4 Analise de Tensoes

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Disciplina: Mecânica dos Sólidos 2 
Código: ECIV030 
Professor: Eduardo Nobre Lages 
Universidade Federal de Alagoas 
Centro de Tecnologia 
Curso de Engenharia Civil 
Maceió/AL – Agosto/2014 
Análise de Tensões 
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
MotivaçãoMotivação
L
d d
Trabalhando em termos de esforços internos esforços internos 
solicitantessolicitantes, cada conjunto de dimensões exigiria 
um ensaio para verificar a carga máxima. 
Pmax = ?
x
y
z
r
t -
r
t
Hipótese Hipótese clássica:clássica:
A interação entre as partes do corpo é idealizada através de uma 
distribuição de forças (no caso geral com variação da intensidade 
e da direção) ao longo da seção de corte, representada pelo 
denominado vetor de tensão .
r
t
Vetor de TensãoVetor de Tensão
Augustin Louis Cauchy
(1789-1857)
Em 1822 
introduziu o 
conceito de 
tensão na 
Teoria da 
Elasticidade
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
E
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ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Vetor de TensãoVetor de Tensão
r
t -
r
t
Alguns aspectos:Alguns aspectos:
- Hipótese clássica (interação pontual: força)
Hipótese de Cosserat (interação pontual: força e binário)
- O sólido é um meio contínuo (visão macroscópica).
- Teoria das Estruturas: o sistema força-binário equivalente à 
distribuição do vetor de tensão na seção decompõe-se nos
esforços internos solicitantes.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
LTensão Tensão 
cisalhantecisalhante
Tensão Tensão 
normalnormal
Decomposição do Vetor Decomposição do Vetor 
de Tensãode Tensão
nˆ. : vetor unitário (versor) normal ao plano de corte
e saindo do sólido.
.
r
tN
r
tT
.
r
t
: componente tangencial (ou cisalhante) do vetor de tensão.
: solicitação interna que provoca uma tendência de deslizamento
das partes do sólido ao longo do plano de corte.
r
tT
r
tN
: componente normal do vetor de tensão.
: solicitação interna que provoca uma tendência de afastamento
(ou aproximação) das partes do sólido na direção perpendicular
ao plano de corte.
nˆ tN s=
r
NT ttt
rrr
-=
t=Tt
r
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
P
x
y
z
P
x
y
z
O Vetor de Tensão e o O Vetor de Tensão e o 
Plano de CortePlano de Corte
O vetor de tensão e seus componentes variam com a direção 
do plano de corte.
y
z
x
iˆ
A
Pt =
r
P
P
P
P
x
y
z
q
iˆ cos
A
Pt q=
r
A
P
=s
0=t
q=s 2cos
A
P
q=t 2sin
A2
P
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Estado de Tensão em Estado de Tensão em 
um Pontoum Ponto
Conhecimento dos componentes normal e tangencial 
do vetor de tensão para todostodos os planos de corte.
No entanto, o estado de tensão de um ponto pode ser 
caracterizado a partir do conhecimento dos componentes 
normal e tangencial do vetor de tensão em relação a três três 
planos mutuamente ortogonaisplanos mutuamente ortogonais (geralmente são empregadas 
as direções do sistema de coordenadas de referência do 
corpo).
Assim como foi feito para os esforços internos solicitantes, 
define-se uma orientaçãoorientação desses componentes em relação à em relação à 
porção do corpo analisadaporção do corpo analisada.
Os componentes do vetor de tensão em relação aos três 
planos mutuamente ortogonais serão organizados para 
formar o denominado tensor de tensãotensor de tensão.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Componentes do Tensor Componentes do Tensor 
de Tensãode Tensão
x
y
z
sxz
sxy
syy
syx
syz
s zz
s zy
s zx
s xx
Observação:Observação:
As convenções anteriormente estabelecidas referem-se às faces 
denominadas de positivas (vetor normal na direção do eixo 
cartesiano). Para as faces contrárias (faces negativas) os sentidos 
dos componentes são contrários aos dos eixos coordenados. 
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Representações do Representações do 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
x
y
z
sxy
s yy
s yz
s zz
s zy
s xx
sxz
syx
s zx
s yy
s xx
s zz
[ ]s
s s s
s s s
s s s
=
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
Índices dos componentes:Índices dos componentes:
O 1º índice indica a direção normal à face de atuação 
e o 2º índice indica a direção do componente.
MatemáticaMatemática
GráficaGráfica
Atenção:Atenção: Apesar desta visão 
volumétrica do estado de tensão, o 
mesmo corresponde às informações 
de um ponto do sólido analisado.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Representações do Representações do 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
és
=s
000
000
00xx
MatemáticaMatemática
GráficaGráfica
x
y
z
xxs
xxs
Estado uniaxial de tensãoEstado uniaxial de tensão
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Representações do Representações do 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
s
s
=s
000
00
00
yy
xx
MatemáticaMatemática
Estado biaxial de tensãoEstado biaxial de tensão
GráficaGráfica
x
y
z
xxs
xxs
yys
yys
E
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 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Representações do Representações do 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
s
s
s
=s
zz
yy
xx
00
00
00
MatemáticaMatemática
Estado Estado triaxialtriaxial de tensãode tensão
GráficaGráfica
x
y
z
xxs
xxs
yys
yys
zzs
zzs
E
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do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Representações do Representações do 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ss
ss
=s
000
0
0
yyyx
xyxx
MatemáticaMatemática
Estado plano de tensãoEstado plano de tensão
GráficaGráfica
x
y
z
xxs
xxs
yys
yys
xys
yxs
E
d
ua
rd
o 
N
ob
re
 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Representações do 
Tensor de Tensão 
 














