Formulario TCalor v1

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Formulário TC FTP 
1 
 
Mecanismos de transferência de calor 
Condução 
Potência calor: 
 
!Q
cond
= kA
T
1
! T
2
! x
 
k: condutibilidde térmica; A: área de transferência 
∆x: espessura ao longo da condução 
T
1
! T
2
: diferença de temperatura 
Lei de Fourier da condução 
1D: 
 
!Qcond = !kA
dT
dx
 
3D: 
 
!q = -k!T 
Difusividade térmica: ! = k
"C
p
 
! : massa volúmica 
cp - calor específico a pressão constante 
cv - calor específico a volume constante 
Calor específico 
dh = CpdT du = CvdT 
h: entalpia u: energia interna 
Materiais incompressíveis: Cp ! Cv ! C 
Número de Prandtl: Pr = !
"
=
Cpµ
k
 
! : viscosidade cinemática ou difusividade de quantidade 
de movimento 
µ : viscosidade dinâmica 
Número de Péclet: Pe = RePr = VL
!
 
Re: número de Reynolds 
V: velocidade característica do escoamento 
L: dimensão característica do escoamento 
Convecção 
Potência calor: 
 
!Qconvecção = hAs Ts !T"( ) 
h: coeficiente de transferência de calor por convecção 
A
s
: área de transferência 
T
s
: temperatura da superfície 
T
!
: temperatura do fluido longe da superfície 
Radiação de corpo negro 
Potência calor máxima: Lei de Stefan- Boltzmann para 
radiação de um corpo negro 
 
 
!Qrad ,max = !AsTs
4 
! : constante de Stefan- Boltzmann = 5.67 !10"8 W/(m2K4 ) 
A
s
: área da superfície 
T
s
: temperatura absoluta da superfície [K] 
Lei de Kirchhof: ! T ,"( ) = # T ,"( ) 
! : coeficiente de absorção 
! : coeficiente de emissão 
! : comprimento de onda da radiação 
Radiação de um corpo real 
 
!Qrad = !"AsTs
4 
! : emissividade 
 
 
 
Resistencias térmicas 
Resistência térmica de condução: Rconducção = L
kA
 Resistência térmica de convecção: R
conv
=
1
hA
s
 
Resistência térmica de radiação: R
rad
=
1
h
rad
A
s
 
 
hrad =
!Qradiação
As Ts !Tenvol( )
= "#As Ts
2
+Tenvol
2( ) Ts +Tenvol( ) 
Fluxo de calor: 
 
!Q =
T
1
!T
2
R
 
R: resistência térmica 
Lei de Kirchoff para resistências em série 
 R
total
= R
i
i
! 
Lei de Kirchoff para resistências em paralelo 
 1
R
total
=
1
R
ii
! 
Formulário TC FTP 
2 
Resistência de condução em camada cilíndrica 
 R
cil
=
ln r
2
r
1( )
2!Lk
 
r
1
: raio interior; r
2
: raio exterior 
L: comprimento do cilindro 
k: condutibilidade térmica 
Resistência de condução em camada esférica 
 Resf =
r
2
! r
1
4"r
1
r
2
k
 
r
1
: raio interior; r
2
: raio exterior 
k: condutibilidade térmica 
Raio crítico de isolamento (num cilindro): 
 r
cr ,cil
=
k
h
 
k: condutibilidade térmica 
h: coeficiente de convecção 
Raio crítico de isolamento (numa esfera): 
 rcr ,esf =
2k
h
 
k: condutibilidade térmica 
h: coeficiente de convecção 
 
Resistência térmica de contacto 
Condutância térmica de contacto (h
c
) 
 
 
hc =
!Q A
!T
interface
 
Resistência térmica de contacto (R
c
) 
 
