Aproximação Normal Para Uma Distribuição Binomial

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE TECNOLOGIA
LIMEIRA
NOTAS DE AULA
Aproximação Normal Para Uma Distribuição Binomial
Prof
a
Marta Macufa
Disciplina: ST211 ESTATÍSTICA
LIMEIRA-SP, Outubro de 2012
Aproximação normal para a distribuição binomial
Se np ≥ 5 e nq ≥ 5, então a variável aleatória binomial x tem uma distribuição aproxima-
damente normal, com:
média: µ = np
e o desvio padrão: σ =
√
npq,
onde
p - probabilidade de sucesso
q - probabilidade de fracasso
Exemplo:
1. Trinta e sete porcentos de pessoas nos EUA afirmaram que voam em uma companhia
aérea no quadro de Julho (dia da independência nacional). Selecione ao acaso 15 pessoas
nos EUA e pergunte a elas se sempre voam em companhia norte americana nesse feriado.
2. Noventa e três porcentos de pessoas nos EUA querem que o hino nacional continuem o
mesmos. Selecione ao acaso 65 pessoas nos EUA e pergunte a elas se querem que o hino
nacional permaneça o mesmo.
Solução:
1. Neste experimento binomial temos:
n = 15 p = 0, 37 e q = 0, 63
então: np = 15 · 0, 37 = 5, 55 e nq = 15 · 0, 63 = 9, 45.
Como np ≥ 5 e nq ≥ 5 ⇒ µ = np = 5, 5 e
σ =
√
npq =
√
15 · 0, 37 · 0, 63 ≈ 1, 87
Para aproximar a distribuição de x à distribuição normal.
2. Neste experimento temos que:
n = 65, p = 0, 93 e q = 0, 07
então: np = 65 · 0, 93 = 60, 45 nq = 65 · 0, 07 = 4, 55
Como nq < 5, não se pode usar a distribuição normal para aproximar a distribuição
binomial de x.
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Exercício:
Considere o experimento binomial. Verifique se é possível usar a distribuição normal para
aproximar x, número de pessoas que respondem sim. Se for o caso obtenha a média e o desvio
padrão. Se não for explique porquê.
Somente oito porcentos de pessoas nos EUA sentem que a nação é mais patriota hoje do que
algumas décadas atrás. Selecine ao acaso 70 pessoas nos EUA e pergunte se elas sentem que a
nação é mais patriota hoje do que algumas décadas atrás.
Para o exercício considere:
a) Indique n, p e q.
b) Obtenha os produtos np e nq.
c) Verifique se é possível usar a distribuição normal para aproximar x.
d) obtenha a média.
Correção pela Continuidade
O procedimento para uso da distribuição normal para aproximar a distribuição binomial
envolve um passo no qual mudamos um número discreto para um intervalo que está 0, 5 abaixo
e 0, 5 acima do número discreto. Esse passo particular, é chamado correção de continuidade.
Definição:
Quando usamos a distribuição normal (que é distribuição de probabilidade contínua) como
aproximação da distribuição binomial (que é distribuição de probabilidade discreta) é feita uma
correção de continuidade para o número inteiro x pelo intervalo x− 0, 5 e x+ 0, 5.
Aproximando probabilidades binomiais
Usando uma distribuição normal para aproximar probabilidades binomiais.
1. Verifique se a distribuição binomial é aplicável → especifique n, p e q.
2. Determine se é possível usar a distribuição normal para aproximar x, a variável binomial
→ np ≥ 5, nq ≥ 5.
3. Obtenha a média µ e o desvio padrão σ → µ = np e σ = √npq.
4. Aplique a correção pela continuidade apropriada→ adicione ou subtraia 0, 5 dos extremos.
Sobreie a área correspondente a curva normal.
5. Obtenha os escores → z = x−µ
σ
.
6. Use a tabela padrão.
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Exemplo:
Trinta e sete porcentos das pessoas nos EUA afirmam usar sempre uma companhia aérea
norte americana no feriado de 4 de Julho. Selecione ao acaso 15 pessoas nos EUA pergunte-lhes
se voam numa companhia aérea norte americana no 4 de Julho. Qual é a probabilidade de que
pelo menos oito deles respondam sim.
Solução
n = 15, p = 0, 37 q = 0, 63
np = 15 · 0, 37 = 5, 55 nq = 15 · 0, 63 = 9, 45
⇒ np ≥ 5 e nq ≥ 5
⇒ µ = np = 5, 55 e σ = √npq = 1, 87
Note que na distribuição binomial os valores possíves dos pontos médios que são menores
que 8 são ...5, 67.
Aplicando a correção da continuidade para o valor x, para usar a distribuição normal, ou
seja transformando o número discreto para contínuo, temos:
x− 0, 5 = 6, 5 e x+ 0, 5 = 7, 5
Faça a figura da situação
(lembrando que queremos que menos de 8 pessoas repondam sim).
Nota: Usamos atrás de 7, 5 porque queremos que menos de 8 pessoas respondam sim.
Encontrando o escore: z = x−µ
σ
= 7,5−5,55
1,87
≈ 1, 04
p(x < 8) = p(x < 7, 5) = p(z < 1, 04) = 0, 8508
Exercício
Somente oito porcentos de pessoas nos EUA sentem que a nação é patriota hoje. Selecione
70 pessoas nos EUA e indague-lhes se a nação é mais patriota hoje do que antes. Qual é a
probabilidade de que mais de 10 pessoas respondam sim.
a) Verifique se é possível usar a distribuição normal para aproximar a variável binomial.
b) Determine µ e σ
c) Aplique a correção pela continuidade apropiada a esse escore e esboce um gráfico.
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