zz
yyyx
xyxx
00
0
0
Matemática 
Estado plano de tensão generalizado 
Gráfica 
x 
y 
z 
xx
xx
yy
yy
xy
yx
zz
zz
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ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Vetor de Tensão em Vetor de Tensão em 
um Plano Arbitrárioum Plano Arbitrário
Tensor de Tensor de 
TensãoTensão
Vetor de Tensão Vetor de Tensão 
em qualquer em qualquer 
plano de corteplano de corte
?
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Vetor de Tensão em Vetor de Tensão em 
um Plano Arbitrárioum Plano Arbitrário
Vetor área ABC:
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
D=D=D
z
y
x
n
n
n
Anˆ AA
( )ACAB
2
1A ´=D
Versor normal ao plano inclinado:
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
z
y
x
n
n
n
nˆ
D D
D D
D D
D D
A A n
A A n
A A n
A n
x x
y y
z z
i
=
=
=
ì
í
ï
î
ï
= ou A i
x
y
z
A
B
C
0
nˆ
.
Dx
Dy
Dz
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
DD
DD
DD
=
yx
zx
zy
2
1
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
D
D
D
=
z
y
x
A
A
A
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 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Vetor de
Tensão em Vetor de Tensão em 
um Plano Arbitrárioum Plano Arbitrário
x
y
z
r
t
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
z
y
x
b
b
b
b
r
No diagrama de corpo livrediagrama de corpo livre em questão, considerar 
ainda a presença de uma força de volume
Impondo o equilíbrio de forças ao longo 
das direções cartesianas:
Fxå = 0
zzxyyxxxxx nnnt s+s+s=
0VbAAAAt xzzxyyxxxxx =D+Ds-Ds-Ds-D
0
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Vetor de Tensão em Vetor de Tensão em 
um Plano Arbitrárioum Plano Arbitrário
x
y
z
r
t
Impondo-se o equilíbrio nas outras 
duas direções cartesianas, por 
analogia chega-se a
{ } [ ] { } jjiiT ntou nt s=s=
zzyyyyxxyy nnnt s+s+s=
zzzyyzxxzz nnnt s+s+s=
Combinando-se as três equações
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Transformação no Transformação no 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
x
y
z
s xy
sxx
s xz syy
syz
s yx
s zz
s zys zx
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
sss
sss
sss
=s
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
sss
sss
sss
=s
*z*z*y*z*x*z
*z*y*y*y*x*y
*z*x*y*x*x*x
*
x*
y*
z*
*z*zs
*y*ys
*z*zs
*y*ys
*x*xs
*x*xs
*x*ys
*z*ys
*x*zs
*y*zs
*y*xs
*z*xs
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Transformação no Transformação no 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
No caso geral os tensores de tensão anteriores podem 
apresentar componentes diferentescomponentes diferentes, porém os dois representam representam 
o mesmo estado de tensãoo mesmo estado de tensão de um ponto do sólido analisado.
[ ] [ ][ ][ ]
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
=
z*zy*zx*z
z*yy*yx*y
z*xy*xx*x
T*
nnn
nnn
nnn
T onde
T σTσ
Cada coluna da matriz de transformação [T] corresponde ao versor
