Resumo Livro Projeto, Simulações e Experiências de Laboratório em Sistemas de Controle

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Resumo Livro Projeto, Simulações e Experiências de Laboratório em Sistemas de Controle
Alexander Lyapunov: propôs método de análise para modelos de ordem superior. Critério de estabilidade abordou modelos de sistemas lineares, variantes no tempo ou não lineares de uma forma algébrica.
Zigler e Nichols: fizeram um método empírico para a sintonia de controladores conhecidos como PID.
Walter Evans: lugar das raízes.
Métodos clássicos da teoria de controle: técnicas de resposta em frequência e lugar das raízes.
Teoria de controle moderna: sistemas de controle ótimos.
H-infinito: sistema de controle robusto.
Atuador: equipamento ou instrumento responsável por realizar o comando ou a excitação da entrada de um processo ou sistema.
Controlador, Compensador ou Regulador: dispositivo, equipamento ou mecanismo que tem como objetivos o processamento de informações pertinentes a sistemas automáticos, de modo a realizar ações de controle com determinadas características.
Controle: ato ou poder de controlar. Controlar automaticamente um processo ou sistema (ou planta) significa medir o valor da grandeza a ser controlada do mesmo, de maneira a modificar a excitação de entrada do sistema com a finalidade de corrigir ou limitar o desvio entre o valor medido e o desejado da grandeza controlada.
Grandeza Controlada (ou Variável Controlada): grandeza de um processo ou sistema a qual se deseja controlar.
Perturbações (ou Distúrbios): alterações que tendem a afetar de modo adverso o valor da grandeza ou da variável de saída de uma planta, processo ou sistema.
Processo: operação voluntária ou artificial que ocorre progressivamente, constituindo uma série de ações controladas ou movimentos dirigidos para se alcançar determinado resultado.
Referência de Entrada (Set Point – SP): informação de entrada de um sistema de controle (em geral, à malha fechada) que define determinado tipo de resposta da grandeza de saída.
Retroação: meio que propicia um retorno da informação relacionada com a grandeza de saída de um sistema com a finalidade de compará-la com um sinal de referência em sistema à malha fechada. Também é conhecida como realimentação e está associada a elementos transdutores.
Sinal de Comando: informação proveniente de um controlador com a finalidade de excitar a entrada de um processo de modo a estabelecer uma ação de controle. Muitas vezes pode ser considerada como a entrada de excitação do sistema em questão.
Sinal de Erro: diferença ou desvio entre a informação de referência de entrada e o valor da grandeza controlada em um sistema de controle à malha fechada.
Sistema (ou Planta): combinação de componentes que atuam em conjunto realizando um determinado objetivo ou operação.
Sistema de Controle a Malha Aberta: sistema no qual a resposta da grandeza de saída do mesmo não produz efeitos sobre a sua entrada de excitação.
Sistema de Controle a Malha Fechada: sistema no qual a resposta da grandeza de saída tem efeito sobre a sua entrada de modo a estabelecer determinadas características desejadas.
Transdutor: equipamento ou instrumentação responsável por realizar a medição da informação da grandeza a ser controlada de um processo ou sistema.
Variável Manipulada (Manipulated Variable – MV): informação geralmente processada por um controlador com a finalidade de alterar a grandeza de saída de um sistema (atuando geralmente na entrada de excitação do mesmo).
Variável do Processo (Process Variable – PV): informação relacionada com a grandeza ou variável controlada de um sistema, em geral fornecida por um transdutor.
Controle à malha fechada:
G = Sistema Controlado; C = Controlador ou Compensador; A = atuador; H = Transdutor; F = Fator de Escala ou Filtro de Entrada; SP = Set Point ou Referência; y = Grandeza Controlada do Sistema; u = Entrada do Sistema; d = Sinal de Distúrbio (que também pode ser representado na entrada [u] do sistema); n = Sinal de Ruído (noise); e = Erro ou Sinal de Erro; MV = Variável Manipulada; PV = Variável do Processo (Retroação ou Realimentação).
Diferença de controle malha aberta e malha fechada (desenho).
Sistema de controle estável: quando a variação da grandeza controlada estiver limitada dentro de uma determinada faixa de operação.
