Relatório final - Experimento 4

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Universidade de São Paulo 
Instituto de Física 
 
 
 
 
 
Experiência 4: 
Dinâmica dos corpos sob ação de uma mola de metal 
 
Relatório final da disciplina Física Experimental I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anderson Ferreira Sepulveda 
Gustavo Soares Valentim 
 
 
 
 
 
 
Experimento realizado nos dias 3 e 10 de junho de 2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
Para determinar a aceleração da gravidade, podemos utilizar um sistema que oscila, pois 
há equilíbrio entre as forças em dois pontos. Com uma mola de constante elástica 
conhecida, uma rampa de inclinação variável, um objeto de massa 
conhecida. Colocamos o último a oscilar até que chegasse a uma posição de equilíbrio, 
isto é, a somatória das forças é igual a zero. Apesar de algumas notáveis ineficiências, o 
valor obtido (8,98 
 
 
) não foi tão discrepante do valor de referência (9,78 
 
 
), apenas 
(0,80 
 
 
). 
Logo, se pudéssemos utilizar equipamentos que houvesse menos dissipação de energia e 
mais precisos, esse seria um ótimo método para determinar experimentalmente a 
aceleração da gravidade em um local da terra, ou até mesmo de outro planeta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Esse experimento pretende analisar a dinâmica dos movimentos dos corpos, observando 
os agentes que produzem o movimento. Nosso principal objetivo é calcular o valor da 
gravidade através de métodos simples e compará-lo ao valor de referência, aquele 
fornecido pelo IAG. 
Uma dessas maneiras simples de calcular o valor da gravidade de um local pode ser pela 
análise das oscilações de um sistema massa-mola. Entretanto, é necessária uma medida 
fundamental para que possamos alcançar o nosso objetivo, calculada na primeira etapa 
do experimento: a constante de elasticidade da mola. Por isso, o experimento foi 
dividido em duas etapas, a primeira em que estudamos a constante elástica da mola de 
metal e da mola de plástico, e a segunda, em que calculamos a aceleração gravidade. 
Foi necessário conhecer alguns conceitos básicos para fazê-lo: lei de Hooke, força 
gravitacional, princípio da conservação de energia e a primeira e segunda lei de 
Newton, além do período num movimento harmônico simples. 
Na primeira etapa, devemos estudar um sistema massa-mola. Um pequeno objeto de 
massa m é preso a uma extremidade de uma mola (figura 1), sendo a outra extremidade 
fixa em um suporte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um sistema massa-mola na vertical, como mostrado acima, a aplicação da segunda 
lei de Newton, desprezando qualquer tipo de atrito, fornece a equação 
 
 
 
 
 
y 
h 
D m 
m 
𝑚𝑔 
 𝑘 
Figura 1: sistema massa-mola. Com uma massa m, a mola distende comprimento h, ao 
longo do eixo y, surgindo assim uma força restauradora kh em respeito à força peso. 
O sistema apresenta um comportamento oscilatório de oscilação T dado pela seguinte 
expressão: 
 
 √
 
 
 
 
Se igualarmos por logaritmo natural em ambos os lados da equação, temos 
 
 ( √
 
 
) 
 
e utilizando-se das propriedades de logaritmos, em que log( =b∙log(a), 
log(a∙b)=log(a)+log(b), log(
 
 
)=log(a)-log(b): 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
enfim, 
 (
 
√ 
) 
 
 
 
 
É a partir da relação (2) que conseguimos obter a constante elástica graficamente, como 
será mostrada adiante. 
Quando um objeto encontra-se em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a 
somatória das forças resulta em zero (∑ ). Dentre as forças que 
utilizaremos, é necessário conhecer duas: A força elástica (Lei de Hooke) e a força 
gravitacional. 
Lei de Hooke: , em que k é a constante elástica, e é a deformação da 
mola. 
Força gravitacional: 
 
 
, em que G é a constante universal de 
gravitação, a massa da terra e d é a distância entre os objetos. Mas a gravidade pode 
ser vista como 
 