do antigo eixo associado a esta coluna, em relação ao novo 
sistema de referência x*y*z*. 
Isso posto, reconhece-se que haja uma relação de transformação 
entre esses dois tensores:
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Transformação no Transformação no 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
Inicialmente definimos os vetores de tensão atuantes em planos 
perpendiculares aos eixos do sistema original (xyz) lidos em 
relação ao novo sistema (x*y*z*), dados por:
=}{ti *z*y*x
=}{t j *z*y*x
=}{tk *z*y*x
[ ] }{iσ *z*y*xT*
[ ] }{jσ *z*y*xT*
[ ] }{kσ *z*y*xT*
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Da saudosa Álgebra Linear sabe-se que a transformação linear transformação linear 
de vetores representados no sistema (xyz) para ser lido no 
novo sistema (x*y*z*) é dada por:
Transformação no Transformação no 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
onde as colunas da matriz [T] da transformação linear são formadas 
pelas leituras dos versores da base canônica do sistema (xyz) no 
novo sistema (x*y*z*).
[ ]{v}T}{v* =
Uma vez que a transformação linear envolvida entre os dois 
sistemas é de rotação, a transformação inversa é dada por
Portanto,
[ ] ]}{k}{j}{i[T *z*y*x*z*y*x*z*y*x=
}]{v[T{v} **=
T* ]T[]T[ =
onde
E
du
ar
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 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Transformação no Transformação no 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
Usando as relações anteriores, vamos escrever agora os 
vetores de tensão atuantes em planos perpendiculares aos 
eixos do novo sistema (x*y*z*) lidos em relação ao mesmo 
sistema (x*y*z*).
[ ] }{tT}{t ** ixyzi *z*y*x = [ ][ ] }{iσT *xyzT=
[ ] [ ][ ] }{jσT}{tT}{t *xyzTjxyzj *z*y*x
**
==
[ ] [ ][ ] }{kσT}{tT}{t *xyzTkxyzk *z*y*x
**
==
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Transformação no Transformação no 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
Por fim, organizam-se os vetores anteriores na forma
=}]{t }{t }[{t
*** k
*z*y*x
j
*z*y*x
i
*z*y*x [ ][ ] }]{k }{j }[{iσT *xyz*xyz*xyzT
=T*][σ [ ][ ] [ ]TT TσT
[ ] [ ][ ][ ]T* T σTσ =
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Equações Diferenciais Equações Diferenciais 
de Equilíbriode Equilíbrio
Motivação:Motivação: De que forma variam os componentes do tensor 
de tensão em um corpo solicitado por alguma ação externa?
Recapitulando:Recapitulando: Em termos dos esforços internos solicitantes 
e de ações externas generalizadas tem-se
=
ds
dQ
=
ds
dM
)s(p-=
ds
dN
)s(q-
)s(mQ -
E
d
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o 
N
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 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Equações Diferenciais 
de Equilíbrio 
x 
y 
z 
Obs: Considerar a presença de uma força de volume (bx, by e bz). 
)2/zz,y,x(:F
)2/zz,y,x(:E
)z,2/yy,x(:D
)z,2/yy,x(:C
)z,y,2/xx(:B
)z,y,2/xx(:A
)z,y,x(: P