Número complexo: composto por uma parte real e uma parte imaginária. Se uma das partes ou ambas forem variáveis, o número complexo resultante é chamado de variável complexa.
Exemplo: Z = Fr + jFi : 
 = parte real; = parte imaginária, onde a letra j denota número imaginário.
Magnitude (ou módulo) da função: 
Argumento (ou fase) da função: 
Produto de dois números complexos (): ; 
Divisão de dois números complexos: 
A divisão de dois números complexos é expressa pela relação das magnitudes e pela diferença dos argumentos das funções (ou números) complexas em questão.
Equação diferencial ordinária: quando a função incógnita depende de apenas uma variável independente.
Equação diferencial parcial: quando a equação depende de um número maior de variáveis independentes.
Equação de parâmetros invariantes no tempo: quando os coeficientes (a1,...,an) da equação são constantes numéricas.
Equação linear: quando aplicadas duas ou mais funções de excitação diferentes, a resposta produzida puder ser composta pelas respostas individuais de cada uma das excitações.
Solução de uma equação diferencial de primeira ordem: função exponencial.
Um sistema de segunda ordem pode ser reescrito através de duas equações de primeira ordem (variáveis de estado). Ou seja, y = x1 e x2 = x1’.
Estado de um sistema: menor conjunto de valores de variáveis, de modo que o conhecimento desses valores para t=t0 juntamente com as informações dos valores de excitação de entrada determina completamente o comportamento do sistema para tt0.
Variáveis de estado: grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do mesmo.
Espaço de estados: espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos x1,...,xn. Qualquer estado pode ser representado por um ponto sobre o mesmo.
Equações de estado: x = Ax + Bu. x representa as variáveis de estado e u são as informações de excitação. A e B são matrizes que relacionam as derivadas das variáveis de estado consigo mesmas e com as excitações.
Se um subconjunto y de x for um interesse, tem-se y = Cx +Du. Dado que há interesse em explicitar algumas das variáveis de estado, uma equação algébrica é introduzida. O conjunto final será:
x’ = Ax +Bu
y = Cx + Du
x’1 = x2
x’2 = x1
Para a escolha y = x1:
B = 0 C = [1 0] D = 0
Matriz: dimensão n x m, onde n representa o número de linhas e m o número de colunas. O elemento Aij representa o elemento da linha i e coluna j da matriz A.
Regras de matrizes: 
Adição entre duas matrizes: elas devem ter as mesmas dimensões n x m.
Multiplicação entre duas matrizes (A * B): só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
Multiplicação de uma matriz por um escalar: multiplicar todos os elementos da matriz pelo escalar.
 = autovalor de A
x = autovetor de A.
Os autovetores associados a cada , as colunas de x, definem o espaço vetorial de dimensão (para o caso complexo), ou (para o caso real), e assim qualquer combinação linear entre as colunas de x está situada sobre ou .
Posto (ou rank) de uma matriz: número de linhas linearmente independentes.
Matriz singular: ter seu determinante igual a zero. Como o determinante de uma matriz é dado pelo produto de seus autovalores, conclui-se que pelo menos um autovalor dessa matriz também deve ser nulo.
A informação do posto (ou rank) de uma matriz de ordem n x n indica se o determinante da mesma é diferente de zero, ou seja, posto = n.
A solução do sistema Ax = b requer o cálculo da matriz A, o que é computacionalmente custoso. Uma forma de evitar este esforço de calcular explicitamente a inversa de uma matriz consiste em fatorar esta matriz.
Fatoração LU: o sistema de equações Ax = b é resolvido através da decomposição da matriz A em duas matrizes, um triangular superior (U)e uma triangular inferior (L), de forma que se pode escrever LUx = b. Denominando Ux = y, pode-se resolver primeiro Ly = b para finalmente obter x por Ux = y. Note que o fato de as matrizes serem triangulares resolve inteiramente o problema, já que não é necessário inverter nenhuma matriz.
Cálculos dos autovalores de uma matriz no Matlab: comando [vetor valor] = eig(A). Vetor: matriz de autovetores; valor: matriz de autovalores de A. Vetor e valor são nomes arbitrários para as matrizes, de forma que poderiam ser quaisquer outros.
Transformada de Laplace: permite que equações diferenciais com coeficientes constantes sejam convertidas em equações algébricas. Isto facilita enormemente as manipulações e os cálculos envolvidos nas soluções das mesmas.
