Equação Diferencial

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: Aplicações
 Ticiano A. Campigotto
Exemplo 01: Uma empresa fez uma análise de seus meios de produção e de seu pessoal. Com o
equipamento e o número de trabalhadores atuais a empresa pode produzir 3.000 unidades por dia. Foi
estimado que, sem nenhuma mudança no equipamento, a taxa de variação do número de unidades
produzidas por dia em relação à variação do número de trabalhadores é: 2
1
680 x− , onde x é o número
de trabalhadores adicionais. Ache a produção diária se 25 trabalhadores forem acrescidos à força de
trabalho. 
Solução
Seja y o número de unidades produzidas por dia. Então:
2
1
680 x
dx
dy
−= 
do qual obtemos:
dxxy )680( 2
1
−=
Antidiferenciando temos:
dxxdy )680( 2
1
∫∫ −=
Cxxy +−= 2
3
480
Como y = 3.000 quando x = 0, temos: C = 3.000.
Logo,
000.3480 2
3
+−= xxy 
Seja y25 o valor de y quando x = 25, então 
000.3)25(4)25(80 2
3
25 +−=y
 
500.4
000.3500000.2
25
25
=
+−=
y
y
Logo, 4.500 unidades são produzidas por dia se a força de trabalho for aumentada em 25 trabalhadores.
Exemplo 02: Sabe-se que a quantidade de Potássio (quantidade de K dada em mg) varia em relação ao
tempo t (tempo t dado em minutos), numa determinada situação, segundo a equação 
12
40
+
=
tdt
dK
.
Sabendo que inicialmente tinha-se 80 mg de Potássio, determine a função que nos dá a quantidade de
Potássio no instante t. 
12
40
+
=
tdt
dK
1º) Multiplicamos ambos os membros por dt e obtemos dt
t
dK
12
40
+
=
2º) Aplicamos a operação inversa da derivação, que é a integração e obtemos ( ) ∫ +⋅= 1240 t
dt
tK
3º) Resolvemos a integral, aplicando a fórmula ∫ u
du
 onde 
dt
du
dtdu
tu
=
=
+=
2
2
12
( ) cttK ++⋅⋅= 12ln
2
1
40 ou ( ) cttK ++⋅= 12ln20 que é a solução geral da equação
diferencial inicialmente dada.
4º) Podemos encontrar a solução particular do problema substituindo os dados fornecidos no problema,
isto é, inicialmente tinha-se 80 mg, logo para 0=t tínhamos mg 80)0( =K
Substituindo na solução geral ( ) cttK ++⋅= 12ln20 encontrada, temos
c++⋅⋅= 102ln2080
c+⋅= 1ln2080 Mas 01ln =
c+⋅= 02080
c=80
A solução particular é ( ) 8012ln20 ++⋅= ttK . 
A função acima nos dá a quantidade de Potássio no instante t.
Estas equações diferenciais são chamadas de equações diferenciais ordinárias variáveis separáveis.
2
Exercícios
1. O custo de uma máquina é R$ 700,00 e seu valor é depreciado de acordo com a fórmula
,)1(500 2−+−= t
dt
dV
onde V é o valor t anos após sua compra. Qual é o valor 3 anos após sua
compra? 
2. Um colecionador de artes compra uma pintura por R$ 1.000,00 de um artista cujo valor dos
trabalhos está crescendo em relação ao tempo de acordo com a formula 2
3
)4(5 += t
dt
dV
, onde
V é o valor esperado da pintura t anos após sua compra. Se esta fórmula, fosse válida para os
próximos 6 anos, qual seria o valor esperado da pintura daqui a 5 anos? 
3. Uma empresa estima que o crescimento da sua receita de venda para ao próximos 10 anos seja
dado pela fórmula 3
1
)1(
5
1
+= t
dt
dS
, onde S é a receita bruta de vendas daqui a t anos, e o
100 ≤≤ t . Se a receita bruta de vendas este ano for de R$ 1 milhão, qual a receita bruta
esperada após 7 ano? 
4. O valor de revenda de certa máquina industrial diminui, durante um período de 10 anos, a uma
taxa que depende da idade da máquina. Quando a máquina tem x anos de uso, a taxa com a qual
seu valor está variando é )10(220 −= x
dx
dV
reais por ano. Expresse o valor da máquina em
função de sua idade e valor inicial. Se a máquina valia R$12000,00 quando nova qual será o seu
valor com 10 anos de uso? 
5. Uma empresa determinou que a função custo marginal para a produção de um determinado
produto é dada por 
2
6
1
4125 xx
dx
dC
++= . Se o custo fixo é de R$ 116, 00, qual o custo de
produção de 12 unidades? 
3
6. Uma instituição de ensino a matrícula M vem crescendo em relação ao tempo t a uma taxa de
13
60
+
=
tdt
dM
 estudantes por ano desde 2006. Sabendo que o número de matriculados em
2011 foi de 600 estudantes, determine:
a ) função ( )tM que nos dá o nº de matriculados para o ano t; 
b) o nº de matriculados em 2006; 
c) o nº de matriculados esperados para 2014, se o crescimento continuar nessa mesma taxa. 
7. Uma empresa calcula que a taxa do crescimento de sua receita de vendas para os próximos 16
meses seja t
dt
dR
⋅+= 6230 , onde ( )tR é a receita de vendas daqui t meses, isto é, desde
este mês (t = 0) até daqui a 16 meses. Supondo que a receita de vendas neste mês seja de 1000
u.m., determine:
a) a função ( )tR que nos dá a receita para t meses; 
b) o valor da receita total futura, isto é, a receita para t = 16 meses. 
8. Um estudo indica que, daqui a t anos, a população de certa comunidade crescerá a uma taxa de
1230000300 ++= t
dt
dP
 pessoas por ano. Sabendo que atualmente a população é 500.000
habitantes, determine: 
 a) a função )(tP que nos dá a população para t anos; 
b) a população daqui 4 anos. 
 