x 
z 
y 
E
d
ua
rd
o 
N
ob
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 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Equações Diferenciais 
de Equilíbrio 
  0Fx
0b
zyx
x
zxyxxx 








0zyxbyx
yxzxzxzyzy
P
x
F
zx
E
zx
D
yx
C
yx
B
xx
A
xx


0zyxb
yx)
2
z
z
(yx)
2
z
z
(
zx)
2
y
y
(zx)
2
y
y
(
zy)
2
x
x
(zy)
2
x
x
(
P
x
P
zxP
zx
P
zxP
zx
P
yxP
yx
P
yxP
yx
P
xxP
xx
P
xxP
xx




























E
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N
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 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Equações Diferenciais 
de Equilíbrio 
  0Fy
0b
zyx
y
zyyyxy









  0Fz
0b
zyx
z
zzyzxz 








Resumindo: 
0bij,ji 
E
d
ua
rd
o 
N
ob
re
 L
a
ge
s 
– 
C
T
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C
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F
A
L
 
Equações Diferenciais 
de Equilíbrio   0MPx
zyyz 
0
2
z
)yx(
2
z
)yx(
2
y
)zx(
2
y
)zx( Fzy
E
zy
D
yz
C
yz 








0Fzy
E
zy
D
yz
C
yz 
0)
2
z
z
()
2
z
z
(
)
2
y
y
()
2
y
y
(
P
zyP
zy
P
zyP
zy
P
yzP
yz
P
yzP
yz

