 
Rc =
1
hc
=
!T
interface
!Q A
 
 
Condutância térmica de contacto de diversas superfícies metálicas em ar 
Material Condição da 
superfície 
Rugosidade [µm] Temperatura 
[°C] 
Pressão 
[MPa] 
h
c
 [W/m2.°C] 
Pares metálicos iguais 
Aço inox 416 
Aço inox 304 
Alumínio 
Cobre 
Cobre 
Cobre Cobre (vácuo) 
 
Polido 
Polido 
Polido 
Polido 
Maquinado 
Maquinado 
 
2.54 
1.14 
2.54 
1.27 
3.81 
0.25 
 
90-200 
20 
150 
20 
20 
30 
 
0.17-2.5 
4-7 
1.2-2.5 
1.2-20 
1-5 
0.17-7 
 
3800 
1900 
11400 
143000 
55500 
11400 
Pares de materiais 
diferentes 
Aço inóx- alumínio 
 
 
 
 
20-30 
 
 
20 
 
10 
20 
 
2900 
3600 
Aço inox- aluminio 
1.0-2.0 
 
20 
10 
20 
16400 
20800 
Aço Ct 30-Alumínio 
polido 
 
1.4-2.0 
 
20 
10 
15-35 
50000 
59000 
Aço Ct 30-Alumínio 
maquinado 
 
4.5-7.2 
 
20 
10 
30 
4800 
8300 
Alumínio- cobre 
polido 
 
1.17-1.4 
 
20 
5 
15 
42000 
56000 
Alumínio- cobre 
maquinado 
 
4.4-4.5 
 
20 
10 
20-35 
12000 
22000 
 
Condutância térmica de contacto para placas de alumínio com diferentes fluidos na interface. 
Rugosidade de 10 µm e pressão na atmosfera de 1 atm 
Fluido na interface Condutância térmica, [W/m2.°C] 
Ar 
Hélio 
Hidrogénio 
Ólea de silicone 
Glicerina 
3640 
9520 
13900 
19000 
37700 
 
Formulário TC FTP 
3 
 
Convecção forçada 
Número de Nusselt: Nu = hLc
k
 L
c
: comprimento característico 
 
Escoamento sobre placa paralela com temperatura da superfície Ts 
Laminar: Nusselt local 
Nu
x
=
h
x
x
k
= 0.332Re
x
0.5
Pr
1/3 Pr > 0.60 
Turbulento: Nusselt local 
Nu
x
=
h
x
x
k
= 0.0296Re
x
0.8
Pr
1/3 0.6≤Pr≤60 
 5x105 ≤ Re ≤ 107 
Laminar: Nusselt médio 
Nu =
hL
k
= 0.664Re
L
0.5
Pr
1/3 Re
L
< 5 !10
5 
Turbulento: Nusselt médio 
 
Nu =
hL
k
= 0.037Re
L
0.8
Pr
1/3 0.6≤Pr≤60 
 5x105 ≤ Re ≤ 107 
 Turbulento: Nusselt médio corrigido para zona inicial 
laminar 
Nu =
hL
k
= 0.037Re
L
0.8
! 871( )Pr1/3 0.6≤Pr≤60 
 5x105 ≤ Re ≤ 107 
Válido para metais líquidos: Nu
x
= 0.565 Re
x
Pr( )
1/2 Pr< 0.05 
Equação geral para qualquer fluido (equação de Churchill e Ozoe): Nu
x
=
h
x
x
h
=
0.3387Pr
1/3
Re
x
1/2
1+ 0.0468 Pr( )
2 /3!
"
#
$
1/4
 
Escoamento sobre placa paralela com fluxo de calor constante na parede 
Laminar: Nusselt local 
 Nu
x
= 0.453Re
x
0.5
Pr
1/3 
Turbulento: Nusselt local 
 Nu
x
= 0.0308Re
x
0.8
Pr
1/3 
Laminar: Nusselt médio 
 Nu
L
= 0.906Re
L
0.5
Pr
1/3 
Turbulento: Nusselt médio 
 Nu
L
= 0.0385Re
L
0.8
Pr
1/3 
 