9. O volume de água num tanque é V m3 quando a profundidade de água é h metros. Se a taxa de
variação de V em relação a h é dada por ( )332 += h
dh
dV
π , então determine:
a) a função ( )hV que nos dá o volume de água para uma profundidade h; 
b) o volume quando a profundidade for 3 metros. m3
10. Uma empresa calcula que a taxa do crescimento de sua receita de vendas para os próximos 6
meses seja t
dt
dR
63100 ⋅+= , onde ( )tR é a receita de vendas daqui t meses, isto é, desde
4
este mês (t = 0) até daqui a 6 meses. Supondo que a receita de vendas neste mês seja de 2500
u.m., determine:
a) a função ( )tR que nos dá a receita para t meses; 
b) o valor da receita total futura, isto é, a receita para t = 6 meses.
11. O valor de revenda de certa máquina industrial decresce a uma taxa que varia com o tempo.
Quando a máquina tem t anos de idade, a taxa na qual seu valor está variando é de
5960
t
e
dt
dV
−
−= reais. por ano. Se a máquina foi comprada nova por R$5.000,00, quanto
valerá 10 anos depois? 
Respostas 
1). R$ 325,00 2). R$ 1 422,00
3). R$ 3,25 milhões 4). R$ 1 000,00
5). R$ 2 000,00
6.) a 4401340)( ++= ttM ; 7 b) =)0(M 480 estudantes; 6. c) 640)8( =M estudantes
7 a) ( ) 10004230)( 3 ++= tttR ; 7.b) 4936)( =tR u.m.
8 a) ( ) 000.4901210000300)( 3 ++⋅+= tttP ; 8 b) P(4) = 761 200 habitantes.
9 a) ) ( )
8
81
32
8
4 π
h
π
V(h) −+⋅= ; 9 b) π 810)3( =V .
10.a) ( ) 25006
3
1
100)(
3
+⋅+= tttR ; 10.b) 3172)( =tR u.m
11) R$849,60
Referências Bibliográficas
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo A: Funções, limites,
derivação e integração. 6a ed. São Paulão: Pearson Pretice Hall, 2006.
THOMAS, George B. Cálculo 10a ed. Volume 1. São Paulo: Addisn Wesley, 2002.
HOFFMANN, Laurence D. Cálculo : Um curso moderno e suas aplicações. 7a ed.
Tradução de Denise Paravato. Rio de janeiro : Livros Técnicos e Científicos, 2002.
Tradução de Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Science.
LEITHOLD, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo:
Harbra,1988.
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