 
, então a força peso é , em que é a massa do 
objeto. 
Temos que ter em mente também que há conservações de energia, isto é, a energia 
mecânica inicial é igual a final: 
 
 
 É importante notar que por ser uma força variável e haver conservação de 
energia, há oscilação quando uma massa e posta em movimento presa a uma mola e em 
alguns pontos da trajetória da massa há equilíbrio entre a força peso e a força que a 
mola impõe. 
Por não tratarmos de modelos ideais, fizemos algumas aproximações como o 
desprezo de todo tipo de atrito. Na etapa 1 do experimento, a deformação inicial da 
mola é a mesma. 
 Na segunda etapa do experimento estudamos o equilíbrio de um corpo ligado à 
mola da primeira etapa em um plano inclinado (figura 2) para o cálculo da aceleração da 
gravidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O equilíbrio estático é alcançado quando todas as forças somadas resultam em zero. 
 
∑ 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ 
𝑁 
𝑃 
𝐹𝑒𝑙 
Figura 2: plano inclinado com ângulo θ com um corpo qualquer sob a ação de três forças: força peso 
P, a normal N e a força elástica Fel. 
Procedimentos experimentais 
 
Etapa I 
Para determinar a constante elástica das molas foram utilizadas uma haste metálica, 
onde são fixadas uma mola metálica e uma mola plástica (uma espiral de caderno); 
cinco massas diferentes; e um suporte metálico para as massas (figura 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As cinco massas e o suporte de metal foram medidas com uma balança comum (± 0,1 
g). Uma régua simples (± 0,05 cm) foi utilizada para padronizar os pontos de máximo 
que as molas foram puxadas. 
Como precisamos determinar os períodos de oscilação das massas, decidimos que os 
pontos de lançamento são 1 cm para baixo do ponto que a mola se esticava por causa de 
uma massa (ver as tabelas 2 e 4). Tomamos o cuidado de não exercer uma força 
excessiva sobre a mola e tentamos esticar a mola de forma vertical para que ela não se 
movimentasse pendularmente e assim alterasse o período de oscilação. 
Suporte de 
metal 
Régua 
Mola 
Peça de 
metal 
Figura 3: Conjunto massa-mola. Quando colocamos uma peça de metal sobre o suporte de 
metal ligado à mola (tanto de metal quanto a de plástico), deformava a mola a um 
comprimento h (ver figura 1). Para fazer o conjunto oscilar, puxamos a mola com a massa a 
um comprimento (h + 1)cm (tabelas 2 e 4). 
Foram tomadas 20 medidas de tempo para cada massa. A cada 10 oscilações do 
conjunto massa-mola era parado o cronometro. 
 
Etapa II 
Com uma rampa de inclinação variável, um prego, uma mola de metal (contida na Caixa 
9 da primeira parte do experimento) e um carrinho fizemos a segunda parte do 
experimento (figura 4). Variamos o ângulo da rampa de modo que a deformação da 
mola mudasse de acordo com a atuação do peso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acoplamos o prego à rampa e nele prendemos a mola, que neste momento não tinha 
deformação notável. 
Escolhemos cinco ângulos (5°, 10°, 15°, 20°, 25°), medidos com um transferidor. Com 
esses ângulos, prendemos o carrinho sem deformar a mola e soltamos o conjunto (como 
referência, determinamos esse ponto como x0 = 0), até que houvesse uma pequena 
oscilação até chegar ao ponto de equilíbrio (xf = ∆x), medido com uma régua (± 0,05cm). 
Pela situação das forças da figura 2, no equilíbrio temos que 
 
 
 
Sendo e | |, logo 
 
 
A B ∆x 
Figura 4: corpo sob a ação do peso e da força elástica. (A) O ângulo era variado modificando a posição da peça de 
apoio. (B) Por causa da gravidade e do ângulo da rampa, diferentes medidas de ∆x eram tomadas. 
 
Resultando em 
 
 
 
 
 
 
Logo, com a ferramenta WebROOT, faremos um gráfico de deformação em função do 
seno do ângulo. 
 