Placa plana com comprimento inicial (! ) não aquecido (início de camada limite térmica em 
x = ! )- Temperatura da parede constante (Ts na zona aquecida) ou Fluxo de calor constante 
Laminar: Nusselt local 
 Nu
x
=
Nu
x (para !=0)
1- ! x( )
3/4"
#
$
%
1/3
 
Turbulento: Nusselt local 
 Nu
x
=
Nu
x (para !=0)
1- ! x( )
9 /10"
#
$
%
1/9
 
Laminar: médio em toda a placa 
 h =
2 1! " x( )
3/4#
$
%
&
1!" L
h
x=L
 
Turbulento: médio em toda a placa (placa 100% turbulenta) 
 h =
5 1! " x( )
9 /10#
$
%
&
4 1!" L( )
h
x=L 
 
Escoamento em torno de cilindros e esferas 
1) Escoamento cruzado em torno de um cilindro de secção circular com paredes lisas 
 Nu
cil
=
hD
k
= 0.3+
0.62Re
1/2
Pr
1/3
1+ 0.4
Pr( )
2 /3!
"
#
$
1/4
1+
Re
282000
%
&
'
(
)
*
5 /8!
"
+
+
#
$
,
,
4 /5
 para RePr > 0.2 e propriedades do 
fluido à temperatura do filme, Tf =
T
!
+Ts
2
. 
Formulário TC FTP 
4 
2) Escoamento em torno de uma esfera de paredes lisas 
 Nu = hD
k
= 2 + 0.4Re
1/2
+ 0.06Re
2/3!" #$Pr
0.4 µ%
µ
s
&
'
(
)
*
+
1/4
 para 3.5≤ Re ≤ 80000 e 0.7 ≤ Pr ≤ 380 
Propriedades do fluido à temperatura T
!
, excepto para µ
s
 calculado a T
s
. 
3) Escoamento cruzado em torno de cilindros com várias secções e propriedades à temperatura do 
filme 
 Nu = hD
k
= CRe
m
Pr
1/3 
 
Secção transversal do cilindro Fluido Gama de Re Parâmetros C e m 
Circular 
 
Gás ou líquido 0.4-4 
4-40 
40-4000 
4000-40000 
40000-400000 
C= 0.989; m= 0.330 
C= 0.911; m= 0.385 
C= 0.683; m= 0.466 
C= 0.193; m= 0.618 
C= 0.027; m= 0.805 
Quadrado 
 
 
 
Gás 5000- 100000 C= 0.102; m= 0.675 
Quadrado (rodado 45°) 
 
 
 
Gás 5000- 100000C= 0.246; m= 0.588 
Hexágono 
 
 
 
Gás 5000-100000 C= 0.153; m= 0.638 
Hexágono (rodado 45°) 
 
 
 
 
Gás 5000- 19500 
19500- 100000 
C= 0.160; m= 0.638 
C= 0.0385; m= 0.782 
Placa vertical 
 
 
 
Gás 4000-15000 C= 0.228; m= 0.731 
Elipse 
 
 
 
Gás 2500- 15000 C= 0.248; m= 0.612 
D 
D 
D 
D 
D 
D 
D 
Formulário TC FTP 
5 
Escoamentos em condutas 
Regime laminar 2300Re <==
!µ
" vDvD (*) 
Zona de desenvolvimento térmico: 
Le
D
! 0.06RePr 
Regime turbulento: 2300Re >==
!µ
" vDvD (*) 
Zona de desenvolvimento: Le
D
! 4.4Re
1/6
 
(*) – valor de referência; na prática a transição ocorre para valores de Re entre 2000 e 4000. 
 
