P1 - Cálculo 3 - Com gabarito

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MAT 003 Prova 1 - Turma ECO/EEL 29/04/2014
(Q1) (20 pontos) Esboce a regia˜o cuja a´rea e´ dada pela integral duplaZ ⇡/2
⇡/4
Z r2(✓)
r1(✓)
⇢ d⇢d✓,
onde r1(✓) =
2
sen(✓) + cos(✓)
e r2(✓) = 2 sen(✓). Atenc¸a˜o: na˜o e´ necessa´rio calcular a integral.
(Q2) (30 pontos) Considere a integral tripla
ZZZ
W
p
x2 + y2 + z2 dxdydz, onde W e´ o so´lido contido no primeiro
octante entre as esferas x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 + z2 = 9 e acima do cone 3z2 = x2 + y2. Reescreva esta
integral:
a) usando coordenadas esfe´ricas
b) usando coordenadas cil´ındricas
Atenc¸a˜o: em nenhum dos casos e´ necessa´rio calcular a integral obtida.
(Q3) (20 pontos) Calcule o volume do so´lido W = {(x, y, z) 2 R3 | x2 + y2  2, x� y  z  x2 + y2 + 4}.
(Q4) (30 pontos) Seja
�!
F = k r um campo vetorial, onde k e´ uma constante positiva e r(t) e´ a func¸a˜o vetorial que
representa uma curva diferencia´vel �. Suponha que
�!
F e r(t) esta˜o em R2.
a) Considerando que r(t) esta´ definida para a  t  b, mostre queZ
�
�!
F · dr = k
2
(kr(b)k2 � kr(a)k2).
b) Utilize o resultado do item a) para responder e justificar a seguinte questa˜o:
Qual o trabalho realizado pelo campo
�!
F sobre uma part´ıcula que da´ uma volta completa na
circunfereˆncia x2 + y2 = 1 no sentido anti-hora´rio?
c) Mostre que
�!
F e´ perpendicular a toda circunfereˆncia de centro na origem e raio R > 0.
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova!