais:
I = intervalo da reta real denominada domínio da função 
vetorial f = {conjunto de todos os valores possíveis de t, 
para os quais todas as componentes estão definidas}.
(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t 
 
n21=
→⊂
r
a
r
n
 RR I:f
para os quais todas as componentes estão definidas}.
Imagem f : conjunto de vetores
Cassi particular:
Exemplo 1: defina o domínio e a imagem da função vetorial a seguir:
(t))f(t),f(t),(f(t)f t 
 
321
3
=
→⊂
r
a
r
 RR I:f
)()()()( 321 fDomfDomfDomfDom II=
)1-tt),-ln(41),(sin(t(t)f t 
 
3
++=
→⊂
r
a
r
 RR I:f
)sin(t),-
t-4
11,((t)f t 
 
2
3
+=
→⊂
t
 RR I:f
r
a
r
Exemplo 2.- Defina o domínio e a imagem da função vetorial a
Seguir
Resposta: Dom(f)={...,[-4pi,-3pi],[-2pi,-pi],[0,pi]}.
Curva espacial: dada uma função vetorial 
Tal que f1(t), f2(t),...fn(t) são funções reais continuas no domínio da 
função vetorial f. Então o conjunto V de pontos do espaço R3
tais que 
x1 = f1(t), x2 = f2(t),x3 = f3(t),......xn = fn(t)...............(*) ; 
e t variando no domínio de f é chamado de curva espacial. As 
equações (*) são denominadas equações paramétricas de V 
(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t 
 