Fluxo de calor constante na parede 
 
 
!T
!x
=
dTs
dx
=
dT
dx
=
!qsP
!mcp
= constante 
Temperatura constante na parede (Tparede ) 
Variação longitudinal de temperatura 
 
 
Tsaida = Tparede ! Tparede !Tentrada( )exp !
hAparede
!mcp
"
#
$$
%
&
'' 
Nº de unidades de transferência: 
 
NTU =
hAparede
!mcp
 
 
Fluxo de calor 
 
 
!Q = hAparede !Tln 
Diferença de temperatura média logarítmica (!T
ln
) 
!T
ln
=
Tentrada !Tsaida
ln Tparede !Tsaida( ) Tparede !Tentrada( )"# $%
 =
!T
saida
! !T
entrada
ln !T
saida
!T
entrada( )
 
 
Escoamento laminar em condutas 
Fluxo de calor constante na parede (conduta circular) 
 Nu = hD
k
= 4.36 
Temperatura constante na parede (conduta circular) 
 Nu = hD
k
= 3.66 
 
Escoamento numa conduta anelar com uma superfície isotérmica e outra adiabática 
Nu
in
=
h
in
D
h
k
; Nu
ext
=
h
ext
D
h
k
 
D
int
D
ext
 Nu
int
 Nu
ext
 
0 
0.05 
0.10 
0.25 
0.50 
1.00 
- 
17.46 
11.56 
7.37 
5.74 
4.86 
3.66 
4.06 
4.11 
4.23 
4.43 
4.86 
 
 
 
Formulário TC FTP 
6 
Escoamento laminar em condutas de secção não-circular: Nu = hDh
k
; D
h
=
4A
P
 
Geometria da conduta a/b ou ! Nu Tparede = Const. Nu 
 
!qparede = Const. 
Circular 
 
 
 
- 3.66 4.36 
Rectangular 
 
 
 
a/b 
1 
2 
3 
4 
6 
8 
! 
 
2.98 
3.39 
3.96 
4.44 
5.14 
5.60 
7.54 
 
3.61 
4.12 
4.79 
5.33 
6.05 
6.49 
8.24 
 
Elíptica 
 
 
 
 
a/b 
1 
2 
4 
8 
16 
 
 
3.66 
3.74 
3.79 
3.72 
3.65 
 
 
4.36 
4.56 
4.88 
5.09 
5.18 
Triangular 
 
 
! 
10° 
30° 
60° 
90° 
120° 
 
1.61 
2.26 
2.47 
2.34 
2.00 
 
2.45 
2.91 
3.11 
2.98 
2.68 
 
Escoamento laminar na região de entrada (temperatura constante na parede) 
Conduta de secção circular 
 Nu = 3.66 +
0.065 D L( )RePr
1+ 0.04 D L( )RePr!" #$
2 /3
 
Escoamento entre 2 placas paralelas 
 Nu = 7.54 +
0.03 D
h
L( )RePr
1+ 0.016 D
h
L( )RePr!" #$
2 /3
 
 (para Re ≤ 2800) 
 
a 
b 
b 
a 
 
D 
θ 
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7 
Escoamento turbulento em condutas 
Condutas de secção circular lisas — Equação de Dittus- Boelter (temperatura e fluxo de calor na parede) 
 Nu = 0.023Re0.8 Prn com n= 0.4 para aquecimento do fluido; n= 0.3 para arrefecimento do fluido 
 (0.7 ≤ Pr ≤ 160 e Re > 4000 e propriedades à temperatura média do fluido 
 
Segunda equação de Petukhov (para condutas lisas e rugosas) (analogia de Chilton- Colburn) 
 Nu =
f
8
Re!1000( )Pr
1+12.7
f
8
"
#
$
%
&
'
0.5
Pr
2/3!1( )
 (0.5 ≤ Pr ≤ 2000 e 3 x 103 < Re < 5 x 106) 
 
Metais líquidos (0.004 < Pr < 0.01 e 104 < Re < 106) 
 Nu = 4.8 + 0.0156Re0.85 Prparede0.93 (para Tparede = Const. ) 
 Nu = 6.3+ 0.0167Re0.85 Prparede0.93 (para 
 
