Variáveis aleatórias contínuas

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Variáveis Aleatórias Contínuas
F(x) = ∫-∞x f(t) dt 
• f ≥ 0 é a densidade de X
• P(a < X < b) = ∫ab f(t) dt 
∀ ∫-∞+∞ f(t) dt = 1
• f(x) = F’ (x)
• P(x–ε/2 < X < x+ε/2 ) ≈ ε f(x) 
x
ε
Esperança
– discreta:
– contínua:
– mista:
[ ] ∑ ∫+ ∞
∞−
+==
i
Xii dxxfxxXPxXE )()(
[ ] ∫+ ∞
∞−
= dxxfxXE X )(
[ ] ∑ ==
i
ii xXPxXE )(
Principais Distribuições Contínuas
• Uniforme
• Exponencial
• Gama
• Normal (e relacionadas à Normal: χ2, t, F)
Outra (não possui média finita): Cauchy
As mais importantes para este curso são
a exponencial e a normal
V. a.s contínuas
4
1) Exponencial: X ~ exp(λ)
5
 V. a.s contínuas
Propriedades da PDF: 1) fX(x) ≥ 0
 
 2) 
Por quê ?
x
( )∫∞
∞−
= 1dxxf X
Podem-se verificar facilmente as
duas propriedades da PDF para
fX(x) = λe-λx
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 V. a.s contínuas
( )∫∞
∞−
= 1dxxpX
PDF exponencial (por exemplo,
utilizada para o tempo de vida
útil de um produto)
fX(x) = λe-λx
x
v. a. contínua
Descontinuidade na origem( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] [ ]bXaPbXaPbXaPbXaP
dxxfdxxfdxxf
b
X
b
X
b
X
<<=≤<=<≤=≤≤
== ∫∫∫
+−
 e
000
Distribuição Exponencial
• Exemplo de site na Internet. Qual é a distribuição 
do tempo de espera X até a ocorrência do 
primeiro acesso?
• X > t se e só se o número de acessos em 
[0, t] é igual a 0
• Logo, P(X >t) = P(N = 0), onde N~Poisson(λt)
• Portanto, P(X>t) = e-λt
Distribuição Exponencial
• X tem distribuição exponencial com 
parâmetro λ para distribuição acumulativa
FX (x) = 1–e – λx, para x >0
• Ou seja,
fX(x) = λe – λx , para x > 0
Exemplo
• O tempo de vida, em meses, de um 
componente tem distribuição exponencial 
de parâmetro λ = 0,5. 
a) Qual é a probabilidade de que um 
componente novo dure pelo menos 2 meses?
b) Dado que um componente usado já tem 1 
mês de vida, qual é a probabilidade de que 
ele dure pelo menos mais dois meses?
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 V. a.s contínuas
3) Normal, Gauss ou curva do sino (“bell curve”): 
( )
( )
0
2
1
2
2
2
2
2
>
∞<<∞−
∞<<∞−=
−
−
σ
µ
pi σ
σ
µ
xexf
x
X
Especifica o centro
Especifica o espalhamento
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 V. a.s contínuas
PDFs gaussianas com diferentes μ
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 V. a.s contínuas
PDFs Gaussianas com diferentes σ2 
Não é possível integrar
 , mas apenas
avaliá-la numericamente.
X ~ N(μ,σ2).
No Matlab, utiliza-se
o comando randn para
gerar amostras da N(0,1),
chamada normal padrão. 
dxe x∫ − 2
Vide nas notas do prof. Steven, a
demonstração de que a integral
de fX(x), de -∞ a ∞ = 1
Distribuição Normal
• A distribuição normal padrão é a distribuição da 
variável aleatória Z de densidade
• Notação: Z ~ N(0, 1)
E[Z ] = 0, Var [Z] = 1
2
2
2
1)(
z
Z ezf
−
=
pi
Distribuição Normal
• Uma variável X tem distribuição normal com 
parâmetros µ (média) e σ2 (variância) quando é 
da forma X = σZ + µ, onde Z~N(0,1) , ou 
Z = (X – µ)/σ .
• Notação: X ~ N(µ, σ2)
Distribuição Normal
• Qual é a densidade da distribuição 
X~N(µ, σ2)? 
Densidade da distribuição normal
• A densidade da v.a. X com distribuição normal 
N(µ, σ2) é 
2
2
2
)(
2
1)( σ
µ
σpi
−
−
=
x
X exf
Exemplo
1) As notas dos alunos em um teste têm 
distribuição normal com média 70 e desvio 
padrão 10.
– Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a 
probabilidade de que sua nota seja maior que 
85? R: 6,68%
– Qual é a nota correspondente ao percentil 95%? 
R: 86,45
Exercício
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2) Uma montadora de automóveis, após muitos anos de observação, 
verificou que a quilometragem típica anual de um motorista brasileiro é 
uma variável aleatória Normal com média de 15000 km e desvio padrão 
3500 km. A empresa decide oferecer, para os automóveis novos, 
garantia de 1 ano ou 30000 km de uso, o que ocorrer primeiro.
a) Qual a probabilidade de um carro novo “rodar” mais de 30000 
km no seu primeiro ano de uso? R: 0 (zero)
b) Suponha que a quilometragem típica anual é 15000 km, e que a 
probabilidade de um carro “rodar” mais de 25000 km é 5%. Qual o 
desvio padrão? R: 6079 km
Exercício
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3) O consumo médio mensal de energia elétrica num certo bairro é 
aproximadamente uma variável aleatória Normal com média 180 kWh e desvio 
padrão 60 kWh. Calcule as seguintes probabilidades:
a) De que um domicílio escolhido aleatoriamente tenha consumo médio 
mensal entre 150 e 250 kWh; R: 57,05%
b) De que um domicílio escolhido aleatoriamente tenha consumo médio 
mensal acima de 220 KWh; R: 25,14%
c) De que um domicílio escolhido aleatoriamente tenha consumo médio 
mensal abaixo de 100 KWh; R: 9,18%’
d) De que um prédio com 20 apartamentos, selecionado aleatoriamente no 
bairro, tenha consumo médio mensal acima de 4000 kWh. R: 6,81%
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