E
d
ua
rd
o 
N
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 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Equações Diferenciais 
de Equilíbrio   0MPy zxxz   0MPz yxxy 
Resumindo: 
jiij 
O tensor de tensão é simétrico. 
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Condições de Condições de 
Contorno NaturaisContorno Naturais
As condições de contorno naturais correspondem a 
equações de prescrição do vetor de tensão nas regiões 
do contorno do sólido onde se têm forças de superfície 
de valores conhecidos, levando a
sG= em t t
rr
Gs
E
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ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Pode ser entendido 
como o vetor projeçãovetor projeção
do vetor de tensão na 
direção normal ao 
plano de corte.
A Tensão Normal e o A Tensão Normal e o 
Tensor de TensãoTensor de Tensão
{ } { }ntN s=
{ } { } { }( ){ }nntt TN =
{ } { } [ ]{ }( ){ }nnnt TN s=
{ } [ ]{ }nn T s=s
E
du
ar
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 N
ob
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 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Tensões e Direções Tensões e Direções 
PrincipaisPrincipais
{ } { }Ntt
=
Motivação:Motivação: Existe algum plano virtual de corte onde todo o 
vetor de tensão está na direção normal ao mesmo, ou seja, 
ele só se resume ao componente normal?
[ ] { } { }nnT s=s s e {n} são incógnitas
Problema de valor principal Problema de valor principal estudado 
na saudosa Álgebra LinearÁlgebra Linear
E
du
ar
do
 N
ob
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 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Tensões e Direções Tensões e Direções 
PrincipaisPrincipais
Observação:Observação:
Trata-se de um problema de determinação de valores 
estacionários de uma função escalar no R3, no caso a 
tensão normal, sujeito à restrição de que o vetor {n}
que define o plano virtual de corte é unitário.
Recairíamos no mesmo problema de valor principal caso 
fosse proposta a determinação dos valores estacionários, 
que incorporam os valores extremos, da tensão normal e 
dos respectivos planos de atuação.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Tensões e Direções Tensões e Direções 
PrincipaisPrincipais
Solução:Solução:
[ ] { } { }nnT s=s
Problema de valor principal:Problema de valor principal:
Três pares: 3 tensões principaistensões principais (s1, s2 e s3) com as
respectivas direções principaisdireções principais (mutuamente ortogonais).
Observação:Observação: Organizam-se as tensões principais na 
ordem s1 ≥ s2 ≥ s3, com isso s1 e s3 correspondem, 
respectivamente, ao maior e menor valores da tensão 
normal para os infinitos planos virtuais de corte.
Tensões e Direções Tensões e Direções 
PrincipaisPrincipais
s xy
sxx
s xz syy
syz
s yx
s zz
s zys zx
1s
1s
2s
2s
3s
3s
x
y
z
syy
sxx
s zz
Para todo ponto de um corpo, existe sempre um 
sistema de referência (principal) onde só atuam 
tensões normais. A orientação deste sistema principal 
em relação ao sólido analisado independe do 
sistema de referência adotado. 
Ed
ua
rd
o 
N
ob
re
 L
ag
es
 –
CT
EC
/U
FA
L
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Tensões e Direções Tensões e Direções 
PrincipaisPrincipais
Solução do problema de valor principal:Solução do problema de valor principal:
Solução não trivial do sistema homogêneo
Determinante nulo da matriz dos coeficientes
Polinômio característico onde as 
raízes independem do sistema de 
referência adotado
0III 32
2
1
3 =-s+s-s
[ ] [ ]( ){ } { }0nIT =s-s
ObsObs:: I1, I2 e I3 são denominados invariantes do tensor de tensãoinvariantes do tensor de tensão.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Tensões e Direções Tensões e Direções 
PrincipaisPrincipais
Solução do problema de valor principal (cont.):Solução do problema de valor principal (cont.):
3213
3231212
3211
I
I
I
sss=
ss+ss+ss=
s+s+s=
Em relação ao sistema de referência principal:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
3
zzzy
yzyy
zzzx
xzxx
yyyx
xyxx
2
zzyyxx1
I
I
I
sss
sss
sss
=
ss
ss
+
ss
ss
+
ss
ss
=
s+s+s=
Em relação a um sistema de referência qualquer:
Observação: | | significa
determinante.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Tensões e Direções Tensões e Direções 
