LIVRO Concreto Armado Vol. 3

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3 
 
Concreto Armado 
Volume 3 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento à Flexo-Compressão 
Edmilson L. Madureira 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Apresentação 
 
 
 O trabalho que segue nas páginas adiante é o terceiro da 
série de três volumes contemplando a cobertura do conteúdo 
programático da disciplina Estruturas de Concreto Armado I, da 
grade curricular do Curso de Engenharia Civil, da Universidade 
Federal do Rio Grande do Norte. 
 Representa o fechamento de uma proposta original de 
disponibilizar aos membros do corpo discente, material didático 
voltado à aquisição de conhecimento, extrato das lições de autores 
tradicionais versados na ciência e na arte de projetar estruturas de 
concreto armado, dispensando esses estudantes do rebuscar 
imediato de conteúdo em fontes dispersas, sem, contudo, demovê-
los do compromisso de ampliar horizontes na pesquisa em 
bibliografia alternativa. 
 Os volumes foram concebidos mediante estrutura gramatical 
e vocabulário, acessíveis a estudantes do Curso de Engenharia 
Civil, sem, entretanto, negligenciar o cultivo e usufruto de 
terminologia técnica e notação científica, adequadas. 
 Este volume compreende cinco capítulos abordando o 
dimensionamento de membros estruturais de concreto armado 
solicitados à flexo-compressão. 
6 
 
 Congratulações aos estudantes da disciplina Estruturas de 
Concreto Armado I, que, com empenho, lançaram-se no desafio de 
desbravamento dos dois volumes precedentes, lhes permitindo o 
acesso ao conteúdo então apresentado em vôo de cruzeiro e 
calmaria de jornada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
Sumário 
 
 
Capítulo I – Seções Solicitadas à Flexo-Compressão - 
Introdução 
 
I.1 – Aspectos Fundamentais 9 
I.2 – Recomendações Normativas 16 
I.3 – Modelo de Dimensionamento 26 
 
Capítulo II - Flexão composta reta com grande excentricidade – 
Dimensionamento 
 
II.1 – Armadura Distribuída nos Bordos da Seção Transversal 29 
II.2 – Armadura Distribuída no Perímetro dos Estribos 63 
II.3 – Exercícios Propostos 73 
 
Capítulo III - Flexão composta reta com pequena excentricidade 
 
III.1 - Dimensionamento 75 
III.2 - Exercício Proposto 87 
8 
 
 
 
Capítulo IV - Flexão composta oblíqua com grande 
excentricidade 
 
 IV.1 - Dimensionamento 89 
IV.2 - Exercício Proposto 109 
 
 
Capítulo V - Efeito de Esbeltez 
V.1 – Preâmbulo 111 
V.2 - Dimensionamento 117 
V.3 – Exercício Proposto 123 
 
 
Referências Bibliográficas 125 
 
 
 
 
 
9 
 
Capítulo I 
 
 
Seções Solicitadas à Flexo-Compressão - Introdução 
 
 
I.1 – Aspectos Fundamentais 
 
Uma seção transversal está submetida à flexão composta 
quando solicitada pela ação combinada e simultânea de esforço 
normal e momento fletor, denominando-se, particularmente, flexo-
compressão se o esforço normal for de compressão. 
Um exemplo desse padrão de solicitação é constatado em 
colunas submetidas a carregamento transversal, decorrente de 
impacto lateral, conforme figura I.1.a, como o que se verifica em 
defensas de rodovias, guarda-corpo de pontes, e pilares de currais e 
garagens. Outro exemplo, são os pilares que recebem a ação do 
vento, figura I.1.b, como acontece naqueles de extremidade de 
estruturas de edifícios. Ressaltem-se, ainda, as colunas que fazem 
parte de pórticos, sobretudo, quando estão ligadas rigidamente aos 
elementos horizontais, as vigas, figura I.1.c. 
Reportem-se, inclusive, as colunas de estruturas de pontes 
onde as ações de aceleração e frenagem de veículos são exercidas 
na superfície de rolamento da pista e transmitidas ao topo dos 
pilares, resultando as condições apresentadas na figura I.2. 
10 
 
 
Figura I.1 – Elementos submetidos à flexo-compressão 
 
Figura I.2 – Solicitações estáticas em pontes rodoviárias 
Até mesmo a ação do tráfego de veículos contra a 
ondulação da superfície de rolamento do pavimento das pontes é 
suficiente para produzir ações horizontais nos pilares. 
Para as pontes ou viadutos de traçado longitudinal em curva 
horizontal, Figura I.3, o tráfego natural de veículos a velocidades 
11 
 
razoáveis, é capaz de mobilizar ação centrífuga na laje da 
superestrutura. Tal ação é conduzida ao topo das colunas 
resultando na solicitação nos pilares ilustrada na figura I.4. 
 
Figura I.3 – Ponte ou viaduto de traçado horizontal em curva 
 
Figura I.4 – Ponte ou viaduto de traçado horizontal em curva 
12 
 
Em qualquer situação de coluna solicitada à flexo-
compressão, o par de esforços, constituído pelo esforço normal e o 
momento fletor, pode ser transformado em um único esforço 
equivalente, o esforço normal, apresentando desvio em relação ao 
centro de gravidade da seção transversal, figura I.5. Isto é possível 
mediante a aplicação do teorema de Varignon. A medida do desvio 
“e”, da linha de ação do esforço normal, em relação ao centro de 
gravidade da seção transversal é denominada de excentricidade. 
 
Figura I.5 – Pilar solicitado à flexão composta 
A flexão composta pode ser reta ou obliqua. A flexão 
composta reta, ou flexão composta normal, dá-se quando a seção 
transversal encontra-se solicitada por momento fletor, cujo vetor 
apresenta a mesma direção de um de seus eixos principais de 
inércia, figura I.6.a. Em outras palavras, quando a linha de ação do 
esforço normal excêntrico intercepta um dos eixos principais de 
inércia, ou seja: quando a excentricidade se manifesta apenas 
segundo uma de suas direções principais, figura I.6.b. 
13 
 
. 
 
Figura I.6 – Seção transversal solicitada à flexão composta reta 
Por outro lado, uma seção está solicitada mediante flexão 
composta oblíqua, quando o vetor momento fletor apresenta-se 
inclinado em relação aos seus eixos principais de inércia, figura 
I.7.a, o que equivale a dizer que a linha de ação do esforço normal 
excêntrico intercepta o plano da seção através de um dos 
quadrantes estabelecidos por seus eixos principais de inércia. Neste 
caso, a excentricidade manifesta-se segundo duas direções 
ortogonais entre si, figura I.7.b. 
 
Figura I.7 – Seção transversal solicitada à flexão composta oblíqua 
14 
 
Os eixos principais de inércia caracterizam-se por 
representarem a referência para os momentos de inércia de valor 
extremo maior e menor. Em outras palavras, são os eixos em 
relação aos quais os momentos de inércia apresentam o valor 
máximo e o valor mínimo. Assim sendo, se o momento de inércia 
em relaçãoa dado eixo apresenta seu valor máximo este eixo 
representa um eixo principal de inércia, e, o outro eixo principal de 
inércia é aquele que lhe é ortogonal, em relação ao qual o momento 
de inércia apresenta o menor valor possível. 
A flexão composta é de pequena excentricidade quando os 
esforços solicitantes e a distribuição da armadura na seção 
transversal são tais que resulta, exclusivamente, tensões de 
compressão em toda a extensão da referida seção. Assim, a linha 
neutra passa fora ou no máximo tangencia o perímetro de contorno 
da seção transversal em consideração, figura I.8.a. 
Por outro lado, quando a linha neutra intercepta a seção 
transversal analisada, de modo que ela se encontre parcialmente 
tracionada e parcialmente comprimida, caracterizar-se-á a flexão 
composta com grande excentricidade, figura I.8.b. 
Em se tratando de seções de concreto armado os conceitos 
da Mecânica dos Sólidos não se aplicam diretamente, haja vista, a 
influência das armaduras e da fissuração. 
A flexão normal dar-se-á, exclusivamente, em seção que 
admita pelo menos um eixo de simetria e o plano que contém o 
carregamento também contém tal eixo, de modo que o vetor 
15 
 
momento fletor é perpendicular ao plano de carregamento e ao eixo 
de simetria, figura I.9. Caso contrário tem-se flexão oblíqua. 
 
Figura I.8 – Seção transversal solicitada à flexo-compressão: a - ) 
com pequena excentricidade; b - ) com grande excentricidade 
A flexão composta reta é de abordagem mais simples, tanto 
pela própria formulação quanto pelo fato de que a direção da linha 
neutra é conhecida, uma vez que é perpendicular ao plano do 
carregamento. Para a flexão composta oblíqua, por outro lado, além 
de a formulação ser mais complexa, a linha neutra apresenta-se 
inclinada em relação aos eixos principais de inércia com direção 
desconhecida. Observe-se que a assimetria da armadura, inclusive, 
pode induzir flexão composta oblíqua. 
16 
 
 
Figura I.9 – Flexão composta reta 
 
 
I.2 – Recomendações Normativas 
 
I.2.1 - Imperfeições Geométricas Locais 
 
Membros componentes de estruturas reais, por melhores 
que sejam as técnicas de sua execução, apresentam imperfeições 
de natureza geométrica. 
Na verificação do estado-limite último das estruturas 
reticuladas as imperfeições geométricas de origem construtiva, 
17 
 
caracterizadas pelo desvio da configuração retilínea dos eixos 
longitudinais dos membros estruturais, na condição descarregada, 
devem ser consideradas. 
 As imperfeições geométricas são classificadas em 
imperfeições globais e imperfeições locais. Na figura I.10 estão 
apresentadas as imperfeições geométricas locais mais frequentes. 
 