 
Resultados e discussão 
 
Etapa I 
Foi pego o conjunto de molas e o suporte de metal da caixa 9. A massa do suporte é (6,6 
± 0,1)g. As massas as peças de metal são dadas na tabela 1. 
 
Tabela 1: massas das cinco peças (em gramas) 
Massa g (± 0,1) 
1 12,7 
2 20,1 
3 25,3 
4 49,8 
5 54,3 
 
 
Quando cada massa colocada com o suporte na mola de metal observou-se distensão da 
mola e, para medir as oscilações, a mola era puxada levemente 1 cm para baixo, como 
mostrado na tabela 2. 
 
Tabela 2: medidas de distensão da mola e pontos de lançamento com a mola de metal 
Massa 1 2 3 4 5 
Distensão (cm) 16 ± 0,05 17 ± 0,05 18 ± 0,05 24 ± 0,05 25 ± 0,05 
Ponto de lançamento (cm) 17 ± 0,05 18 ± 0,05 19 ± 0,05 25 ± 0,05 26 ± 0,05 
 
 
As 20 medidas de 10 oscilações de cada massa no sistema massa-mola é dada na tabela 
3, sendo a mola de metal nesse caso. 
 
Tabela 3: medidas de tempo, em s, de 10 oscilações de cada massa, não considerando a 
massa do suporte de metal. 
Medidas Massa 1 Massa 2 Massa 3 Massa 4 Massa 5 
1 3,69 4,66 5,06 6,25 6,75 
2 3,93 4,65 5,08 6,50 6,69 
3 4,46 4,83 5,06 6,59 6,72 
4 4,50 4,90 4,91 6,35 6,81 
5 3,69 4,41 4,91 6,41 6,78 
6 3,93 4,75 5,20 6,41 6,74 
7 3,91 4,53 4,81 6,41 6,66 
8 4,15 4,63 4,97 6,65 6,75 
9 4,25 4,69 4,75 6,37 6,78 
10 4,50 4,85 5,37 6,54 6,79 
11 4,25 4,56 5,22 6,25 6,78 
12 4,22 4,94 5,31 6,50 6,59 
13 4,43 4,45 4,82 6,54 6,57 
14 3,84 4,44 4,84 6,39 6,60 
15 3,85 4,50 5,04 6,59 6,60 
16 3,71 4,63 5,03 6,69 6,62 
17 3,91 4,31 5,07 6,31 6,65 
18 4,16 4,69 5,13 6,25 6,47 
19 4,25 4,28 4,91 6,57 6,69 
20 4,31 4,68 4,97 6,47 6,50 
Média 4,10 4,62 5,02 6,45 6,68 
Desvio padrão 0,28 0,19 0,17 0,13 0,10 
Desvio padrão da média 0,06 0,04 0,04 0,03 0,02 
 
 
Para verificar se a relação (2) se aplica aos dados acima, devemos construir um gráfico 
log-log para a relação do período de oscilação T para cada massa m medida (gráfico 1). 
Como medimos o tempo de 10 oscilações, então o período de oscilação e dada por 
 
 
 
 
 
 
onde é o tempo médio medido com o cronômetro. A massa m que estica a mola de 
metal é a soma da massa da peça de metal com a massa do suporte de metal, medidas 
com a balança. 
 
 
 
Foi escolhida a reta de ajuste [0]*x^[1] por ser próxima da relação (1), sendo que os resultados 
do ajuste são: 
 
Chi
2
 = 0,0870144 
Número de graus de liberdade = 3 
 
E os valores dos parâmetros: 
 
