Introduçao calculo

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Introduçao
A determinação do comprimento de segmentos irregulares ou retificação de uma curva esteve associada a dificuldades históricas, matemáticos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidos à mesma tensão com o seu comprimento.
 Na antiguidade, com um conceito de função ainda não definido as relações entre variáveis eram descritas verbalmente ou em forma de gráfico.
No séc. XVII, com a introdução das coordenadas cartesianas no estudo de funções, torna-se possível transformar problemas geométricos em algébricos. Além de facilitar a análise de curvas já conhecidas, permitir o desenvolvimento de novas curvas e imagens geométricas de funções definidas entre variáveis.
Fermat durante o estudo de algumas dessas funções, preenche as limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva de forma simples: Em um ponto P qualquer, considerou outro ponto Q na reta PQ secante à curva. Posteriormente, ao deslizar Q em direção a P, obteve retas PQ que se aproximam de uma reta t a que Fermat denominou reta tangente à curva no ponto P.
 
Discussão 
O problema de calcular o comprimento de arco de uma curva é em alguns casos extremamente difícil, pois pode nos levar a integrais elípticas. Com a invenção do Cálculo Diferencial e Integral, este procedimento nos leva a resolução de uma integral definida em que o integrando envolve uma raiz quadrada e a derivada da função dada.
Objetivo
Este trabalho tem como objetivo mostrar a relevância do comprimento de gráfico de função desde a antiguidade, com o surgimento de problemáticas associadas a determinação da reta tangente e comprimento de uma curva.
comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos. 
Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.
Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula: 
a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato. 
Como objetivo desse trabalho utilizará o estudo de calculo de comprimento de gráfico para ser usado em aplicações no nosso cotidiano:
Quantos metros de um cabo de ferro são necessários para construir um arco AB, de forma parabólica, sendo A e B simétricos com relação ao eixo de simetria da parábola e com as seguintes dimensões: 2m a distância de A a B e 1m a do vértice ao segmento AB ?
O Cálculo” é uma expressão simplificada, adotada pelos matemáticos quando estes se referem à ferramenta matemática usada para analisar, qualitativamente ou quantitativamente, variações que ocorrem em fenômenos que abrigam uma ou mais componentes de natureza essencialmente física. Quando do seu surgimento, no século XVII, o cálculo tinha por objetivo resolver quatro classes principais de problemas científicos.
1- Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta.
2-  Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e do volume de um sólido.
3-  Determinação dos valores máximo e mínimo de uma quantidade por exemplo, as distâncias máxima e mínima de um corpo celeste a outro, ou qual ângulo de lançamento proporciona alcance máximo a um projétil.
4- Conhecendo uma fórmula que descreva a distância percorrida por um corpo, em um intervalo qualquer de tempo, determinar a velocidade e a aceleração.
Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.
A questão mais importante, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.
Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.