Figura I.10 – Imperfeições geométricas: a – ) Equívoco no 
comprimento do elemento de travamento; b – ) Desvio do eixo da 
condição retilínea; e, c – ) desaprumo 
Nos casos usuais, segundo a norma, a consideração do 
desvio da retilineidade por lance de pilar é suficiente. Seus efeitos 
podem ser avaliados em termos aproximados a partir da adoção de 
uma excentricidade mínima para o esforço normal de projeto, 
avaliada mediante a equação: 
h03,0015,0e min,1 +=
 I.1 
18 
 
onde “h” é a dimensão da seção transversal na direção considerada. 
 
I.2.2 - Dimensões limite para os pilares 
 
A área da seção transversal de pilares de concreto armado, 
figura I.11, não deve ser inferior a 360 cm
2
. Suas dimensões não 
devem, a princípio, ser menores que 19 cm, além do que, a maior 
dimensão da seção transversal não pode ser superior a cinco vezes 
a sua menor dimensão. 
 
Figura I.11 – Seção transversal 
Excepcionalmente, permite-se a adoção de dimensão 
compreendida entre 14 cm e 19 cm para a seção transversal do pilar 
desde que as solicitações sejam multiplicadas por um coeficiente 
majorador dado por: 
b05,095,1n -=γ
 I.2 
19 
 
onde “b” é a menor dimensão da seção transversal, expressa em 
centímetros. 
 
I.2.3 - Armaduras Transversais 
 
Devem ser constituídas por estribos horizontais, figura I.12, 
e, quando for o caso, por grampos suplementares, distribuídos ao 
longo de toda a extensão longitudinal do pilar, incluindo as regiões 
de cruzamento com vigas e lajes. 
Têm o objetivo de garantir o posicionamento da armadura 
longitudinal e impedir a flambagem individual de suas barras, além 
de promover a efetivação da costura das emendas entre aquelas 
barras. Em pilares solicitados por esforço cortante têm a função, 
inclusive, de absorver as tensões cisalhantes correspondentes. 
As barras ou fios utilizados para a manufatura das peças 
das armaduras transversais devem apresentar diâmetro mínimo 
fixado a partir dos critérios: 
Lmint,min,t
4
1
 e mm 5  
 I.3 
onde “
LΦ
” é o diâmetro nominal das barras adotadas para a 
armadura longitudinal. 
20 
 
O espaçamento longitudinal representa a distância entre 
duas peças de estribo consecutivas, tomada segundo a direção do 
eixo longitudinal do pilar, figura I.12. Seu valor máximo é fixado a 
partir dos critérios: 
Smax = 200 mm 
Smax = Menor dimensão da seção transversal I.4 
Smax = 
L12
, para aço CA-50 
 Pode ser adotado 
4/Lt  
, desde que as armaduras 
sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento seja 
limitado ao valor obtido conforme a expressão: 
ykL
2
t
max
f
1
90000S











 I.5 
Com o limite de escoamento característico do aço expresso em 
MPa. 
 Nos casos em que houver a necessidade de armaduras 
transversais destinadas à absorção, inclusive, de esforços de 
cisalhamento decorrentes de esforços cortantes e momento de 
torção, os limites ora especificados, devem ser confrontados com os 
valores mínimos apresentados na seção 18.3, da NBR 6118/2014, 
adotando-se o limite mais rigoroso. 
21 
 
 
Figura I.12– Detalhe da armadura transversal de pilares 
 Com o propósito voltado para a garantia da ductilidade dos 
pilares, recomenda-se que os espaçamentos máximos dos estribos 
sejam reduzidos em 50% para concretos C 55 a C 90, com 
inclinação dos ganchos de pelo menos 135
o
. 
A NBR 6118/2014 recomenda em sua seção 18.2.4, que as 
barras da armadura longitudinal, posicionadas a distância superior a 
tΦ20
 do vértice de um estribo, devem ser amarradas mediante 
grampos suplementares. Tal recurso deve ser adotado, inclusive, a 
partir da quarta barra posicionada em tal trecho, contada a partir do 
vértice do estribo. 
22 
 
 
I.2.5 - Armaduras Longitudinais 
 
 São constituídas de barras de aço do tipo vergalhão, 
posicionadas paralelamente ao eixo longitudinal da coluna. Têm a 
função precípua de absorver, em conjunto com a massa de 
concreto, os esforços normais solicitantes. 
 A norma prevê a obrigatoriedade de adoção de uma área 
mínima para a seção transversal da armadura longitudinal, fixada 
em: 
cyddmins A004,0f/N15,0A ≥=
 I.6 
Prevê, inclusive, a obrigatoriedade de adoção de uma área 
máxima para a seção transversal da armadura longitudinal, dada a 
partir de: 
cmaxs A08,0A =
 I.7 
Tal recomendação concernente à adoção de área máxima 
de armadura deve ser atendida, inclusive, nas seções de emenda 
por traspasse. Admitindo-se a necessidade de ligação de cada 
barra da armadura longitudinal de um lance do pilar, às barras do 
lance imediatamente inferior, adotando-se emenda por traspasse, 
figura I.13, deve-seatentar para o fato de que, se nas seções de 
23 
 
seu fuste, for adotada taxa máxima de armadura conforme a 
equação I.13, esse limite poderia ser ultrapassado nas seções de 
emenda. Convém, portanto, limitar a armadura das seções fora da 
região da emenda à metade daquele valor. 
 
Figura I.13– Emenda por traspasse 
Se ”b” é a menor dimensão da seção transversal, o diâmetro 
das barras deve ser definido atendendo-se aos limites: 
mm 10Φ min,L =
 e 
8/bΦ ,maxL =
 I.8 
 
24 
 
I.2.6 - Distribuição da armadura longitudinal na seção 
transversal 
 
 As seções transversais circulares devem ser armadas 
utilizando-se, pelo menos, seis barras de 10 mm de diâmetro 
nominal, distribuídas uniformemente ao longo do perímetro da peça 
de estribo, da armadura transversal. As seções transversais de 
contorno poligonal devem ser providas de pelo menos uma barra de 
armadura longitudinal por vértice. Conseqüentemente, se a seção 
transversal do pilar for de formato retangular deverá ser armada 
mediante a adoção de, pelo menos, quatro barras de diâmetro 
nominal igual a 10 mm, de modo que seja posicionada uma em cada 
vértice. 
Com vistas a permitir a execução racional e adequada do 
elemento estrutural, e, portanto, para a obtenção de produto final de 
boa qualidade técnica é necessário garantir o estabelecimento de 
espaçamento mínimo entre as faces das barras da armadura 
longitudinal, distância “e” da figura I.14. Segundo norma deve ser 
fixado para tal espaçamento valor mínimo conforme os critérios 
expressões: 
mm 20emin =
 
Lmin Φe =
 I.9 
AGmin Φ2,1e =
 
25 
 
onde “
AGΦ
” é a dimensão máxima característica do agregado 
graúdo utilizado para a usinagem do concreto. 
 
Figura I.14 – Espaçamento das barras da armadura longitudinal 
Na hipótese de a operação de adensamento ser realizada 
através de abertura lateral localizada no fuste da forma do pilar, o 
espaçamento das barras da armadura deve ser suficiente a permitir 
a introdução e operacionalidade da agulha e da mangueira do 
dispositivo adensador. 
O espaçamento máximo interfaces das barras da armadura 
longitudinal deve ser igual ao dobro da menor dimensão da seção 
transversal do pilar e não exceder 400 mm. 
 
 
26 
 
I.3 – Modelo Dimensionamento 
 
O dimensionamento abordado nessa seção aplica-se, 
exclusivamente, a pilares comuns, não cintados, com seção 
transversal de formato retangular. 
O modelo destinado ao dimensionamento de seções 
transversais solicitadas á flexão composta é concebido tomando-se 
por base as hipóteses do modelo de cálculo da flexão simples, 
formulado na seção I.4 do Volume 2, promovendo-se, entretanto, a 
inclusão de alguns aspectos que o complementa. Desta forma, sua 
formulação herda as hipóteses de número 1; 3; 5; 6; 8 do modelo de 
cálculo da flexão simples, às quais devem ser acrescentadas as 
hipóteses: 
I - A deformação das barras de aço deve ser limitada a um valor 
máximo de 1,0%, enquanto as deformações de encurtamento da 
massa de concreto na região comprimida devem ser limitadas a um 
valor máximo de 0,2%, em se tratando de flexão composta com 
pequena excentricidade. Em elementos dimensionados para o 
regime de flexão composta com grande excentricidade, tal 
encurtamento é de 0,35%, se o concreto apresentar fck ≤ 50 MPa. 
II - As tensões na armadura de aço são obtidas a partir do diagrama 
tensão-deformação recomendado em norma, sendo limitadas ao seu 
fyd, para grande excentricidade e ao seu f’s0,2 para pequena 
excentricidade, com o material apresentando comportamento 
27 
 
elástico perfeitamente plástico, onde o f’s0,2 do aço representa a 
tensão correspondente à deformação de 0,2%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Capítulo II 
 