Parâmetro Valor Incerteza 
[0] 0,110065 0,0153642 
[1] 0,43865 0,0353559 
 
Observando a relação (2), para que a equação (1) seja verdadeira para o caso da mola de 
metal, o parâmetro [1] deve ser igual ou próximo a 0,5. Mesmo que tenhamos obtido [1] 
= 0,43865, podemos admitir que (2) é verdadeira para o estudo da mola de metal. 
Com isso, podemos obter a constante elástica da mola de metal ( ) a partir de (1). 
Usando a massa 4 m = 0,0564 kg e seu período de oscilação correspondente T = 0,645 
s. 
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
Gráfico 3: gráfico log-log da relação do período de uma oscilação do sistema massa-mola de metal, conforme o 
conjunto da massa de metal com o um suporte. Os pontos vermelhos são relativos aos dados obtidos. A reta de 
ajuste foi obtida pelo WebROOT e possui a forma [0]*x^[1]. 
Foram tomados como pontos de referência para lançamento do conjunto massa-mola 
pontos 1 cm abaixo do limite de distensão da mola (tabela 4). 
 
Tabela 4: medidas de distensão da mola e pontos de lançamento com a mola de 
plástico. 
Massa 1 2 3 4 5 
Distensão (cm) 14 ± 0,05 16 ± 0,05 17 ± 0,05 19 ± 0,05 21 ± 0,05 
Ponto de lançamento (cm) 15 ± 0,05 17 ± 0,05 18 ± 0,05 20 ± 0,05 22 ± 0,05 
 
 
Da mesma forma que foram feitas com a mola de metal, foram feitas 20 medidas de 
tempo de oscilação para cada massa (tabela 5). 
 
Tabela 5: medidas de tempo, em s, de 10 oscilações de cada massa, não considerando a 
massa de suporte de metal. 
Medidas Massa 1 Massa 2 Massa 3 Massa 4 Massa 5 
1 3,31 3,87 4,35 5,78 5,50 
2 3,29 3,94 3,91 5,77 5,87 
3 3,21 4,18 3,91 5,65 5,84 
4 3,13 4,38 4,29 5,64 6,06 
5 3,16 3,85 4,19 5,68 5,50 
6 3,39 3,78 4,93 5,37 5,92 
7 3,39 3,81 4,35 5,38 5,63 
8 3,18 3,90 4,82 5,50 5,72 
9 3,18 3,91 3,81 5,40 5,83 
10 3,32 3,69 4,03 5,67 5,69 
11 3,22 3,69 4,06 5,59 5,90 
12 3,36 3,82 4,79 5,65 5,89 
13 3,38 3,78 4,38 5,67 5,82 
14 3,37 3,75 4,35 5,66 5,89 
15 3,37 3,81 4,51 5,69 5,89 
16 3,32 4,05 4,11 5,65 5,90 
17 3,28 3,78 4,91 5,69 5,83 
18 3,41 3,97 4,13 5,50 5,86 
19 3,47 3,84 4,12 5,88 5,80 
20 3,40 3,90 4,13 5,67 5,89 
Média 3,36 3,89 4,32 5,63 5,82 
Desvio padrão 0,11 0,16 0,29 0,17 0,31 
Desvio padrão da média 0,02 0,04 0,07 0,04 0,07 
 
 
Como foi feito no caso da mola de metal, construído o gráfico 2 para a relação do 
período de uma oscilação (a partir da equação (4)) com a soma da massa da peça de 
metal com a massa do suporte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os resultados do ajuste são 
 
Chi
2
 = 0,737144 
Número de graus de liberdade = 3 
 
E os valores dos parâmetros: 
 
Parâmetro Valor Incerteza 
[0] 0,0673509 0,0091171 
[1] 0,527271 0,0375745 
 
 
Como o parâmetro [1] = 0,527271 é próximo do valor que condiz com a relação (2), 
podemos admitir que os dados experimentais respeitam a relação (1). 
Então, podemos obter o valor da constante elástica da mola de plástico ( ) usando a 
massa 2, m = 0,0267 kg, e seu período de oscilação, T = 0,389 s. 
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
Com os valores obtidos para a constante elástica do metal e do plástico numericamente, 
confirmamos os valores obtidos a partir do ajuste de reta (gráficos 1 e 2). 
 