n21=
→⊂
r
a
r
n
 RR I:f
Curvas no espaço tri-dimensional R3
Quando uma partícula se movimenta no espaço R3, ela descreve 
uma curva r(t) denominada trajetória. 
))(),(),(((t))r(t),r(t),(r(t)r t 
],[ 
321
3
tztytx
 RbaI:r
==
→=
a
Exemplo: seja a função vetorial definida no espaço R3
Esta função define uma curva no espaço R3, denominada
de helicóide.
)),sin(),cos(()( vttatatf =
r
usando Maple
> restart; #helicoide
> with(plots):
> a:=3: v:=2: # dados para ajustar a curva
> spacecurve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t=0..5*Pi, axes=box, 
labels=[x,y,z], thickness=2); 
Uma curva plana é um conjunto r de pares ordenados 
de reais ( f(t), g(t) ), em que f(t) e g(t) são funções 
reais contínuas em um intervalo I.
Y
r =(x,y) curva no plano R2
x = f(t) equação
y = g(t) paramétrica
I 
t
f
g
P
y
0 x X
y = g(t) paramétrica
Exemplo: a função vetorial
define uma curva plana denominada de ciclóide, v,r, w 
são constantes. 
))cos(),sin(()( wtrrwtrvttf −−=
r
> restart; #cicloide
> with(plots):
> v:=2:w:=1:R:=2:
> plot( [v*t-R*sin(w*t), R-R*cos(w*t), t=0..5*Pi], 
scaling=constrained, thickness=2, color=blue,labels=[x,y]); 
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/ci
cloide.htm
Funções vetoriais: representação gráfica
Importante: A parametrização define uma orientação na curva
Limite de funções vetoriais
Definição: Sejam uma função vetorial que define 
uma curva no espaço R3, tal que
r(t)=(x(t),y(t),z(t)) = x(t) i+ y(t) j + z(t) k,
Logo, dizemos que r tem limite L a medida que t se 
aproxima a to e escrevemos assim:
)(trr
Desde que os limites das funções componentes existam. 
3
 02 01 0
321
 0
lz(t) lim,ly(t) lim,l x(t)lim
 ),l,l,(lLr(t)lim
===
==
→→→
→
tttttt
tt
εδ
δε
<−⇒<−<
∀>∃>∀
=→
|)(| ||0
 t 0, 0 
 ,)(lim O
0tt
Ltrtt
tal que
sesomenteexiste seLtr
o
rr
r
Definição formal :
Exemplo 1, Seja a função , demonstrar 
que :
Exemplo 2 Seja a função , 
demonstra que :
Continuidade de funções vetoriais
),1()( 2 tttr +=r
)0,1()(lim 0 ==→ Ltrt
rr
)1,,()( 2 += tettr tr
)1,1,0()(lim 0 ==→ Ltrt
rr
Continuidade de funções vetoriais
Uma função vetorial r(t) será contínua em um ponto t=t0, do seu 
domínio se 
 L,))(z),(y),((x)(r c)
existe )( )
existe L (t)rlim)
0000
0
 0
==
=→
tttt
trb
a tt
r
r
r
Exemplo 2. Verifique se a função vetorial abaixo é contínua 
para .t= 0
Exemplo 1. Verifique se é contínua em 
ktjtittr
rrrr
 )cos( )sin()( ++=
)(trr 4/pi=t
Continuidade de funções vetoriais.
para .t= 0
Derivada de uma função vetorial
Definição: Seja uma função vetorial, ela é derivável ou
tem derivada, se as derivadas das componentes x(t),y(t),z(t) 
estão bem definidas para todo t do domínio de 
Interpretação geométrica da derivada de uma 
 ),
dt
dz
,
dt
dy
,
dt
dx((t)r-)(trlim)(')(
 0 =
+
=== →∆ h
h
dt
rd
trtr t
rrr
r&r
)(trv
)(trv
Interpretação geométrica da derivada de uma 
função vetorial. 
Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em 
movimento no espaço R3 . A função é a 
velocidade da partícula e é um vetor tangente à 
trajetória espacial descrita pela partícula (para cada 
instante do tempo t).
)(tr&r
L
P0
Z
P
V
Seja P=(x,y,z) ϵ L,
P0=(x0,y0,z0) ϵ L,
V é um vetor paralelo a L.
Exemplo 1: Determine a derivada da função vetorial
a) f(t) = (t2, cos(t),4 t) 
b) f(t) = (2t-3sin(2t), 3-3cos(2t)) usando a definição
Equação vetorial de uma reta L
0 Y
X
V
ϵ
V é um vetor paralelo a L.
Logo:
Forma paramétrica da equação da reta L.
x= x0 + vx t
Y= yo + vy t
z= z0 + vz t , sendo v = (vx,vy,vz)
 t}{: 0 VPPL +==
Regras de derivação
Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são 
números reais, e f(t),g(t) são funções reais de variável real t.
,
)()()()()]()([ .3
,
)()]([
 .2
,
)()()]()([
 .1
tvd
tftvtdftvtfd
dt
tud
a
dt
tuad
dt
tvd
dt
tud
dt
tvtud
+=
=
+=
+
r
r
r
rr
rrrr
 vetorial
 
