Cap6 - Variaveis Aleatorias
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Cap6 - Variaveis Aleatorias


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ž\uf09e\u202f Antes: introdução de alguns modelos probabilísticos por meio de 
espaços amostrais simples. 
ž\uf09e\u202f Conceito de probabilidade e a obtenção de algumas 
propriedades. 
ž\uf09e\u202f Agora: ampliar esses conceitos para que tenhamos modelos 
probabilísticos que representam todos os tipos de variáveis 
(qualitativas e quantitativas). 
ž\uf09e\u202f Conhecimento de modelos probabilísticos para variáveis 
quantitativas é muito importante, e será o objetivo principal daqui 
em diante. 
3 
ž\uf09e\u202f Variáveis qualitativas: artifício para transformar essas últimas 
variáveis em variáveis quantitativas, pois os recursos disponíveis 
para a análise das variáveis quantitativas são muito mais ricos. 
ž\uf09e\u202f Ex: atribuir as respostas de um questionário um valor. Assim, por 
exemplo, Sim (1) e Não (0). 
ž\uf09e\u202f Essas variáveis, para as quais iremos construir modelos 
probabilísticos, serão chamadas variáveis aleatórias (v.a.). 
4 
Ex: Um empresário pretende estabelecer uma firma para a 
montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As 
partes são adquiridas em fábricas diferentes (A e B), e a montagem 
consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. O produto acabado 
deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura 
(definida pela esfera) dentro de certos limites, e isso só poderá ser 
verificado após a montagem. Para estudar a viabilidade de seu 
empreendimento, o empresário quer ter uma ideia da distribuição 
do lucro por peça montada. 
Sabe-se que cada componente pode ser classificado como bom, 
longo ou curto. O preço de cada componente ($5,00) e as 
probabilidades de produção de cada componente com as suas 
características estão na tabela. 
Se o produto final apresentar algum componente C (curto), ele será 
irrecuperável, e conjunto será vendido por ($5,00). Cada 
componente longo poderá ser recuperado a um custo adicional de 
($5,00). O preço de venda é de ($25,00). Como seria a distribuição 
de frequências da variável X: lucro. 5 
Distribuição da produção das fábricas A e B, de acordo com as 
medidas das peças produzidas. 
 
 
 
 
 
Construção da distribuição de frequências vai depender de certas 
suposições. 
Com base nas suposições, trabalhamos com um modelo da 
realidade. 
Distribuição obtida será uma distribuição teórica, tanto mais 
próxima da distribuição real quanto mais fiéis à realidade forem as 
suposições. 
6 
Produto Fábrica A Cilindro 
Fábrica B 
Esfera 
Dentro das especificações\u2026\u2026bom (B) 0,80 0,70 
Maior que as especificações\u2026.longo (L) 0,10 0,20 
Menor que as especificações\u2026curto (C) 0,10 0,10 
ž\uf09e\u202f Construção do espaço amostral: 
ž\uf09e\u202f Montagem dos conjuntos 
segundo as características de cada 
componente e suas respectivas 
probabilidades. 
ž\uf09e\u202f Suposição: os componentes vêm 
de fábricas diferentes, vamos 
supor que a classificação dos 
componentes sejam eventos 
independentes. 
 
 
7 
0,80 
0,70 
0,10 
B 
C 
L 
0,10 
0,10 
B 
C 
L 
0,10 
0,70 
0,10 
B 
C 
L 
0,10 
0,70 
0,10 
B 
C 
L 
0,10 
Esfera Cilindro 
56,07,08,0)()()( =×== esferacilindroesferacilindro BPBPBBP \uf049
Número total de possibilidades? 
Sorteio de 2 peças (com reposição e ordenamento) em 3 objetos A = 
{Bom, Curto, Longo}, totalizando 32 = 9 resultados possíveis. 
8 
Produto Probabilidade Lucro por montagem (X) 
BB 0,56 15 
BL 0,16 10 
BC 0,08 -5 
LB 0,07 10 
LL 0,02 5 
LC 0,01 -5 
CB 0,07 -5 
CL 0,02 -5 
CC 0,01 -5 
ž\uf09e\u202f Com base na tabela, vemos que X pode assumir um dos seguintes 
valores, com as seguintes probabilidades: 
15, se ocorrer o evento A1={BB} P(A1)=0,56 
10, se ocorrer o evento A2={BL, LB} P(A2)=0,23 
 5, se ocorrer o evento A3={LL} P(A3)=0,02 
-5, se ocorrer o evento A4={BC, LC, CB, CL, CC} P(A4)=0,19 
 
x: valor da v.a. X 
p(x): probabilidade de 
X tomar o valor x. 
 
(x, p(x)): função de 
probabilidade 
 
9 
x p(x) xp(x) 
15 0,56 8,4 
10 0,23 2,3 
5 0,02 0,1 
-5 0,19 -0,95 
Total 1,00 9,85 
ž\uf09e\u202f Deduz-se do exposto que uma v.a. X, do tipo discreto, estará bem 
caracterizada se indicarmos os possíveis valores x1, x2, ..., xn,... que 
ela pode assumir e as respectivas probabilidades p(x1), p(x2), ..., 
p(xn), ..., ou seja, se conhecermos a sua função de probabilidade (x, 
p(x)). 
ž\uf09e\u202f Também usaremos a notação p(x) = P(X = x). 
10 
Ex: Lançamento de uma moeda duas vezes. 
 