 
Flexão composta reta com grande excentricidade – 
Dimensionamento 
 
II.1 – Armadura Distribuída nos Bordos da Seção Transversal 
II.1.1 – Armadura Assimétrica 
Para a presente análise consideraremos inicialmente o caso 
em que a armadura apresenta distribuição de maneira assimétrica 
em camadas paralelas ao vetor momento fletor, posicionadas nos 
bordos da seção transversal do pilar, Figura II.1. 
Para a verificação da ruína da seção transversal toma-se por 
referência o estado-limite último. 
A formulação do dimensionamento fundamenta-se no 
equilíbrio entre os esforços solicitantes e os esforços resistentes: 
Rdddd MMRN 
 II.1 
Os parâmetros “Nd” e “Rd”, representam o esforço normal solicitante 
e o esforço normal resistente de projeto, ao passo que, “Md”, e “MRd” 
são o Momento fletor solicitante e o Momento fletor resistente de 
30 
 
projeto. O esforço normal de projeto, para combinação normal de 
ações é dado mediante: 
qkqqjkjkqqgkggkgd NNNNNN   001 )(  
 II.2 
que em estruturas de única ação variável, e, na hipótese de os 
esforços devidos às ações indiretas serem desprezíveis 
considerando-se g = q = f, resume-se à expressão: 
NN fd 
 II.3 
Como estratégia de modelagem, serão observados os 
equilíbrios em termos de momentos em relação à linha das 
armaduras de tração e de compressão. 
Antes de tudo, serão apresentadas as definições 
matemáticas de alguns parâmetros pertinentes que aparecem na 
figura II.1. A distância das linhas das armaduras, tanto de tração 
quanto de compressão, ao bordo que lhe é contíguo será: 
hd '
 II.4 
sendo “h” a altura da seção transversal. A distância entre a linha de 
armadura de tração e a linha de armadura de compressão será: 
hhhdhh )21(2'2'  
 II.5 
 A distância da linha neutra ao bordo comprimido será 
definida pela variável “y”, dada mediante a equação II.6. 
31 
 
hyhy /.  
 II.6 
 A distância da linha neutra fictícia, referente ao diagrama 
retangular simplificado de tensões no concreto, ao bordo 
comprimido, é dada por: 
hxhhyx /..8,08,0  
 II.7 
 O equilíbrio dos momentos em relação à linha da armadura 
tracionada será: 
  0stM
 II.8 
Tal somatório deve envolver a contribuição do esforço normal 
solicitante e das resistências do aço e do concreto em compressão, 
de modo que: 
0 '  dtstctst MMMM
 II.9 
Onde 
dtM
 é o momento associado ao esforço normal de projeto. 
ctM
 e 
'
stM
 representam, respectivamente, os momentos fletores 
devidos aos esforços normais absorvidos pelo concreto e pelo aço 
em compressão. 
O momento fletor absorvido pelo concreto em compressão, 
Figura II.1, pode ser dado mediante a equação II.10. 
32 
 
)2/1()2/.()2/'(   hRhhhRxdhRM cccct II.10 
Onde Rc é o esforço normal absorvido na região comprimida 
do concreto, Figura II.1, sendo dado a partir de: 
hbfxbfR ccc ..... 
 II.11 
Levando-se II.11 em II.10 resulta: 
 )2/1(...)2/1(  hhbfhRM ccct II.12 
 O momento fletor associado ao esforço normal absorvido 
pelas barras da armadura comprimida, Figura II.1, pode ser obtido 
através de: 
hRhRM ssst )21(
'''' 
 II.13 
Onde 
'
sR
 representa o esforço normal absorvido nas barras da 
armadura comprimidapodendo ser obtido a partir de: 
''' . sss AR 
 II.14 
Para a qual 
'
sA
 é a área da seção transversal da armadura 
comprimida e 
'
s
 é a tensão normal que a solicita. 
 As taxas de armadura comprimida e tracionada podem ser 
definidas matematicamente a partir das expressões: 
33 
 
c
yd
f
f
''  
 e 
c
yd
f
f
 
 II.15 
Sendo ρ’ e ρ as porcentagens geométricas de armadura comprimida 
e tracionada, respectivamente, que são dadas na forma: 
hb
A
A
A s
c
s
.
'
''

 e 
h.b
A
A
A s
c
s 
 II.16 
Desde que o parâmetro Ac represente a área da seção bruta de 
concreto. 
Combinando-se as equações II.15 e II.16, referentes às 
armaduras comprimidas, e resolvendo a expressão resultante em 
'
sA
 obtém-se: 
hb
f
f
A
yd
c
s ..'
' 
 II.17 
De modo que, levando-se II.14 e II.17 em II.13, obtém-se: 
hhb
f
f
hAhRM s
yd
c
sssst ..).21(')21(.)21(
'''''  
 II.18 
O momento do esforço solicitante de projeto em relação à linha da 
armadura tracionada, figura II.1, será dado pela expressão: 
).
2
21
()
2
.2
()'
2
( heN
hh
eNd
h
eNM ddddt
 



 II.19 
34 
 
 Substituindo-se II.12, II.18 e II.19 na equação II.9 vem: 
0)h.
2
21
e(N 
h.h.b).21(
f
f
')2/1(h.h.b.f
d
'
s
yd
c
c






 II.20 
Dividindo-se todos os termos de II.20 por fc.b.h.h, resulta: 
0
h.h.b.f
)h.
2
21
e(N
 
h.h.b.f
h.h.b.
)21(
f
f
'
h.h.b.f
)2/1(h.h.b.f
c
d
c
'
s
yd
c
c
c








 II.21 
Fazendo-se: 
).
2
21
(
.....
).
2
21
(
2
he
hbf
N
hhbf
heN
c
d
c
d 

 



 II.22 
E efetuando-se as simplificações pertinentes resulta afinal: 
0
'.)21(
)2/1(
'


 
yd
s
f
 II.23 
 Por outro lado, o equilíbrio de momentos dos esforços em 
relação à armadura comprimida poderá ser expresso mediante a 
equação II.24. 
35 
 
  0scM
 II.24 
A partir de raciocínio idêntico àquele praticado para os momentos 
relativos à armadura tracionada devemos ter: 
0  dcscccsc MMMM
 II.25 
Onde 
dcM
 é o momento associado ao esforço normal de projeto. 
ccM
 e 
scM
 representam, respectivamente, os momentos fletores 
dos esforços normais absorvidos pelo concreto em compressão e 
pelo aço em tração. 
O momento fletor absorvido pelo concreto em compressão, 
Figura II.1, pode ser dado mediante: 
)2/()2/.()'2/(   hRhhRdxRM ccccc II.26 
Levando-se a expressão de Rc da equação II.11 na equação 
II.26 obtém-se: 
)2/(....)2/(   hhbfhRM cccc II.27 
 O momento fletor associado ao esforço normal absorvido 
pelas barras da armadura tracionada, Figura II.1, será dado pela 
equação II.28. 
hRhRM sssc )21(
' 
 II.28 
36 
 
Onde 
sR
 representa o esforço normal absorvido nas barras da 
armadura comprimida podendo ser obtido a partir de: 
sss AR .
 II.29 
Para a qual 
s
 é a tensão normal que solicita a armadura 
tracionada e
sA
 é a área de sua seção transversal que pode ser 
dada mediante equação semelhante à II.17, resultando: 
hb
f
f
A
yd
c
s ..
 II.30 
Desde que ω seja sua taxa mecânica. Assim, levando-se II.29 e 
II.30 em II.28, obtém-se: 
hhb
f
f
hAhRM s
yd
c
ssssc ..).21()21(.)21(  
 II.31 
O momento do esforço solicitante de projeto em relação à linha da 
armadura comprimida, figura II.1, será: 





 






 













h.
2
21
eN 
2
h.2h
eN'd
2
h
eNM
d
dddc


 II.32 
 Substituindo-se II.27, II.31 e II.32 na equação II.25 obtém-se 
a equação: 
37 
 
0h.
2
21
eN 
h.h.b).21(
f
f
)2/(.h.h.b.f
d
s
yd
c
c





 




 II.33 
Dividindo-se todos os termos de II.33 por -fc.b.h.h, resulta: 
0
h.h.b.f
h.
2
21
eN
 
h.h.b.f
h.h.b.
)21(
f
f
h.h.b.f
)2/(.h.h.b.f
c
d
c
s
yd
c
c
c







 








II.34 
Fazendo-se: 





 






 

 he
hbf
N
hhbf
heN
c
d
c
d
.
2
21
.....
.
2
21
'
2


 II.35 
E efetuando-se as simplificações pertinentes resulta afinal: 
0'
.)21(
)2/( 

 
yd
s
f
 II.36 
 As intensidades das tensões normais nas barras da 
armadura de aço podem ser obtidas a partir do conhecimento das 
respectivas deformações que, por sua vez dependem da posição da 
linha neutra. Tais deformações podem ser deduzidas do desenho da 
figura II.1. Observe-se que o triângulo otu é semelhante aos 
triângulos ors e opq de modo que: 
38 
 
ou
op
tu
pq
ou
os
tu
rs

 II.37 
Mas, da figura II.1 pode-se depreender que: 
-y'op e, ;pqy;ou ;'; tu; s
' dhdyosrs cus   II.38 
da primeira das igualdades II.37 obtém-se: 
cus
cu
s
y
dy
y
dy
ou
os
tu
rs 
 '' '' 
 II.39 
e, da segunda das igualdades II.37 resulta: 
cus
cu
s
y
ydh
y
ydh
ou
op
tu
pq 
 



''
 II.40 
 
Figura II.1 – Seção transversal esforços e diagramas 
Haja vista que x = 0,8y, as equações II.39 e II.40 se 
transformam em: 
39 
 
cucus
x
d 
 ..8,01.'.8,01' 