Respostas típicas de modelos de sistemas:
Modelos matemáticos de sistemas dinâmicos apresentam respostas típicas que os caracterizam. Essas respostas dependem das raízes dos modelos e dos tipos de excitações das entradas dos mesmos. As entradas de excitações mais usuais são funções do tipo impulso, degrau, rampa e senoidal. As respostas podem ser obtidas através de métodos analíticos ou numéricos quando se conhecem os modelos matemáticos dos sistemas, ou mediante medidas experimentais efetuadas em sistemas reais.
Resposta de modelo de primeira ordem para entrada degrau unitário.
Ng = 1; Dg = [1 1]; step(Ng,Dg)
A saída do sistema tende a estabilizar em um valor proporcional a excitação de entrada (neste caso, um degrau unitário). Para o instante t = T = 1, a saída y(t) possui um valor que é aproximadamente 63% do valor final. Quanto menor o parâmetro T (constante de tempo), mais rápido o sistema responde (mais rapidamente atinge a cota de 63% ou o próprio valor final).
Resposta de modelo de segunda ordem para entrada degrau unitário:
Ng = 1; Dg = [1 1 1]; step(Ng,Dg)
Quanto menor o valor do fator de amortecimento na faixa 0 < <1, maior o valor de Mp. Quanto maior o valor da frequência natural de oscilação (Wn), menor o período da oscilação amortecida do sistema. O tempo de acomodação em uma faixa em torno de +- 2% do valor final da resposta do sistema (que é unitário neste exemplo) é dado por Ta = 4/(.Wn).
Modelos de sistemas de ordem superior:
Podem ser expressos como combinações de modelos de primeira e segunda ordens. E em determinados contextos podem ser aproximados para modelos de ordem reduzida.
No exemplo do livro, as partes reais das raízes complexas da parcela esquerda da função original são maiores que a da direita, podendo, assim, serem descartadas, dado que os polos mais próximos da origem tendem a apresentar maiores influências na dinâmica do sistema (e por este motivo são conhecidos como polos dominantes).
Ng = 1; Dg = [1 0.5 1]; step(Ng,Dg)
Modelos de sistemas que apresentam raízes (chamadas de “zeros”) no numerador de suas funções podem ser, em determinadas condições, desconsideradas em relação às raízes do denominados (polos).
As respostas são semelhantes, ou seja, neste caso, a raiz do numerados da função pode ser desprezada. As raízes do numerador (os “zeros”) não alteram a estabilidade dos sistemas associados, podendo modificar conforme seus valores às respostas transitórias dos mesmos.
Ng = [0.1 1]; Dg = [1 1]; step(Ng,Dg)
Nga = 1; Dga = [1 1]; step(Nga,Dga)
Modelagem empírica ou “caixa-preta: obter modelos a partir de medições efetuadas em um sistema.
Capítulo 4
Resposta em Frequência
Os métodos de resposta em frequência foram os primeiros procedimentos sistemáticos desenvolvidos visando a uma compensação de malhas de controle, assim como análises de estabilidade e avaliações de desempenho.
Resposta em Frequência: relação de amplitudes e a diferença de fase entre as informações de entrada e saída de um sistema, para uma excitação de entrada tipo senoidal e a correspondente da frequência de excitação do sistema.
Conceituação matemática: conhecida a função de transferência de um sistema e considerando condições inicias nulas, substitui-se o operador de Laplace (s) da função em questão por jW (onde a letra j é a notação de número complexo e W é a informação da frequência). Na função complexa resultante, variando-se o valor da frequência (dentro de uma determinada faixa de interesse), é fácil obter os valores de módulo e fase correspondentes.
No domínio da frequência, um modelo de primeira ordem apresenta as seguintes características: fase com variações de 0º até -90º; na frequência de valor 1/t, a fase está em torno de -45º (e o módulo em -3 [dB]); e a partir dessa frequência, conhecida como de corte ou de canto, a curva do módulo tem uma inclinação de -20 [dB] por década de frequência.
Para valores de ganho maiores que a unidade, a curva de módulo desloca-se acima da linha de 0 [dB] e ganhos menores (atenuações) fazem a curva de módulo cair abaixo dessa cota.