!qparede = Const. ) 
 
Condutas de secção não-circular 
 Usar D
h
 nas equações para condutas de secção circular 
 
Condutas de secção anelar (uma parede adiabática) 
 Nu = Nu
Dh
! F
correctiva
 F
correctiva
 F
int
= 0.86
D
int
D
ext
!
"
#
$
%
&
'0.16
 (parede exterior adiabática) 
 F
ext
= 0.86
D
int
D
ext
!
"
#
$
%
&
'0.16
 (parede interior adiabática) 
 
Convecção natural 
Número de Grashof 
 GrL =
g! Tparede "T#( )Lc
3
$ 2
 
g: aceleração da gravidade 
! : coeficiente de expansão volumétrico 
 (! =1 T para gases perfeitos) 
Número de Rayleigh: Ra =Gr
L
Pr 
 
Convecção natural sobre superfícies 
Para superfícies verticais com 
 
!q
s
= constante : 
 
Nu =
hL
k
=
!qsL
k TL /2 !T"( )
 
Geometria 
 
Comprimento 
característico, L
c
 
Gama de Ra Nu 
Placa vertical L 104- 109 
109-1012 
 
Toda a gama 
Nu = 0.59Ra
L
1/4 
Nu = 0.1Ra
L
1/3 
Nu = 0.825 +
0.387Ra
L
1/6
1+ 0.492 Pr( )
9 /16!
"
#
$
8 /27
%
&
'
(
'
)
*
'
+
'
2
 L 
Ts 
Formulário TC FTP 
8 
Placa inclinada L Utilizar equações de placas verticais 
para a superfície superior de uma placa 
fria e para a superfície inferior de uma 
placa quente 
Substituir g por gcos! para Ra <109 
Placa horizontal 
A- área da superfície 
p- perímetro 
(a) Superfície superior 
de placa quente 
 
 
 
(b) Superfície inferior de 
placa fria 
 
 
 
 
 
A p 
 
 
104-107 
107-1011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105-1011 
 
Nu = 0.54Ra
L
1/4 
Nu = 0.15Ra
L
1/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nu = 0.27Ra
L
1/4 
Cilindro vertical 
 
 
 
 
 
 
L 
 Um cilindro vertical pode ser tratado 
como uma placa vertical quando 
 
D !
35L
Gr
L
1/4
 
Cilindro horizontal 
 
 
 
 
D 
Ra
D
!10
12 
Nu = 0.6 +
0.387Ra
D
1/6
1+ 0.559 Pr( )
9 /16!
"
#
$
8 /27
%
&
'
(
'
)
*
'
+
'
2
 
Esferas 
 
 
 
 
 
D 
Ra
D
!10
11 
(Pr ≥ 0.7) 
Nu = 2 +
0.589Ra
D
1/4
1+ 0.469 Pr( )
9 /16!
"
#
$
4 /9
 
 
D 
L 
Superfície 
quente 
θ 
L 
Ts 
Ts 
Superfície 
quente 
Ts 
Ts 
D 
Ts 
Formulário TC FTP 
9 
Convecção natural de superfícies alhetadas (T
s
= constante) e circuitos impressos (
 
!q
s
= constante) 
Arrefecimento por convecção natural de superfícies alhetadas (T
s
= constante) 
Nu =
hS
k
=
576
Ra
S
S L( )
2
+
2.873
Ra
S
S L( )
0.5
!
"
#
#
$
%
&
&
'0.5
 
onde S é o espaçamento entre as alhetas 
 
Espaçamento óptimo para alhetas finas (T
s
= constante) 
Sopt = 2.714
S
3
L
RaS
!
"
#
$
%
&
0.25
= 2.714
L
RaL
0.25
 
 
 
Arrefecimento por convecção natural de circuitos integrados/ Superfícies alhetadas (
 
!q
s
= constante) 
 
