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MAT 003 Prova 1 - Turmas TX e TY 01/04/2014 (Q1) (25 pontos) Esboce a regia˜o cuja a´rea e´ dada pela integral dupla Z ⇡/2 0 Z 2 2 cos(✓) ⇢ d⇢d✓. (Q2) (25 pontos) Considere o campo vetorial �! F (x, y) = 2xy �! i + x2 �! j . a) O campo �! F e´ conservativo? Justifique. b) Calcule a integral de linha R C F · dr, onde C e´ um arco do c´ırculo x2 + y2 = 9 de (3, 0) ate´ (0, 3). (Q3) (25 pontos) Seja o campo vetorial �! F (x, y, z) = exy �! i +exz �! j +x2z �! k e considere a superf´ıcie S dada pela metade do elipsoide 4x2+y2+4z2 = 4 que se situa a` direita do plano xz orientado na direc¸a˜o do eixo positivo y. Utilize o Teorema de Stokes para calcularZZ S rot( �! F ) · dS. (Q4) (25 pontos) Utilize o Teorema da Divergeˆncia para calcular o fluxo do campo vetorial �! F (x, y, z) = 3xy2 �! i + xez �! j + z3 �! k atrave´s da superf´ıcie do so´lido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 1 e os planos x = �1 e x = 2. Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova!
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