PrincipaisPrincipais
Solução do problema de Solução do problema de 
valor principal (cont.):valor principal (cont.):
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Conjunto dos pares de valores da tensão normal e da 
tensão cisalhante para os infinitos planos virtuais de 
corte em um ponto material de um sólido deformável.
“Círculo” de “Círculo” de MohrMohr
A região é delimitada por três semicircunferências 
que apresentam os pares (s1,0), (s2,0) e (s3,0), dois 
a dois, em posições diametralmente opostas.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Componentes Isotrópico e Componentes Isotrópico e 
DesviadorDesviador do Tensor de Tensãodo Tensor de Tensão
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
s
s
s
=s
m
m
m
m
00
00
00
Componente isotrópico do tensor de tensão:Componente isotrópico do tensor de tensão:
Em materiais isotrópicosisotrópicos é responsável 
apenas pela variação de volume.
3
I
3
1zzyyxx
m =
s+s+s
=s
[ ] [ ] [ ]ms s-s=
Componente Componente desviadordesviador do tensor de tensão:do tensor de tensão:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
s-sss
ss-ss
sss-s
=
mzzzyzx
yzmyyyx
xzxymxx
Em materiais isotrópicosisotrópicos é responsável apenas 
pela mudança de forma (distorção).
E
d
ua
rd
o 
N
ob
re
 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Critérios de Resistência 
Leis empíricas, fundamentadas através de observações 
experimentais, com resultados tratados estatisticamente, propostas 
para estabelecer as condições em que ocorre a falha em um ponto 
material de um objeto estrutural, ou seja, quando esse ponto 
material deixa de apresentar um desempenho desejado. 
Existem ensaios específicos para caracterização da resistência, 
de acordo com a natureza do material analisado: 
E
d
ua
rd
o 
N
ob
re
 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Critérios de Resistência 
Em materiais isotrópicos, essas leis empíricas devem se basear, 
por exemplo, em indicadores invariantes do tensor de tensão. 
Graficamente os critérios de resistência podem ser 
analisados no espaço bidimensional das tensões 
normais e cisalhantes ou no espaço tridimensional 
das tensões principais. 
E
d
ua
rd
o 
N
ob
re
 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Critérios de Resistência 
• Critério da máxima tensão normal (ou de Rankine): 
F F 
S 
Postula que, para materiais frágeis, a maior tensão de tração 
e a maior tensão de compressão não devem ultrapassar os 
valores das tensões limites obtidas, respectivamente, nos 
ensaios de tração simples e de compressão simples. 
E
d
ua
rd
o 
N
ob
re
 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Critérios de Resistência 
• Critério da máxima tensão cisalhante (ou de Tresca): 
Postula que, para materiais dúcteis, o mecanismo de falha 
ocorre pelo deslizamento atômico em planos de maior tensão 
de cisalhamento, quando essa ultrapassa o valor da tensão 
limite de cisalhamento. 
𝜏 
𝜎 
𝝉 𝑨 
 F 
S 
E
d
ua
rd
o 
N
ob
re
 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Critérios de Resistência 
• Critério de Mohr-Coulomb: 
Postula que, para materiais dúcteis, o mecanismo de falha 
ocorre pelo deslizamento atômico em planos de maior tensão 
de cisalhamento, quando essa ultrapassa o valor da tensão 
limite de cisalhamento, que aumenta com a tensão normal de 
compressão nesse plano. 
𝜏 
𝜎 
S 
F 
𝒄 𝑨 
𝝓 𝑨 
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Estado Plano de TensãoEstado Plano de Tensão
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ss
ss
=s
000
0
0
yyyx
xyxx
MatemáticaMatemáticaGráficaGráfica
x
y
z
xxs
xxs
yys
yys
xys
yxs
Particularizam-se as expressões gerais anteriores para estado estado 
plano de tensãoplano de tensão, característico, por exemplo, de problemas de 
chapas finas com carregamentos no plano da chapa.
Assume-se ainda que as tensões não nulas estão 
relacionadas às direções xx e yy.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Estado Plano de TensãoEstado Plano de Tensão
Analisam-se apenas planos virtuais de corte que são paralelos 
à direção z, que podem ser caracterizados por um único 
parâmetro
(inclinação do versor normal com a direção x).
xxsxxs