 II.41 
e 
cucus
x
dh 
 .1)1(8,0.1)'(8,0 
















 II.42 
Para definição das tensões nas barras de aço considere-se 
o diagrama tensão deformação do aço, figura II.2. Deve-se ter em 
conta de antemão que a norma permite considerar que o padrão de 
desempenho mecânico em compressão para o aço é idêntico ao seu 
padrão de desempenho em tração de forma que admite considerar 
para diagrama em compressão aquele mesmo elaborado a partir de 
resultados de ensaios em tração. Observe-se que se ocorrer de a 
deformação da barra ser inferior àquela correspondente ao limite de 
escoamento de projeto do aço, “εyd” na figura II.2, referindo-se, 
portanto, a qualquer ponto situado no trecho “OA” da curva tensão 
deformação, o material permanece no regime elástico de modo que 
é válida a lei de Hooke. Por outro lado, se ocorrer de a deformação 
da barra ser superior àquela correspondente ao limite de 
escoamento de projeto do aço, “εyd” na figura II.2, referindo-se, 
portanto, a qualquer ponto situado no trecho “AB” da curva tensão 
deformação, o material está no regime plástico de modo que a 
tensão que o solicitaé igual ao limite de escoamento de projeto do 
aço, o “fyd”. Tal realidade é representada matematicamente a partir 
dos critérios formulados nas equações II.43 e II.44 abaixo 
apresentadas. 
40 
 
ydsydssssyds fE 
''''' . 
 II.43 
e: 
ydsydssssyds fE   .
 II.44 
 
Figura II.2 – Diagrama Tensão Deformação para o aço 
 Vale ressaltar que a deformação correspondente ao limite de 
escoamento do aço, conforme a lei de Hooke, será: 
sydyd Ef /
 II.45 
 Pode-se observar que as equações II.23 e II.36 foram 
deduzidas em função da posição da linha neutra “x” que, na 
realidade, constitui incógnita do problema. Para os fins do exercício 
corriqueiro do dimensionamento é razoável adotar-se, 
simplesmente, β = 0,4. Em se tratando de casos que, por suas 
peculiaridades exigirem resultados mais precisos, faz-se necessário 
41 
 
uma abordagem mais rigorosa o que leva à adoção de procedimento 
iterativo. Tal procedimento consiste em arbitrar sucessivas posições 
para a linha neutra, mediante varredura ao longo da direção paralela 
à altura da seção transversal e efetuar os cálculos das taxas 
mecânicas das armaduras com base em cada valor de “β”. Com os 
sucessivos valores de tais taxas realiza-se análise de tendência 
para a obtenção da situação mais econômica, consistindo assim em 
tarefa extremamente laboriosa. Entretanto, ressalte-se a existência 
de dois valores limites para a posição da linha neutra que, uma vez 
conhecidos, atenuaria o volume de cálculo. Por um lado, em se 
tratando de flexão composta de grande excentricidade β < 1,0, por 
outro lado, deve-se atentar para a prevenção contra a ruptura do 
aço, e assim sendo sua deformação não pode ultrapassar seu valor 
limite ultimo, “εsu”, figura II.3. Em tal figura os triângulos “omn” e 
“opq” são semelhantes de forma a permitir escrever-se a igualdade: 
pq
oq
mn
om

 II.46 
Pode-se ainda deduzir que: 
sucu pq e, ;'oq ;mn ;   dyhyom RR II.47 
Levando-se estas expressões na equação II.46 obtém-se: 
)1(
h
y'dyhy
sucu
cuR
min
su
R
cu
R 
 


 II.48 
42 
 
 Conclui-se, portanto, que obtidos os valores 
apropriados para as taxas mecânicas de armadura obtém-se as 
áreas das seções transversais das barras de aço da armadura 
longitudinal mediante as equações II.17 e II.30. 
 
Figura II.3 – Configuração Deformacional Limite da Barra de Aço 
Exercício II.1: Determinar a armadura para um pilar curto com 
seção transversal de formato retangular com dimensões b = 25 cm 
e h = 50 cm, sabendo-se que será moldado em concreto C 20 
armado com barras de aço CA-50, que faz parte da estrutura de um 
edifício residencial construído em área para a qual deve ser 
prescrita uma classe de agressividade ambiental “I” e que em sua 
vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações cujas 
cargas características produzem um esforço normal de serviço de 
700 kN, que apresenta excentricidade e = 0,25 m. Admitir para 
direção preferencial de flambagem a direção “y”, figura A.II.1, e que 
as ações indiretas são desprezíveis. 
- Parâmetros Relevantes: 
- Área da seção transversal 
22 m 1250,0cm 12505025  xbxhAc
; 
43 
 
07,0
 
 
Figura A.II.1 – Seção transversal de pilar 
- Parâmetros Relevantes: 
- Área da seção transversal 
22 m 1250,0cm 12505025  xbxhAc
; 
07,0
 
- Tensões e Deformações Limite 
Conforme a tabela III.7 do volume 1 os coeficientes de 
segurança dos materiais devem ser fixados em 
4,1c
 e 
15,1s
, 
logo: 
 
MPa 124,1/2085,085,0  x
f
f
c
ck
c 
 
 
MPa 43415,1/500 
s
yk
yd
f
f 
; 
0035,0cu
 
00206,0210000/434/  sydyd Ef
 
44 
 
- Esforço Normal 
 
 MN 70,0kN 700 N
; 
- Esforço Normal de Projeto 
 Conforme tabela III.3 do volume 1, tem-se 
4,1f
, logo: 
 
MN 98,070,04,1  xNN fd 
; 
- Imperfeições geométricas 
 
m 03,050,003,0015,003,0015,0min,1  xhe
; 
Uma vez que 
m 25,0em 03,0min,1 e
 adotar 
m 25,01 e
 
- Momentos Reduzidos 
61,0)215,025,0(307,1
)50,0
2
07,021
25,0(
50,025,012
98,0
).
2
21
(
.. 22





x
x
x
xx
he
hbf
N
c
d  
05,0046,0)215,025,0(307,1
)50,0
2
07,021
25,0(
50,025,012
98,0
.
2
21
..
'
22







 

x
x
x
xx
he
hbf
N
c
d  
- Armadura Longitudinal mínima 
2
min
224
min
cm 00,51250004,0004,0
cm 39,3 m 1039,3434/98,015,0/15,0

 
xAA
xxfNA
cs
ydds
 
- Armadura Longitudinal máxima 
2
max cm 00,50125004,004,0  xAA cs
; 
- Posição da linha neutra: 
Arbitrar β = 0,4, considerando ser desnecessária maior precisão. 
- Deformações e tensões nas armaduras: 
0031,00035,0.
4,0
07,0
.8,01..8,01' 











 cus 

 
45 
 
0031,00035,0.1
4,0
)07,01(8,0
.1
)1(8,0
















 cus 

 
MPa 434''s  ydssyds f
 
Taxas Mecânicas de Armadura 
37,0'061,0'86,0292,0
061,0
'.)07,021(
4,0)2/4,007,01(
0
'.)21(
)2/1(
'












yd
yd
yd
s
f
fx
f
 
0'
.)21(
)2/( 

 
yd
s
f
 
005,0
.)07,021(
40,0)07,02/40,0( 


yd
yd
f
fx  
12,01186,0005,086,0052,0   
- Porcentagem geométrica de armaduras: 
0103,0434/1237,0/'.'  xff ydc
, e, 
00332,0434/1212,0/.  xff ydc
 
- Armadura longitudinal: 
2' cm 79,121250.
434
12
37,0..'  hb
f
f
A
yd
c
s 
 
2cm 15,41250.
434
12
12,0..  hb
f
f
A
yd
c
s 
 
46 
 
- Escolha: 
Armadura comprimida 
.cm 71,15205 e, ;cm 01,14167
;cm 50,135.1211 ;cm 35,131017
22
22



 
Armadura de tração 
.cm 28,6202 e, ;cm 04,6163
;cm 91,45.124 ;cm 71,4106
22
22



 
Observe que, para a armadura comprimida, a solução mais 
econômica é com 17 barras de 10 mm. Mas, a única alternativa que 
permite distribuição de bordo é com cinco barras de 20 mm. 
Entretanto, tal opção apresenta diferença razoável em relação à 
solução mais econômica. Provisoriamente, adotar-se-á essa 
alternativa, uma vez que até agora não foi abordada outra 
configuração de distribuição senão a distribuição de bordo. Para a 
armadura de tração, por sua vez, poder-se-á adotar a solução mais 
econômica com barras de 10 mm. 
- Armadura transversal: 
De acordo com a norma, o diâmetro dos estribos deve ser 
fixado a partir dos critérios: 
Lt 
4
1
 e mm 5 mint,min,
 
47 
 
 No presente caso 
mm 54/20
4
1
min,  Lt
. Adotando-
se, portanto, fios de 5.0 mm, este critério será devidamente 
atendido. 
Para o espaçamento máximo a norma preconiza: 
- Smax = 200 mm; 
- Smax = Menor dimensão da seção transversal = 250 mm; e, 
- Smax = 
mm 120101212  xL
 
De modo que o espaçamento de 10 cm atende às exigências 
normativas. Conseqüentemente, a distribuição das armaduras na 
seção transversal deve ser detalhada conforme esquema da figura 
A.II.2. 
 A partir da utilização de módulo computacional iterativo 
sobre as equações II.23 e II.36 chegou-se à conclusão que para 
este caso, na realidade, a posição da linha neutra que resultou em 
condição mais econômicafoi para β = 0,466 com valores para as 
taxas mecânicas de armadura ω’ = 0,33163 e ω = 0,14646. 
 
Figura A.II.2 – Detalhe da armadura na seção transversal 
48 
 
II.1.2 - Armadura Simétrica 
Para obtenção da área necessária de armadura com 
distribuição simétrica podem ser realizadas iterações sobre as 
equações II.23 e II.36 de modo que a varredura da linha neutra 
tenha como objeto a determinação da posição para a qual se 
verifique a condição ω ≈ ω’. 
 
Exercício II.3: Resolver o exercício II.1 adotando-se armadura 
simétrica. 
Até a etapa de cálculo referente à obtenção dos momentos 
reduzidos, inclusive, adote-se procedimento idêntico, e, portanto 
valores idênticos. 
- Taxa mecânica de armadura: 
 A partir do procedimento iterativo sobre as equações de 
equilíbrio II.23 e II.36 obteve-se para a posição da linha neutra 
referente a armadura simétrica β = 0,542, resultando para taxa 
mecânica de armadura ω’ = 0.29398 e ω = 0.29334, de modo que 
pode-se considerar ω’ = ω ≈ 0.294 
- Armadura longitudinal: 
2
yd
c'
ss cm 17,101250.
434
12
294,0h.b.
f
f
'AA  
 
2'
ss
'
ss cm 34,2017,10x2A2A2AA 
 
49 
 
Enquanto no exercício II.1, obteve-se: 
222'
ss cm 94,16cm 79,12cm 15,4AA 
 
Registrando-se diferença em torno de 20%, de modo que a 
armadura assimétrica é bem mais econômica. Entretanto, 
raramente, é recomendável o uso de armadura assimétrica, pois, em 
se tratando de pilares de canto e de extremidade de edifícios a 
excentricidade do esforço normal que induz momento fletor, e, 
consequentemente, a flexo-compressão, decorre da ação do vento 
que pode atuar nos dois sentidos, figura A.II.3. O mesmo se dá para 
pilares, em geral, passíveis da incidência de impacto lateral. Nos 
demais casos a armadura assimétrica poderia ser adotada. 
Entretanto, em estruturas desse tipo, na hipótese de se ter enorme 
quantidade de colunas, posicionar corretamente a armadura na fase 
de execução é tarefa passível de enganos que podem trazer 
transtornos futuros. Diante do exposto apenas em pilares de galpões 
e hangares isentos da ação do vento justifica-se a adoção da 
distribuição assimétrica. 
 
