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MAT 003 Prova 1 - Turmas TX e TY 01/04/2014
(Q1) (25 pontos) Esboce a regia˜o cuja a´rea e´ dada pela integral dupla
Z ⇡/2
0
Z 2
2 cos(✓)
⇢ d⇢d✓.
(Q2) (25 pontos) Considere o campo vetorial
�!
F (x, y) = 2xy
�!
i + x2
�!
j .
a) O campo
�!
F e´ conservativo? Justifique.
b) Calcule a integral de linha
R
C F · dr, onde C e´ um arco do c´ırculo x2 + y2 = 9 de (3, 0)
ate´ (0, 3).
(Q3) (25 pontos) Seja o campo vetorial
�!
F (x, y, z) = exy
�!
i +exz
�!
j +x2z
�!
k e considere a superf´ıcie
S dada pela metade do elipsoide 4x2+y2+4z2 = 4 que se situa a` direita do plano xz orientado
na direc¸a˜o do eixo positivo y. Utilize o Teorema de Stokes para calcularZZ
S
rot(
�!
F ) · dS.
(Q4) (25 pontos) Utilize o Teorema da Divergeˆncia para calcular o fluxo do campo vetorial
�!
F (x, y, z) = 3xy2
�!
i + xez
�!
j + z3
�!
k
atrave´s da superf´ıcie do so´lido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 1 e os planos x = �1 e x = 2.
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova!

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