yys
yys
xys
yxs
xys
yxs
x
y nˆ
q
t
r
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
q
q
=
0
sin
cos
nˆ
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Vetor de Tensão em Estado Vetor de Tensão em Estado 
Plano de TensãoPlano de Tensão
xxsxxs
yys
yys
xys
yxs
xys
yxs
x
y nˆ
q
t
r
Vetor de tensão:Vetor de tensão:
{ } [ ] { }nt Ts=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
q
q
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ss
ss
=
0
sin
cos
000
0
0 T
yyyx
xyxx
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
qs+qs
qs+qs
=
0
sincos
sincos
yyxy
yxxx
Só componentes no plano xy
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
s
nˆ
q
t
r
t
Tensões Normal e Cisalhante Tensões Normal e Cisalhante 
em Estado Plano de Tensãoem Estado Plano de Tensão
xxsxxs
yys
yys
xys
yxs
xys
yxs
x
y
Tensão normal:Tensão normal:
{ } { }nt T=s qs+qs+qs= 2sinsincos xy2yy2xx
Tensão cisalhante:Tensão cisalhante:
{ } { }m t T=t qs+qs-s= 2cos2sin
2 xy
xxyy
Versor no plano de corte { }
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
q
q-
=
0
cos
sin
m
{ } [ ]{ }nσn T=
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
As equações de s e t definem parametricamente 
uma circunferência para um sistema de 
coordenadas retangulares com s de abscissa e t
de ordenada, para um valor dado de q.
Círculo de Círculo de MohrMohr em Estado em Estado 
Plano de TensãoPlano de Tensão
qs+qs+qs=s 2sinsincos xy
2
yy
2
xx
qs+q
s-s
=t 2cos2sin
2 xy
xxyy
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
s
t
xxs
yys
xys
xys-
R q2 ( )ts,
2
yyxx
med
s+s
=s 2xy
2
yyxx σ
2
σσ
R +÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=e
meds
qs+qs+qs=s 2sinsincos xy
2
yy
2
xx
qs+q
s-s
=t 2cos2sin
2 xy
xxyy
Círculo de Círculo de MohrMohr em Estado em Estado 
Plano de TensãoPlano de Tensão
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
2
yyxx
med
s+s
=s
2
xy
2
yyxx σ
2
σσ
R +÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=
AB
Os pontos A e B são os que se apresentam livres da
tensão de cisalhamento.
R R med2med1 -s=s+s=s e
Portanto, as tensões normais 
nesses planos são as denominadas tensões principais, 
dadas por
que também são os valores extremos da tensão normal.
Tensões e Direções Principais Tensões e Direções Principais 
em Estado Plano de Tensãoem Estado Plano de Tensão
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
2
yyxx
med
s+s
=s
2
xy
2
yyxx σ
2
σσ
R +÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=AB
Ainda em relação aos pontos A (s1,0) e B (s2,0), como a 
tensão cisalhante é nula, pode-se determinar as orientações 
dos planos principais de tensão
02cos2sin
2
 0 pxyp
xxyy =qs+q
s-s
\=t
yyxx
xy
p σσ
2σ
tan2θ
-
=
Rmed1 +s=s
Rmed2 -s=s
Tensões e Direções Principais Tensões e Direções Principais 
em Estado Plano de Tensãoem Estado Plano de Tensão
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Os ângulos q1 e q2 são definidos a partir de
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
yyxx
xy
p σσ
2σ
arctan
2
1θ
xxsxxs
yys
yys
xys
yxs
xys
yxs
x
y
1q
2q
Considerando só ângulos positivos como solução, 
o menor dos ângulos é q1 quando sxy for positivo.
1s
2s
1s
2s
Tensões e Direções Principais Tensões e Direções Principais 
em Estado Plano de Tensãoem Estado Plano de Tensão
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
C
D
Os pontos C e D estão
associados a planos de
valores extremos da tensão
de cisalhamento, dados por
R R maxmin =t-=t e
com inclinações de 45º e 135º,
respectivamente, em relação ao
eixo principal 1, medidas no sentido
anti-horário.
1s
2s
1s
2s
R
R
meds
meds
meds
meds
Tensões Extremas de Cisalhamento Tensões Extremas de Cisalhamento 
em Estado Plano de Tensãoem Estado Plano de Tensão
45º 
135º 
AB
E
d
ua
rd
o 
N
ob
re
 L
a
ge
s 
– 
C
T
E
C
/U
F
A
L
 
Estado Plano de Tensão 
Generalizado 
 














zz
yyyx
xyxx
00
0
0
Matemática 
Em estado plano de tensão generalizado a direção z também é 
principal, só que associada a uma tensão principal não nula (zz). 
Assim sendo, o estudo anterior, de busca das tensões 
e direções principais para planos virtuais de corte com 
versores normais no plano xy, também pode ser 
repetido neste caso. 
Gráfica 
x 
y 
z 
xx
xx
yy
yy
xy
yx
zz
zz