,
)()())](([
 .6
,
)()()()()]()([ .5
,
)()()()()]()([ .4
,
)()()()()]()([ .3
produto
escalarproduto
dt
tdf
df
fud
dt
tfud
dt
tvd
tutv
dt
tud
dt
tvtud
dt
tvd
tutv
dt
tud
dt
tvtud
dt
tvd
tftv
dt
tdf
dt
tvtfd
→×
→
=
×+×=
×
+=
+=
o
rr
r
rr
rrr
r
o
rr
o
rr
o
r
r
Exercícios
Exercício 1.- Determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t)
de uma partícula que descreva a seguinte curva (trajetória)
r(t)=(2t, 8-3t2,3t+4)m.
Exercício 2.- Seja uma partícula pontual que segue uma 
trajetória dada pela curva, definida assim:
R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2.
2: RI→α
Rcos(wt)),-RRsin(wt),-(vtα(t)t:α =→
R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2.
a) Determine a posição, velocidade e aceleração no instante 
t=0s, e t=3π/2.
b) Determine a equação da reta tangente a curva α no 
instante t=3π/2.
Exercício 3.-Demonstre a propriedade 4 e 6 da regra de 
derivação.
Integral de uma função vetorial
Seja f(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, definição:
se as componentes de f são integráveis sobre I=[a,b],então
ktzjtyitxdttf
b
a
b
a
b
a
b
a
))(())(())(()( ∫∫∫ ∫ ++=
Ipartiçãodet
n
ab
tttrdttr i
ni
i
in
b
a
 ,,)(lim)(
1
∈
−
=∆∆= ∗
=
=
∗
∞→ ∑∫
rr
Exemplo: Calcular a integral da função
f(t)= ((cos(w t))2, t3+2t+1),
Comprimento de arco para curvas lisas
Quando uma partícula percorre uma determinada
Trajetória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimento 
desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se denomina
comprimento de arco
aaa a
Comprimento de arco 22 dydxdl +=
Definição: O comprimento “L” de uma curva lisa
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t ϵ [a,b] é
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dxL
b
a
 )()()( 222∫ ++=
Comprimento de arco
Se
então a formula do comprimento de arco fica
),,()(')( zyx vvvtrtrdt
rd
v ====
r&r
r
dttrdtvLb
a
b
a
|)('||| ∫∫ ==
Exemplo: Determine o comprimento de arco
da ciclóide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0 e t= 2pi 
0 2pi t
aa
FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO
∫∫ ==
t
t
t
t
vdt
dt
rd
ts
00
dt ||)(
s(t) é o comprimento da curva r(t) desde o instante t0 ate o 
instante t. Sendo v o módulo da velocidade, ou chamada
também como velocidade escalar. 
)(tv
dt
ds
=
também como velocidade escalar. 
Usando um pouco de cálculo
Importante:
Como s=s(t) então
Logo : O comprimento de arco de uma curva arbitrária não
depende da parametrização. 
dt
dt
dsds =
ds || |)(|
1
0
1
0
∫∫ ==
st
t ds
rddt
dt
trdL
“O comprimento de arco de uma curva entre dois pontos 
é invariante pela re-parametrização”
Exercícios
1.- estude a continuidade da função vetorial 
f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π.f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π.
2.- Determine o limite da função vetorial 
f(t)=(2t3,4t2,3t+4) quando t se aproxima a t0=1.
3.-Do exercício anterior determine f (´t) para todo t ϵ R. 
qual é o ângulo que forma o vetor f´(t) como o vetor f(t) no 
instante t.
4.-Determine a função comprimento de arco s(t) para a 
ciclóide do exercício 2. 
TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOS
ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53
Movimento de uma partícula no espaço R3
Sabemos que 1T.T ,|| === v
V
V
VT
0. =T
dt
Td Analisemos a velocidade de uma partícula 
dt
vTtV .)( = Derivando esta equação temos
ds
Td
 