RaS
*
=
g! !qsS
4
k" 2
Pr 
Nº de Nusselt no ponto mais quente (borda superior): 
 Nu
L
=
h
L
S
k
=
48
Ra
S
*
S L
+
2.51
Ra
S
*
S L( )
0.4
!
"
#
#
$
%
&
&
'0.5
 
Espaçamento óptimo para placas finas (
 
!q
s
= constante): 
 Sopt = 2.12
S
4
L
RaS
*
!
"
#
$
%
&
0.2
 
Temperatura crítica nas placas (borda superior): 
 
 
!qs = hL TL !T"( ) 
 
 
Convecção natural no interior de espaços confinados 
Comprimento característico L
c
= distância entre placas fria e quante 
Geometria Gama Nu 
Espaço confinado rectangular 
horizontal 
 
 
 
Gases:0.5 < Pr < 2 
10
4
< Ra
L
< 4 !10
5 
4 !10
5
< Ra
L
<10
7 
 
Líquidos aquecidos 
por baixo 
3!10
5
< Ra
L
< 7 !10
9 
Líquidos com Pr 
moderados e 
Ra
L
<10
5 e gases com 
Ra
L
<10
8 
 
Nu = 0.195Ra
L
1/4 
Nu = 0.068Ra
L
1/3 
 
 
Nu = 0.069Ra
L
1/3
Pr
0.074 
 
 
 
Nu =1+1.44 1!
1708
Ra
L
"
#
$
%
&
'
+
+
Ra
L
1/318
!1
"
#
$
%
&
'
+
 
Formulário TC FTP 
10 
Espaço confinado rectangular 
inclinado 
 
H/L !
cr
 
1 25° 
3 53° 
6 60° 
12 67° 
> 12 70° 
H/L≥12 
Ra
L
<10
5 
0 <! < 70° 
 
 
 
 
H/L<12 e 0 <! <!
cr
 
 
 
 
!
cr
<! < 90° 
 
90° <! <180° , 
qualquer H/L 
Nu =1+1.44 1!
1708
Ra
L
cos"
#
$
%
&
'
(
+
1!
1708 sin1.8"( )
1.6
Ra
L
cos"
)
*
++
,
-
..
+
Ra
L
cos"( )
1/3
18
!1
#
$
%
%
&
'
(
(
+
 
 
Nu = Nu!=0
Nu!=90
Nu!=0
"
#
$
%
&
'
! !
cr
sin!
cr( )
! 4!
cr( ) 
 
 
Nu = Nu
!=90° sin!( )
1/4 
 
Nu =1+ Nu
!=90° "1( )sin! 
Espaços rectangulares verticais 
 
 
1< H L < 2 
qualquer Pr 
Ra
L
Pr 0.2 + Pr( ) >103
 
 
2 < H L <10 
qualquer Pr 
Ra
L
<10
10 
 
10 < H L < 40 
1< Pr < 2 !10
4 
10
4
< Ra
L
<10
10 
 
1< H L < 40 
1< Pr < 20 
10
6
< Ra
L
<10
9 
Nu = 0.18
Pr
0.2 + Pr
Ra
L
!
"
#
$
%
&
0.29
 
 
 
Nu = 0.22
Pr
0.2 + Pr
Ra
L
!
"
#
$
%
&
0.28
H
L
!
"
#
$
%
&
'1/4
 
 
 
 
Nu = 0.42Ra
L
1/4
Pr
0.012 H
L
!
"
#
$
%
&
'0.3
 
 
 
Nu = 0.46Ra
L
1/3 
 
Convecção natural combinada com convecção forçada 
Gr Re
2
< 0.1 - convecção natural é desprezável; Gr Re2 >10 convecção forçada é desprezável 
0.1<Gr Re
2
<10 -deve considerar-se o efeito combinado das convecções forçada e natural 
Nucombinada = Nu forçada
n
± Nunatural
n!" #$
1/n com n= 3 a 4. n= 3 para superfícies verticais, n= 4 para 
superfícies horizontais