AA NOTAS DE AULA RESMAT

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2016 
Prof. CAMILLO fonte: R.C Hibbeler. 
UNIP 
01/01/2016 
Notas de Aula –RESMAT 
Notas de Aula 2015 Prof. Camillo 
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REVISÃO 
Figuras Planas. 
Triangulo Fórmula de Heron 
 
Trapézio Retângulo 
 
Círculo. Coroa de círculo. 
 
Exercícios. 
 
 
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Respostas: 
 
 
CENTROIDES E BARICENTRO. 
 
Frequentemente consideramos a força peso dos corpos como cargas 
concentradas atuando num único ponto, quando na realidade o que se passa e que o 
peso e uma forca distribuída, isto e, cada pequena porção de matéria tem o seu 
próprio peso. Esta simplificação pode ser feita se aplicarmos a forca concentrada num 
ponto especial denominado Baricentro. Este ponto deve ter uma distribuição de 
matéria homogênea em torno de si. Terá importância também a determinação de um 
ponto de uma superfície e não somente de um corpo tridimensional que terá uma 
distribuição homogênea de área em torno de si. A este ponto especial chamaremos de 
Centróide. 
Demonstra-se que as coordenadas deste ponto serão obtidas, no caso geral, 
tomando-se um elemento de área dA e partindo do centroide deste elemento (xel; yel) 
fazemos a integração em toda a área A. 
 
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No qual: 
 
 
Porem se pudermos decompor a figura principal em n figuras regulares e 
conhecermos os centroides dessas figuras regulares as equações podem ser 
simplificadas para: 
 
 
 
Um exemplo por integração. 
Tomando uma área de espessura dx. 
 
 
 
Idem para . 
 
Tabela de centroides de figuras regulares. 
 
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Exemplo: 
 
Calcular o CG. 
 
 
 
Resolução. 
 
 
 
 
 
 
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Respostas: 
 
 
 
MOMENTO DE INERCIA. 
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Alguns tópicos da Resistência dos Materiais exigem o cálculo de um momento de 
segunda ordem da área, isto é: 
 
Essa integral é denominada momento de inércia da área, que para nós já possui uma 
grande importância na pratica, mesmo sendo bidimensional, pois a na maioria dos 
estudos práticos analisamos secção a secção (“fatiando o corpo”). 
O momento de inércia em relação aos eixos x e y são então descritos como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos também expressar o momento de segunda ordem do elemento infinitesimal 
em torno do polo O. Isso é denominado momento polar de inércia. Nesta análise, r é a 
distância de O até o elemento infinitesimal. 
 
 
 
 
Já que: 
Teorema do Eixo Paralelo de uma Área: Se o momento de inércia de uma área em 
torno do eixo do centroide for conhecido, podemos determinar o momento de inércia 
dessa área em tordo de um eixo paralelo correspondente por meio desse teorema. 
Podemos deduzir a equação observando a figura a seguir. 
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Observe o elemento dA localizado a uma distância arbitrária y’ do eixo x’ do centroide 
quando a distância fixa entre os eixos paralelos x e x’ é definida como dy. 
Sabemos que: 
 
 
 
 
No entanto à distância y entre O e o elemento é (y’+dy). Substituindo e desenvolvendo 
a integral, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O primeiro termo da direita representa o momento de inércia da área em torno do eixo 
x’, (chamado aqui de x’). O segundo termo é nulo, já que o eixo x’ passa no centroide 
C. O resultado final então será: 
 x’+ A.dy2 
Semelhantemente: y’+ A.dx2 
Finalmente para o momento polar de inércia em torno de um eixo perpendicular ao 
plano x-y e passando pelo ponto O, teremos: 
 c+ A.d2 
Exemplos: 
1) Determine o momento de inércia do retângulo em relação a seu centroide. 
 
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Resolução: 
 
 
 
 
Como dA=dy.B, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o momento de inércia da área da seção transversal em torno do 
eixo x’ do centroide da viga T mostrada na figura. 
 
Resolução: 
Usando a mesma ideia que utilizamos para resolver os centroides, teremos: 
 . 
 
 
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Exercício. 
Determine os momentos de inércia, Ix e Iy, da área da secção transversal em torno 
dos eixos x e y do centroide da viga abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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