Figura A.II.3 – Seção de pilares de edifícios sob a ação do vento 
Com vistas a esboçar formulação matemática para o cálculo 
de armadura simétrica com distribuição de bordo pode-se utilizar a 
mesma filosofia adotada para o desenvolvimento da formulação 
aplicada às armaduras assimétricas, entretanto, nestas 
50 
 
circunstâncias, torna-se conveniente tomar os momentos em relação 
ao centro de gravidade da seção transversal. Considerando-se esta 
estratégia álgebro-geométrica, as equações de II.20 a II.34 são, 
também, válidas. 
Para que haja estabilidade interna, figura II.1, é necessário 
que: 
ds
'
sc NRRR ≥-+
 II.49 
e 
ds
'
sc MMMM ≥
 II.50 
Substituindo-se II.11, II.14 e II.29 em II.49 e reordenando-a, 
na configuração de equilíbrio ter-se-á: 
0NAAx.bf dss
'
s
'
sc =--+ σσ
 II.51 
 Que uma vez dividida por 
hbfc ..
 resulta: 
0
bhf
N
bhf
A
bhf
A
bhf
x.bf
c
d
c
ss
c
'
s
'
s
c
c
=--+
σσ
 II.52 
O esforço normal reduzido pode ser definido, 
matematicamente, na forma: 
51 
 
bhf
N
c
d
 II.53 
Considerando-se as taxas mecânicas de armadura conforme 
as equações II.15 e as porcentagens geométricas na forma das 
equações II.16, pode-se deduzir que: 
ydc
s
fbhf
A 

 e 
ydc
s
fbhf
A '
' 

 II.54 
Substituindo-se II.53 e II.54 em II.52 e promovendo-se a 
devida simplificação do primeiro termo desta última, resulta: 
0
f
.'.
h
x
yd
s
'
s
=-
-
+ ν
σωσω
 II.55 
Uma vez que ω = ω’, e, considerando-se a equaçãoII.7 a 
equação II.55 se transforma em: 
0
f
).(
yd
s
'
s 

 
 II.56 
 O momento do esforço normal solicitante em relação ao 
centro de gravidade da seção transversal, figura II.1, é dado por: 
e.NM dd 
 II.57 
52 
 
Os momentos dos esforços resistentes em relação ao 
mesmo ponto, figura II.1, são dados mediante: 
2/)xh(RM cc -=
 II.58 
2/)'d2h(RM 's
'
s -
 II.59 
2/)'d2h(RM ss -=
 II.60 
Levando-se II.57, II.58, II.59 e II.60 em II.50, na configuração 
de equilíbrio resultaria a equação: 
0e.N2/)'d2h(R2/)'d2h(R2/)xh(R ds
'
sc =--+-+-
 II.61 
Levando as equações II.11, II.14 e II.29, na equação II.61 
podemos reescrevê-la na forma: 
0e.N2/)'d2h(A2/)'d2h(A2/)xh(x.bf dss
'
s
'
sc =--+-+- σσ
 II.62 
Uma vez dividindo-se a equação II.62 por 
2
c h.b.f
, resulta a 
forma: 
0
h.b.f
e.N
 
h.b.f
2/)'d2h(A
h.b.f
2/)'d2h(A
h.b.f
2/)xh(x.bf
2
c
d
2
c
ss
2
c
'
s
'
s
2
c
c


-
--- 
 II.63 
53 
 
O momento fletor reduzido pode ser definido pela 
expressão: 
2
c
d
2
c
d
h.b.f
e.N
h.b.f
M
==μ
 II.64 
Considerando-se as equações II.54 e II.64 em II.63, e 
efetuando as devidas simplificações nesta última, resulta: 
0
f.h2
)'d2h(
f.h2
)'d2h('
h.2
)xh(x
yd
s
yd
'
s
2





 
 II.65 
E, uma vez que ω = ω’, e considerando-se as equações II.4 e II.7, a 
equação II.65 assume a forma: 
0
f2
)21)((
2
)1(
yd
'
ss 


 
 II.66 
Observe-se que as equações II.56 e II.66 formam, conjuntamente, 
um sistema de duas equações e duas incógnitas, no caso a posição 
da linha neutra “β” e a taxa mecânica de armadura “ω”. Entretanto, 
percebe-se, claramente, tratar-se de equações não lineares, 
sobretudo, quando se depreende que as tensões “
s
” e “
'
s
” 
também são funções de “β”. A resolução de tal sistema de equações 
é de abordagem analítica direta complexa, necessitando-se, 
portanto, a exemplo do que aconteceu para a formulação de cálculo 
envolvendo armadura assimétrica, recorrer-se a procedimento 
iterativo. Para a realização de tal procedimento calculam-se os 
54 
 
valores de “ν” de “μ”. Fixa-se, em seguida, valor inicial para “β”. 
Calcula-se o valor de “ω” a partir da equação II.56. Verifica-se o 
atendimento à equação II.66. Caso negativo fixa-se novo valor para 
“β”. Tais etapas são repetidas até que a equação II.66 seja atendida. 
Os sucessivos valores de “β” são fixados a partir de varredura da 
linha neutra ao longo da altura da seção transversal desde a 
condição β = βmin, dado conforme a equação II.48, até a condição na 
qual β = 1,0, uma vez tratar-se de flexo-compressão com grande 
excentricidade. 
 Para efeito de cálculo das tensões nas armaduras deve-se 
recorrer às equações II.41 e II.42 combinadas com os critérios 
definidos nas equações II.43 e II.44. 
Procedimento gráfico: 
A sistemática de cálculo pode ser substancialmente 
simplificada adotando-se ábacos construídos com base em 
procedimento iterativo realizado sobre as equações II.56 e II.66. 
Segundo esta diretriz de cálculo foram elaborados os ábacos II.1 e 
II.2. O procedimento de cálculo baseado no emprego desses ábacos 
constitui o método dos diagramas de iteração. 
 Umalgoritmo estruturado, como o apresentado abaixo, 
elaborado em FORTRAN, pode ser utilizado para obtenção de 
resultados voltados para a construção de tais ábacos. 
 Em seu processamento, são atribuídos valores para “ω” e 
para “ν”. Daí então é realizada a variação do valor de “β”, 
55 
 
progressivamente, promovendo-se varredura da linha neutra ao 
longo da altura da seção transversal, até que seja encontrado o 
valor de “β” que, juntamente com os valores de “ω” e “ν” fixados, 
satisfaça a equação II.56. Utilizam-se então tais valores de “ω” e de 
“β” na equação II.66, para obtenção do valor de “μ” correspondente. 
Na tabela II.1 estão apresentados resultados obtidos mediante esta 
sistemática. Utilizando-se os valores dos parâmetros constantes da 
tabela II.1, obtém-se os gráficos da figura II.4. 
 
cc implicit double precision(a-h,o-z) 
 open ( 3, file = 'abacout', status = 'unknown') 
 fc = 12.0 
 fyd = 434.0 
 Es = 210000.0 
c Defcd = 0.0035 
 Defyd = fyd/Es 
cc d'/h = 0,10 
c dd = 0.07 
 tol = 0.001 
cc Taxa Mecânica de armadura - w = 0,3 
c w = 0.15 ! Para a formulação apresentada este valor representa a taxa por bordo 
da seção transversal. A taxa total de 0,3 é na verdade equivale a 2w. 
cc Ciclos sobre o Esforço Normal Relativo de Projeto - v = 0,1 
c do 200 j = 1, 14 
c v = 0.1*j 
cc ciclos sobre as posições da linha neutra x/h = 0.01 - 1.0 
c do 500 i = 1, 930 
c x = dd + 0.001*i 
cc Stress. 
c Defc = (1.0 - 0.8*dd/x)*Defcd 
 Deft = (0.8*(1.0 - dd)/x - 1.0)*Defcd 
c if(Defc.lt.Defyd)then 
 Tc = Defc*Es 
 else 
 Tc = fyd 
 endif 
 if(Deft.lt.Defyd)then 
 Tt = Deft*Es 
 else 
 Tt = fyd 
 endif 
 v1 = x + w*(Tc - Tt)/fyd 
56 
 