 
Gráfico 4: gráfico log-log da média do tempo de oscilação do conjunto massa-mola de plástico dependente da massa 
das peças de metal. Os pontos vermelhos são os dados experimentais das tabelas 1 e 5. Foi usada a reta de ajuste 
[0]*x^[1], como foi feito com o sistema massa-mola de metal. 
Etapa II 
Utilizando-se de um carrinho de metal, de massa (158,0 ± 0,1)g e da mola de metal da 
caixa 9, medimos a posição de equilíbrio do sistema carrinho-mola após a deformação 
da mola (tabela 6) 
 
Tabela 6: máximo de deformação do conjunto carrinho-mola (a posição de referência é 
0 cm da régua), quando o conjunto atinge o equilíbrio. 
Ângulo Posição de equilíbrio (cm) Média Desvio padrão Desvio padrão da média 
5° 1,90 ± 0,05 2,00 ± 0,05 1,90 ± 0,05 1,93 0,06 0,03 
10° 4,50 ± 0,05 4,61 ± 0,05 4,60 ± 0,05 4,57 0,06 0,04 
15° 6,30 ± 0,05 6,00 ± 0,05 5,80 ± 0,05 6,03 0,25 0,15 
20° 9,00 ± 0,05 8,30 ± 0,05 8,50 ± 0,05 8,60 0,36 0,21 
25° 11,30 ± 0,05 11,00 ± 0,05 10,80 ± 0,05 11,03 0,25 0,15 
 
 
Para a construção do gráfico, foram utilizadas as médias de deformação da mola para 
cada ângulo. Com o auxilio do WebROOT , fizemos o gráfico 3 e ajustamos a função 
de parâmetros [0]*x + [1] para descobrir a aceleração da gravidade.Sendo que os resultados de ajuste são: 
 
Chi
2
 = 5,37261 
Número de graus de liberdade = 3 
Gráfico 5: gráfico que relaciona a média da deformação da mola pela ação do carrinho, conforme o 
ângulo θ variava. Os pontos correspondem aos dados da tabela 6. Ajustamos a reta pela forma [0]*x + [1]. 
 
E os valores dos parâmetros: 
 
Parâmetro Valor Incerteza 
[0] 26,5101 1,00085 
[1] -0,349031 0,266895 
 
 
O parâmetro [1] serve para que o valor de [0] seja mais preciso, pois não obriga que a 
função passe pela origem. Do gráfico, entendemos que o parâmetro [0] é igual ao 
coeficiente de inclinação da reta ([0] = ). 
Lembrando que 
 
 
 
 
 
 
 
portanto, a aceleração da gravidade será 
 
 
 
 
 
 
Logo, obtemos o valor de 8,976 m/s2. Comparando com o valor da aceleração da 
gravidade obtida pelo IAG, vemos que há uma diferença de 0,8 m/s
2
. 
 
 
 
Discussão final e conclusões 
 
A referência da aceleração da gravidade era aquela fornecida pelo IAG, 9,78 
 
 
. Houve 
uma diferença de 0,80 
 
 
 para o nosso valor. Não houve acurácia em relação aos 
mesmos experimentos dos outros grupos. 
Isso ocorreu devido à ineficiência dos equipamentos utilizados. Existe nos 
equipamentos da segunda etapa, muito atrito, e pouca precisão ao marcar o tempo. São 
pequenos detalhes que juntos, fazem tal diferença. 
O experimento poderia ser mais preciso e mais acurado? Sim. Todavia, necessitávamos 
métodos de medição mais eficientes para o tempo e distância, assim como 
equipamentos com menos atrito. 
Por exemplo, na etapa 2, o carrinho utilizado parava no ponto mais baixo, não apenas 
pelo equilíbrio da força peso e força elástica, mas também por uma força de atrito que 
desprezamos para facilitar os cálculos. Outro fato é da etapa 1: já acionávamos o 
cronômetro com uma certa imprecisão em relação ao real início do movimento, e 
quando parávamos, também havia uma certa diferença. 
Logo, com aquilo dispúnhamos, tivemos relativos bons resultados. 
 
 
Referências bibliográficas 
 
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, LTC, Rio de Janeiro, 2012. 
H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica, Editora Edgard Blücher, São Paulo, 2002.