Definimos a v.a. Y: número de caras obtidas nos dois lançamentos. 
S = {CC, CR, RC, RR} P(CC)=P(CR)=P(RC)=P(RR)=1/4 
 
p(0) = P(Y = 0) = P(RR) = 1/4 
p(1) = P(Y = 1) = P(CR ou RC) = 1/4 + 1/4 =1/2 
p(2) = P(Y = 2) = P(CC) = 1/4 
 
 
11 
Resultados Probabilidades Y 
CC 1/4 2 
CR 1/4 1 
RC 1/4 1 
RR 1/4 0 
y p(y) 
0 1/4 
1 1/2 
2 1/4 
ž\uf09e\u202f Dos exemplos apresentados, vemos que, a cada ponto do espaço 
amostral, a variável sob consideração associa um valor numérico, o 
que corresponde em Matemática ao conceito de função definida no 
espaço amostral S e assumindo valores reais. 
ž\uf09e\u202f Definição: uma função X, definida no espaço amostral S e com 
valores num conjunto enumerável de pontos da reta é dita uma 
variável aleatória discreta. 
 
 
12 
S s1 s2 s3 s4 
x1 x4 x3 x2 
X 
ž\uf09e\u202f Vimos, também, como associar a cada valor xi da v.a. X sua 
probabilidade de ocorrência. 
ž\uf09e\u202f Ela é dada pela probabilidade do evento A de S, cujos elementos 
correspondem ao valor xi. 
P(X = xi) = P(A) 
onde 
A = {s1, s2,...} 
é tal que 
 
Definição: Chama-se função de probabilidade da v.a. discreta X, que 
assume os valores x1, x2, ..., xn,..., a função {xi,p(xi), i=1, 2, ...}, que a 
cada valor xi, associa a sua probabilidade de ocorrência, isto é, 
 
 
 13 
c
iiiiii AsxsXAsxsX \u2208\u2260\u2208= se ,)( e se ,)(
,...2,1,)()( ==== ipxXPxp iii
Ex: Qual o lucro médio por conjunto montado do 
empresário do exemplo anterior espera obter? 
56% das montagens devem produzir um lucro de $15 
23% das montagens devem produzir um lucro de $10 
2% das montagens devem produzir um lucro de $5 
19% das montagens devem produzir um lucro de $-5 
14 
lucro médio = (0, 56)(15)+ (0, 23)(10)+ (0, 02)(5)+ (0,19)(\u22125) = 9,85
x p(x) xp(x) 
15 0,56 8,4 
10 0,23 2,3 
5 0,02 0,1 
-5 0,19 -0,95 
Total 1,00 9,85 
Definição: Dada a v.a. Discreta, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, 
chamamos de valor médio ou esperança matemática de X ao valor 
E(X) = xii=1
n
\u2211 P(X = xi ) = xii=1
n
\u2211 pi. (6.1)
15 
Var(X) = [xii=1
n
\u2211 \u2212E(X)]2 pi. (6.2)
ž\uf09e\u202f Definição: Chamamos de variância da v.a. X o valor 
ž\uf09e\u202f As expressões para média e variância são semelhantes as 
apresentadas no Cap. 3, onde no lugar de pi tínhamos as 
frequências relativas fi. A primeira corresponde a valores de um 
modelo teórico, e a segunda a valores observados da variável. 
ž\uf09e\u202f Obs: A v.a. Discreta X pode assumir um número infinito, porém 
enumerável, de valores x1, x2, ..., xn, ,..., com probabilidades p1, 
p2, ..., pn, ,..., tal que cada pi > 0, e pii=1
\u221e
\u2211 =1.
16 
E[h(X)]= h(xi )p(xi )i=1
n
\u2211 . (6.3)
ž\uf09e\u202f Definição: Dada a v.a. discreta X e a respectiva função de 
probabilidade p(x), a esperança matemática da função h(X) é dada 
por 
ž\uf09e\u202f As seguintes propriedades podem ser facilmente demonstradas. 
a) Se h(X)=aX+b, onde a e b são constantes, então 
E[aX + b]= aE(X)+ b (6.4)
Var[aX + b]= a2Var(X) (6.5)
Var(X) = E(X 2 )\u2212[E(X)]2 = x2i p(xi )\u2211 \u2212 x2i p(xi )\u2211#$ %&
2 (6.6)
17 
E[Z ]= zi p(zi )i=1
n
\u2211 = (2xi )p(xi ) =19, 70\u2211
Ex: Suponha que os preços de determinados pelo empresário do 
exemplo anterior estivessem errados. Na realidade, todos os valores 
deveriam ser duplicados, isto é, custos e preços de venda. 
 
Isto corresponde à transformação Z = 2X. 
 
As probabilidades associadas