c write(3,1000)x,v1 
 dif = v1 - v 
 dif = abs(dif) 
 if(dif.le.tol)then 
 v2 = v1 
 xf = x 
 Tc1 = Tc 
 Tt1 = Tt 
 endif 
c 500 continue 
c xmi = (xf*(1.0 - xf) + w*(1.0 - 2.0*dd)*(Tc1 + Tt1)/fyd)/2.0 
c write(3,1200)xf,v2,xmi 
 200 continue 
c stop 
c 1000 format(/,5x,'x = ',f7.5,2x,'v1 = ',f8.5) 
 1200 format(/,5x,'xf = ',f7.5,2x,'v = ',f4.2,2x,'xmi = ',f7.5) 
c end 
Pode-se facilmente constatar que, se as três curvas da 
figura II.4 forem lançadas no ábaco II.3, resultará em boa 
concordância com as suas correspondentes, constantes naquele 
ábaco, o que assegura a consistência de sua construção. 
Tabela II.1 – Valores do parâmetro “μ” para a construção de ábaco 
 ω 
 0,3 0,6 1,0 
ν μ μ μ 
0,1 0,1731 0,3020 0,4740 
0,2 0,2090 0,3380 0,5100 
0,3 0,2342 0,3632 0,5352 
0,4 0,2490 0,3780 0,5500 
0,5 0,2478 0,3740 0,5447 
0,6 0,2287 0,3482 0,5134 
0,7 0,2085 0,3224 0,4828 
0,8 0,1850 0,2954 0,4523 
0,9 0,1578 0,2674 0,4215 
1,0 0,1260 0,2382 0,3902 
1,1 0,0881 0,2058 0,3581 
1,2 0,0435 0,1707 0,3250 
Observe-se que os argumentos de entrada dos ábacos II.1 e 
II.2 são o momento fletor e o esforço normal reduzidos. O momento 
fletor reduzido pode ser escrito na forma: 
57 
 
h
e.
h.h.b.f
e.N
h.b.f
M
c
d
2
c
d  
 II.67 
 
Figura II.4 – Curvas da taxa mecânica de armadura 
Para a utilização dos ábacos II.1 e II.2 o valor do esforço 
normal reduzido deve ser marcado no eixo horizontal, ao passo que, 
o momento reduzido é plotado no eixo vertical. De tais pontos tiram-
se linhas de chamada vertical e horizontal, respectivamente, em 
direção ao interior do corpo do ábaco, onde as curvas das taxas 
mecânicas de armadura encontram-se traçadas. A intercessão 
dessas linhas de chamada estabelece um ponto cuja posição com 
M
o
m
e
n
to
 R
e
d
u
z
id
o
 
Esforço Normal Reduzido 
Ábaco do tipo II.2 
w = 0,3 
w = 0,6 
w = 1,0 
58 
 
referência às curvas das taxas mecânicas, deve ser devida e 
visualmente avaliada para assim permitir a estipulação do valor de 
“ω”. 
Uma vez extraído o valor da taxa mecânica de armadura, 
dos ábacos II.1 ou II.2, obtém-se o valor da porcentagem geométrica 
correspondente a partir de: 
ydc f/f. 
 II.68 
 A área total da seção transversal de armadura pode ser 
obtida a mediante: 
cst A.A 
 II.69 
Observações: 
- Os ábacos apresentam legenda elucidativa; 
- Seus resultados são válidos, a princípio, para a quantidade e 
distribuição das barras de armadura de aço, e, para o parâmetro d’, 
que estão indicados nas respectivas legendas. 
59 
 
Ábaco II.1 
 
60 
 
Ábaco II.2 
 
61 
 
Exercício IV.2: Resolver o exercício II.1 adotando-se armadura 
simétrica, a partir do método dos diagramas de interação. 
- Esforços reduzidos: 
66,0
125,0x12
98,0
h.b.f
N
c
d 
 e 
33,0
50,0
25,0x654,0
h
e.


 
- Taxa mecânica de Armadura: 
Utilizando-se o ábaco II.2, tem-se 
65,0
, ver figura A.II.4 
- Porcentagem geométrica de armadura: 
018,0434/12x65,0f/f. ydc  
 
- Armadura longitudinal 
2
cst cm 50,221250x018,0A.A  
 
- Escolha: 
.cm 20,25208 ;cm 00,241612
;cm 50,225.1218 ;cm 00,241030
22
22



 
Das opções para a armadura longitudinal apenas a solução 
com barras de 20 mm é passível de distribuição de bordo. 
 
62 
 
 
Figura A.II.4 – Procedimento para obtenção de “
65,0
” 
63 
 
Como exercício, a armadura transversal pode ser 
determinada facilmente resultando em estribos de 5.0 mm 
espaçados entre si de 20 cm. 
Uma vez realizada a distribuição resulta no detalhe 
apresentado na figura A.II.5. 
 
Figura A.II.5 – Distribuição da armadura na seção transversal 
 
II.2 – Armadura Distribuída no Perímetro dos Estribos 
 
 Como foi visto nos exemplos anteriores, a solução com 
armadura em distribuição de bordo nem sempre permite a adoção 
da alternativa mais econômica, sem contar que, nas mais das vezes 
os projetistas de estruturas, por razões diversas, preferem partir da 
adoção de distribuição da armadura na seção transversal, segundo 
o perímetro dos estribos, figura II.5, de modo que esta seção será 
64 
 
dedicada ao objetivo de dimensionar a seção transversal conforme 
este padrão de distribuição. 
 Observe-se que a seção objeto de análise é armada 
considerando-se a distribuição da armadura em n camadas 
espaçadas, igualmente, de certo valor: 
h
1n
h/'d21
1n
'd2h
S






 II.70 
 Por outro lado, a distância do centro de gravidade da 
armadura da iésima camada em relação ao bordo comprimido é 
dada mediante: 
S)in('ddi 
 II.71 
 
Figura II.5 – Seção Transversal Esforços e Diagramas 
65 
 
Considerando-se as equações II.54, a taxa mecânica de 
armadura da iésima camada pode ser dada a partir de: 
c
ydsi
i
f
f
bh
A

 II.72 
onde “Asi” representa a área total de armadura de aço da camada “i”, 
a qual, se a armadura for constituída de barras de uma mesma 
bitola será: 
suisi AnA 
 II.73 
desde que ni seja o total de barras de aço da camada “i”, e, “Asu” a 
área de uma barra de aço da bitola utilizada. A área total de 
armadura poderá ser obtida a partir da equação: 
sus A'nA 
 II.74 
onde n’ é o total de barrasda armadura da seção transversal. 
Combinando-se as equações II.73 e II.74 resulta: 
s
i
si A
'n
n
A 
 II.75 
de modo que a taxa mecânica da armadura expressa mediante a 
equação II.72 pode assumir a forma: 

'n
ni
i 
 II.76 
66 
 
sendo “ω” a taxa mecânica de armadura total da seção. 
O esforço absorvido pela massa de concreto será dado 
mediante a equação II.11. O esforço normal absorvido em cada 
camada de armadura de aço pode ser obtido mediante raciocínio 
idêntico àquele do qual resultaram as equações II.14 e II.29, de 
modo que, assim procedendo ter-se-á: 
sisisi AR 
 II.77 
que, uma vez considerando-se as equações II.72 e II.76, e algumas 
transformações algébricas pertinentes transforma-se em: 
c
yd
sii
sisisi bhf
f'n
n
AR
 
 II.78 
 A equação de equilíbrio em esforços normais pode ser 
representada por: 
d
n
1i
sic NRR 

 II.79 
 Levando-se a equação II.78 na equação II.79 e 
considerando-se as equações II.11 e II.53, resulta: 
h.b.f.bhf
f'n
n
hbf c
n
1i
c
yd
sii
c 
 

 II.80 
67 
 
que, uma vez simplificando-se, e, promovendo-se algumas 
transformações algébricas, pode apresentar-se na forma: 
0n
f'n
n
1i
sii
yd
 




 II.81 
 Tomando-se como referência o ponto no bordo comprimido 
da seção transversal, a equação de equilíbrio em momentos, 
conforme a figura II.5, pode ser escrita na forma: 
0dR2/xR)2/he(N i
n
1i
sicd  

 II.82 
Levando-se II.11 e II.78 em II.82 e desenvolvendo-se o 
primeiro termo desta última equação, obtém-se: 
0dbhf
f'n
n
2/x.x.b.f2/h.Ne.N i
n
1i
c
yd
sii
cdd  


 II.83 
Que, mediante manipulações de natureza algébrica assume 
a forma: 
0dnbhf
f'n
2/x.b.f2/h.Ne.N isi
n
1i
ic
yd
2
cdd  


 II.84 
Dividindo-se II.84 por fcbh
2
, resulta na expressão II.85. 
68 
 
0dn
h.b.f
bhf
f'n
 
h.b.f
2/x.b.f
h.b.f
2/h.N
h.b.f
e.N
isi
n
1i
i2
c
c
yd
2
c
2
c
2
c
d
2
c
d





 II.85 
Ou: 
0
h
d
n
f'nh2
x
h.b.f2
N
h.h.b.f
e.N i
si
n
1i
i
yd
2
2
c
d
c
d  


 II.86 
Considerando-se as equações II.53 e II.67, a equação II.86 
transformar-se-á em: 
0
h
d
n
f'n22
i
si
n
1i
i
yd
2
 


 II.87 
Combinando-se II.70 e II.71 resulta em: 
  21
1n
in
h
'd
21
1n
in
h
'd
h
di 












 II.88 
O par de equações II.81 e II.87 assemelha-se em concepção 
e funcionalidade ao par de equações II.56 e II.66 de modo que 
podem ser usadas, mediante filosofia idêntica àquela empregada na 
seção II.1.2, para a geração de tabela semelhante à tabela II.1 e 
curvas similares àquelas da figura II.4, e, consequentemente, validar 
69 
 
ábacos semelhantes aos ábacos II.1 e II.2, a exemplo do ábaco II.3 
mostrado a seguir, cuja sistemática de emprego é idêntica. 
Ábaco II.3 
 
70 
 
 A tensão normal em cada camada das barras da armadura 
de aço devem ser definidas mediante procedimento análogo àquele 
que conduziu às equações II.41 e II.42, complementado pelos 
critérios expressos pelas equações II.43 e II.44, devendo-se, 
entretanto, atentar para o seu sinal, conforme seja a posição da 
camada relativamente à posição da linha neutra, figura II.5. 
O procedimento iterativo voltado para o cálculo da armadura 
será então: 
• I – Calculo dos valores de “” e “μ”; 
• II – Fixação de valor inicial para “β”; 
• III - Calculo das deformações e tensões nas barras da 
armadura; 
• IV - Substituição dos valores de “β”, de “” e das tensões na 
equação II.81 obtendo-se o valor de “ω”; 
• V – Substituição dos valores de “β” , de “”, de “μ” , de “ω” e 
das tensões na equação II.87; 
• As etapas III a V devem ser repetidas para sucessivos 
valores de “β” até que, uma vez realizada a etapa V, resulte 
a identidade da equação II.87. 
O procedimento iterativo voltado para suporte ao ábaco, por sua 
vez, será: 
• Atribuição de valores a “ω” e “”; 
• Variação de “β” ao longo da altura da seção até que seja 
atendida a equação II.81; 
71 
 
• Obtenção de “μ” da equação II.87, correspondentes aos 
valores de “” e “ω” e o valor encontrado para “β”. 
 