2vTaa t += Definamos : ||
ds
TdK =
Curvatura K
N
ds
Td
ds
Td
ds
TdK
r
rr
 || |,| == Sendo vetor unitárioN
r
0. temos0,T.T == T
ds
Tdde
rr
k
1
=ρ, considerando o radio de curvatura
Finalmente N 
2
ρ
vTaa t +=
ds
Logo deve ser ortogonal a , seu vetor unitário tambémds
Td
r
T
r
0. =NT
rr
Aceleração instantâneaa
dt
dv
a T = Aceleração tangencial
2v Aceleração centrípeta ou radial
ρ
2v
a cpta =
Aceleração centrípeta ou radial
Sempre orientada á parte côncava
Da trajetória.
Suponhamos que : )(srr r= , definamos ds
rd r
=τ
),,(
ds
dz
ds
dy
ds
dx
=τ
1)()()(|| 222 =++=
ds
dz
ds
dy
ds
dx
τ
Logo τ
rr
≡T
rd 2 rrrddTd |
ds
rd| |)(| || 2
2
===
ds
rd
ds
d
ds
TdK
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)()()(
ds
zd
ds
yd
ds
xdK ++=
Logo, em forma explicita
Triedro de Frenet-Serret
TNB ×= Vetor binormal
Exercícios
1.- Provar que
2.- Provar que
3.- Provar que 
1|| =B
v
Va
V
Va
a T
.
||
.
==
3
||
v
aVk ×=
Exercícios.. Continua
4.- Em relação á ciclóide estudada no começo
a) Determine o vetor T, N,B para a ciclóide no instante
t=3pi/2.
b) Determine a aceleração tangencial e a aceleração
centrípeta para todo instante t. Particularize para centrípeta para todo instante t. Particularize para 
t=3pi/2
c) Determine a curvatura k(t) para todo instante de 
Tempo.
c) Interprete seus resultados.
5.- demonstre que no casso de uma circunferência
de radio a, a curvatura K em qualquer ponto da 
circunferência é sempre a mesma e é 1/a.
Exercícios.. Continua
6.- Seja uma partícula descrevendo uma helicóide 
r(t)=(2cos(t), 2sen(t),2t) no espaço R3
a) Determine a velocidade e a aceleração instantânea 
para todo instante t.
b) Determine o vetor unitário tangente T, para todo 
instante t.instante t.
c) Determine a equação da reta tangente a helicóide no
Instante t=pi/4.
d) Determine a função comprimento de arco s(t) em 
função do tempo t.
e) Determine a aceleração tangencial e a aceleração
centrípeta para todo instante t. Particularize para 
t=pi/4.
Exercícios.. Continua
f).- Determine os vetores N e B para todo instante t.
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_2.htm
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_1.htm
http://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/
Equação de um plano.
Seja um plano M imerso no espaço euclidiano R3 onde
n é um vetor perpendicular ao plano M, então 
conhecendo um ponto Po=(xo,yo,zo) que pertence ao 
plano P, podemos determinar a equação algébrica que 
obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.
Basicamente, ela disse que toda reta contida no plano 
(ou todo vetor contido no plano), é perpendicular ao 
vetor normal n.
dado n=(a,b,c)
0. =PPn o (O produto escalar entre n e P0P é nulo)
Seja P=(x,y,z) um ponto arbitrario do plano M
Equação de um plano.
0=+++ dczbyax
Onde a constante d pode se achar avaliando a 
equação em qualquer ponto que pertence ao plano.
r
n
C ΒΒΒΒ
 Paralelismo entre rectas e planos
 o vector director (da recta r) é perpendicular 
 ao vector (n) normal ao plano
n
A
José Maria
Plano_08
s
D
Perpendicularidade entre rectas e planos
 o vector director da recta (s) é colinear 
 com o vector (n) normal ao plano
αααα
n
s
A
C
José Maria
Plano_09
αααα
n
 Paralelismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p ) 
 são colineares
ββββ
αααα
p
José Maria
Plano_10
αααα
n
 Paralelismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p ) 
 são colineares
ββββ
αααα
p
José Maria
Plano_10
Interseção de dois planos
n =(a ,b ,c )n1=(a1,b1,c1)
n2=(a2,b2,c2)
||||
.)cos(
21
21
nn
nn
=θ
21211121. ccbbaann ++=
Exercícios.
Exercício 1.- Seja M um plano paralelo ao plano xy
localizada a uma distancia c da origem de coordenadas.
Determine a equação deste plano.
Exercício 2.-Encontre a distancia do ponto Q=(1,2,1)
ao plano M com equação x+y+z=6
Exercício 3.- Seja os planos Exercício 3.- Seja os planos 
M1 : 3x+2y+z+4=0, M2: z=0,
a) Determine o ângulo entre estes planos
b) Determine a equação da reta proveniente da 
interseção dos dois planos.
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/geometriaeuclid
eana.htm
Site recomendado para entender melhor a geometria euclidiana

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