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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II – 20/03/2016 Questa˜o 1 [2,0pts] Considere as func¸o˜es f e g definidas por: f(x) = −2x+ 7 e g(x) = −3x− 4 se x ≤ −1 −1 se −1 < x < 3 4x− 13 se x ≥ 3 . Determine a lei de definic¸a˜o de g ◦ f . Soluc¸a˜o: Fazendo uma primeira etapa obtemos g(f(x)) = −3f(x)x− 4 se f(x) ≤ −1 −1 se −1 < f(x) < 3 4f(x)− 13 se f(x) ≥ 3 Agora, f(x) ≤ −1⇐⇒ −2x+7 ≤ −1⇐⇒ x ≥ 4 e f(x) ≥ 3⇐⇒ −2x+7 ≥ 3⇐⇒ x ≤ 2. Ale´m disso, −3f(x)−4 = −3(−2x+7)−4 = 6x−21−4 e 4f(x)−13 = 4(−2x+7)−13 = −8x+28−13, da´ı g(f(x)) = 6x− 25 se x ≥ 4 −1 se 2 < x < 4 −8x− 15 se x ≤ 2 Questa˜o 2 [1,0pt] Considere a func¸a˜o f(x) = 4 √ 1− x3 2− x2 . Determine o dom´ınio da func¸a˜o. Soluc¸a˜o: Precisamos determinar os valores de x ∈ R que deixam o radicando maior ou igual a zero, ale´m e´ claro, de que o denominador do mesmo seja diferente de zero. Analisando o sinal obtemos Portanto, vemos que o dom´ınio de f(x) consiste de todos os nu´meros reais x tais que −√2 < x < 1 ou x > √ 2. Questa˜o 3 [1,0pt] Determine λ ∈ R para os que x3 − λx2 + 2x+ 1 seja divis´ıvel por x− λ. Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2 Soluc¸a˜o: Dividindo x3 − λx2 + 2x+ 1 por x− λ obtemos x3 − λx2 + 2x+ 1 |x− λ x2 − λx2 | x2 + 2 0 + 2x+ 1 2x− 2λ 2λ+ 1 Enta˜o para que a divisa˜o seja exata devemos ter 2λ+ 1 = 0 =⇒ λ = −1 2 . Questa˜o 4 [1,0pt] Reorganize a expressa˜o lnx+ a ln y − b ln z de tal forma que fique em termo de uma u´nico logaritmo. Soluc¸a˜o: Veja que lnx+ a ln y − b ln z = ln x+ ln ya − ln zb = ln xya − ln zb = ln xy a zb . Questa˜o 5 [1,5pt] Calcule o lim t→0 √ 2− t−√2 t . Soluc¸a˜o: Calculando o limite temos lim t→0 √ 2− t−√2 t = lim t→0 √ 2− t−√2 t · √ 2− t+√2√ 2− t+√2 = lim t→0 2− t − 2 t( √ 2− t+√2) = lim t→0 −1√ 2− t+√2 = − 1 2 √ 2 . Questa˜o 6 [1,5pt] Calcule o lim x→2 x2 + x− 6 x2 − 4 . Soluc¸a˜o: Verificando o valor de x2+x−6 e de x2−4 quando x = 2 vemos que ambos se anulam. Desta forma sabemos que x − 2 e´ raiz tanto do numerador como do denominador. Resolvendo a equac¸a˜o x2 + x− 6 = 0 obtemos as ra´ızes 2 e −3. Portanto, lim x→2 x2 + x− 6 x2 − 4 = limx→2 (x− 2)(x+ 3) (x− 2)(x+ 2) = 5 4 . Questa˜o 7 [1,0pts] Encontre s ∈ R tal que ln(s2 − 3s+ 2) = 3. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 3 Soluc¸a˜o: Exponenciando os dois lados da expressa˜o temos eln(s 2−3s+2) = e3 ⇐⇒ s2 − 3s+ 2 = e3 ⇐⇒ s2 − 3s+ 2− e3 = 0 Resolvendo a equac¸a˜o de grau 2 temos 32 − 4(2− e3) = 9− 8 + 4e3 > 0. Logo tem duas ra´ızes, a saber, x1 = 3 + √ 4e3 − 1 2 e x2 = 3−√4e3 − 1 2 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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