Exercício II.3: Resolver o exercício II.1 adotando-se armadura 
simétrica de distribuição ao longo do perímetro dos estribos, a partir 
do método dos diagramas de interação. 
- Taxa mecânica de Armadura: 
Se 
66,0
 e 
33,0
, então 
85,0
, ver figura A.II.6. 
- Porcentagem geométrica de armadura: 
0235,0434/12x85,0f/f. ydc 
 
- Armadura longitudinal 
2
cst cm 38,291250x0235,0A.A  
 
A área obtida é, então, superior a todas as alternativas de 
armadura da seção obtida no exercício II.2. Assim sendo, a solução 
mais econômica acaba sendo mesmo com oito barras de 20 mm 
com distribuição de bordo, figura A.II.5. 
 
72 
 
 
Figura A.II.6 – Procedimento para obtenção de “
85,0
” 
73 
 
 
II.3 – Exercícios Propostos 
Exercício P.II.1: Um pilar curto bi-rotulado, de seção transversal 
retangular com dimensões b = 35 cm e h = 60 cm, será executado 
em concreto C 20, e armadura longitudinal de aço CA 50, em 
ambiente para o qual deve ser previsto um cobrimento nominal de 
25 mm. O pilar será parte integrante de estrutura destinada a 
edifício residencial para a qual os efeitos decorrentes das ações 
indiretas são pouco significativos. Será solicitado por uma carga 
axial de intensidade P = 1000 kN, aplicada com uma excentricidade 
de 30 cm, manifestada segundo a direção da maior dimensão da 
seção transversal. Sabendo-se que a direção preferencial de 
flambagem é segundo a maior dimensão de sua seção 
transversal, pede-se determinar a área da armadura longitudinal 
assimétrica, a partir equilíbrio dos esforços em momentos reduzidos 
e a armadura transversal. 
Exercício P.II.2: Idem, P.II.1, adotando armadura simétrica. 
Exercício P.II.3: Idem, P.II.2, adotando armadura simétrica e 
método dos diagramas de interação. 
 
 
 
 
 
74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
Capítulo III 
 
 
Flexão composta reta com pequena excentricidade 
 
III.1 - Dimensionamento 
 
 Para a abordagem de cálculo de seções transversais 
solicitadas à flexão composta com pequena excentricidade utilize-se 
como suporte o desenho da figura III.1. 
Observe-se que na figura III.1.a está representado detalhe 
de parte de uma coluna em perfil. Uma vez a seção solicitada 
mediante o Esforço Normal “Nd”, figura III.1.a, o plano da seção, 
antes posicionado segundo o segmento “qf”, figura III.1.b, assume a 
posição “nv”. Observe-se que “f” é o ponto do bordo menos 
comprimido, de sorte que é por onde passaria a linha neutra na 
condição limítrofe entre a flexão composta com grande 
excentricidade e a flexão composta com pequena excentricidade. Se 
a linha neutra passasse em ponto da seção pouco acima de “f”, ter-
se-ia flexão composta com grande excentricidade e o diagrama de 
deformações seria o triângulo “fmq”. Por outro lado, se a linha 
neutra passasseem ponto da seção pouco abaixo de “f”, ter-se-ia 
76 
 
flexão composta com pequena excentricidade e o diagrama de 
deformações seria o trapézio “fvnq”, que tenderia para o retângulo 
“fgpq”, caso a linha neutra se posicionasse a distância muito grande 
abaixo de “f”. As linhas “mf” e “pg” interceptam-se no ponto “o”, 
distante “op” do bordo mais comprimido da seção transversal. Na 
transição da condição de flexão composta com grande 
excentricidade para uma condição de flexão composta com pequena 
excentricidade, as deformações da seção transversal evoluem de 
forma que a linha “mf”, mediante rotação em torno do ponto “o”, 
passa a assumir a posição “nv”, com a linha neutra passando no 
ponto o’. A partir da consideração da semelhança entre os 
triângulos “omp” e “fmq” chega-se à conclusão de que, para 
concreto de classe até C 50: 
h
7
3
op 
 III.1 
Considerando-se o equilíbrio em termos de esforços normais 
ter-se-ia: 
0RRRN 2s1scd 
 III.2 
onde Rs1 e Rs2 representam os esforços normais absorvidos nas 
camadas de armadura. Na figura III.1.c, encontra-se ilustrado o 
diagrama de tensões na massa de concreto. Observe-se que o 
comprimento do trecho p’r’ de sua parte retangular p’q’t’r’ é igual à 
distância op. Sua parte parabólica complementar r’t’u’v’ pode ser 
aproximada por um trapézio, sem maiores prejuízos para a 
77 
 
qualidade dos resultados. A área total do diagrama de tensões 
assim aproximado será: 
7
h
)..2f.5(A 1ccdc 
 III.3 
 A linha de ação do esforço normal resultante absorvido na 
massa de concreto, Rc, deve passar no centro de gravidade do 
diagrama de tensões de compressão no concreto, cuja distância em 
relação ao bordo mais comprimido será: 
h.
).2f.5.(42
.68f.79
y
1cc
1cc
c 




 III.4 
Levando-se em conta a validade da hipótese de Bernoulle e 
considerando-se a semelhança entre os triângulos rso’, oio’, tuo’, e 
vfo’, figura III.1.b, pode-se deduzir que: 
'fo
vf
'uo
tu
'io
oi
'so
rs

 III.5 
 Observe-se, figura III.1.b, que: 
c1s1c22s vf e, ;tu ;oi ;rs  
 III.6 
h-yfo´ e, d;-yuo' e, ;h
7
3
-yio' ;d'-yso' 
 III.7 
Levando-se III.6 e III.7 em III.5 resulta: 
78 
 
hydy
h
7
3
y
'dy
1c1s2c2s








 III.8 
Desmembrando-se as igualdades III.8 e reordenando as 
igualdades resultantes tem-se: 
2c1c2c2s2c1s
h
7
3
y
hy
 e, ;
h
7
3
y
'dy
 ;
h
7
3
y
dy 









 III.9 
A deformação εc2 é dada conforme seção I.5.8, ver Figura 
I.4, do volume 1. Uma vez calculadas as deformações nas 
armaduras de aço as tensões correspondentes podem ser obtidas 
mediante critérios semelhantes aos descritos nas equações II.43 e 
II.44. Conforme a deformação no bordo menos comprimido do 
concreto, εc1, a tensão normal correspondente pode ser obtida do 
diagrama tensão deformação, Figura I.4, volume 1. 
 O Esforço Normal Absorvido na Massa de Concreto é dado 
mediante o produto da área do diagrama de tensões, equação III.3, 
pela largura da seção transversal resultando em: 
7
h.b
)..2f.5(b.
7
h
)..2f.5(b.AR 1cc1ccdcc  
 III.10 
Os esforços normais absorvidos em cada camada de 
armadura serão: 
2s2s2s1s1s1s .AR.AR  
 III.11 
79 
 
 Substituindo-se III.10 e III.11 em III.2 resulta na expressão 
III.12. 
0.A.Ah.b.f).
f
25(
7
1
N 2s2s1s1sc
c
1c
d  
 III.12 
Equações semelhantes a II.54 podem ser escritas para as 
armaduras As1 e As2. Assim procedendo-se vem: 
bhf
f
Abhf
f
A 
fbhf
A
fbhf
A
c
yd
2
2sc
yd
1
1s
yd
2
c
2s
yd
1
c
1s




 
III.13 
Levando-se III.13 em III.12 tem-se: 
0.bhf
f
 
.bhf
f
h.b.f).
f
25(
7
1
N
2sc
yd
2
1sc
yd
1
c
c
1c
d




 III.14 
Dividindo-se a equação III.14 por fc.b.h vem: 
0
ff
)
f
25(
7
1
bhf
N
2s
yd
2
1s
yd
1
c
1c
c
d  
 III.15 
Ou ainda: 
0
f
)
f
25(
7
1
yd
2s21s1
c
1c 



 III.16 
80 
 
Que representa a versão adimensional da equação de 
equilíbrio em esforços normais. Para o equilíbrio em momentos pode 
ser tomado como referência ponto situado na camada da armadura 
mais comprimida, resultando: 
0)'dd(R)'dy(R)'de
2
h
(N 1sccd 
 III.17 
Levando-se III.11 em III.17, obtém-se: 
0)'dd(.A)'dy(R)'de
2
h
(N 1s1sccd  
 III.18 
Levando-se III.13 em III.18, resulta: 
0)'dd(bhf
f
)'dy(R)'de
2
h
(N c
yd
1s1
ccd 
 III.19 
Dividindo-se a equação III.19 por fc.b.h
2
, tem-se: 
0
h
)'dd(
fh.h.b.f
)'dy(R
h.h.b.f
)'de
2
h
(N
yd
1s1
c
cc
c
d





  III.20 
Fazendo-se: 
h.h.b.f
)'dy(R
h.h.b.f
)'de
2
h
(N
c
cc
2
c
d
1



 
 III.21 
A equação III.20 se transforma na equação III.22. 
81 
 
0)21(
fh
)'dd(
f yd
1s1
21
yd
1s1
21 

 
 III.22 
Que representa a versão adimensional da equação de 
equilíbrio em momentos. 
As equações III.16 e III.22 formam conjuntamente um 
sistema de duas equações com três incógnitas, a saber, ω1, ω2 e y. 
Esta última está oculta e sua existência está consubstanciada na 
dedução deste sistema de equações. O problema, aparentemente 
indeterminado é solúvel, pois, as incógnitas ω1, e ω2 são 
interdependentes. Face à dificuldade de solução analítica, a 
exemplo dos demais casos deste capítulo, o sistema de equações 
deve se resolvido iterativamente, arbitrando-se valor para a 
incógnita y na equação III.22 para a obtenção de ω1 e utilizá-lo 
juntamente com o valor de y na equação III.16 para a determinação 
de ω2. O procedimento poderia ser tomado como base para a 
elaboração de ábacos tais como aqueles já apresentados neste 
capítulo. Entretanto, examinando-se atentamente os diagramas 
apresentados na figura III.1, observa-se que a solução mais 
econômica é auferida para a posição o’ da linha neutra infinitamente 
distante do ponto q. Para tal configuração ocorre: 
2,0s2s1sc1c ff  
 III.23 
onde o parâmetro fs0,2 representa a tensão nas barras da armadura 
de aço correspondente a um encurtamento de 0,2%. 
Consequentemente, as equações III.4 e III.10 se transformam em: 
82 
 
ccccc AfbhfR
2
h
y  ∧
 III.24 
E a equação III.18 assume a forma: 
0)'dd(f.A)'d
2
h
(Af)'de
2
h
(N 2,0s1sccd ------
 III.25 
Resultando para a área da armadura menos comprimida: 
2,0s
ccd
1s
f2
AfN)h/e3,21(
A
--

 III.26 
Desde que se faça d’ = 0,07h e d = 0,93h. 
 Adotando-se considerações semelhantes àquelas que 
levaram à equação III.26, e levando-se a própria equação III.26 na 
equação III.12 pode resultar para a área da armadura mais 
comprimida: 
2,0s
ccd
2s
f2
AfN)h/e3,21(
A
-

 III.27 
Constata-se a partir doexame das equações III.26 e III.27, 
que a condição de armadura simétrica, só é consistente se o valor 
da excentricidade do esforço normal for muito próxima de zero. É 
evidente, inclusive que, a área obtida para a armadura mais 
comprimida é sempre maior que aquela correspondente à armadura 
menos comprimida. Assim, para adotar-se armadura simétrica de 
forma, convictamente, segura, deve-se considerar como área total 
83 
 
valor igual ao dobro da área de armadura mais comprimida, de 
modo que: 
2,0s
ccd
2sst
f
AfN)h/e3,21(
A2A


 III.28 
 
Figura III.1 – Diagramas de Tensão e de Deformações 
 
Exercício III.1: Determinar a armadura para um pilar bi-rotulado 
curto de seção transversal retangular com largura b = 25 cm e altura 
h = 30 cm, em concreto C 20 e barras de aço CA-50, que faz parte 
de estrutura a ser construída em área de classe de agressividade 
ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma 
combinação normal de ações à qual corresponde um esforço normal 
84 
 
de projeto de 980 kN, com excentricidade e = 0,05 m. Admitir para 
direção preferencial de flambagem a direção “y”, figura A.III.1. 
- Parâmetros Relevantes: 
- Área da seção transversal 
22
c m 075,0cm 75030x25bxhA 
; 
- Tensões Limite 
Por razões já apresentadas em exercícios anteriores, deve-
se adotar para coeficiente de segurança dos materiais 
4,1c 
 e 
15,1s 
, logo: 
 
MPa 124,1/20x85,0
f
85,0f
c
ck
c  
 
 
MPa 43415,1/500
f
f
s
yk
yd  
; 
- Esforço Normal de Projeto 
 
MN 98,0Nd 
; 
- Armadura Longitudinal mínima 
2
cmins
224
yddmins
cm 00,3750x004,0A004,0A
cm 39,3 m 10x39,3434/98,0x15,0f/N15,0A

 
 
85 
 
 
- Armadura Longitudinal máxima 
2
cmaxs cm 00,30750x04,0A04,0A 
; 
-Imperfeições geométricas 
 
m 024,030,0x03,0015,0h03,0015,0e min,1 
; 
Considerando que 
m 05,0em 024,0e min,1 
 adotar 
m 05,0e1 
 
- Armadura longitudinal: 
'
2,0s
ccd
st
f
A.fN)h/e3,21(
A


 
24
st m10x87,10
420
075,0x1298,0)30,0/05,0x3,21(
A 


 
2
st cm 87,10A 
 
- Escolha: 
.cm 60,12204 e, ;cm 00,12166
;cm 50,125.1210 ;cm 20,111014
22
22



 
86 
 
14 barras de 10 mm seria a solução mais econômica, porém, de 
distribuição inviável. A segunda solução mais econômica é com 6 
barras de 16 mm e é viável para a distribuição de bordo, o que 
representa aspecto fundamental, pois, a equação utilizada para 
determinar a armadura se refere a este tipo de distribuição. 
- Armadura transversal: 
De acordo com a norma, o diâmetro dos estribos deve ser 
fixado conforme: 
Lmint,min,t
4
1
 e mm 5  
 
 No presente caso 
mm 44/164/Lmin,t 
. 
Adotando-se, portanto, fios de 5.0 mm este critério está 
devidamente atendido. 
Para o espaçamento máximo a norma preconiza: 
- Smax = 200 mm 
- Smax = Menor dimensão da seção transversal = 250 mm 
- Smax = 
mm 19216x1212 L 
 
Assim o espaçamento de 175 mm atende às exigências e a 
distribuição das armaduras na seção transversal deve ser detalhada 
conforme esquema da figura A.III.1. 
87 
 
 
Figura A.III.1 – Detalhe da armadura na seção transversal 
 
 
III.2 - Exercícios Proposto 
Exercício P.III.1: Determinar a armadura para um pilar curto bi-
rotulado de seção transversal retangular com dimensões b = 20 cm 
e h = 30 cm, em concreto C 20 e barras de aço CA-50, que faz 
parte de estrutura a ser construída em área de classe de 
agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por 
uma combinação normal de ações à qual corresponde um esforço 
normal de projeto de 850 kN, com excentricidade e = 0,08 m. Admitir 
para direção preferencial de flambagem a direção paralela à sua 
maior dimensão. 
 
 
 
88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
Capítulo IV 
 
 
Flexão composta oblíqua com grande excentricidade – 
 
IV.1 - Dimensionamento 
 
Para o dimensionamento de seções transversais solicitadas 
à flexão composta oblíqua, pode-se lançar mão de filosofia análoga 
àquela adotada nas seções anteriores que trataram da flexão 
composta normal, fundamentando-se no equilíbrio entre os esforços 
solicitantes e os esforços resistentes. Para isso tomar-se-á como 
esquema orientador os elementos da figura IV.1. Observe-se que a 
linha de ação do esforço normal solicitante de projeto intercepta o 
plano da seção transversal no ponto “v” de coordenadas (ez, ey) de 
modo que a linha neutra não é paralela ao eixo dos “z”, formando 
um ângulo “θ” com este eixo, e, a região comprimida da seção 
transversal, uma vez adotada a linha neutra fictícia, pode ser 
representada pelo trapézio rstu. Consequentemente, o plano de 
flexão não coincide com um plano principal de inércia, e, intercepta 
o plano da seção transversal segundo o segmento fg. Note-se que o 
lado menor do trapézio, ru, é dado por: 
90 
 
tg.bxru 
 IV.1 
A área da região comprimida é dada por: 
2
b
)tg.bx2(
2
b
)tg.bxx(
2
b
).rux(Acc  
 IV.2 
O esforço normal absorvido na região comprimida do 
concreto será: 
cccc fAR 
 IV.3 
Sua linha de ação intercepta o plano da seção no centro de 
gravidade do trapézio, ponto “c”, de coordenadas (yc,zc) 
O esforço normal absorvido em cada barra da armadura 
longitudinal será: 
sisisi AR 
 IV.4 
Onde Asi é a área de uma barra da armadura e σsi é a 
tensão normal que a solicita. A tensão normal σsi deve ser obtida a 
partir da deformação εsi determinada do diagrama de deformações 
da seção transversal, figura IV.1, considerando-se a semelhança 
entre os triângulos mno e opq. Assim procedendo conclui-se que: 
mo
mn
oq
pq

 IV.5 
91 
 
e: 
yy
2
h
oq e y;mo ;mn ;pq icusi  
 IV.6 
Levando IV.6 em IV.5 resulta: 
cu
i
si
cu
i
si
y
yy
2
h
yyy
2
hmo
mn
oq
pq 




 IV.7 
Assim, a tensão normal em cada barra de armadura de aço 
pode ser determinada com base em critérios semelhantes aos 
apresentados nas equações II.43 e II.44. 
Para a área de cada uma das barras da armadura de aço 
pode-se escrever expressão semelhante à equação II.30, de modo 
que: 
bhf
f
A c
yd
i
si


 IV.8 
Para a qual “ωi” é a taxa mecânica referente a uma barra da 
armadura. Considerando-se que n é o total de barras da armadura 
longitudinal, a taxa mecânica total de armadura será: 
in 
 IV.9 
e: 
bhf
f
1
n
A
n
c
yd
sii
 
 IV.10 
92 
 
Do equilíbrio em termos de esforços normais resulta: 
0F 
 IV.11 
Da figura IV.1 pode-se deduzir que o somatório dos esforços 
normais será: 



n
1i
sicd RRNF
 IV.12 
Levando-se IV.12 em IV.11 obtém-se: 
0RRN
n
1i
sicd  

 IV.13 
Levando-se IV.3 e IV.4 em IV.13 vem: 
0AfAN
n
1i
sisicccd  


 IV.14 
Substituindo-se IV.10 em IV.14 tem-se a forma: 
0bhf
f
1
n
fAN
n
1i
sic
yd
cccd  


 IV.15 
Ou ainda: